{
 "id": "course/ca-on-g6-math-e-2",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g6-math-e-2",
 "label": {
  "en": "Measuring areas and surfaces",
  "ar": "قياس المساحات والسطوح",
  "ur": "رقبوں اور سطحوں کی پیمائش"
 },
 "summary": {
  "en": "Finding areas by decomposing shapes, and the surface areas of prisms and pyramids by adding the areas of their faces.",
  "ar": "إيجاد المساحات بتحليل الأشكال، ومساحات سطوح المنشورات والأهرامات بجمع مساحات أوجهها.",
  "ur": "شکلوں کو تقسیم کر کے رقبے معلوم کرنا، اور رخوں کے رقبے جمع کر کے منشوروں اور اہراموں کے سطحی رقبے معلوم کرنا۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-elementary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g6-math-e",
  "expectations": [
   {
    "code": "E2.4",
    "text": {
     "en": "determine the areas of trapezoids, rhombuses, kites, and composite polygons by decomposing them into shapes with known areas",
     "ar": "حدّد مساحات أشباه المنحرف والمعينات والطائرات الورقية والمضلعات المركّبة بتحليلها إلى أشكال معروفة المساحة",
     "ur": "ذوزنقہ، معین، پتنگ نما اور مرکب کثیر الاضلاع کے رقبے انہیں معلوم رقبوں والی شکلوں میں تقسیم کر کے معلوم کریں"
    }
   },
   {
    "code": "E2.6",
    "text": {
     "en": "determine the surface areas of prisms and pyramids by calculating the areas of their two-dimensional faces and adding them together",
     "ar": "حدّد مساحات سطوح المنشورات والأهرامات بحساب مساحات أوجهها ثنائية الأبعاد وجمعها معًا",
     "ur": "منشوروں اور اہراموں کے سطحی رقبے ان کے دو بعدی رخوں کے رقبے نکال کر اور جمع کر کے معلوم کریں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "within",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "en": "One cubit by one cubit",
     "ar": "ذراع في ذراع",
     "ur": "ایک ذراع ضرب ایک ذراع"
    },
    "text": {
     "ar": "خصّ الخوارزمي علم المساحة بباب في كتابه يبدأ بأن معنى «واحد في واحد» إنما هو مساحة، ومعناه ذراع في ذراع. وتكسير المثلث، أي مساحته، أن تضرب عموده في نصف قاعدته، وتكسير المعيّن أن تضرب أحد القطرين في نصف الآخر. وفي مثلث أضلاعه ثلاثة عشر وأربعة عشر وخمسة عشر ذراعاً يخرج العمود اثني عشر والتكسير أربعة وثمانين. هل تستطيع أن تُري قاعدة المعيّن بتقطيعه؟",
     "en": "Al-Khwarizmi gave mensuration a chapter of his book, which opens by saying that \"one by one\" means an area, a cubit by a cubit. The area of a triangle, he says, is its height times half its base, and of a rhombus one diagonal times half the other. For a triangle with sides of thirteen, fourteen and fifteen cubits, the height comes out at twelve and the area at eighty-four. Can you show the rhombus rule by cutting the shape up?",
     "ur": "خوارزمی نے مساحت کے لیے اپنی کتاب میں ایک باب رکھا جو اس بات سے شروع ہوتا ہے کہ «ایک ضرب ایک» کا مطلب رقبہ ہے، یعنی ایک ذراع ضرب ایک ذراع۔ مثلث کا تکسیر یعنی رقبہ اس کا عمود ضرب نصف قاعدہ ہے، اور معین کا ایک قطر ضرب دوسرے کا نصف۔ تیرہ، چودہ اور پندرہ ذراع کے اضلاع والے مثلث میں عمود بارہ اور رقبہ چوراسی نکلتا ہے۔ کیا آپ معین کا قاعدہ اسے کاٹ کر دکھا سکتے ہیں؟"
    },
    "entity": "concept/ilm-al-misaha",
    "sources": [
     "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "en": "Adding up the surfaces of a ceiling",
     "ar": "جمع أسطح سقف",
     "ur": "سقف کی سطحوں کا جمع"
    },
    "text": {
     "ar": "نظم الكاشي في مفتاح الحساب قياس سطح المقرنص، وهو البناء الخلوي المتدرج الذي يربط أجزاء السقف ويزينها. يختار وحدة معيارية، ويعد الأجزاء بحسب أشكالها، ويجمع مساحات الوجوه والسقوف والعناصر الواصلة. وتنبه البطاقة إلى أنها طريقة حساب في عمارة موجودة قبله. كيف يعينك جمع مساحات الوجوه على إيجاد مساحة سطح منشور؟",
     "en": "In the Key to Arithmetic, al-Kashi organised the measurement of the surface of muqarnas, the tiered cellular construction that articulates and decorates ceilings. He selects a module, counts the elements by shape, and adds the surfaces of facets, roofs and connecting pieces. The record stresses that this is a calculation method within older building practice. How could adding the areas of faces help you find the surface area of a prism?",
     "ur": "کاشی نے مفتاح الحساب میں مقرنس کی سطح کا حساب منظم کیا، وہ تہہ دار خانے جو سقف کو جوڑتے اور سجاتے ہیں۔ پہلے معیاری اکائی منتخب، پھر شکل کے مطابق اجزا شمار، پھر رخوں، چھتوں اور ملانے والے ٹکڑوں کے رقبے جمع ہوتے ہیں۔ اندراج کہتا ہے کہ یہ پرانی معماری کے اندر حسابی طریقہ ہے۔ رخوں کے رقبے جمع کرنے سے منشور کی سطح کا رقبہ نکالنے میں کیا مدد ملتی ہے؟"
