{
 "id": "course/ca-on-g9-mth1w-e-1",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g9-mth1w-e-1",
 "label": {
  "ar": "قصة نسبة المحيط إلى القطر",
  "en": "The story of the circle's ratio",
  "ur": "دائرے کی نسبت کی کہانی"
 },
 "summary": {
  "ar": "قصة تقريب نسبة المحيط إلى القطر في ثقافة واحدة، من باب المساحة عند الخوارزمي إلى حساب الكاشي، وصلتها بعلم الفلك.",
  "en": "The story of approximating the ratio of circumference to diameter in one culture, from al-Khwarizmi's mensuration chapter to al-Kashi's computation, and its link to astronomy.",
  "ur": "ایک ثقافت میں محیط اور قطر کی نسبت کو قریب لانے کی کہانی، خوارزمی کے باب مساحت سے کاشی کے حساب تک، اور علمِ فلکیات سے اس کا تعلق۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-secondary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g9-mth1w-e",
  "expectations": [
   {
    "code": "E1.1",
    "text": {
     "en": "research a geometric concept or a measurement system to tell a story about its development and use in a specific culture or community, and describe its relevance in connection to careers and to other disciplines",
     "ar": "ابحث في مفهوم هندسي أو نظام قياس لتروي قصة تطوّره واستعماله في ثقافة أو مجتمع بعينه، وصِف صلته بالمهن وبالمجالات المعرفية الأخرى",
     "ur": "کسی ہندسی تصور یا پیمائش کے نظام کی تحقیق کریں تاکہ کسی مخصوص ثقافت یا برادری میں اس کی ترقی اور استعمال کی کہانی سنا سکیں، اور پیشوں اور دیگر مضامین سے اس کا تعلق بیان کریں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "before",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "نسبة المحيط إلى القطر «اصطلاح»",
     "en": "The ratio of circumference to diameter as a convention",
     "ur": "محیط اور قطر کی نسبت ایک اصطلاح"
    },
    "text": {
     "ar": "يقول الخوارزمي في باب المساحة من كتابه إن جعل المحيط القطر في ثلاثة وسبع «اصطلاح بين الناس من غير اضطرار». ويذكر قولين آخرين، منهما قول أهل النجوم: أن تضرب القطر في 62832 وتقسم على 20000، ويقول إن ذلك كله قريب بعضه من بعض. ويعلّق محققا طبعة القاهرة بأن أقرب هذه القيم إلى الحقيقة قيمة أهل النجوم. لماذا يسمّي قيمةً ما «اصطلاحاً»؟",
     "en": "In the mensuration chapter of his book, al-Khwarizmi says that taking the circumference as three and a seventh times the diameter is \"a convention among people, not a necessity\". He gives two other views, one of them the astronomers' rule: multiply the diameter by 62,832 and divide by 20,000, and says all of them are close to one another. The Cairo editors comment that the astronomers' value is the closest to the truth. Why might he call a value a convention?",
     "ur": "خوارزمی اپنی کتاب کے باب مساحت میں کہتے ہیں کہ محیط کو قطر کا تین اور ایک ساتواں گنا ماننا «لوگوں میں ایک اصطلاح ہے، کوئی لازمی بات نہیں»۔ وہ دو اور قول بیان کرتے ہیں، جن میں اہلِ نجوم کا قاعدہ ہے: قطر کو 62832 سے ضرب دے کر 20000 پر تقسیم کرو؛ اور کہتے ہیں کہ یہ سب ایک دوسرے کے قریب ہیں۔ قاہرہ ایڈیشن کے محققین تبصرہ کرتے ہیں کہ اہلِ نجوم کی قیمت حقیقت سے سب سے قریب ہے۔ وہ کسی قیمت کو اصطلاح کیوں کہتے ہیں؟"
    },
    "entity": "concept/ilm-al-misaha",
    "sources": [
     "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "حساب الكاشي لمحيط الدائرة",
     "en": "Al-Kashi computes the circumference",
     "ur": "کاشی کا محیطِ دائرہ کا حساب"
    },
    "text": {
