{
 "id": "course/ca-on-g7-math-e-1",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g7-math-e-1",
 "label": {
  "ar": "محيط الدائرة ومساحتها",
  "en": "The circumference and area of a circle",
  "ur": "دائرے کا محیط اور رقبہ"
 },
 "summary": {
  "ar": "العلاقات بين القطر والمحيط والمساحة في الدائرة وتفسير صيغتيها، في ضوء باب المساحة عند الخوارزمي وحساب الكاشي للمحيط.",
  "en": "The relationships among a circle's diameter, circumference and area, and the reasoning behind their formulas, in light of al-Khwarizmi's mensuration chapter and al-Kashi's computation of the circumference.",
  "ur": "دائرے کے قطر، محیط اور رقبے کے تعلقات اور ان کے کلیوں کی توجیہ، خوارزمی کے باب مساحت اور کاشی کے محیط کے حساب کی روشنی میں۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-elementary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g7-math-e",
  "expectations": [
   {
    "code": "E2.3",
    "text": {
     "en": "use the relationships between the radius, diameter, and circumference of a circle to explain the formula for finding the circumference and to solve related problems",
     "ar": "استعمل العلاقات بين نصف القطر والقطر ومحيط الدائرة لتفسّر صيغة إيجاد المحيط ولحل مسائل متصلة بها",
     "ur": "دائرے کے رداس، قطر اور محیط کے تعلقات کو استعمال کریں تاکہ محیط معلوم کرنے کا کلیہ سمجھا سکیں اور متعلقہ مسائل حل کر سکیں"
    }
   },
   {
    "code": "E2.5",
    "text": {
     "en": "show the relationships between the radius, diameter, and area of a circle, and use these relationships to explain the formula for measuring the area of a circle and to solve related problems",
     "ar": "بيّن العلاقات بين نصف القطر والقطر ومساحة الدائرة، واستعمل هذه العلاقات لتفسّر صيغة قياس مساحة الدائرة ولحل مسائل متصلة بها",
     "ur": "رداس، قطر اور دائرے کے رقبے کے تعلقات دکھائیں اور انہیں استعمال کر کے رقبہ ناپنے کا کلیہ سمجھائیں اور متعلقہ مسائل حل کریں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "before",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "المحيط والمساحة في باب المساحة عند الخوارزمي",
     "en": "Circumference and area in al-Khwarizmi's mensuration",
     "ur": "خوارزمی کے باب مساحت میں محیط اور رقبہ"
    },
    "text": {
     "ar": "يعطي باب المساحة عند الخوارزمي دور الدائرة، أي محيطها، بأنه القطر في ثلاثة وسبع، وتكسيرها، أي مساحتها، بأنه نصف القطر في نصف الدور. ويقول إن جعل المحيط القطر في ثلاثة وسبع «اصطلاح بين الناس من غير اضطرار»، وفي مسألة الدائرة التي قطرها سبعة أذرع يجعل المحيط اثنين وعشرين ذراعاً، وينبّه المحققان على أن هذا تقريبي. كيف تقارن قاعدة المساحة هذه بالصيغة التي تعرفها؟",
     "en": "Al-Khwarizmi's mensuration chapter gives a circle's circumference as the diameter times three and a seventh, and its area as half the diameter times half the circumference. He calls taking three and a seventh \"a convention among people, not a necessity\", and for a circle of diameter seven cubits he takes the circumference as twenty-two cubits, which the editors note is approximate. How does this area rule compare with the formula you know?",
     "ur": "خوارزمی کے باب مساحت میں دائرے کا دور یعنی محیط قطر ضرب تین اور ایک ساتواں ہے، اور اس کا رقبہ نصف قطر ضرب نصف محیط۔ وہ کہتے ہیں کہ محیط کو قطر کا تین اور ایک ساتواں گنا ماننا «لوگوں میں ایک اصطلاح ہے، کوئی لازمی بات نہیں»، اور سات ذراع قطر والے دائرے کے مسئلے میں محیط بائیس ذراع لیتے ہیں، جسے محققین تقریبی بتاتے ہیں۔ رقبے کا یہ قاعدہ اس کلیے سے کیسے ملتا ہے جو آپ جانتے ہیں؟"
    },
    "entity": "concept/ilm-al-misaha",
    "sources": [
     "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "حساب الكاشي لمحيط الدائرة",
     "en": "Al-Kashi computes the circumference",
     "ur": "کاشی کا محیطِ دائرہ کا حساب"
    },
    "text": {
     "ar": "تؤرخ ماكتوتر «الرسالة المحيطية» للكاشي بسنة 1424م، وتذكر إخراج ضعف نسبة المحيط إلى القطر في النظام الستيني ثم العشري بدقة عالية، وينقل أوكتن العدد العشري 6.2831853071795865. ويقول السجل إنه تحسين لحساب قديم لا اكتشاف العدد pi، وإن إيرانيكا تصف مضلعات داخل الدائرة وحولها لتقريب المحيط. كيف يقرّبنا مضلع من دائرة؟",
     "en": "MacTutor dates al-Kashi's Treatise on the Circumference to 1424 and describes it as giving twice the ratio of circumference to diameter in sexagesimal and decimal forms with high precision, and Okten reports the decimal value 6.2831853071795865. The record says this improved an inherited calculation and did not discover pi, and that Iranica describes polygons inside and around a circle to approach the circumference. How does a polygon bring you closer to a circle?",
