{
 "id": "course/ca-on-g8-math-e-2",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g8-math-e-2",
 "label": {
  "en": "Measuring land, circles and ceilings",
  "ar": "قياس الأرض والدوائر والسقوف",
  "ur": "زمین، دائرے اور چھتوں کی پیمائش"
 },
 "summary": {
  "en": "Solving problems about perimeter, circumference, area, volume and surface area with appropriate formulas (E2.3).",
  "ar": "حل مسائل المحيط ومحيط الدائرة والمساحة والحجم ومساحة السطح بصيغ مناسبة، التوقع E2.3.",
  "ur": "احاطے، دائرے کے محیط، رقبے، حجم اور سطح کے رقبے کے مسائل مناسب کلیوں سے حل کرنا، توقع E2.3۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-elementary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g8-math-e",
  "expectations": [
   {
    "code": "E2.3",
    "text": {
     "en": "solve problems involving the perimeter, circumference, area, volume, and surface area of composite two-dimensional shapes and three-dimensional objects, using appropriate formulas",
     "ar": "حُلَّ مسائل تتضمن المحيط ومحيط الدائرة والمساحة والحجم ومساحة السطح للأشكال الثنائية الأبعاد المركّبة والأجسام الثلاثية الأبعاد، باستخدام الصيغ المناسبة",
     "ur": "مرکب دو ابعادی شکلوں اور سہ ابعادی اجسام کے احاطے، دائرے کے محیط، رقبے، حجم اور سطح کے رقبے سے متعلق مسائل مناسب کلیوں کے ساتھ حل کریں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "before",
    "kind": "reflection",
    "title": {
     "en": "A chapter on measuring",
     "ar": "باب في المساحة",
     "ur": "پیمائش کا ایک باب"
    },
    "text": {
     "en": "Mensuration is the science of measuring areas and volumes, and al-Khwarizmi gave it a chapter of his book. The record lists his rules: the area of a triangle is its height times half its base, and the circumference of a circle is the diameter times three and a seventh, which he calls \"a convention among people, not a necessity\". Which of these rules can you check by measuring a real circle?",
     "ar": "المساحة علم قياس السطوح والأجسام، وقد خصّه الخوارزمي بباب في كتابه. ويورد السجل قواعده: تكسير المثلث أن تضرب عموده في نصف قاعدته، ودور الدائرة، أي محيطها، القطر في ثلاثة وسبع، وهو عنده «اصطلاح بين الناس من غير اضطرار». أي هذه القواعد تستطيع أن تتحقق منه بقياس دائرة حقيقية؟",
     "ur": "مساحت سطحوں اور اجسام کو ناپنے کا علم ہے، اور الخوارزمی نے اس کے لیے اپنی کتاب میں ایک باب رکھا۔ ریکارڈ اس کے قاعدے گنواتا ہے: مثلث کا رقبہ اس کی بلندی کو آدھے قاعدے سے ضرب دینا ہے، اور دائرے کا محیط قطر کو تین اور ایک ساتویں سے ضرب دینا ہے، جسے وہ «لوگوں کے درمیان ایک اصطلاح، بغیر کسی لازمی ضرورت کے» کہتا ہے۔ ان میں سے کون سا قاعدہ آپ ایک حقیقی دائرہ ناپ کر جانچ سکتے ہیں؟"
    },
    "entity": "concept/ilm-al-misaha",
    "sources": [
     "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
    ]
   },
   {
    "position": "within",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "en": "Sixteen decimal places for the circle",
     "ar": "ست عشرة منزلة عشرية للدائرة",
     "ur": "دائرے کے لیے سولہ اعشاری مقام"
    },
    "text": {
     "en": "MacTutor dates al-Kashi's Treatise on the Circumference to 1424 and describes him expressing twice the ratio of circumference to diameter in sexagesimal and decimal forms with high precision. Okten reports the decimal value 6.2831853071795865, an approximation to twice the ratio, not to pi itself. The record calls this an improvement of an inherited calculation, not the discovery of pi. Which circle has a circumference equal to that number?",
     "ar": "تؤرخ ماكتوتر «الرسالة المحيطية» للكاشي بسنة 1424، وتذكر أنه أخرج ضعف نسبة المحيط إلى القطر في النظام الستيني ثم العشري بدقة عالية. وينقل أوكتن العدد العشري 6.2831853071795865، وهو قيمة تقريبية لضعف النسبة لا لـpi نفسها. ويصف السجل ذلك بأنه تحسين لحساب قديم لا اكتشاف pi. أي دائرة يساوي محيطها هذا العدد؟",
     "ur": "ماک ٹیوٹر الکاشی کی «الرسالۃ المحیطیہ» کو 1424ء کی بتاتی ہے اور کہتی ہے کہ اس نے محیط اور قطر کی نسبت کا دگنا ساٹھ کے نظام اور اعشاری نظام دونوں میں اعلیٰ درستی سے نکالا۔ اوکتن اعشاری عدد 6.2831853071795865 نقل کرتا ہے، جو نسبت کے دگنے کی تقریبی قدر ہے، pi کی نہیں۔ ریکارڈ اسے ایک پرانے حساب کی بہتری کہتا ہے، pi کی دریافت نہیں۔ کس دائرے کا محیط اس عدد کے برابر ہے؟"
    },
    "entity": "invention/al-kashi-pi-calculation",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/tdv-kashi-okten"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "en": "Measuring a ceiling of hollows",
     "ar": "قياس سقف من التجاويف",
     "ur": "کھوکھلوں سے بنی چھت کی پیمائش"
    },
    "text": {
     "en": "In the Key to Arithmetic, al-Kashi organised the measurement of muqarnas, the tiered cellular construction that articulates and decorates ceilings: he selects a module, counts elements by shape, and adds the surfaces of facets, roofs and connecting pieces. Dold-Samplonius notes an inconsistency in the projection and values whose derivation she does not know. Why is counting hollows in a photograph not enough to find the surface area?",