     "ar": "تؤرخ ماكتوتر «الرسالة المحيطية» للكاشي بسنة 1424م، وتذكر إخراج ضعف نسبة المحيط إلى القطر في النظام الستيني ثم العشري بدقة عالية، وينقل أوكتن العدد العشري 6.2831853071795865. ويقول السجل إنه تحسين لحساب قديم لا اكتشاف العدد pi، وإن إيرانيكا تصف مضلعات داخل الدائرة وحولها لتقريب المحيط. كيف يقرّبنا مضلع من دائرة؟",
     "en": "MacTutor dates al-Kashi's Treatise on the Circumference to 1424 and describes it as giving twice the ratio of circumference to diameter in sexagesimal and decimal forms with high precision, and Okten reports the decimal value 6.2831853071795865. The record says this improved an inherited calculation and did not discover pi, and that Iranica describes polygons inside and around a circle to approach the circumference. How does a polygon bring you closer to a circle?",
     "ur": "میک ٹیوٹر کاشی کے «رسالۂ محیطیہ» کو 1424ء کا بتاتا ہے اور کہتا ہے کہ اس میں محیط اور قطر کی نسبت کا دگنا ستّینی اور اعشاری دونوں صورتوں میں بلند درستی کے ساتھ دیا گیا ہے، اور اوکتن اعشاری قیمت 6.2831853071795865 نقل کرتے ہیں۔ ریکارڈ کہتا ہے کہ یہ ایک وراثت میں ملے حساب کی بہتری تھی، pi کی دریافت نہیں، اور یہ کہ ایرانیکا محیط کے قریب پہنچنے کے لیے دائرے کے اندر اور باہر کثیر الاضلاع کا ذکر کرتا ہے۔ کثیر الاضلاع ہمیں دائرے کے قریب کیسے لاتا ہے؟"
    },
    "entity": "invention/al-kashi-pi-calculation",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/tdv-kashi-okten",
     "source/iranica-kashi"
    ]
   }
  ],
  "order": 1
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تبحث في مفهوم هندسي، وتروي قصة تطوّره واستعماله في ثقافة بعينها، وتصف صلته بالمهن وبالمجالات الأخرى. يقدّم المتحف قصة واحدة هي تقريب نسبة المحيط إلى القطر في العالم الإسلامي؛ أما صلتها بالمهن وبثقافات أخرى فيأتي بها صفّك. {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "متى يكون الرقم تقريباً لا تحقيقاً؟",
     "markdown": "قارن القيم الثلاث التي يذكرها الخوارزمي ثم قيمة الكاشي، وانظر كم منزلة تتفق. ما الذي يتغير حين تزيد الدقة، وما الذي يبقى مجهولاً؟"
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "يقول [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]] في باب [[concept/ilm-al-misaha|المساحة]] إن جعل المحيط القطر في ثلاثة وسبع «اصطلاح بين الناس من غير اضطرار»، ويذكر لأهل الهندسة قولين آخرين: أن تضرب القطر في مثله ثم في عشرة وتأخذ الجذر، وقول أهل النجوم أن تضرب القطر في 62832 وتقسم على 20000؛ ويقول إن ذلك كله قريب بعضه من بعض {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.72}. وفي مسألة الدائرة التي قطرها سبعة أذرع يجعل المحيط اثنين وعشرين ذراعاً {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.80}. وبعد قرون تؤرخ ماكتوتر [[work/risala-muhitiyya-kashi|رسالة الكاشي المحيطية]] بسنة 1424، وتذكر إخراج ضعف نسبة المحيط إلى القطر في النظام الستيني ثم العشري بدقة عالية {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "لا تحفظ سجلات المتحف جملة يقول فيها [[person/al-kashi|الكاشي]] لماذا طلب هذه الدقة. وتصف إيرانيكا، كما ينقل [[invention/al-kashi-pi-calculation|سجل حسابه]]، قلقاً من التواء الآلات الكبيرة، فالدقة الهندسية والعددية والمادية مترابطة وليست شيئاً واحداً {cite:iranica-kashi instruments and practical precision}. وتؤكد السير المقروءة جمعه بين الهندسة والحساب {cite:kashi-mactutor mathematical contributions}. أما الخوارزمي فيذكر في مقدمة كتابه أن مساحة الأرضين من الحاجات التي وضعه لها {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30}، ويسمّي القيمة الشائعة اصطلاحاً لا ضرورة {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.72}."
