{
 "id": "course/ca-on-g7-math-c-1",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g7-math-c-1",
 "label": {
  "ar": "حدود وعبارات ومعادلات وتحقق من الحل",
  "en": "Terms, expressions, equations and checking the answer",
  "ur": "اجزا، عبارتیں، مساواتیں اور جواب کی جانچ"
 },
 "summary": {
  "ar": "جمع الحدود وطرحها وتقييم العبارات وحل المعادلات والتحقق من الحل، في ضوء أنواع المعادلات الستة عند الخوارزمي وحساب الكرجي للعبارات.",
  "en": "Adding and subtracting terms, evaluating expressions, and solving equations and verifying the solutions, in light of al-Khwarizmi's six types of equation and al-Karaji's arithmetic of expressions.",
  "ur": "اجزا کو جمع اور تفریق کرنا، عبارتوں کی قیمت نکالنا، اور مساواتیں حل کر کے حل کی تصدیق کرنا، خوارزمی کی مساواتوں کی چھ قسموں اور کرجی کے عبارتوں کے حساب کی روشنی میں۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-elementary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g7-math-c",
  "expectations": [
   {
    "code": "C2.1",
    "text": {
     "en": "add and subtract monomials with a degree of 1 that involve whole numbers, using tools",
     "ar": "اجمع وأطرح الحدود الأحادية من الدرجة الأولى التي تتضمن أعداداً صحيحة كلية، باستعمال الأدوات",
     "ur": "ایسی یک رکنی عبارتیں جن کا درجہ ایک ہو اور جن میں مکمل اعداد شامل ہوں، اوزار استعمال کرتے ہوئے جمع اور تفریق کریں"
    }
   },
   {
    "code": "C2.2",
    "text": {
     "en": "evaluate algebraic expressions that involve whole numbers and decimal numbers",
     "ar": "قيّم العبارات الجبرية التي تتضمن أعداداً صحيحة كلية وأعداداً عشرية",
     "ur": "ایسی الجبری عبارتوں کی قیمت نکالیں جن میں مکمل اعداد اور اعشاری اعداد شامل ہوں"
    }
   },
   {
    "code": "C2.3",
    "text": {
     "en": "solve equations that involve multiple terms, whole numbers, and decimal numbers in various contexts, and verify solutions",
     "ar": "حلّ معادلات تتضمن حدوداً متعددة وأعداداً صحيحة كلية وأعداداً عشرية في سياقات متنوعة، وتحقق من الحلول",
     "ur": "ایسی مساواتیں حل کریں جن میں متعدد اجزا، مکمل اعداد اور اعشاری اعداد شامل ہوں، مختلف سیاق میں، اور حل کی تصدیق کریں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "within",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "ضروب المعادلات الستة",
     "en": "The six types of equation",
     "ur": "مساوات کی چھ قسمیں"
    },
    "text": {
     "ar": "قسّم الخوارزمي معادلات الدرجة الأولى والثانية ذات المعاملات الموجبة إلى ستة ضروب: ثلاثة مفردة وثلاثة مقترنة. وفي «مال وعشرة أجذاره يعدل تسعة وثلاثين درهماً» يخرج الجذر ثلاثة والمال تسعة. كيف تتحقق من هذا الجواب بردّه إلى المسألة؟",
     "en": "Al-Khwarizmi divided first- and second-degree equations with positive terms into six types, three simple and three compound. For \"a square and ten of its roots equal thirty-nine dirhams\" the root is three and the square nine. How could you check that answer by putting it back into the problem?",
     "ur": "خوارزمی نے مثبت اجزا والی پہلے اور دوسرے درجے کی مساواتوں کو چھ قسموں میں بانٹا: تین مفرد اور تین مقترن۔ «ایک مال اور اس کی دس جڑیں انتالیس درہم کے برابر» میں جذر تین اور مال نو نکلتا ہے۔ اس جواب کو مسئلے میں واپس رکھ کر آپ اس کی تصدیق کیسے کریں گے؟"
    },
    "entity": "concept/al-durub-al-sitta",
    "sources": [
     "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "ضرب المقادير المركبة وجمع المتشابه",
     "en": "Multiplying composite expressions and collecting like terms",
     "ur": "مرکب اظہارات کی ضرب اور ہم جنس اجزا کا جمع"
    },
    "text": {
     "ar": "اشتغل الكرجي أيضاً بالمقادير المركبة من حدود عدة، وتصف سيرة ماكتوتر الضرب بأن تعمل الحدود بعضها في بعض قبل جمع النتائج المتشابهة. ومثال السجل الحديث، وهو شرح حسابي لا مثال من الكتاب، أن x²+3x+2x+6 يصير x²+5x+6، فتُجمع 3x و2x فتصيران 5x. أين جُمعت الحدود المتشابهة في هذا المثال؟",
     "en": "Al-Karaji also worked on composite expressions of several terms, and MacTutor describes multiplication as combining terms before collecting matching results. The record's own modern example, an explanatory one and not an example from the book, turns x²+3x+2x+6 into x²+5x+6, where 3x and 2x are collected as 5x. Where in that example are the like terms collected?",
