{
 "id": "course/ca-on-g7-math-b-2",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g7-math-b-2",
 "label": {
  "ar": "القوى والجذور",
  "en": "Powers and roots",
  "ur": "قوتیں اور جذر"
 },
 "summary": {
  "ar": "الضرب المتكرر والترميز الأسّي، والمربعات الكاملة وجذورها، في ضوء قاعدة الكرجي في ضرب القوى واستخراج الكاشي للجذور.",
  "en": "Repeated multiplication and exponential notation, and perfect squares and their roots, in light of al-Karaji's rule for multiplying powers and al-Kashi's extraction of roots.",
  "ur": "بار بار ضرب اور قوتی علامت، اور مکمل مربع اور ان کے جذر، کرجی کے قوتوں کو ضرب دینے کے قاعدے اور کاشی کے جذر نکالنے کی روشنی میں۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-elementary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g7-math-b",
  "expectations": [
   {
    "code": "B1.2",
    "text": {
     "en": "identify and represent perfect squares, and determine their square roots, in various contexts",
     "ar": "حدّد المربعات الكاملة ومثّلها، واحسب جذورها التربيعية، في سياقات متنوعة",
     "ur": "مکمل مربعوں کی شناخت کریں اور انہیں ظاہر کریں، اور ان کے مربع جذر معلوم کریں، مختلف سیاق میں"
    }
   },
   {
    "code": "B2.7",
    "text": {
     "en": "evaluate and express repeated multiplication of whole numbers using exponential notation, in various contexts",
     "ar": "احسب الضرب المتكرر للأعداد الصحيحة الكلية وعبّر عنه بالترميز الأسّي، في سياقات متنوعة",
     "ur": "مکمل اعداد کے بار بار ضرب کی قیمت نکالیں اور اسے قوتی علامت میں ظاہر کریں، مختلف سیاق میں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "within",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "قوى المجهول وقاعدة ضربها",
     "en": "Powers of an unknown and the rule for multiplying them",
     "ur": "نامعلوم کی قوتیں اور ان کے ضرب کا قاعدہ"
    },
    "text": {
     "ar": "في بغداد أوائل القرن الحادي عشر جعل الكرجي القوى والمقادير المركبة موضوعاً لعمليات منظمة. تبدأ طريقته بتمييز مراتب المقدار الواحد: المجهول ثم مربعه ثم مكعبه، وضرب مرتبتين يحتاج قاعدة لتعيين المرتبة الناتجة. بلغة تعليمية حديثة يعطي ضرب x² في x³ العدد x⁵، وهذه كتابة السجل للتوضيح لا سطر من الكتاب. ماذا تعني x وx² وx³ بوصفها ضرباً متكرراً؟",
     "en": "In early-eleventh-century Baghdad, al-Karaji made powers and composite expressions objects of organized operations. The starting point is distinguishing successive powers of one quantity, the unknown, its square, its cube, and multiplying two of them needs a rule that names the resulting power. In modern teaching notation, x² multiplied by x³ gives x⁵, which is the record's illustration and not a line from the book. What do x, x² and x³ mean as repeated multiplication?",
     "ur": "گیارہویں صدی کے آغاز میں بغداد میں کرجی نے قوتوں اور مرکب مقداروں کو منظم عملوں کا موضوع بنایا۔ ان کا طریقہ ایک مقدار کے مراتب میں فرق کرنے سے شروع ہوتا ہے: نامعلوم، اس کا مربع، اس کا مکعب؛ اور دو مراتب کو ضرب دینے کے لیے ایسا قاعدہ چاہیے جو حاصل مرتبہ بتائے۔ جدید تدریسی علامت میں x² کو x³ سے ضرب دینے پر x⁵ ملتا ہے، یہ ریکارڈ کی وضاحتی مثال ہے، کتاب کی سطر نہیں۔ x، x² اور x³ بار بار ضرب کے طور پر کیا معنی رکھتے ہیں؟"
    },
    "entity": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor",
     "source/tdv-kereci"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "استخراج الجذور في مفتاح الحساب",
