{
 "id": "course/ca-on-g8-math-b-2",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g8-math-b-2",
 "label": {
  "en": "Roots, and numbers that never end",
  "ar": "الجذور والأعداد التي لا تنتهي",
  "ur": "جذر اور وہ اعداد جو ختم نہیں ہوتے"
 },
 "summary": {
  "en": "Ordering rational and irrational numbers, and estimating and calculating square roots (B1.2, B1.3).",
  "ar": "ترتيب الأعداد النسبية وغير النسبية، وتقدير الجذور التربيعية وحسابها، التوقعان B1.2 وB1.3.",
  "ur": "ناطق اور غیر ناطق اعداد کو ترتیب دینا، اور جذر المربع کا تخمینہ لگانا اور اسے نکالنا، توقعات B1.2 اور B1.3۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-elementary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g8-math-b",
  "expectations": [
   {
    "code": "B1.2",
    "text": {
     "en": "describe, compare, and order numbers in the real number system (rational and irrational numbers), separately and in combination, in various contexts",
     "ar": "صِف الأعداد في منظومة الأعداد الحقيقية ⁦(الأعداد النسبية وغير النسبية)⁩، وقارن بينها ورتّبها، منفردةً ومجتمعةً، في سياقات متنوعة",
     "ur": "حقیقی اعداد کے نظام ⁦(ناطق اور غیر ناطق اعداد)⁩ میں اعداد کو الگ الگ اور مل کر، مختلف سیاق میں بیان کریں، ان کا موازنہ کریں اور انہیں ترتیب دیں"
    }
   },
   {
    "code": "B1.3",
    "text": {
     "en": "estimate and calculate square roots, in various contexts",
     "ar": "قدِّر الجذور التربيعية واحسبها في سياقات متنوعة",
     "ur": "مختلف سیاق میں جذر المربع کا تخمینہ لگائیں اور انہیں حل کریں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "before",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "en": "Finding a number from its power",
     "ar": "استخراج العدد من قوته",
     "ur": "طاقت سے عدد نکالنا"
    },
    "text": {
     "en": "In the Key to Arithmetic, al-Kashi treated numerical extraction of roots of general orders, not only square roots. The record says root extraction reverses raising a number to a power: the positive cube root of eight is two because 2³=8, and when a number gives no whole-number answer a procedure needs an approximation and some account of what it guarantees. It calls this development of inherited computation, not the first root ever known. What should an approximation tell you?",
     "ar": "في «مفتاح الحساب» عرض غياث الدين الكاشي حساب الجذور لمراتب عامة، لا الجذر التربيعي وحده. ويقول السجل إن استخراج الجذر يعكس رفع العدد إلى قوة: الجذر التكعيبي الموجب لثمانية هو اثنان لأن 2³=8، وحين لا يعطي العدد جواباً صحيحاً تاماً يلزم تقريب وبيان ما يضمنه. ويصف ذلك بأنه تطوير حساب موروث، لا أول جذر عرفه الإنسان. ماذا ينبغي أن يخبرك التقريب؟",
