{
 "id": "course/ca-on-g9-mth1w-c-2",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g9-mth1w-c-2",
 "label": {
  "ar": "تبسيط العبارات وحل المعادلات",
  "en": "Simplifying expressions and solving equations",
  "ur": "اظہارات کو سادہ کرنا اور مساواتیں حل کرنا"
 },
 "summary": {
  "ar": "تبسيط العبارات الجبرية وجمع المتشابه، وحل المعادلات والتحقق من الحلول، في ضوء ضروب الخوارزمي الستة وحساب الكرجي.",
  "en": "Simplifying algebraic expressions and collecting like terms, and solving equations and verifying the solutions, in light of al-Khwarizmi's six types and al-Karaji's arithmetic.",
  "ur": "الجبری اظہارات کو سادہ کرنا اور ہم جنس اجزا جمع کرنا، اور مساواتیں حل کر کے جوابوں کی تصدیق کرنا، خوارزمی کی چھ قسموں اور کرجی کے حساب کی روشنی میں۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-secondary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g9-mth1w-c",
  "expectations": [
   {
    "code": "C1.4",
    "text": {
     "en": "simplify algebraic expressions by applying properties of operations of numbers, using various representations and tools, in different contexts",
     "ar": "بسّط عبارات جبرية بتطبيق خصائص العمليات على الأعداد، مستعينًا بتمثيلات وأدوات متنوعة، في سياقات مختلفة",
     "ur": "اعداد پر عملوں کی خصوصیات لاگو کر کے الجبری اظہارات کو سادہ کریں، مختلف نمائندگیوں اور اوزار کے ساتھ، مختلف سیاق میں"
    }
   },
   {
    "code": "C1.5",
    "text": {
     "en": "create and solve equations for various contexts, and verify their solutions",
     "ar": "أنشئ معادلات لسياقات متنوعة وحُلَّها، وتحقق من حلولها",
     "ur": "مختلف سیاق کے لیے مساواتیں بنائیں اور حل کریں، اور ان کے حل کی تصدیق کریں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "within",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "ضروب المعادلات الستة",
     "en": "The six types of equation",
     "ur": "مساوات کی چھ قسمیں"
    },
    "text": {
     "ar": "قسّم الخوارزمي معادلات الدرجة الأولى والثانية ذات المعاملات الموجبة إلى ستة ضروب: ثلاثة مفردة وثلاثة مقترنة. والضروب المفردة الثلاثة: «مال يعدل خمسة أجذاره»، فالجذر خمسة والمال خمسة وعشرون؛ و«خمسة أموال تعدل ثمانين»، فالمال الواحد خمس الثمانين وهو ستة عشر؛ و«أربعة أجذار تعدل عشرين»، فالجذر خمسة. كيف تتحقق من كل جواب بردّه إلى المسألة؟",
     "en": "Al-Khwarizmi divided first- and second-degree equations with positive terms into six types, three simple and three compound. The three simple types are: \"a square equals five of its roots\", so the root is five and the square twenty-five; \"five squares equal eighty\", so one square is a fifth of eighty, sixteen; and \"four roots equal twenty\", so the root is five. How could you check each answer by putting it back into the problem?",
     "ur": "خوارزمی نے مثبت اجزا والی پہلے اور دوسرے درجے کی مساواتوں کو چھ قسموں میں بانٹا: تین مفرد اور تین مقترن۔ تین مفرد قسمیں یہ ہیں: «ایک مال اپنے پانچ جذروں کے برابر ہے»، تو جذر پانچ اور مال پچیس؛ «پانچ مال اسی کے برابر ہیں»، تو ایک مال اسی کا پانچواں حصہ یعنی سولہ؛ اور «چار جذر بیس کے برابر ہیں»، تو جذر پانچ۔ ہر جواب کو مسئلے میں واپس رکھ کر آپ اس کی تصدیق کیسے کریں گے؟"
    },
    "entity": "concept/al-durub-al-sitta",
    "sources": [
     "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "ضرب المقادير المركبة وجمع المتشابه",
     "en": "Multiplying composite expressions and collecting like terms",
     "ur": "مرکب اظہارات کی ضرب اور ہم جنس اجزا کا جمع"
