{
 "id": "course/ca-on-g6-math-b-2",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g6-math-b-2",
 "label": {
  "en": "Debts and numbers below zero",
  "ar": "الديون والأعداد دون الصفر",
  "ur": "دَین اور صفر سے نیچے کے اعداد"
 },
 "summary": {
  "en": "Reading integers on number lines, with a debt as an example of a number below zero.",
  "ar": "قراءة الأعداد الصحيحة على خطوط الأعداد، ومثال الدين على عدد دون الصفر.",
  "ur": "عددی خطوط پر صحیح اعداد پڑھنا، اور دَین کو صفر سے نیچے کے عدد کی مثال کے طور پر دیکھنا۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-elementary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g6-math-b",
  "expectations": [
   {
    "code": "B1.2",
    "text": {
     "en": "read and represent integers, using a variety of tools and strategies, including horizontal and vertical number lines",
     "ar": "اقرأ الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة ومثّلها بتشكيلة من الأدوات والاستراتيجيات، ومنها خطوط الأعداد الأفقية والرأسية",
     "ur": "مثبت اور منفی صحیح اعداد کو مختلف اوزاروں اور حکمتِ عملیوں سے پڑھیں اور ظاہر کریں، جن میں افقی اور عمودی عددی خطوط شامل ہیں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "within",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "en": "A debt in the middle of a multiplication",
     "ar": "دين في وسط عملية ضرب",
     "ur": "ضرب کے بیچ میں ایک دَین"
    },
    "text": {
     "ar": "في كتاب الحساب الذي يحتاج إليه الكتّاب والعمّال يشرح أبو الوفاء البوزجاني ضرب عددين بطريقة تستعمل متمميهما إلى العشرة التالية. في مثال المؤرخ، ثلاثة في خمسة، يظهر من طرح خمسة من ثلاثة دين مقداره اثنان. تقول البطاقة إن هذا شاهد على قبول وسيط سالب في حساب عملي، لا أول عدد سالب في العالم. وتظهر هنا كمية دون الصفر، هي دين مقداره اثنان، خطوةً وسيطة. أين يقع الدين على خط الأعداد؟",
     "en": "In the arithmetic needed by scribes and officials, Abu al-Wafa al-Buzjani explains multiplication through complements to the next ten. In the historian's example, three times five, subtracting five from three yields a debt of two. The record says this is evidence that a negative middle step was accepted in practical arithmetic, not the world's first negative number. Here a quantity below zero, a debt of two, appears as a middle step. Where does a debt sit on a number line?",
     "ur": "کاتبوں اور عاملوں کی ضرورت کے علم حساب میں ابو الوفا البوزجانی دو اعداد کو اگلی دہائی تک پہنچانے والے تکملوں سے ضرب بتاتے ہیں۔ مؤرخ کی مثال تین ضرب پانچ ہے: تین میں سے پانچ گھٹانا دو کا دَین دیتا ہے۔ اندراج کے مطابق یہ عملی حساب میں منفی وسطی حاصل کی قبولیت کی شہادت ہے، دنیا کا پہلا منفی عدد نہیں۔ یہاں صفر سے نیچے کی ایک مقدار، دو کا دَین، درمیانے مرحلے کے طور پر آتی ہے۔ عددی خط پر دَین کہاں آتا ہے؟"
    },
    "entity": "invention/abu-wafa-debt-multiplication",
    "sources": [
     "source/abu-wafa-youschkevitch-dsb",
     "source/abu-wafa-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "order": 2
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تقرأ الأعداد الصحيحة وتمثّلها، ومنها على خطوط الأعداد الأفقية والرأسية. يقدّم المتحف مثالًا واحدًا لمؤرخ يظهر فيه مقدار يسمى دينًا خطوةً وسيطة في عملية ضرب؛ أما عملية الضرب نفسها فليست لهذا الصف، وخصائص العمليات من شأن صفّك. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "ماذا يمثّل العدد الذي دون الصفر؟",
     "markdown": "فكّر في حال تدين فيها بشيء، أو مستوى دون نقطة البداية. علّمه على خط أعداد رأسي وعلى خط أفقي، واشرح أي اتجاه يعني الزيادة وأيّهما يعني النقصان."
