{
 "id": "course/ca-on-g6-math-b-4",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g6-math-b-4",
 "label": {
  "en": "Divisors and factors",
  "ar": "القواسم والعوامل",
  "ur": "مقسوم علیہ اور اجزائے ضربی"
 },
 "summary": {
  "en": "Divisibility rules, and writing composite numbers as products of prime factors.",
  "ar": "قواعد القابلية للقسمة، وكتابة الأعداد المركّبة حاصل ضرب عوامل أولية.",
  "ur": "تقسیم پذیری کے قاعدے، اور مرکب اعداد کو مفرد اجزائے ضربی کے حاصلِ ضرب کی صورت میں لکھنا۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-elementary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g6-math-b",
  "expectations": [
   {
    "code": "B2.2",
    "text": {
     "en": "understand the divisibility rules and use them to determine whether numbers are divisible by 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, and 10",
     "ar": "افهم قواعد القابلية للقسمة واستخدمها لتحديد ما إذا كانت الأعداد تقبل القسمة على 2 و3 و4 و5 و6 و8 و9 و10",
     "ur": "تقسیم پذیری کے قاعدے سمجھیں اور انہیں استعمال کر کے طے کریں کہ اعداد 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9 اور 10 پر تقسیم ہوتے ہیں یا نہیں"
    }
   },
   {
    "code": "B2.6",
    "text": {
     "en": "represent composite numbers as a product of their prime factors, including through the use of factor trees",
     "ar": "مثّل الأعداد المركّبة بوصفها حاصل ضرب عواملها الأولية، ومن ذلك استخدام أشجار العوامل",
     "ur": "مرکب اعداد کو ان کے مفرد اجزائے ضربی کے حاصلِ ضرب کے طور پر ظاہر کریں، بشمول عوامل کے درختوں کے استعمال کے"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "within",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "en": "Two numbers that give each other",
     "ar": "عددان يعيد كل منهما الآخر",
     "ur": "دو اعداد جو ایک دوسرے کو لوٹاتے ہیں"
    },
    "text": {
     "ar": "قد يجمع عدد قواسمه فيعطي عدداً آخر، ثم تعيد قواسم الآخر العدد الأول. يسمى العددان المختلفان متحابين، مثل 220 و284. لم يخترع كمال الدين الفارسي هذا المثال أو قاعدة ثابت بن قرة الأقدم؛ مساهمته هنا منهج جديد بالعوامل والاختيارات لإثبات القاعدة. ما قواسم 220؟",
     "en": "A number can yield another when its proper divisors are added, and the other's divisors can lead back to the first. Two different numbers with this property are amicable, like 220 and 284. The record says Kamal al-Din al-Farisi did not invent this example or Thabit ibn Qurra's older rule; his contribution here is a new factorization approach to proving the rule. What are the divisors of 220?",
     "ur": "ایک عدد کے خاص مقسوم علیہ جمع ہوں تو دوسرا عدد آئے، اور دوسرے کے مقسوم علیہ پہلے کو واپس دیں۔ دو مختلف اعداد کا ایسا جوڑا متحاب کہلاتا ہے، مثلاً 220 اور 284۔ کمال الدین فارسی نے یہ مثال یا ثابت بن قرہ کا قدیم قاعدہ ایجاد نہیں کیا؛ یہاں ان کی خدمت عوامل کے ذریعے اس قاعدے کے اثبات کا نیا طریقہ ہے۔ 220 کے مقسوم علیہ کیا ہیں؟"
    },
    "entity": "invention/farisi-amicable-factorization",
    "sources": [
     "source/farisi-mactutor",
     "source/weisstein-amicable-pair"
    ]
   }
  ],
  "order": 4
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تفهم قواعد القابلية للقسمة وتستخدمها مع 2 و3 و4 و5 و6 و8 و9 و10، وأن تكتب الأعداد المركّبة حاصل ضرب عوامل أولية، ومن ذلك بأشجار العوامل. يقدّم المتحف سجلًّا واحدًا عن الأعداد وقواسمها؛ أما القواعد والأشجار فلصفّك. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "كيف تعرف، دون أن تقسم، ما الذي يقسم العدد؟",
     "markdown": "تأمّل في التوقعات: هي تطلب قواعد لا قسمة مطوّلة. جرّب كل قاعدة على أعداد تستطيع التحقق منها، واستعمل شجرة العوامل لترى أي العوامل الأولية لا يمكن تجزئتها أكثر."