    },
    "entity": "invention/kashi-muqarnas-mensuration",
    "sources": [
     "source/dold-samplonius-muqarnas-1992",
     "source/kashi-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "order": 2
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تجد مساحات أشباه المنحرف والمعينات والطائرات الورقية والمضلعات المركّبة بتقسيمها إلى أشكال تعرفها، ومساحات سطوح المنشورات والأهرامات بجمع مساحات أوجهها. يقدّم المتحف قواعد للمساحة من كتاب مبكر في الجبر، وطريقة لجمع أسطح سقف. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "كيف تقسّم شكلًا حتى تعرف كل جزء منه؟",
     "markdown": "ارسم الشكل على شبكة وقطّعه إلى مستطيلات ومثلثات. اجمع مساحات الأجزاء، ثم تحقق بتقطيعه على نحو آخر."
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "نظّم [[person/al-kashi|الكاشي]] في [[work/miftah-al-hisab-kashi|مفتاح الحساب]] قياس سطح [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|المقرنص]]، فاختار وحدة معيارية، وعدّ الأجزاء بحسب أشكالها، وجمع مساحات الوجوه والسقوف والعناصر الواصلة {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp193-194-and202-205}. والمقرنص سقف يشبه الدرج في تعريف الكاشي المنقول بالدراسة: خلية ذات وجهين وسقف، وطبقة تجمع خلايا قواعدها في مستوى أفقي واحد {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 p202}. ويتداخل في شكله ما هو جزء من الخلية وما يملأ الفراغ بين خليتين، فلا يكفي عدّ التجاويف في صورة فوتوغرافية لحساب سطحها {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 p202}. وفي النوع المستوي تُجمع قواعد الوجوه وتُضرب في الارتفاع، وتُضاف مساحات أجزاء السقوف، ثم تُجمع الطبقات {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp210-213}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "لا تحفظ سجلات المتحف جملة يقول فيها الكاشي لماذا قاس المقرنص. وهي تبين أن كتابه يضع الأقواس والقبوات والأبنية في مجال ما يحتاجه المشتغل بالحساب {cite:kashi-mactutor Key} {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 p193}. وفي كتاب أقدم يذكر [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]] في مقدمته أن مساحة الأرضين من الحاجات التي وضع [[concept/ilm-al-misaha|كتابه]] لها {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "قد يُظنّ الكاشي مخترع المقرنص، لكن البناة كانوا يعرفون كيف تُركَّب الخلايا قبل هذا العرض الرياضي، وتوضح الباحثة دولد-سامبلونيوس أن المؤلف لم يحتج إلى تعليم قرائه العمليين الصنعة من بدايتها {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp201-205}. ويصف السجل الطريقة بأنها حساب في عمارة موجودة قبله، لا نسبة اختراع المقرنص نفسه إليه {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp193-194-and202-205}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "قسّمتَ في صفك شكلاً مركباً بطريقتين وحصلت على المساحة نفسها. وطريقة الكاشي تفرز أجزاء السقف بحسب أشكالها ثم تجمع مساحاتها. لماذا قد يخطئ قياس سقف إذا عُدَّت قطع معينة خلايا وهي إنما تملأ الفراغ بين الخلايا؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص]]: الوحدة المعيارية، وأصناف الأجزاء، وكيف تُجمع المساحات.\n- [[work/miftah-al-hisab-kashi|مفتاح الحساب]]: الكتاب الذي وردت فيه الطريقة، وأين وضعها صاحبه.\n- [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]]: قواعد المثلث والمعين والدائرة في باب الخوارزمي.\n- [[person/al-kashi|غياث الدين الكاشي]]: سجل صاحب الكتاب."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ سجلّي «علم المساحة» و«قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص». اختر قاعدة المعيّن وجرّبها على رسم، ثم اكتب أوجه منشور تستطيع أن تمسكه واجمع مساحاتها."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-e-2",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to find the areas of trapezoids, rhombuses, kites and composite polygons by splitting them into shapes you know, and the surface areas of prisms and pyramids by adding the areas of their faces. The museum offers area rules from an early algebra book and a method for adding up the surfaces of a ceiling. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "How do you split a shape so that you know every part?",
     "markdown": "Draw the shape on a grid and cut it into rectangles and triangles. Add the areas of the parts, then check by cutting it another way."