     "en": "Extracting roots in the Key to Arithmetic",
     "ur": "مفتاح الحساب میں جذر نکالنا"
    },
    "text": {
     "ar": "في «مفتاح الحساب» عرض الكاشي استخراج الجذور العددية لمراتب عامة، لا الجذر التربيعي وحده. ويشرح السجل أن استخراج الجذر يعكس رفع العدد إلى قوة: الجذر التكعيبي الموجب لثمانية هو اثنان لأن 2³=8. وتصف إيرانيكا استخراج الجذور العام بأن الجذر التربيعي فيه حالة خاصة. ويؤكد السجل أن هذا تطوير لحساب موروث لا أول جذر عرفه الإنسان. كيف تتحقق من جذر تربيعي مقترح؟",
     "en": "In the Key to Arithmetic, al-Kashi treated numerical extraction of roots of general orders, not only square roots. The record explains that root extraction reverses raising a number to a power: the positive cube root of eight is two because 2³=8. Iranica describes general root extraction with the square-root procedure as a special case. The record stresses that this developed inherited computation and was not the first root known to humanity. How could you check a proposed square root?",
     "ur": "«مفتاح الحساب» میں کاشی مختلف درجوں کے عددی جذر بیان کرتے ہیں، صرف مربع جذر نہیں۔ ریکارڈ بتاتا ہے کہ جذر نکالنا قوت اٹھانے کا الٹ سوال ہے: آٹھ کا مثبت مکعب جذر دو ہے، کیونکہ 2³=8۔ ایرانیکا عمومی استخراج جذر کو بیان کرتا ہے جس میں مربع جذر خاص صورت ہے۔ ریکارڈ زور دیتا ہے کہ یہ موروثی حساب کی ترقی ہے، انسانیت کا پہلا جذر نہیں۔ کسی مجوزہ مربع جذر کی جانچ کیسے کریں گے؟"
    },
    "entity": "invention/kashi-general-root-extraction",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/iranica-kashi"
    ]
   }
  ],
  "order": 2
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تحدّد المربعات الكاملة وتمثّلها وتحسب جذورها التربيعية، وأن تحسب الضرب المتكرر للأعداد الصحيحة الكلية وتعبّر عنه بالترميز الأسّي. يقدّم المتحف لمحتين: تسمية الكرجي للقوى المتتالية للمجهول وقاعدته في ضربها، واستخراج الكاشي للجذور؛ أما المربعات الكاملة والترميز الأسّي للأعداد وسياقات الحياة اليومية فيأتي بها صفّك. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "كيف ترتبط القوة بالجذر؟",
     "markdown": "اكتب 3 × 3 × 3 × 3 بصورة قوة. ثم اسأل: أي عدد إذا ضُرب في نفسه أعطى 49؟ وكيف تتحقق من جوابك؟"
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "انظر كيف تناول [[person/al-karaji|الكرجي]] قوى مقدار مجهول واحد. تبدأ الطريقة بتمييز مراتب المقدار الواحد: المجهول، ثم مربعه، ثم مكعبه، وهكذا؛ وتضم السيرة أيضًا مقلوبات هذه المراتب {cite:karaji-mactutor Biography}. وضرب مرتبتين يحتاج قاعدة لتعيين المرتبة الناتجة، لا رسمًا هندسيًا جديدًا لكل حالة {cite:karaji-mactutor Biography}. وبلغة تعليمية حديثة، ضرب x² في x³ يعطي x⁵: هذه كتابة السجل للتوضيح، وليست سطرًا من مخطوط {cite:karaji-mactutor Biography}. وتنبّه ماكتوتر إلى أنه اقترب من هذا القانون دون أن يضع التعريف الحديث x⁰=1، فلا ننسب إليه الصياغة الحديثة الكاملة {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "لا تحفظ السجلات المقروءة هنا جملة يقول فيها الكرجي لماذا اشتغل بهذه العمليات. وهي تُظهر بيئته: تضع السيرة أهم كتبه الرياضية في بغداد، وتربط TDV كتاب «الفخري» بفخر الملك في المحيط البويهي {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. وفي شأن الكاشي يقول السجل إن [[work/miftah-al-hisab-kashi|مفتاح الحساب]] يخاطب من يحتاجون حسابًا للفلك والمساحة والعمارة والمحاسبة والتجارة؛ وهذه أغراض للكتاب في عرض المصادر، وليست شهادة بأن ورشة بعينها استعملت مثالًا بعينه {cite:kashi-mactutor Key}."