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "اكتب قواسم 220 الأصغر من 220: 1، 2، 4، 5، 10، 11، 20، 22، 44، 55، 110. مجموعها 284. ثم افعل الشيء نفسه مع 284، وقواسمه 1، 2، 4، 71، 142: فتجمعها لتحصل على 220 {cite:weisstein-amicable-pair divisors220284}. ويسمى العددان المختلفان اللذان يعيد كلٌّ منهما الآخر بهذه الطريقة متحابين {cite:weisstein-amicable-pair definition}. وقد ألّف [[person/kamal-al-din-al-farisi|كمال الدين الفارسي]] [[work/farisi-tadhkirat-al-ahbab|تذكرة الأحباب في بيان التحاب]]، وفيها منهج جديد لإثبات قاعدة أقدم {cite:farisi-mactutor number-theory}. ويقول السجل إن هذا التمرين حساب حديث، لا تعليمات منقولة من مخطوط."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "لا تحفظ السجلات المقروءة هنا جملة يقول فيها الفارسي لماذا كتب في الأعداد المتحابة. وهي تُظهر ما فعله العمل: ترى ماكتوتر فيه أكثر من تعديل بسيط لبرهان ثابت بن قرة، فهو منهج جديد يوظف التحليل إلى عوامل والاختيارات التركيبية {cite:farisi-mactutor new-approach}. وتُظهر أيضًا أن الرجل نفسه عمل في الضوء: فالسيرة تميز بين إسهامين كبيرين له، الأعداد ونموذج قوس قزح بالكرة المائية {cite:farisi-mactutor introduction-and-number-theory}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "لم يخترع الفارسي مثال 220 و284، ولا قاعدة ثابت بن قرة الأقدم {cite:weisstein-amicable-pair definition} {cite:farisi-mactutor number-theory}. وتعرض ماكتوتر رأي هوخندايك في احتمال معرفة ثابت نفسه للزوج الكبير 17296 و18416، ولذلك لا يمنح السجل الفارسي أولية في اكتشافه {cite:farisi-mactutor large-pair-history}. وتشبيه العددين بصديقين وسيلة لغوية، لا تفسير كيف تتصرف الأعداد {cite:weisstein-amicable-pair definition}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "للعدد 6 قواسم أصغر منه هي 1 و2 و3، ومجموعها 6. لماذا لا يسمّي السجل 6 زوجًا متحابًا مع نفسه، وماذا يجب أن يفعل العدد الثاني حتى يكون العددان متحابين؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[invention/farisi-amicable-factorization|منهج الفارسي بالعوامل لإثبات التحاب]]: مجموع القواسم لـ 220 و284، ومثال تفشل فيه القاعدة.\n- [[work/farisi-tadhkirat-al-ahbab|تذكرة الأحباب في بيان التحاب]]: الرسالة، وما لا يُعرف عن تاريخها.\n- [[person/kamal-al-din-al-farisi|كمال الدين الفارسي]]: عالم الرياضيات وعمله في المناظر."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ سجل «منهج الفارسي بالعوامل لإثبات التحاب». اكتب قواسم 220 واجمع ما كان منها أصغر من 220، ثم افعل الشيء نفسه مع 284."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-b-4",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to understand the divisibility rules and use them with 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 and 10, and to write composite numbers as products of prime factors, for example with factor trees. The museum offers one record about numbers and their divisors; the rules and the trees are for your class. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "How can you tell, without dividing, what divides a number?",
     "markdown": "Look at the expectations: they ask for rules, not for long division. Test each rule on numbers you can check, and use a factor tree to see which prime factors you cannot split further."