     "ur": "کرجی نے کئی اجزا والے مرکب اظہارات پر بھی کام کیا، اور میک ٹیوٹر کی سوانح ضرب کو یوں بیان کرتی ہے کہ پہلے اجزا کو ایک دوسرے سے ضرب دیا جاتا ہے اور پھر ہم جنس نتائج جمع کیے جاتے ہیں۔ ریکارڈ کی اپنی جدید مثال، جو وضاحتی ہے اور کتاب کی مثال نہیں، یہ ہے کہ x²+3x+2x+6 سے x²+5x+6 بنتا ہے، جہاں 3x اور 2x جمع ہو کر 5x بنتے ہیں۔ اس مثال میں ہم جنس اجزا کہاں جمع کیے گئے؟"
    },
    "entity": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "order": 1
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تجمع الحدود الأحادية من الدرجة الأولى وتطرحها، وأن تقيّم عبارات جبرية، وأن تحلّ معادلات متعددة الحدود وتتحقق من حلولها. يقدّم المتحف لمحتين: أنواع المعادلات الستة عند الخوارزمي، وحساب الكرجي للعبارات المركبة؛ أما الأعداد العشرية في المعادلات وسياقات الحياة الواقعية فيأتي بها صفّك. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "كيف تعرف أن الجواب صحيح؟",
     "markdown": "ضع الجواب في المسألة الأصلية وانظر هل تتحقق المساواة. وإذا كانت العبارة فيها حدود متشابهة فأين تجمعها قبل أن تقيّمها؟"
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "في أحد الضروب الستة عند الخوارزمي جوابان. المسألة «مال وأحد وعشرون يعدل عشرة أجذاره»، ويخرج لها جوابان: الجذر ثلاثة والمال تسعة، أو الجذر سبعة والمال تسعة وأربعون {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.34}. ويقول إن هذا الباب وحده «يعمل بالزيادة والنقصان جميعاً» {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.34}. وإذا كان مربع نصف الأجذار أقل من العدد فالمسألة عنده «مستحيلة» {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}. وكل هذا في سجل [[concept/al-durub-al-sitta|الضروب الستة]]."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "لا تحفظ السجلات جملة يقول فيها الكرجي لماذا وسّع الحساب إلى المقادير التي فيها مجهول. وهي تعرض روايةَ مؤرخ لما حرّك هذا العمل. فتشرح ماكتوتر الاتجاه الجديد بلقاء الحساب الديوفانطي بمفاهيم الجبر العربي، وتبرز التعميم والطرق الأوسع تطبيقاً {cite:karaji-mactutor Biography}. وتربط TDV كتاب «الفخري» بفخر الملك في المحيط البويهي {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "«كثيرات الحدود» اسم حديث وضعه المتحف لجزء من [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|عمل الكرجي]]، لا ادعاء بأنه استعمل تعريفات اليوم أو رموزها {cite:karaji-mactutor Biography}. ويقول السجل إن عمله لم يكن ولادة للجبر من العدم، ولا اختراعاً للحروف والأسس التي تُكتب بها أمثلته {cite:karaji-mactutor Biography}. وكانت قسمته لمقدار مركب على حد مفرد، لا طريقة لقسمة أي كثير حدود على آخر {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "يقول السجل إن التعويض قد يكشف خطأً حسابياً، لكن اتفاق الطرفين عند قيمة واحدة لا يبرهن على صحة القاعدة لكل قيمة {cite:karaji-mactutor Biography}. لماذا لا تكفي قيمة واحدة، وماذا تريد أن ترى أيضاً قبل أن تثق بقاعدة؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[concept/al-durub-al-sitta|الضروب الستة للمعادلات]]: مثال محلول لكل ضرب، والصورة التي تبرهن على ثلاثة منها.\n- [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|حساب الكرجي للمقادير المركبة]]: ما استطاعته عملياته وما لم تستطعه.\n- [[person/al-karaji|الكرجي]]: مؤلفاته وراعيه وما لا يُعرف عنه.\n- [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]]: صاحب الضروب الستة."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ [[concept/al-durub-al-sitta|الضروب الستة]] ثم [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|حساب الكرجي للعبارات متعددة الحدود]]. قيّم x²+5x+6 عند x تساوي 1 ثم 2 ثم 3، ثم تحقق من جواب الخوارزمي بوضعه في المعادلة."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-c-1",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to add and subtract monomials of degree 1, to evaluate algebraic expressions, and to solve equations with several terms and verify the solutions. The museum offers two glimpses: al-Khwarizmi's six types of equation and al-Karaji's arithmetic of composite expressions; decimal numbers in equations and the contexts of real life are for your class to bring. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "How do you know an answer is right?",
     "markdown": "Put the answer back into the original problem and see whether the equality holds. If an expression has like terms, where do you collect them before you evaluate it?"