    },
    {
     "heading": "رأيان",
     "markdown": "تبرز قراءة فوبكه وراشد، كما تنقلها ماكتوتر، جعل العمليات الجبرية أقل اعتمادًا على تمثيلها بالأشكال، وترى في ذلك اتجاهًا مهمًا نحو استقلال الحساب الجبري {cite:karaji-mactutor Biography}. أما القراءة التي ينقلها العرض عن كروسلي فتشدد على الأمثلة العددية وحدود البرهان وبقاء نظريات إقليدس في حل المعادلات {cite:karaji-mactutor Biography}. وتؤيد TDV بقاء البرهان الهندسي في «الفخري» {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. ويعرض السجل هذه القراءات ولا يحسمها: فتنظيم عمليات جديدة واستمرار تبريرات قديمة أمران يمكن أن يجتمعا في العمل نفسه."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "قراءة ترى الجبر يقلّ اعتماده على الرسم، وأخرى تشدد على أن نظريات إقليدس بقيت في البراهين. أيّ الأمرين تعطيه وزنًا أكبر دليلًا على رياضيات من نوع جديد، قاعدة جديدة لتسمية القوى أم برهانًا ما زال يرسم شكلًا، ولماذا؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|حساب القوى والمقادير المركبة عند الكرجي]]: قاعدة القوى وحدودها وقراءات المؤرخين.\n- [[invention/kashi-general-root-extraction|الاستخراج العددي العام للجذور عند الكاشي]]: جذور من مراتب عامة، مع السوابق التي يُبقيها السجل ظاهرة.\n- [[person/al-karaji|أبو بكر الكرجي]]: عالم الرياضيات والمهندس، والشك في نسبته.\n- [[work/miftah-al-hisab-kashi|مفتاح الحساب للكاشي]]: الكتاب التعليمي الذي جاءت منه طريقة الجذور."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|حساب الكرجي للعبارات متعددة الحدود]] ثم [[invention/kashi-general-root-extraction|الاستخراج العددي العام للجذور عند الكاشي]]. اختر عدداً له جذر تربيعي صحيح وعدداً ليس له، وقل لكل منهما كيف تجد جذره أو تحصره وكيف تتحقق منه."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-b-2",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to identify and represent perfect squares and determine their square roots, and to evaluate and express repeated multiplication of whole numbers using exponential notation. The museum offers two glimpses: al-Karaji's naming of the successive powers of an unknown with a rule for multiplying them, and al-Kashi's extraction of roots; perfect squares, exponential notation for numbers and the contexts of everyday life are for your class to bring. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "How is a power related to a root?",
     "markdown": "Write 3 × 3 × 3 × 3 as a power. Then ask which number multiplied by itself gives 49, and how you would check your answer."