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "Write the divisors of 220 that are smaller than 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 and 110. Their sum is 284. Now do the same for 284, whose divisors are 1, 2, 4, 71 and 142: they add up to 220 {cite:weisstein-amicable-pair divisors220284}. Two different numbers that lead to each other like this are called amicable {cite:weisstein-amicable-pair definition}. [[person/kamal-al-din-al-farisi|Kamal al-Din al-Farisi]] wrote the [[work/farisi-tadhkirat-al-ahbab|Memorandum for friends on amicability]], which gives a new approach to proving an older rule {cite:farisi-mactutor number-theory}. The record calls this exercise modern arithmetic, not an instruction from a manuscript."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "The records read here preserve no sentence in which al-Farisi says why he wrote about amicable numbers. They show what the work did: MacTutor treats it as more than a minor change to the older proof of Thabit ibn Qurra, a new approach employing factorization and combinatorial ideas {cite:farisi-mactutor new-approach}. They also show that the same man worked on light: the biography itself distinguishes these two major contributions, the numbers and the water-sphere rainbow model {cite:farisi-mactutor introduction-and-number-theory}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "Al-Farisi did not invent the example of 220 and 284, or Thabit ibn Qurra's older rule {cite:weisstein-amicable-pair definition} {cite:farisi-mactutor number-theory}. MacTutor also reports Hogendijk's argument that Thabit may already have known the larger pair, 17296 and 18416, so the record awards al-Farisi no first discovery {cite:farisi-mactutor large-pair-history}. And calling the numbers friends is a verbal analogy, not a mechanism governing their behavior {cite:weisstein-amicable-pair definition}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "The number 6 has smaller divisors 1, 2 and 3, and they add up to 6. Why does the record not call 6 an amicable pair with itself, and what must the second number do for two numbers to be amicable?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[invention/farisi-amicable-factorization|al-Farisi's factorization-based amicability method]]: the divisor sums for 220 and 284, and a pair where the rule fails.\n- [[work/farisi-tadhkirat-al-ahbab|Memorandum for friends on amicability]]: the treatise and what is not known about its date.\n- [[person/kamal-al-din-al-farisi|Kamal al-Din al-Farisi]]: the mathematician, and his work on optics."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read the record on al-Farisi's method for amicable numbers. List the divisors of 220 and add the ones that are smaller than 220, then try the same with 284."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-b-4",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ تقسیم پذیری کے قاعدے سمجھیں اور انہیں 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9 اور 10 کے ساتھ استعمال کریں، اور مرکب اعداد کو مفرد اجزائے ضربی کے حاصلِ ضرب کی صورت میں لکھیں، مثلاً عوامل کے درختوں سے۔ عجائب گھر اعداد اور ان کے مقسوم علیہ کے بارے میں ایک اندراج پیش کرتا ہے؛ قاعدے اور درخت آپ کی جماعت کے لیے ہیں۔ {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "تقسیم کیے بغیر آپ کیسے جان سکتے ہیں کہ کون سا عدد کسی عدد کو تقسیم کرتا ہے؟",
     "markdown": "توقعات دیکھیں: وہ قاعدے مانگتی ہیں، لمبی تقسیم نہیں۔ ہر قاعدہ ایسے اعداد پر آزمائیں جنہیں آپ جانچ سکتے ہیں، اور عوامل کے درخت سے دیکھیں کہ کون سے مفرد جزو مزید نہیں توڑے جا سکتے۔"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "تحاب کے لیے فارسی کے عواملی طریقے کا اندراج پڑھیں۔ 220 کے مقسوم علیہ لکھیں اور ان میں سے جو 220 سے چھوٹے ہیں انہیں جمع کریں، پھر 284 کے ساتھ یہی کریں۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-b-4",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}