     "ur": "«مفتاح الحساب» میں غیاث الدین الکاشی نے صرف جذر المربع نہیں بلکہ عام درجوں کے جذر نکالنے کا بیان کیا۔ ریکارڈ کہتا ہے کہ جذر نکالنا عدد کو طاقت پر چڑھانے کا الٹ ہے: آٹھ کا مثبت تکعیبی جذر دو ہے کیونکہ 2³=8، اور جب عدد پورا صحیح جواب نہ دے تو طریقے کو ایک تخمینہ اور اس کی ضمانت کا بیان چاہیے۔ وہ اسے وراثت میں ملے حساب کی ترقی کہتا ہے، نہ کہ انسان کو معلوم پہلا جذر۔ تخمینہ آپ کو کیا بتائے؟"
    },
    "entity": "invention/kashi-general-root-extraction",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/iranica-kashi"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "en": "An irrational number inside an equation",
     "ar": "مقدار غير ناطقة داخل معادلة",
     "ur": "مساوات کے اندر غیر ناطق مقدار"
    },
    "text": {
     "en": "The record says Abu Kamil's algebra admitted irrational quantities into the coefficients of equations as well as into their solutions. It separates the two: an equation with integer coefficients such as x²=2 has an irrational positive solution, while in x²+√2·x=4 an irrational quantity sits in the coefficient itself. The second equation is the museum's teaching example, not a line from the book. Say, for each equation, where the irrational quantity appears.",
     "ar": "يقول السجل إن جبر أبي كامل أدخل الكميات غير الناطقة في معاملات المعادلة أيضاً، لا في حلولها وحدها. ويفرّق بين الأمرين: معادلة معاملاتها صحيحة مثل x²=2 لها حل موجب غير ناطق، أما في x²+√2·x=4 ففيها مقدار غير ناطق داخل المعامل نفسه. والمعادلة الثانية مثال تعليمي من إعداد المتحف، لا سطر من الكتاب. حدّد في كل معادلة موضع المقدار غير الناطق.",
     "ur": "ریکارڈ کہتا ہے کہ ابو کامل کی الجبر نے غیر ناطق مقداروں کو صرف حلوں میں نہیں بلکہ مساوات کے عددی سرائب میں بھی داخل کیا۔ وہ دونوں باتوں کو الگ کرتا ہے: صحیح سرائب والی مساوات جیسے x²=2 کا مثبت حل غیر ناطق ہے، جبکہ x²+√2·x=4 میں غیر ناطق مقدار خود سرائب کے اندر ہے۔ دوسری مساوات میوزیم کی تدریسی مثال ہے، کتاب کی کوئی سطر نہیں۔ ہر مساوات میں بتائیں کہ غیر ناطق مقدار کہاں آتی ہے۔"
    },
    "entity": "invention/abu-kamil-irrational-coefficients",
    "sources": [
     "source/tdv-abu-kamil"
    ]
   }
  ],
  "order": 2
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تصف الأعداد النسبية وغير النسبية وتقارن بينها وترتبها، وأن تقدّر الجذور التربيعية وتحسبها. ويقدّم المتحف روايتين عن استخراج الجذور بالتقريب وعن مقدار غير ناطق داخل معادلة؛ أما التقدير والترتيب والحساب فعلى صفّك أن يجريها. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "بين أي عددين صحيحين يقع الجذر؟",
     "markdown": "اختر عدداً ليس مربعاً كاملاً، وابحث عن عددين صحيحين متتاليين يقع الجذر التربيعي بينهما، ثم قرّب بالمنازل العشرية. وقل كيف تعرف أن تقريبك أفضل من سابقه، وأين تضع الجذر على خط الأعداد بين الأعداد النسبية."