    },
    "text": {
     "ar": "اشتغل الكرجي أيضاً بالمقادير المركبة من حدود عدة، وتصف السيرة الضرب بأن تعمل الحدود بعضها في بعض قبل جمع النتائج المتشابهة. ومثال السجل الحديث، وهو شرح حسابي لا مثال من الكتاب، أن ضرب x+2 في x+3 يعطي x²+3x+2x+6 ثم x²+5x+6، ويتحقق منه بوضع x=2، فيكون حاصل أربعة في خمسة عشرين، وهو حاصل أربعة زائد عشرة زائد ستة. أين جُمعت الحدود المتشابهة في هذا المثال؟",
     "en": "Al-Karaji also worked on composite expressions of several terms, and MacTutor describes multiplication as combining terms before collecting matching results. The record's own modern example, an explanatory one and not an example from the book, expands (x+2)(x+3) to x²+3x+2x+6 and then x²+5x+6, and checks it by setting x=2, where four times five and four plus ten plus six both give twenty. Where in that example are the like terms collected?",
     "ur": "کرجی نے کئی اجزا والے مرکب اظہارات پر بھی کام کیا، اور سوانح ضرب کو یوں بیان کرتی ہے کہ پہلے اجزا کو ایک دوسرے سے ضرب دیا جاتا ہے اور پھر ہم جنس نتائج جمع کیے جاتے ہیں۔ ریکارڈ کی اپنی جدید مثال، جو وضاحتی ہے اور کتاب کی مثال نہیں، یہ ہے کہ x+2 کو x+3 سے ضرب دینے پر x²+3x+2x+6 اور پھر x²+5x+6 ملتا ہے، اور x=2 رکھ کر تصدیق ہوتی ہے، جہاں چار ضرب پانچ اور چار جمع دس جمع چھ دونوں بیس ہیں۔ اس مثال میں ہم جنس اجزا کہاں جمع کیے گئے؟"
    },
    "entity": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "order": 2
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تبسّط عبارات جبرية بخصائص العمليات، وأن تنشئ معادلات وتحلّها وتتحقق من حلولها. يقدّم المتحف معادلات الخوارزمي الستة وطريقة الكرجي في ضرب المقادير المركبة؛ أما معادلاتك أنت وسياقاتها فيأتي بها صفّك. {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "كيف تعرف أن حلّك صحيح؟",
     "markdown": "عوّض الجواب في المسألة الأصلية وقارن الطرفين. ثم اسأل: هل يكفي اختبار قيمة واحدة لإثبات قاعدة عامة؟ اقرأ كيف يفرّق السجل بين الحساب والتحقق والتعليل."
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "اقرأ برهان الخوارزمي قراءة متأنية. يقول إن الأجذار لا تُنصّف في الضروب الثلاثة الأولى، وإنه جعل لكل باب من الأبواب الثلاثة الباقية «صورة يستدل منها على العلة» {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}. ففي مسألة المال والعشرة الأجذار يرسم المال سطحاً مربعاً مجهول الضلع، ويقسم العشرة الأجذار أربعة سطوح يضعها على أضلاعه، ثم يكمل الزوايا الأربع بمربعات صغيرة مجموعها خمسة وعشرون، فيصير السطح الأعظم أربعة وستين وضلعه ثمانية {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.36}. وكما يعرض [[invention/algebra|سجل جبره]]، تصف سيرة TDV الرسم بالمربعات والمستطيلات بأنه تمثيل هندسي للحل التحليلي والتحقق منه؛ وهذا يميز خطوة العثور على العدد عن خطوة إظهار العلاقة التي تجعل الحساب صحيحاً {cite:tdv-harizmi pp. 224–227}. ويختم [[concept/al-durub-al-sitta|نظرية الضروب الستة]] بقاعدة أن كل مسألة لا بد أن تخرجك إلى أحدها {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.43}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "غرض الخوارزمي المعلن من الصور أنها تُظهر العلة {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}. وفي [[work/al-jabr-wal-muqabala|كتابه]] مسائل لا تستقيم لها صورة لأنها من ثلاثة أجناس مختلفة، فيبيّن اضطرارها باللفظ {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.50}. أما [[person/al-karaji|الكرجي]] فلا تحفظ السجلات له غرضاً معلناً؛ وهي تُظهر أن كتابه «الفخري» احتفظ ببراهين هندسية {cite:tdv-kereci pp. 277–278}."