     "ur": "میک ٹیوٹر کاشی کے «رسالۂ محیطیہ» کو 1424ء کا بتاتا ہے اور کہتا ہے کہ اس میں محیط اور قطر کی نسبت کا دگنا ستّینی اور اعشاری دونوں صورتوں میں بلند درستی کے ساتھ دیا گیا ہے، اور اوکتن اعشاری قیمت 6.2831853071795865 نقل کرتے ہیں۔ ریکارڈ کہتا ہے کہ یہ ایک وراثت میں ملے حساب کی بہتری تھی، pi کی دریافت نہیں، اور یہ کہ ایرانیکا محیط کے قریب پہنچنے کے لیے دائرے کے اندر اور باہر کثیر الاضلاع کا ذکر کرتا ہے۔ کثیر الاضلاع ہمیں دائرے کے قریب کیسے لاتا ہے؟"
    },
    "entity": "invention/al-kashi-pi-calculation",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/tdv-kashi-okten",
     "source/iranica-kashi"
    ]
   }
  ],
  "order": 1
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تستعمل العلاقات بين نصف القطر والقطر ومحيط الدائرة لتفسّر صيغة المحيط، وأن تبيّن العلاقات بين نصف القطر والقطر ومساحة الدائرة لتفسّر صيغة المساحة. يقدّم المتحف قصة واحدة هي كيف يذكر الخوارزمي قاعدتي المحيط والمساحة وكيف حسب الكاشي المحيط؛ أما رسم الدوائر والمسائل الواقعية فيأتي بها صفّك. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "لماذا تأخذ قاعدة المساحة نصف القطر ونصف المحيط؟",
     "markdown": "ارسم دائرة وعيّن قطرها ونصف قطرها. ما الذي تقوله قاعدة المساحة التي يذكرها السجل عن هذه المقادير، وكيف تشرح الصيغة التي تعرفها بدلالتها؟"
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "خصّ [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]] المساحة بباب في كتابه [[work/al-jabr-wal-muqabala|الجبر والمقابلة]] {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.70}. وفي هذا الباب، كما يروي [[concept/ilm-al-misaha|سجل المساحة]]، دور الدائرة، أي محيطها، القطر في ثلاثة وسبع {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.71}. أما تكسيرها، أي مساحتها، فنصف القطر في نصف الدور، أو مربع القطر منقوصاً منه سبعه ونصف سبعه {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.71} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.72}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "لا تحفظ سجلات المتحف جملة يقول فيها الكاشي لماذا حسب المحيط. وتذكر إيرانيكا، كما يروي سجل [[invention/al-kashi-pi-calculation|حسابه الدقيق]]، أن هدف رسالته مرتبط بالحاجة إلى تحسين التقريبات المستعملة في الحساب الفلكي، وأن هناك تقاليد أقدم {cite:iranica-kashi As Mathematician and Astronomer}. ووجد في محيط أولوغ بك دعماً للعمل الفلكي والحسابي {cite:kashi-mactutor Samarkand and works} {cite:iranica-kashi Life}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "قد يُظنّ أن الكاشي رسم دائرة كبيرة وقاسها. لكن السجل يقول إن عدداً قليلاً من الخطوط في رسم صغير لا يثبت ست عشرة منزلة عشرية، وإن إنجازه كان حساباً منضبطاً لا قياس دائرة بفرجار أكبر {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}. وتؤرخ ماكتوتر الرسالة بسنة 1424، وتصف عمله بأنه تحسين لحساب قديم لا اكتشاف العدد pi {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "يعطي الخوارزمي لمساحة الدائرة قاعدتين: نصف القطر في نصف المحيط، أو مربع القطر منقوصاً منه سبعه ونصف سبعه. أيّ القاعدتين أسهل في شرح سبب صحتها لزميل لا يعرف الصيغة، ولماذا؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]]: قواعد الباب كلها، ومنها قاعدتا الدائرة.\n- [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة]]: ما يقوله السجل عن الحساب وعن حدود الدقة.\n- [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]]: سجل صاحب الباب."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]] ثم [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة]]. خذ دائرة قطرها سبع وحدات، واحسب محيطها ومساحتها بالقاعدتين اللتين يذكرهما السجل الأول، ثم قارن بما تعطيه صيغتاك."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-e-1",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to use the relationships among a circle's radius, diameter and circumference to explain the formula for the circumference, and to show the relationships among radius, diameter and area to explain the formula for the area. The museum offers one story: how al-Khwarizmi states the rules for circumference and area and how al-Kashi computed the circumference; constructing circles and real-life problems are for your class to bring. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "Why does the area rule use half the diameter and half the circumference?",
     "markdown": "Draw a circle and mark its diameter and its half. What does the area rule in the record say about these quantities, and how does it help you explain the formula you know?"