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "«المعامل» هو الكمية التي تضرب المجهول أو قوة من قواه {cite:tdv-abu-kamil work1}. ويشرح جنكيز آيدن أن [[work/abu-kamil-al-jabr|كتاب أبي كامل في الجبر]] أدخل الكميات غير الناطقة في معاملات المعادلة أيضًا، مع إبقائها في الحلول {cite:tdv-abu-kamil work1}. ويعرض السجل مسألة من دراسة ملك دوساي الحديثة، في الصفحة 66: مجموعان في كل منهما المجهول وجذر، أحدهما جذر 3 والآخر جذر 2، يُضربان فيكون الناتج 20 {cite:dosay-abu-kamil-1990 p.66}. ويقول السجل إنه قرأ المثال في صورة صفحة الدراسة الحديثة، لا في مخطوط أبي كامل، وإن الرموز حديثة {cite:dosay-abu-kamil-1990 p.66}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "أخبار حياة أبي كامل قليلة جدًا، ولا تحفظ السجلات المقروءة هنا جملة تبيّن لماذا وسّع المعاملات {cite:abu-kamil-mactutor biography} {cite:tdv-abu-kamil biography}. وهي تُظهر من يعترف بفضله، إذ تذكر ماكتوتر اعترافه بفضل الخوارزمي في الجبر {cite:abu-kamil-mactutor biography}، وما يحتويه كتابه: ثلاثة أقسام في المعادلات التربيعية، وفي الجبر المطبق على الخماسي والعشاري المنتظمين، وفي المسائل غير المحددة {cite:abu-kamil-mactutor Book on algebra}. وتصف ماكتوتر كتابًا منفصلًا في المساحة لمساحي الحكومة، يعرض قواعد وأمثلة عددية بلا براهين {cite:abu-kamil-mactutor surveying discussion}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "يُنسب إلى الكاشي أحيانًا اختراع الكسور العشرية وطرائق الجذور في كتابه. وتصحح ماكتوتر النسبتين مع الإبقاء على قيمة عمل الكاشي {cite:kashi-mactutor decimals-and-roots}. وتنقل مقارنة لوكي بين طريقته وحالة خاصة من طريقتي روفيني وهورنر اللاحقتين، وتصحيح راشد بأن طرائق سابقة كانت موجودة في مدرسة الكرجي، وبخاصة عند السموأل {cite:kashi-mactutor root-extraction}. ولذلك يصف السجل العمل بأنه تطوير حساب موروث ودمجه {cite:kashi-mactutor root-extraction}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "قارن لوكي طريقة الكاشي بطريقة هورنر، وأشار راشد إلى طرائق أسبق في مدرسة الكرجي. ويقول السجل إن المقارنة في البنية الرياضية شيء، وإثبات أن مؤلفًا لاحقًا قرأ نصًا سابقًا شيء آخر. ماذا يجب أن تجد قبل أن تقول إن مؤلفًا لاحقًا تعلّم من سابق، ولماذا؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[invention/kashi-general-root-extraction|الاستخراج العددي العام للجذور عند الكاشي]]: الطريقة وسوابقها وما لم يستطع السجل قراءته.\n- [[invention/abu-kamil-irrational-coefficients|جبر أبي كامل بمعاملات غير ناطقة]]: الفرق بين معامل غير ناطق وحل غير ناطق.\n- [[person/al-kashi|الكاشي]]: عالم الرياضيات في سمرقند وأعماله الأخرى.\n- [[person/abu-kamil-shuja-ibn-aslam|أبو كامل شجاع بن أسلم]]: ما يُعرف القليل من سيرته."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ عن [[invention/kashi-general-root-extraction|استخراج الجذور عند الكاشي]] وعن [[invention/abu-kamil-irrational-coefficients|جبر أبي كامل بمعاملات غير ناطقة]]. اختر جذراً تربيعياً غير تام، وقرّبه، ورتّبه بين عددين نسبيين."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g8-math-b-2",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to describe, compare and order rational and irrational numbers, and to estimate and calculate square roots. The museum offers two accounts, one of root extraction by approximation and one of an irrational quantity inside an equation; the estimating, ordering and calculating are for your class to do. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "Between which two whole numbers does the root fall?",
     "markdown": "Choose a number that is not a perfect square and find the two consecutive whole numbers between which its square root lies, then refine the estimate in decimals. Say how you know your new estimate is better than the last, and where you would place the root on a number line among the rational numbers."