    },
    {
     "heading": "رأيان",
     "markdown": "هل حرّر حساب الكرجي للمقادير الجبر من الهندسة؟ تبرز قراءة فوبكه ورشدي راشد، كما تنقلها ماكتوتر، جعل العمليات الجبرية أقل اعتماداً على تمثيلها بالأشكال، وترى في ذلك اتجاهاً مهماً نحو استقلال الحساب الجبري {cite:karaji-mactutor Biography}. أما القراءة التي ينقلها العرض عن كروسلي فتشدد على الأمثلة العددية وحدود البرهان وبقاء نظريات إقليدس في حل المعادلات {cite:karaji-mactutor Biography}. وتؤيد TDV بقاء البرهان الهندسي في «الفخري» {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. والسجل يعرض هذه القراءات ولا يحسمها."
    },
    {
     "heading": "كيف نعرف؟",
     "markdown": "ما نقرؤه للخوارزمي هو طبعة القاهرة، ومحققاها يكتبان [[concept/al-durub-al-sitta|الضروب الستة]] بالرموز الحديثة، ويشرحان أن بحثه مقصور على الأعداد الموجبة {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}. وأما الكرجي فالشاهد نصي: تعرض TDV «الفخري» و«البديع» وغيرهما، وتذكر ما نشر ودرس من هذه المؤلفات {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. وتكشف مقدمة فوبكه عن مخطوط متضرر وإصلاحات في المادة التي اعتمدها، فتذكرنا بأن الطبعة تمر بوساطة المحقق {cite:karaji-woepcke-1853 p. 3}. و[[invention/karaji-polynomial-arithmetic|سجل حساب الكرجي]] يقول إن الأعداد والرموز التي يشرح بها من وضع المتحف، لا مثال ننسب ألفاظه أو أرقامه إلى الكتاب {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "يقول السجل إن التعويض قد يكشف خطأً حسابياً، لكن اتفاق الطرفين عند قيمة واحدة لا يبرهن على صحة القاعدة لكل قيمة {cite:karaji-mactutor Biography}. خذ موقفاً وأجب عن أقوى اعتراض عليه: هل يبرّر رسمٌ كمربعات الخوارزمي قاعدةً أفضل مما يبرّرها فحص بعدد واحد؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[concept/al-durub-al-sitta|الضروب الستة للمعادلات]]: الصورة لكل ضرب مقترن، والمسائل الست النموذجية.\n- [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|حساب الكرجي للمقادير المركبة]]: عمليات على المقادير وحدودها وآراء المؤرخين.\n- [[person/al-karaji|الكرجي]]: مؤلفاته واسمه وما لا يُعرف عنه.\n- [[work/al-jabr-wal-muqabala|كتاب الجبر والمقابلة]]: الأبواب، ورموز المحققين الحديثة."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ [[concept/al-durub-al-sitta|الضروب الستة ⁦(أنواع المعادلات عند الخوارزمي)⁩]] ثم [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|حساب القوى والمقادير المركبة عند الكرجي]]. حلّ إحدى مسائل الخوارزمي في دفترك وتحقق من كل جواب، ثم وسّع حاصل ضرب من عندك على طريقة الكرجي."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-c-2",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to simplify algebraic expressions using the properties of operations, and to create and solve equations and verify the solutions. The museum offers al-Khwarizmi's six types of equation and al-Karaji's way of multiplying composite expressions; your own equations and their contexts are for your class to bring. {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "How do you know your answer is right?",
     "markdown": "Put the answer back into the original problem and compare both sides. Then ask: is testing one value enough to prove a general rule? Read how the record separates doing an operation, checking an example and justifying a rule."
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "Read al-Khwarizmi's proof closely. He says that roots are not halved in the first three types, and that for each of the remaining three he made “a figure from which the cause is shown” {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}. For a square and ten roots he draws the square as a figure of unknown side, divides the ten roots into four rectangles placed on its sides, then completes the four corners with small squares totalling twenty-five, so that the large square is sixty-four with side eight {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.36}. As [[invention/algebra|the record of his algebra]] reports, the TDV biography describes the squares and rectangles as a geometrical representation and verification of the analytical solution, distinguishing the calculation that finds a number from the drawing that makes the relation behind it visible {cite:tdv-harizmi pp. 224–227}. He ends [[concept/al-durub-al-sitta|the theory of the six types]] with the rule that every problem must bring you to one of them {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.43}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "For the figures, al-Khwarizmi's own stated purpose is that they show the cause {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.35}. For expressions in [[work/al-jabr-wal-muqabala|his book]] that have no figure, because they combine three different kinds, he shows their necessity in words {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.50}. For [[person/al-karaji|al-Karaji]] the records preserve no stated purpose; what they show is that his al-Fakhri kept geometrical demonstrations {cite:tdv-kereci pp. 277–278}."
