{
 "id": "concept/al-durub-al-sitta",
 "class": "concept",
 "slug": "al-durub-al-sitta",
 "label": {
  "ar": "الضروب الستة (أنواع المعادلات عند الخوارزمي)",
  "en": "The six types of equation (al-Khwarizmi)"
 },
 "summary": {
  "ar": "تقسيم الخوارزمي لمعادلات الدرجة الأولى والثانية ذات المعاملات الموجبة إلى ستة ضروب: ثلاثة مفردة (أموال تعدل جذوراً، وأموال تعدل عدداً، وجذور تعدل عدداً) وثلاثة مقترنة (أموال وجذور تعدل عدداً، وأموال وعدد تعدل جذوراً، وجذور وعدد تعدل أموالاً) {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}.",
  "en": "Al-Khwarizmi's division of first- and second-degree equations with positive terms into six types: three simple (squares equal roots, squares equal number, roots equal number) and three compound (squares and roots equal number, squares and number equal roots, roots and number equal squares)."
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "levant-iraq"
 ],
 "periods": [
  "period/abbasid-early"
 ],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [
  "mathematics"
 ],
 "data": {
  "kind": "scientific",
  "term": {
   "ar": "الضروب الستة",
   "en": "al-durub al-sitta"
  },
  "sources": [
   "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
  ],
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "source": "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939 scan pp. 30-43, 50",
   "generated_by": "Claude Code (OCR-harvest worker J)",
   "model": "claude-opus-5-5",
   "run": "ocr-harvest-2026-11-04"
  },
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "الضروب الستة هي الأنواع التي قسّم إليها [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]] كل ما يحتاج إليه في حساب [[concept/algebra|الجبر والمقابلة]]، في أول كتابه [[work/al-jabr-wal-muqabala|الجبر والمقابلة]]. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30} وهي مبنية على ثلاثة أنواع من الأعداد: الجذر، وهو كل شيء مضروب في نفسه من الواحد فما فوقه أو من الكسور فما دونه؛ والمال، وهو ما يجتمع من ضرب الجذر في نفسه؛ والعدد المفرد، وهو كل ملفوظ به من العدد بلا نسبة إلى جذر ولا إلى مال. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}"
    },
    {
     "heading": "الضروب المفردة الثلاثة",
     "markdown": "- **أموال تعدل جذوراً**: مثاله «مال يعدل خمسة أجذاره»، فالجذر خمسة والمال خمسة وعشرون. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}\n- **أموال تعدل عدداً**: مثاله «خمسة أموال تعدل ثمانين»، فالمال الواحد خمس الثمانين وهو ستة عشر. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}\n- **جذور تعدل عدداً**: مثاله «أربعة أجذار تعدل عشرين»، فالجذر خمسة والمال خمسة وعشرون. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}\n\nويقرر في كل ضرب أن ما زاد على مال واحد أو نقص عنه يُردّ إلى مال واحد، ويُفعل بما يعادله مثل ذلك. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}"
    },
    {
     "heading": "الضروب المقترنة الثلاثة",
     "markdown": "- **أموال وجذور تعدل عدداً**: مثاله «مال وعشرة أجذاره يعدل تسعة وثلاثين درهماً»، وبابه أن تنصّف الأجذار وتربّع النصف وتزيده على العدد وتأخذ جذر المجموع وتنقص منه نصف الأجذار، فيخرج الجذر ثلاثة والمال تسعة. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.33}\n- **أموال وعدد تعدل جذوراً**: مثاله «مال وأحد وعشرون يعدل عشرة أجذاره»، ويخرج له جوابان: الجذر ثلاثة والمال تسعة، أو الجذر سبعة والمال تسعة وأربعون؛ ويقول إن هذا الباب وحده «يعمل بالزيادة والنقصان جميعاً». {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.34} وإذا كان مربع نصف الأجذار أقل من العدد فالمسألة «مستحيلة»، وإذا ساواه فالجذر مثل نصف الأجذار. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}\n- **جذور وعدد تعدل أموالاً**: مثاله «ثلاثة أجذار وأربعة من العدد تعدل مالاً»، فالجذر أربعة والمال ستة عشر. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}"
    },
    {
     "heading": "البرهان الهندسي",
     "markdown": "يقول الخوارزمي إن الضروب الثلاثة الأولى لا تُنصّف فيها الأجذار، وإنه جعل لكل باب من الأبواب الثلاثة الباقية «صورة يستدل منها على العلة». {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35} ففي مسألة المال والعشرة الأجذار يرسم المال سطحاً مربعاً مجهول الضلع، ويقسم العشرة الأجذار أربعة سطوح يضعها على أضلاعه، ثم يكمل الزوايا الأربع بمربعات صغيرة مجموعها خمسة وعشرون، فيصير السطح الأعظم أربعة وستين وضلعه ثمانية. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.36} ويؤكد أن كل ما يعمل به من الجبر والمقابلة «لا بد أن يخرجك إلى أحد الأبواب الستة». {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.43} ثم يضع ست مسائل نموذجية، واحدة لكل ضرب، في «باب المسائل الست». {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.50}"
    },
    {
     "heading": "قراءة المحققين",
     "markdown": "يكتب محققا طبعة القاهرة سنة 1939 هذه الضروب بالرموز الحديثة، ويشرحان أن الخوارزمي قسّم معادلات الدرجة الثانية إلى ثلاثة أنواع مقترنة لأن بحثه مقصور على الأعداد الموجبة. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32} ويريان أن الحالة التي سمّاها «مستحيلة» بقي اسمها هذا عند الرياضيين إلى أواخر القرن الثامن عشر، حين بدأ البحث في الكميات التخيلية. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "concept/al-durub-al-sitta",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "provenance": {