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "A coefficient is a quantity multiplying an unknown or one of its powers {cite:tdv-abu-kamil work1}. Cengiz Aydin explains that [[work/abu-kamil-al-jabr|Abu Kamil's algebra]] admitted irrational quantities into equation coefficients as well as solutions {cite:tdv-abu-kamil work1}. The record shows a problem from Melek Dosay's modern paper, page 66: two sums, each made of the unknown and a square root, one of 3 and one of 2, are multiplied, and the product is 20 {cite:dosay-abu-kamil-1990 p.66}. The record says it read the example on an image of the modern paper, not in Abu Kamil's manuscript, and that the notation is modern {cite:dosay-abu-kamil-1990 p.66}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "Very little personal information survives about Abu Kamil, and the records read here preserve no sentence stating why he extended coefficients {cite:abu-kamil-mactutor biography} {cite:tdv-abu-kamil biography}. They show whom he acknowledges, since MacTutor records Abu Kamil acknowledging al-Khwarizmi's authority {cite:abu-kamil-mactutor biography}, and what his book contains: three parts, on quadratic equations, on algebra applied to regular pentagons and decagons, and on indeterminate problems {cite:abu-kamil-mactutor Book on algebra}. A separate surveying book, MacTutor says, gave rules and examples without proofs for government surveyors {cite:abu-kamil-mactutor surveying discussion}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "Al-Kashi is sometimes credited as the first inventor of decimal fractions and of the root methods in his book. MacTutor qualifies both claims while keeping his achievement {cite:kashi-mactutor decimals-and-roots}. It reports Luckey's comparison of his procedure with a special case of the later Ruffini and Horner methods, and Rashed's qualification that earlier procedures existed in the school of al-Karaji, particularly al-Samawal {cite:kashi-mactutor root-extraction}. The record therefore calls it development and integration of inherited computation {cite:kashi-mactutor root-extraction}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "Luckey compared al-Kashi's method with Horner's, and Rashed pointed to earlier procedures in al-Karaji's school. The record says that a structural comparison and proof that a later author read an earlier text are different claims. What would you need to find before saying a later author learned from an earlier one, and why?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[invention/kashi-general-root-extraction|al-Kashi's general numerical root extraction]]: the method, its predecessors and the sources the record could not read.\n- [[invention/abu-kamil-irrational-coefficients|Abu Kamil's algebra with irrational coefficients]]: the difference between an irrational coefficient and an irrational solution.\n- [[person/al-kashi|al-Kashi]]: the mathematician at Samarkand and his other work.\n- [[person/abu-kamil-shuja-ibn-aslam|Abu Kamil]]: what little is known of his life."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read about [[invention/kashi-general-root-extraction|al-Kashi's root extraction]] and [[invention/abu-kamil-irrational-coefficients|Abu Kamil's algebra with irrational coefficients]]. Pick an imperfect square root, approximate it, and order it between two rational numbers."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g8-math-b-2",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code; claude-sonnet-5-5"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ ناطق اور غیر ناطق اعداد کو بیان کریں، ان کا موازنہ کریں اور انہیں ترتیب دیں، اور جذر المربع کا تخمینہ لگائیں اور اسے نکالیں۔ عجائب گھر دو بیان پیش کرتا ہے، ایک تخمینے سے جذر نکالنے کا اور ایک مساوات کے اندر غیر ناطق مقدار کا؛ تخمینہ، ترتیب اور حساب آپ کی جماعت کرے گی۔ {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "جذر کن دو مکمل اعداد کے درمیان آتا ہے؟",
     "markdown": "کوئی ایسا عدد چنیں جو مکمل مربع نہ ہو اور وہ دو لگاتار مکمل اعداد ڈھونڈیں جن کے درمیان اس کا جذر المربع ہے، پھر تخمینے کو اعشاری مقامات میں بہتر کریں۔ بتائیں کہ آپ کو کیسے معلوم ہوا کہ نیا تخمینہ پچھلے سے بہتر ہے، اور ناطق اعداد کے درمیان عددی خط پر جذر کہاں رکھیں گے۔"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "[[invention/kashi-general-root-extraction|الکاشی کے جذر نکالنے]] اور [[invention/abu-kamil-irrational-coefficients|ابو کامل کی غیر ناطق سرائب والی الجبر]] کے بارے میں پڑھیں۔ کوئی غیر کامل جذر المربع چنیں، اس کا تخمینہ لگائیں، اور اسے دو ناطق اعداد کے درمیان ترتیب دیں۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g8-math-b-2",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code; claude-sonnet-5-5"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}