    },
    {
     "heading": "Two views",
     "markdown": "Did al-Karaji's arithmetic of expressions free algebra from geometry? As MacTutor reports, Woepcke and Rashed emphasize algebraic operations becoming less dependent on geometrical representation, an important direction toward autonomous algebraic arithmetic {cite:karaji-mactutor Biography}. The account it reports from Crossley stresses numerical examples, limits of demonstration and retained Euclidean theorems in equation solving {cite:karaji-mactutor Biography}. TDV likewise notes geometrical proof in al-Fakhri {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. The record presents these interpretations without resolving them."
    },
    {
     "heading": "How do we know?",
     "markdown": "What we read of al-Khwarizmi is the Cairo edition, whose editors write [[concept/al-durub-al-sitta|the six types]] in modern symbols and explain that he worked only with positive numbers {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.32}. For al-Karaji the witnesses are textual: TDV discusses al-Fakhri, al-Badi and other works and their editions and scholarship {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. Woepcke's introduction describes damaged manuscript material and restoration, reminding readers that an edition has editorial mediation {cite:karaji-woepcke-1853 p. 3}. [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|The record of al-Karaji's arithmetic]] says its explanatory numbers and symbols are the museum's own, not an example claimed to have been copied from the historical book {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "The record says that substitution can uncover an arithmetic mistake, but that agreement at one value does not prove a rule for every value {cite:karaji-mactutor Biography}. Take a position and answer the strongest objection: does a drawing like al-Khwarizmi's squares justify a rule better than a check with one number?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[concept/al-durub-al-sitta|The six types of equation]]: the figure for each compound type, and the six model problems.\n- [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|Al-Karaji's polynomial arithmetic]]: operations on expressions, their limits, and the historians' views.\n- [[person/al-karaji|al-Karaji]]: his works, his name and what is not known.\n- [[work/al-jabr-wal-muqabala|The Book of al-Jabr and al-Muqabala]]: the chapters, and the Cairo editors' modern symbols."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read [[concept/al-durub-al-sitta|The six types of equation (al-Khwarizmi)]] and then [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|Al-Karaji's polynomial arithmetic]]. Solve one of al-Khwarizmi's problems in your notebook and verify each answer, then expand a product of your own the way the record shows al-Karaji's method."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-c-2",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ عملوں کی خصوصیات سے الجبری اظہارات کو سادہ کریں، اور مساواتیں بنائیں، حل کریں اور حل کی تصدیق کریں۔ عجائب گھر خوارزمی کی چھ قسم کی مساواتیں اور مرکب اظہارات کو ضرب دینے کا کرجی کا طریقہ پیش کرتا ہے؛ آپ کی اپنی مساواتیں اور ان کے سیاق آپ کی جماعت لائے گی۔ {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "آپ کو کیسے معلوم ہو کہ آپ کا جواب درست ہے؟",
     "markdown": "جواب کو اصل مسئلے میں رکھ کر دونوں طرف کا موازنہ کریں۔ پھر پوچھیں: کیا ایک قیمت کا امتحان کسی عمومی قاعدے کو ثابت کرنے کے لیے کافی ہے؟ پڑھیں کہ ریکارڈ عمل کرنے، مثال کی جانچ اور قاعدے کی توجیہ میں کیسے فرق کرتا ہے۔"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "[[concept/al-durub-al-sitta|The six types of equation (al-Khwarizmi)]] پڑھیں، پھر [[invention/karaji-polynomial-arithmetic|الکرجی کا کثیر رکنی حساب]]۔ خوارزمی کا ایک مسئلہ اپنی کاپی میں حل کریں اور ہر جواب کی تصدیق کریں، پھر اپنے ایک حاصلِ ضرب کو اسی طرح پھیلائیں جیسے ریکارڈ کرجی کا طریقہ دکھاتا ہے۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-c-2",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}