     "generated_by": "Claude Code (OCR-harvest worker J)",
     "model": "claude-opus-5-5",
     "run": "ocr-harvest-2026-11-04",
     "source": "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939 scan pp. 30-43, 50"
    }
   },
   "updated": "2026-11-04"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "The six types are the classes into which [[person/al-khwarizmi|al-Khwarizmi]] divided everything needed in reckoning by [[concept/algebra|al-jabr and al-muqabala]], at the opening of his [[work/al-jabr-wal-muqabala|Book of al-Jabr and al-Muqabala]]. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30} They rest on three kinds of number: the root, anything multiplied by itself, from one upward or among the fractions below it; the square (*mal*), what results from a root multiplied by itself; and the simple number, any number stated without relation to a root or a square. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}"
    },
    {
     "heading": "The three simple types",
     "markdown": "- **Squares equal roots**: \"a square equals five of its roots\", so the root is five and the square twenty-five. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}\n- **Squares equal number**: \"five squares equal eighty\", so one square is a fifth of eighty, sixteen. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}\n- **Roots equal number**: \"four roots equal twenty\", so the root is five and the square twenty-five. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}\n\nIn each type, more or less than one square is reduced to a single square, and whatever equals it is treated likewise. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}"
    },
    {
     "heading": "The three compound types",
     "markdown": "- **Squares and roots equal number**: \"a square and ten of its roots equal thirty-nine dirhams\"; the procedure is to halve the roots, square the half, add it to the number, take the root of the sum and subtract half the roots, giving the root three and the square nine. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.33}\n- **Squares and number equal roots**: \"a square and twenty-one equal ten of its roots\", which has two answers: root three and square nine, or root seven and square forty-nine; he says this type alone \"works by both addition and subtraction\". {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.34} If the square of half the roots is less than the number, the problem is \"impossible\"; if equal, the root equals half the roots. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}\n- **Roots and number equal squares**: \"three roots and four equal a square\", so the root is four and the square sixteen. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}"
    },
    {
     "heading": "The geometric proof",
     "markdown": "Al-Khwarizmi says that roots are not halved in the first three types, and that for each of the remaining three he made \"a figure from which the cause is shown\". {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35} For the square and ten roots he draws the square as a figure of unknown side, divides the ten roots into four rectangles placed on its sides, then completes the four corners with small squares totalling twenty-five, so that the large square is sixty-four with side eight. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.36} He insists that everything worked by al-jabr and al-muqabala \"must bring you to one of the six chapters\". {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.43} He then sets six model problems, one for each type, in the \"chapter of the six problems\". {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.50}"
    },
    {
     "heading": "The editors' reading",
     "markdown": "The editors of the 1939 Cairo edition write these types in modern symbols and explain that al-Khwarizmi split quadratic equations into three compound kinds because he worked only with positive numbers. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32} In their account the name \"impossible\" he gave to the rootless case remained in use among mathematicians until the late eighteenth century, when the study of imaginary quantities began. {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "concept/al-durub-al-sitta",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Claude Code (OCR-harvest worker J)",
     "model": "claude-opus-5-5",
     "run": "ocr-harvest-2026-11-04",
     "source": "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939 scan pp. 30-43, 50",