    },
    {
     "heading": "رأيان",
     "markdown": "لا يزن الخوارزمي القيم الثلاث كما يزنها محققا طبعة القاهرة. فهو يقول إنها كلها قريب بعضها من بعض {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.72}. ويعلّق المحققان بأن أقرب هذه القيم إلى الحقيقة قيمة أهل النجوم، وأبعدها جذر العشرة، وينقلان حاشية المخطوط التي تقول إن ذلك «تقريب لا تحقيق» لأن الخط المحيط ليس بمستقيم {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.71}. وينبّه المحققان على أن جعل المحيط اثنين وعشرين ذراعاً في مسألة القطر سبعة أذرع تقريبي {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.80}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "يُنسب إلى الكاشي أحياناً أنه اخترع الكسور العشرية، لكن ماكتوتر، كما ينقل السجل، تضع الكسور العشرية والجذور ضمن عمل سابق، ومنه رجال مدرسة الكرجي والسموأل. فلا يصح الانتقال من «استعمل الكسور بمهارة» إلى «اخترع كل كسر عشري»، ومقارنة زمن إنجازه بنتائج أوروبية لاحقة لا تثبت أن أصحابها قرؤوه؛ فالأسبقية الزمنية غير الاتصال النصي {cite:kashi-mactutor decimals and root methods}."
    },
    {
     "heading": "كيف نعرف؟",
     "markdown": "يطبع أوكتن `6;16,59,28,1,34,51,46,15,50` في النظام الستيني و`6.2831853071795865` في العشري. لكن الفحص الحسابي للنص المنشور يكشف فرقاً: تحويل المتتالية الستينية كما تظهر حرفياً يعطي نحو `6.2831853071795924`، لا العدد العشري المطبوع معها. ويسجل السجل عدم التطابق ولا يصحح خانة تاريخية بالتخمين، ولأن الأصل لم يُقرأ فلا يُعرف هل الخلل في النقل أو الطباعة أو غيرهما {cite:tdv-kashi-okten mathematics}. ويسمّي أوكتن طبعة لوكي وترجمتها الألمانية، ولم يقرأ المتحف الرسالة الأصلية ولا الطبعة الألمانية {cite:tdv-kashi-okten works6–8}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "يسمّي الخوارزمي القيمة المعتادة اصطلاحاً لا ضرورة ويقول إن القيم الثلاث قريبة بعضها من بعض، بينما يرتّبها المحققان بحسب قربها من الحقيقة. خذ موقفاً: هل يهمّ الفرق بين القيم الثلاث حين يقيس بنّاء دائرة قطرها سبعة أذرع؟ وما أقوى اعتراض على موقفك، وكيف تجيب عنه؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]]: القيم الثلاث كما يرويها السجل، وتعليق المحققين.\n- [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة]]: العدد في النظامين، وتحذير السجل من الخلط بين النسبة وضعفها.\n- [[work/risala-muhitiyya-kashi|الرسالة المحيطية]]: ما قرأه المتحف من وصفها وما لم يقرأه.\n- [[person/al-kashi|غياث الدين الكاشي]]: سجل صاحب الرسالة."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]] ثم [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة]]. احسب محيط دائرة قطرها سبع وحدات بكل قيمة من القيم المذكورة، وقارن النتائج."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-e-1",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to research a geometric concept, tell the story of its development and use in a specific culture, and describe its relevance to careers and other disciplines. The museum offers one story, the approximation of the ratio of circumference to diameter in the Islamic world; its link to careers and to other cultures is for your class to bring. {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "When is a number an approximation and not an exact value?",
     "markdown": "Compare the three values al-Khwarizmi mentions and then al-Kashi's, and see how many places agree. What changes as the precision grows, and what stays unknown?"
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "[[person/al-khwarizmi|Al-Khwarizmi]] says in his chapter on [[concept/ilm-al-misaha|mensuration]] that taking the circumference as three and a seventh times the diameter is \"a convention among people, not a necessity\". He gives two other views of the geometers: multiply the diameter by itself and by ten and take the root, and the astronomers' rule, multiply the diameter by 62,832 and divide by 20,000; all of them, he says, are close to one another {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.72}. In the problem of a circle of diameter seven cubits he takes the circumference as twenty-two cubits {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.80}. Centuries later, MacTutor dates al-Kashi's [[work/risala-muhitiyya-kashi|Treatise on the Circumference]] to 1424 and describes expressing twice the circumference-to-diameter ratio in sexagesimal and decimal forms with high precision {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "The museum's records preserve no sentence in which [[person/al-kashi|al-Kashi]] says why he sought this precision. Iranica, as the record of [[invention/al-kashi-pi-calculation|his computation]] reports, describes concern about large instruments warping, and the record says geometric, numerical and material accuracy are related without being identical {cite:iranica-kashi instruments and practical precision}. The biographies emphasise his combination of geometry and computation {cite:kashi-mactutor mathematical contributions}. Al-Khwarizmi, by contrast, lists the measurement of land among the needs he wrote his book for {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30}, and calls the usual value a convention, not a necessity {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.72}."