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "One of al-Khwarizmi's six types has two answers. The problem is “a square and twenty-one equal ten of its roots”, which has two answers: root three and square nine, or root seven and square forty-nine {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.34}. He says this type alone “works by both addition and subtraction” {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.34}. If the square of half the roots is less than the number, he calls the problem “impossible” {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}. All of this is in the record of [[concept/al-durub-al-sitta|the six types]]."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "The records preserve no sentence in which al-Karaji says why he extended arithmetic to expressions with an unknown. They show a historian's account of what moved the work. MacTutor explains the new direction through the encounter between Diophantine arithmetic and Arabic algebraic concepts, with an emphasis on generalization and on more widely applicable methods {cite:karaji-mactutor Biography}. TDV connects al-Fakhri with the patronage of Fakhr al-Mulk in the Buyid setting {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "“Polynomial arithmetic” is the museum's modern name for part of [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|al-Karaji's work]], not a claim that he used today's definitions or notation {cite:karaji-mactutor Biography}. The record says the work was neither algebra created from nothing nor the invention of the letters and exponents used in its examples {cite:karaji-mactutor Biography}. His division was of a composite quantity by a single term, not a method for dividing any polynomial by any other {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "The record says that substitution can uncover an arithmetic mistake, but that agreement at one value does not prove a rule for every value {cite:karaji-mactutor Biography}. Why is one value not enough, and what else would you want to see before you trusted a rule?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[concept/al-durub-al-sitta|The six types of equation]]: a worked example for each type, and the figure that proves three of them.\n- [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|Al-Karaji's polynomial arithmetic]]: what his operations on expressions could do, and what they could not.\n- [[person/al-karaji|al-Karaji]]: his works, his patron and what is not known about him.\n- [[person/al-khwarizmi|al-Khwarizmi]]: the author of the six types."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read [[concept/al-durub-al-sitta|The six types of equation]] and then [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|Al-Karaji's polynomial arithmetic]]. Evaluate x²+5x+6 for x equal to 1, then 2, then 3, and then check al-Khwarizmi's answer by putting it into the equation."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-c-1",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ درجہ ایک کی یک رکنی عبارتوں کو جمع اور تفریق کریں، الجبری عبارتوں کی قیمت نکالیں، اور متعدد اجزا والی مساواتیں حل کر کے حل کی تصدیق کریں۔ عجائب گھر دو جھلکیاں پیش کرتا ہے: خوارزمی کی مساواتوں کی چھ قسمیں اور کرجی کا مرکب عبارتوں کا حساب؛ مساواتوں میں اعشاری اعداد اور حقیقی زندگی کے سیاق آپ کی جماعت لائے گی۔ {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "آپ کو کیسے پتا چلتا ہے کہ جواب درست ہے؟",
     "markdown": "جواب کو اصل مسئلے میں رکھیں اور دیکھیں کہ مساوات قائم رہتی ہے یا نہیں۔ اگر عبارت میں ملتے جلتے اجزا ہوں تو قیمت نکالنے سے پہلے انہیں کہاں جمع کریں گے؟"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "[[concept/al-durub-al-sitta|الضروب الستہ]] اور پھر [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|الکرجی کا کثیر رکنی حساب]] پڑھیں۔ x²+5x+6 کی قیمت x برابر 1، پھر 2، پھر 3 پر نکالیں، پھر خوارزمی کے جواب کو مساوات میں رکھ کر جانچیں۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-c-1",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}