     "translator_of": "content/ar/concept/al-durub-al-sitta.md"
    }
   },
   "updated": "2026-11-04"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "چھ صورتیں (الضروب الستہ) وہ اقسام ہیں جن میں [[person/al-khwarizmi|خوارزمی]] نے [[concept/algebra|جبر و مقابلہ]] کے حساب کی ہر ضرورت کو تقسیم کیا، اپنی کتاب [[work/al-jabr-wal-muqabala|الجبر والمقابلہ]] کے آغاز میں۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30} یہ تین قسم کے اعداد پر مبنی ہیں: جذر، یعنی ہر وہ چیز جو اپنے آپ سے ضرب دی جائے، ایک یا اس سے اوپر یا اس سے نیچے کسور میں سے؛ مال، یعنی جذر کو اپنے آپ سے ضرب دینے کا حاصل؛ اور مفرد عدد، یعنی ہر وہ عدد جو جذر یا مال کی نسبت کے بغیر بولا جائے۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}"
    },
    {
     "heading": "تین مفرد صورتیں",
     "markdown": "- **مال جذروں کے برابر**: «ایک مال اپنے پانچ جذروں کے برابر ہے»، تو جذر پانچ اور مال پچیس۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}\n- **مال عدد کے برابر**: «پانچ مال اسی کے برابر ہیں»، تو ایک مال اسی کا پانچواں حصہ یعنی سولہ ہے۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}\n- **جذر عدد کے برابر**: «چار جذر بیس کے برابر ہیں»، تو جذر پانچ اور مال پچیس۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}\n\nہر صورت میں ایک سے زیادہ یا کم مال کو ایک مال کی طرف لوٹایا جاتا ہے، اور جو اس کے برابر ہو اس کے ساتھ بھی یہی کیا جاتا ہے۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.31}"
    },
    {
     "heading": "تین مرکب صورتیں",
     "markdown": "- **مال اور جذر عدد کے برابر**: «ایک مال اور اس کے دس جذر انتالیس درہم کے برابر ہیں»؛ طریقہ یہ ہے کہ جذروں کو آدھا کرو، نصف کا مربع لو، اسے عدد پر بڑھاؤ، مجموعے کا جذر لو اور اس میں سے نصف جذر گھٹاؤ، تو جذر تین اور مال نو نکلتا ہے۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.33}\n- **مال اور عدد جذروں کے برابر**: «ایک مال اور اکیس اس کے دس جذروں کے برابر ہیں»، جس کے دو جواب ہیں: جذر تین اور مال نو، یا جذر سات اور مال انچاس؛ وہ کہتے ہیں کہ صرف یہی باب «زیادتی اور کمی دونوں سے» حل ہوتا ہے۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.34} اگر نصف جذروں کا مربع عدد سے کم ہو تو مسئلہ «مستحیلہ» ہے، اور برابر ہو تو جذر نصف جذروں کے برابر ہے۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}\n- **جذر اور عدد مالوں کے برابر**: «تین جذر اور چار ایک مال کے برابر ہیں»، تو جذر چار اور مال سولہ۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}"
    },
    {
     "heading": "ہندسی ثبوت",
     "markdown": "خوارزمی کہتے ہیں کہ پہلی تین صورتوں میں جذر آدھے نہیں کیے جاتے، اور باقی تین میں سے ہر ایک کے لیے انہوں نے «ایک صورت بنائی جس سے علت معلوم ہو»۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35} مال اور دس جذر کے مسئلے میں وہ مال کو نامعلوم ضلع والا مربع بناتے ہیں، دس جذروں کو چار مستطیلوں میں بانٹ کر اس کے اضلاع پر رکھتے ہیں، پھر چاروں کونوں کو چھوٹے مربعوں سے پورا کرتے ہیں جن کا مجموعہ پچیس ہے، تو بڑا مربع چونسٹھ اور اس کا ضلع آٹھ ہو جاتا ہے۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.36} وہ زور دیتے ہیں کہ جبر و مقابلہ کا ہر عمل «تمہیں لازماً چھ ابواب میں سے کسی ایک تک لے جائے گا»۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.43} پھر وہ «باب المسائل الست» میں ہر صورت کے لیے ایک نمونے کا مسئلہ رکھتے ہیں۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.50}"
    },
    {
     "heading": "محققین کی تشریح",
     "markdown": "1939 کے قاہرہ ایڈیشن کے محققین یہ صورتیں جدید علامتوں میں لکھتے ہیں اور واضح کرتے ہیں کہ خوارزمی نے درجۂ دوم کی مساوات کو تین مرکب اقسام میں اس لیے بانٹا کہ ان کی بحث صرف مثبت اعداد تک محدود تھی۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32} ان کے بیان میں جذر سے خالی صورت کا نام «مستحیلہ» ریاضی دانوں میں اٹھارہویں صدی کے اواخر تک رہا، جب خیالی مقداروں کی تحقیق شروع ہوئی۔ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "concept/al-durub-al-sitta",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Claude Code (OCR-harvest worker J)",
     "model": "claude-opus-5-5",
     "run": "ocr-harvest-2026-11-04",
     "source": "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939 scan pp. 30-43, 50",
     "translator_of": "content/ar/concept/al-durub-al-sitta.md"
    }
   },
   "updated": "2026-11-04"
  }
 },
 "degree": 4,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-04",
 "connections": [
  {
   "to": "work/al-jabr-wal-muqabala",
   "type": "subject_of",
   "inverse": true,
   "sources": [
    "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
   ]
  },
  {
   "to": "concept/algebra",
   "type": "part_of",
   "inverse": false,
   "sources": [
    "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "concept/hisab-al-dawr",
  "concept/ilm-al-misaha",
  "concept/algebra",
  "work/al-jabr-wal-muqabala",
  "concept/rule-of-three-muamalat",
  "person/abu-kamil-shuja-ibn-aslam",
  "person/ali-mustafa-musharrafa",
  "person/muhammad-mursi-ahmad"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}