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "Look at how [[person/al-karaji|al-Karaji]] handled the powers of one unknown quantity. The record starts from distinguishing its successive powers: the unknown, its square, its cube and further powers, and also their reciprocals {cite:karaji-mactutor Biography}. Multiplying two of them needs a rule that names the resulting power, rather than a new geometrical diagram for each operation {cite:karaji-mactutor Biography}. In modern teaching notation x² times x³ gives x⁵; the record says this is its own illustration, not a manuscript transcription {cite:karaji-mactutor Biography}. MacTutor stresses that he approached this law without defining x⁰=1, so the complete modern formulation is not credited to him {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "The records read here preserve no sentence in which al-Karaji says why he worked on these operations. They show his setting: his principal mathematical books are placed in Baghdad, and TDV connects al-Fakhri with Fakhr al-Mulk's patronage in the Buyid setting {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. For al-Kashi, the record says his [[work/miftah-al-hisab-kashi|Key to Arithmetic]] addresses calculation useful for astronomy, surveying, architecture, accounting and trade; these are purposes reported for the book, not evidence that a particular workshop used a particular example {cite:kashi-mactutor Key}."
    },
    {
     "heading": "Two views",
     "markdown": "As reported by MacTutor, Woepcke's and Rashed's interpretations emphasize algebraic operations becoming less dependent on geometrical representation, an important direction toward autonomous algebraic arithmetic {cite:karaji-mactutor Biography}. The account it reports from Crossley stresses numerical examples, limits of demonstration and retained Euclidean theorems in equation solving {cite:karaji-mactutor Biography}. TDV likewise notes geometrical proof in al-Fakhri {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. The record presents these readings without resolving them: new operational organization and older forms of justification can coexist in one body of work."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "One reading sees algebra becoming less dependent on drawings; another stresses that Euclid's theorems stayed in the proofs. Which would you give more weight to as evidence of a new kind of mathematics, a new rule for naming powers or a proof that still draws a figure, and why?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|al-Karaji's polynomial arithmetic]]: the rule for powers, its limits and the historians' readings.\n- [[invention/kashi-general-root-extraction|al-Kashi's general numerical root extraction]]: roots of general orders, with the earlier work the record keeps visible.\n- [[person/al-karaji|al-Karaji]]: the mathematician and engineer, and the doubts about his name.\n- [[work/miftah-al-hisab-kashi|al-Kashi's Key to Arithmetic]]: the teaching book the root method comes from."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|Al-Karaji's polynomial arithmetic]] and then [[invention/kashi-general-root-extraction|Al-Kashi's general numerical root extraction]]. Choose a number with a whole-number square root and one without, and for each say how you would find or bound its root and how you would check it."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-b-2",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ مکمل مربعوں کی شناخت کریں، انہیں ظاہر کریں اور ان کے مربع جذر معلوم کریں، اور مکمل اعداد کے بار بار ضرب کی قیمت نکال کر اسے قوتی علامت میں ظاہر کریں۔ عجائب گھر دو جھلکیاں پیش کرتا ہے: کرجی کا مجہول کی لگاتار قوتوں کو نام دینا اور انہیں ضرب دینے کا قاعدہ، اور کاشی کا جذر نکالنا؛ مکمل مربع، اعداد کے لیے قوتی علامت اور روزمرہ زندگی کے سیاق آپ کی جماعت لائے گی۔ {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "قوت کا جذر سے کیا تعلق ہے؟",
     "markdown": "3 × 3 × 3 × 3 کو قوت کی صورت میں لکھیں۔ پھر پوچھیں کہ کون سا عدد اپنے آپ سے ضرب کھا کر 49 دیتا ہے، اور اپنے جواب کی جانچ کیسے کریں گے۔"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "[[invention/karaji-polynomial-arithmetic|الکرجی کا کثیر رکنی حساب]] اور پھر [[invention/kashi-general-root-extraction|کاشی کا عمومی عددی استخراج جذر]] پڑھیں۔ ایک ایسا عدد چنیں جس کا مربع جذر مکمل عدد ہو اور ایک ایسا جس کا نہ ہو، اور ہر ایک کے لیے بتائیں کہ اس کا جذر کیسے نکالیں گے یا اس کی حد کیسے بتائیں گے اور اس کی جانچ کیسے کریں گے۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-b-2",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}