    },
    {
     "heading": "Two views",
     "markdown": "Al-Khwarizmi and the editors of the Cairo edition do not weigh the three values in the same way. He says all of them are close to one another {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.72}. The editors comment that the astronomers' value is the closest to the truth and the root of ten the furthest, and quote the manuscript's gloss that this is \"an approximation, not an exact determination\", because the circumference is not a straight line {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.71}. They also note that twenty-two cubits, in the problem of a circle of diameter seven cubits, is approximate {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.80}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "Al-Kashi is sometimes credited with inventing decimal fractions. The record reports that MacTutor places decimals and root extraction within earlier work, including al-Karaji's school and al-Samawal, so \"used fractions skilfully\" must not become \"invented all decimal fractions\". A chronological comparison with later European results does not prove their authors read him: earlier occurrence and documented textual transmission are different claims {cite:kashi-mactutor decimals and root methods}."
    },
    {
     "heading": "How do we know?",
     "markdown": "Okten prints 6;16,59,28,1,34,51,46,15,50 in sexagesimal and 6.2831853071795865 in decimal. Checking the literal printed sequence, however, reveals a discrepancy: it converts to approximately 6.2831853071795924, not the accompanying decimal. The record flags the mismatch without guessing a correction to a historical digit, and since the original was not read, it cannot locate the error in transmission, typography or elsewhere {cite:tdv-kashi-okten mathematics}. Okten names Luckey's edition and German translation, and the museum has not read the original treatise or the German edition {cite:tdv-kashi-okten works6–8}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "Al-Khwarizmi calls the usual value a convention and says the three values are close to one another, while the editors rank them by closeness to the truth. Take a position: does the difference among the three values matter when a builder measures a circle of diameter seven cubits? What is the strongest objection to your position, and how do you answer it?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]]: the three values as the record reports them, and the editors' comment.\n- [[invention/al-kashi-pi-calculation|Al-Kashi's high-precision circumference computation]]: the number in two systems, and the record's warning against confusing the ratio with twice the ratio.\n- [[work/risala-muhitiyya-kashi|Treatise on the Circumference]]: what the museum has read of the treatise's description, and what it has not.\n- [[person/al-kashi|Ghiyath al-Din al-Kashi]]: the record of the treatise's author."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read [[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]] and then [[invention/al-kashi-pi-calculation|Al-Kashi's high-precision circumference computation]]. Compute the circumference of a circle of diameter seven units with each of the values the records name, and compare the results."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-e-1",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ کسی ہندسی تصور کی تحقیق کریں، کسی مخصوص ثقافت میں اس کی ترقی اور استعمال کی کہانی سنائیں، اور پیشوں اور دیگر مضامین سے اس کا تعلق بیان کریں۔ عجائب گھر ایک کہانی پیش کرتا ہے، یعنی اسلامی دنیا میں محیط اور قطر کی نسبت کا تقریب؛ پیشوں اور دوسری ثقافتوں سے اس کا تعلق آپ کی جماعت لائے گی۔ {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "کب کوئی عدد تقریب ہوتا ہے، تحقیق نہیں؟",
     "markdown": "خوارزمی کی بیان کردہ تین قیمتوں کا اور پھر کاشی کی قیمت کا موازنہ کریں، اور دیکھیں کتنے مقام ملتے ہیں۔ درستی بڑھنے پر کیا بدلتا ہے، اور کیا نامعلوم رہتا ہے؟"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "[[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]] پڑھیں، پھر [[invention/al-kashi-pi-calculation|کاشی کا محیط دائرہ کا دقیق حساب]]۔ سات اکائی قطر والے دائرے کا محیط ریکارڈ میں آنے والی ہر قیمت سے نکالیں اور نتائج کا موازنہ کریں۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-e-1",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}