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "[[person/al-khwarizmi|Al-Khwarizmi]] gave mensuration a chapter of his [[work/al-jabr-wal-muqabala|Book of al-Jabr and al-Muqabala]] {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.70}. In that chapter, as [[concept/ilm-al-misaha|the museum's record]] reports it, the circumference of a circle is the diameter times three and a seventh {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.71}. Its area is half the diameter times half the circumference, or the square of the diameter less a seventh and half a seventh of it {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.71} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.72}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "The museum's records preserve no sentence in which al-Kashi says why he computed the circumference. Iranica, as the record of [[invention/al-kashi-pi-calculation|his precise computation]] reports, connects his treatise with improving approximations used in astronomy and acknowledges older traditions {cite:iranica-kashi As Mathematician and Astronomer}. Ulugh Beg's scholarly environment offered support for astronomy and calculation {cite:kashi-mactutor Samarkand and works} {cite:iranica-kashi Life}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "It is easy to imagine al-Kashi drawing a huge circle and measuring it. The record says that a small drawing cannot establish sixteen decimal places, and that his achievement was careful computation, not measuring a circle with a larger compass {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}. MacTutor dates the work to 1424 and, in the record's words, this improved an inherited calculation and did not discover pi {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "Al-Khwarizmi gives two rules for the area of a circle: half the diameter times half the circumference, or the square of the diameter less a seventh and half a seventh of it. Which rule would be easier to explain to a classmate who does not know the formula, and why?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]]: all the rules of the chapter, including the circle's two area rules.\n- [[invention/al-kashi-pi-calculation|Al-Kashi's high-precision circumference computation]]: what the record says about the computation and the limits of its precision.\n- [[person/al-khwarizmi|Al-Khwarizmi]]: the record of the author of the chapter."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read [[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]] and then [[invention/al-kashi-pi-calculation|Al-Kashi's high-precision circumference computation]]. Take a circle of diameter seven units, compute its circumference and area with the two rules the first record gives, and compare them with what your own formulas give."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-e-1",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ دائرے کے رداس، قطر اور محیط کے تعلقات کو استعمال کر کے محیط کا کلیہ سمجھائیں، اور رداس، قطر اور رقبے کے تعلقات دکھا کر رقبے کا کلیہ سمجھائیں۔ عجائب گھر ایک کہانی پیش کرتا ہے: خوارزمی محیط اور رقبے کے قاعدے کیسے بیان کرتے ہیں اور کاشی نے محیط کا حساب کیسے کیا؛ دائرے بنانا اور حقیقی زندگی کے مسائل آپ کی جماعت لائے گی۔ {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "رقبے کا قاعدہ نصف قطر اور نصف محیط کیوں لیتا ہے؟",
     "markdown": "ایک دائرہ بنائیں اور اس کا قطر اور اس کا نصف نشان زد کریں۔ ریکارڈ میں رقبے کا قاعدہ ان مقداروں کے بارے میں کیا کہتا ہے، اور اس سے آپ کا جانا ہوا کلیہ سمجھانے میں کیا مدد ملتی ہے؟"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "[[concept/ilm-al-misaha|علمِ مساحت]] اور پھر [[invention/al-kashi-pi-calculation|کاشی کا محیطِ دائرہ کا دقیق حساب]] پڑھیں۔ سات اکائی قطر کا دائرہ لیں، پہلے ریکارڈ کے دونوں قاعدوں سے اس کا محیط اور رقبہ نکالیں، اور اپنے کلیوں کے جواب سے ان کا موازنہ کریں۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g7-math-e-1",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}