     "ar": "في «مفتاح الحساب» نظّم الكاشي قياس سطح المقرنص، وهو البناء الخلوي المتدرج الذي يربط أجزاء السقف ويزينها: يختار وحدة معيارية، ويعدّ الأجزاء بحسب أشكالها، ويجمع مساحات الوجوه والسقوف والعناصر الواصلة. وتذكر دولد-سامبلونيوس تناقضاً في المسقط وقيماً لم تعرف اشتقاقها. لماذا لا يكفي عدّ التجاويف في صورة لحساب السطح؟",
     "ur": "«مفتاح الحساب» میں الکاشی نے مقرنس کی سطح کی پیمائش کو ترتیب دیا، جو تہ بہ تہ خانوں والی وہ تعمیر ہے جو چھت کے حصوں کو جوڑتی اور سجاتی ہے: وہ ایک معیاری اکائی چنتا ہے، اجزا کو ان کی شکلوں کے مطابق گنتا ہے، اور رخوں، چھتوں اور جوڑنے والے اجزا کے رقبے جمع کرتا ہے۔ دولد-سامبلونیوس اسقاط میں ایک تضاد اور ایسی قدروں کا ذکر کرتی ہیں جن کی اخذ کا انہیں علم نہیں۔ تصویر میں کھوکھلے گن لینا سطح کا رقبہ معلوم کرنے کے لیے کیوں کافی نہیں؟"
    },
    "entity": "invention/kashi-muqarnas-mensuration",
    "sources": [
     "source/dold-samplonius-muqarnas-1992"
    ]
   }
  ],
  "order": 2
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تحل مسائل المحيط ومحيط الدائرة والمساحة والحجم ومساحة السطح للأشكال المركّبة والأجسام ثلاثية الأبعاد بصيغ مناسبة. ويقدّم المتحف ثلاث بطاقات عن قياس المساحات والدائرة وسقف المقرنص؛ أما المسائل والصيغ والحسابات فعلى صفّك أن يجريها. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "كيف تقيس شكلاً مركّباً من أشكال بسيطة؟",
     "markdown": "ارسم شكلاً مركّباً، ثم قسّمه إلى أشكال تعرف صيغة مساحتها. احسب كل جزء، ثم اجمع، وقل أي صيغة استعملت لكل جزء ولماذا. وتحقق من إجابتك بطريقة تقسيم أخرى."
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "يقسم باب [[concept/ilm-al-misaha|المساحة]] عند [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]] المثلثات إلى ثلاثة أجناس: قائمة وحادة ومنفرجة. وفي المثلث الحاد المختلف الأضلاع، وأضلاعه 13 و14 و15 ذراعاً، يُعرف «مسقط الحجر» والعمود بالجبر والمقابلة، فيخرج العمود اثني عشر والتكسير أربعة وثمانين {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.78} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.79}. ومن مسائل الباب مربع داخل مثلث ساقاه عشرة أذرع وقاعدته اثنا عشر: يُجعل ضلع المربع «شيئاً» فيخرج أربعة أذرع وأربعة أخماس ذراع {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.81} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.82}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "لا تحفظ سجلات المتحف جملة يقول فيها الكاشي لماذا قاس المقرنص. وهي تبين أين وضعه: فالدراسة تضع المقرنص في آخر أقسام الفصل التاسع من المقالة الرابعة من [[work/miftah-al-hisab-kashi|مفتاح الحساب]]، وهو فصل قياس المنشآت والأبنية، وهذا الترتيب يربطه بمسائل المساحات السابقة {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp193-and196} {cite:kashi-mactutor Key}. وتشير الدراسة إلى أن كثيراً من أشكال السقوف سبق بحثها في الفصل الثاني من المقالة نفسها {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp209-213}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "العدد الطويل الذي يُنسب إلى [[invention/al-kashi-pi-calculation|الكاشي]] ليس العدد pi نفسه. فالنسبة pi هي محيط الدائرة مقسوماً على قطرها في الهندسة المستوية المعتادة، أما 2pi فهو محيط دائرة نصف قطرها وحدة واحدة، وخلطهما يضاعف النتيجة خطأ. وينقل أوكتن للكاشي العدد العشري 6.2831853071795865، وهو قيمة تقريبية لضعف النسبة، لا قيمة pi نفسها {cite:tdv-kashi-okten mathematics}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "يقول زميل لك إن العدد 6.2831853071795865 هو pi. ماذا ستطلب منه أن يتحقق منه، ولماذا يغيّر تمييز السجل بين النسبة وضعفها جواب مسألة عن محيط دائرة؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]]: المثلثات الثلاثة، ومسألة المربع داخل المثلث، وغيرها من قواعد الباب.\n- [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة]]: ما العدد الذي نقله أوكتن وما لم يقله.\n- [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص]]: كيف تُجمع مساحات سقف مركب."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ عن [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]] وعن [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة]] وعن [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص]]. اختر قاعدة واحدة، وطبّقها على شكل من صفّك، وقارن نتيجتك بصيغة تعرفها."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g8-math-e-2",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to solve problems involving perimeter, circumference, area, volume and surface area of composite two-dimensional shapes and three-dimensional objects, using appropriate formulas. The museum offers three cards on the measuring of areas, the circle and a muqarnas ceiling; the problems, the formulas and the calculations are for your class to do. {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "How do you measure a shape built from simple shapes?",
     "markdown": "Draw a composite shape, then divide it into shapes whose area formula you know. Work out each part, add them, and say which formula you used for each part and why. Check your answer by dividing the shape a different way."