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "كتب [[person/abu-al-wafa-al-buzjani|أبو الوفاء البوزجاني]] [[work/hisab-kuttab-abu-wafa|مصنفًا عمليًا في الحساب]] الذي يحتاج إليه الكتّاب والعمّال {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic} {cite:iranica-abu-wafa-works work1}. ويستشهد المؤرخ يوشكيفيتش بمثال من ضربه: ثلاثة في خمسة. متمماهما إلى عشرة سبعة وخمسة، ومن طرح خمسة من ثلاثة يظهر دين مقداره اثنان {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}. وبعد ضرب هذا الدين في عشرة وجمع خمسة وثلاثين نحصل على خمسة عشر {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}. والعددان المضروبان والناتج النهائي موجبة كلها؛ والمقدار الوسيط وحده هو الموصوف بالدين {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}. ويضيف السجل أن الرموز الحديثة وسيلة لتوضيح الحساب فقط، وليست كتابة المؤلف نفسه {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2} {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "لا تحفظ السجلات المقروءة هنا جملة يقول فيها أبو الوفاء لماذا كتب هذا الكتاب. وهي تُظهر لمن كُتب: يعرض الكتاب الحساب للقائمين بالكتابة والعمل الإداري والتعاملات، وفيه أقسام للضرائب والمقاييس والتبادل {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani works2} {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic}. وتقول ماكتوتر إن المؤلف نفسه كان يعرف الأرقام الهندية لكنه اختار عرضًا يناسب أهل الأعمال {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic}. ويضيف السجل أن هذا السياق لا يجعل المثال وثيقة قرض حقيقي أو قيمة نقدية موثقة في خزينة {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani works2} {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "قد يُقرأ الدين داخل عملية الضرب على أنه اختراع للأعداد السالبة. ويقول السجل غير ذلك: ليست المسألة اختراع الدين أو أول عدد سالب، بل قاعدة محددة وشاهد على قبول وسيط سالب في حساب عملي {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}. ويرجح يوشكيفيتش أثرًا هنديًا في لغة الدين، ولا يورد وثيقة تثبت كتابًا سنسكريتيًا بعينه وصل إلى يد أبي الوفاء {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "يُظهر مثال واحد دينًا في خطوة وسيطة. ماذا تريد أن ترى أيضًا في كتاب حتى تقول إن مؤلفه فهم المقادير التي دون الصفر، ولماذا؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[invention/abu-wafa-debt-multiplication|ضرب أبي الوفاء بالمتمم والدين الوسيط]]: القاعدة والمثال وما لا تدّعيه المصادر.\n- [[work/hisab-kuttab-abu-wafa|كتاب فيما يحتاج إليه الكتّاب والعمّال من علم الحساب]]: الكتاب الذي جاء منه المثال، وتاريخه المختلف عليه.\n- [[person/abu-al-wafa-al-buzjani|أبو الوفاء البوزجاني]]: المؤلف وأعماله الأخرى."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ سجل «ضرب أبي الوفاء بالمتمم والدين الوسيط». خذ الخطوة الوسيطة فقط بالثلاثة والخمسة، وقل أين يقع الدين الذي مقداره اثنان على خط الأعداد."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-b-2",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to read and represent integers, including on horizontal and vertical number lines, The museum offers one historian's example in which a quantity called a debt appears as a middle step of a multiplication; the multiplication itself is not for this grade, and the properties of operations are for your class. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "What does a number below zero stand for?",
     "markdown": "Think of a situation where you owe something, or a level below a starting point. Mark it on a vertical number line and on a horizontal one, and explain which direction means more and which means less."
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "[[person/abu-al-wafa-al-buzjani|Abu al-Wafa al-Buzjani]] wrote [[work/hisab-kuttab-abu-wafa|a practical arithmetic book]] for scribes and officials {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic} {cite:iranica-abu-wafa-works work1}. The historian Youschkevitch gives one example from its multiplication: three times five. The complements of the two numbers to ten are seven and five; subtracting five from three yields a debt of two {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}. Multiplying that debt by ten and adding thirty-five gives fifteen {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}. Both factors and the final product are positive; only the middle quantity is called a debt {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}. The record adds that modern symbols are only a way to make the calculation legible, not the author's own notation {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2} {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "The records read here preserve no sentence in which Abu al-Wafa says why he wrote this book. They show who it was for: scribal, administrative and commercial arithmetic, with sections on taxation, measurement and exchange {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani works2} {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic}. MacTutor says the author himself knew Indian numerals but chose a presentation suited to business users {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic}. The record adds that this context does not turn the example into a real loan or a documented treasury sum {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani works2} {cite:abu-wafa-mactutor arithmetic}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "A debt inside a multiplication is easy to read as the invention of negative numbers. The record says otherwise: this is not about inventing debt or a first negative number, but about a specific rule and evidence that a negative intermediate was accepted within practical arithmetic {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}. Youschkevitch proposes Indian influence on the debt language, rather than demonstrating a specific Sanskrit book in Abu al-Wafa's hands {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb PDFp2}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "A single worked example shows a debt as a middle step. What more would you want to see in a book before you said its author understood amounts below zero, and why?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[invention/abu-wafa-debt-multiplication|Abu al-Wafa's debt-aware complement multiplication]]: the rule, the example and what the sources do not claim.\n- [[work/hisab-kuttab-abu-wafa|Arithmetic needed by scribes and officials]]: the book it comes from, and its disputed date.\n- [[person/abu-al-wafa-al-buzjani|Abu al-Wafa al-Buzjani]]: the author, and his other work."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read the record on Abu al-Wafa's multiplication. Take only the middle step with three and five, and say where the debt of two sits on a number line."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-b-2",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ صحیح اعداد کو پڑھیں اور ظاہر کریں، بشمول افقی اور عمودی عددی خطوط پر۔ عجائب گھر ایک مؤرخ کی ایک مثال پیش کرتا ہے جس میں دَین کہلانے والی مقدار ضرب کے ایک درمیانی مرحلے کے طور پر آتی ہے؛ ضرب خود اس جماعت کے لیے نہیں، اور اعمال کی خصوصیات آپ کی جماعت کا کام ہیں۔ {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "صفر سے نیچے کا عدد کیا ظاہر کرتا ہے؟",
     "markdown": "ایسی صورتِ حال سوچیں جس میں آپ پر کچھ واجب ہو، یا آغاز کے مقام سے نیچے کی سطح۔ اسے عمودی عددی خط پر اور افقی خط پر نشان زد کریں، اور بتائیں کون سی سمت زیادہ اور کون سی کم کو ظاہر کرتی ہے۔"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "ابو الوفا کی ضرب کا اندراج پڑھیں۔ صرف تین اور پانچ کا درمیانی مرحلہ لیں، اور بتائیں کہ دو کا دَین عددی خط پر کہاں آتا ہے۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-b-2",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}