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "In the [[work/miftah-al-hisab-kashi|Key to Arithmetic]], [[person/al-kashi|al-Kashi]] organised the measurement of [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|muqarnas]]: he selects a module, counts elements by shape, and adds the surfaces of facets, roofs and connecting pieces {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp193-194-and202-205}. In the definition the study discusses, a muqarnas is a staircase-like ceiling: a cell consists of two facets and a roof, and cells whose bases lie in one horizontal plane form a tier {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 p202}. Some visible pieces belong to cells and others fill the gaps between them, so counting the hollows in a photograph is not enough to determine their exposed surface area {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 p202}. For plane surfaces the facet bases are summed and multiplied by the height, the roof pieces are added, and then the tiers are combined {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp210-213}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "The museum's records preserve no sentence in which al-Kashi says why he measured muqarnas. They show that his book places arches, vaults and buildings among the matters a calculator needs to understand {cite:kashi-mactutor Key} {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 p193}. In an earlier book, [[person/al-khwarizmi|al-Khwarizmi]] says in his preface that the measurement of land is among the needs he wrote [[concept/ilm-al-misaha|his book]] for {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "Al-Kashi can be taken for the inventor of muqarnas, but builders already knew how to assemble the cells before his mathematical account, and the historian Dold-Samplonius explains that he did not need to teach his practical readers the whole craft from its beginning {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp201-205}. The record describes his method as a calculation within an older architectural practice, not an attribution of muqarnas itself to one inventor {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp193-194-and202-205}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "In class you split a composite shape two ways and got the same area. Al-Kashi's method sorts the pieces of a ceiling by shape and adds their areas. Why might a measurement of a ceiling go wrong if some pieces are counted as cells when they only fill the gaps between cells?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|Al-Kashi's modular muqarnas mensuration]]: the module, the classes of pieces, and how their areas are added.\n- [[work/miftah-al-hisab-kashi|The Key to Arithmetic]]: the book that carries the method, and where its author placed it.\n- [[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]]: the rules for the triangle, the rhombus and the circle in al-Khwarizmi's chapter.\n- [[person/al-kashi|Ghiyath al-Din al-Kashi]]: the record of the book's author."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read the records on mensuration and on al-Kashi's muqarnas. Pick the rhombus rule, test it on a drawing, and then list the faces of a prism you can hold and add their areas."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-e-2",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ ذوزنقہ، معین، پتنگ نما اور مرکب کثیر الاضلاع کے رقبے انہیں معلوم شکلوں میں تقسیم کر کے نکالیں، اور منشوروں اور اہراموں کے سطحی رقبے ان کے رخوں کے رقبے جمع کر کے نکالیں۔ عجائب گھر ایک ابتدائی الجبرا کی کتاب سے رقبے کے قاعدے اور سقف کی سطحیں جمع کرنے کا ایک طریقہ پیش کرتا ہے۔ {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "آپ شکل کو کیسے تقسیم کریں کہ ہر حصہ معلوم ہو؟",
     "markdown": "شکل کو گرڈ پر بنائیں اور اسے مستطیلوں اور مثلثوں میں کاٹیں۔ حصوں کے رقبے جمع کریں، پھر اسے دوسرے طریقے سے کاٹ کر جانچیں۔"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "مساحت اور کاشی کے مقرنس کے اندراج پڑھیں۔ معین کا قاعدہ چنیں اور اسے ایک ڈرائنگ پر آزمائیں، پھر کسی ایسے منشور کے رخ لکھیں جسے آپ ہاتھ میں پکڑ سکیں اور ان کے رقبے جمع کریں۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g6-math-e-2",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}