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "In the chapter on mensuration, as [[concept/ilm-al-misaha|the museum's record]] reports it, [[person/al-khwarizmi|al-Khwarizmi]] sorts triangles into three kinds: right, acute and obtuse. For an acute triangle of unequal sides, of 13, 14 and 15 cubits, the foot of the height and the height itself are found by al-jabr and al-muqabala, giving a height of twelve and an area of eighty-four {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.78} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.79}. Another problem puts a square inside a triangle with sides of ten cubits and a base of twelve: the side of the square is made a \"thing\" and comes out at four and four-fifths cubits {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.81} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.82}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "The museum's records preserve no sentence in which al-Kashi says why he measured muqarnas. They show where he put it: the study locates muqarnas in the last section of chapter nine of Book IV of the [[work/miftah-al-hisab-kashi|Key to Arithmetic]], on measuring structures and buildings, and that placement connects it with earlier plane-area problems {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp193-and196} {cite:kashi-mactutor Key}. Many roof shapes had already been discussed in Book IV's chapter two {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp209-213}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "The long number credited to [[invention/al-kashi-pi-calculation|al-Kashi]] is not pi itself. Pi is the circumference divided by the diameter in ordinary plane geometry. Twice pi is the circumference of a unit-radius circle, and confusing them doubles the answer incorrectly. Okten reports al-Kashi's decimal value 6.2831853071795865, which is an approximation to twice the ratio, not pi itself {cite:tdv-kashi-okten mathematics}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "A classmate says that 6.2831853071795865 is pi. What would you ask them to check, and why does the record's distinction between the ratio and twice the ratio change the answer to a problem about the circumference of a circle?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]]: the three kinds of triangle, the square inside a triangle, and the other rules of the chapter.\n- [[invention/al-kashi-pi-calculation|Al-Kashi's high-precision circumference computation]]: which number Okten reports, and what it is and is not.\n- [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|Al-Kashi's modular muqarnas mensuration]]: how the areas of a compound ceiling are added."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read about [[concept/ilm-al-misaha|mensuration]], [[invention/al-kashi-pi-calculation|al-Kashi's circumference computation]] and [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|al-Kashi's muqarnas mensuration]]. Choose one rule, apply it to a shape from your class, and compare your result with a formula you know."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g8-math-e-2",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code; claude-sonnet-5-5"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ مرکب دو ابعادی شکلوں اور سہ ابعادی اجسام کے احاطے، دائرے کے محیط، رقبے، حجم اور سطح کے رقبے کے مسائل مناسب کلیوں سے حل کریں۔ عجائب گھر رقبوں کی پیمائش، دائرے اور مقرنس کی چھت پر تین کارڈ پیش کرتا ہے؛ مسائل، کلیے اور حساب آپ کی جماعت کرے گی۔ {cite:ontario-curriculum-elementary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "سادہ شکلوں سے بنی ہوئی شکل کیسے ناپیں؟",
     "markdown": "ایک مرکب شکل بنائیں، پھر اسے ایسی شکلوں میں بانٹیں جن کے رقبے کا کلیہ آپ جانتے ہوں۔ ہر حصہ نکالیں، انہیں جمع کریں، اور بتائیں کہ ہر حصے کے لیے کون سا کلیہ لگایا اور کیوں۔ شکل کو کسی اور طرح بانٹ کر اپنا جواب جانچیں۔"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "[[concept/ilm-al-misaha|علمِ مساحت]]، [[invention/al-kashi-pi-calculation|الکاشی کے محیطِ دائرہ کے حساب]] اور [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|الکاشی کی مقرنس کی پیمائش]] کے بارے میں پڑھیں۔ ایک قاعدہ چنیں، اسے اپنی جماعت کی کسی شکل پر لگائیں، اور نتیجے کا موازنہ کسی ایسے کلیے سے کریں جو آپ جانتے ہوں۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g8-math-e-2",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code; claude-sonnet-5-5"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}