{
 "id": "course/ca-on-g9-mth1w-e-2",
 "class": "course",
 "slug": "ca-on-g9-mth1w-e-2",
 "label": {
  "ar": "تغيير الأبعاد وحجم المخروط",
  "en": "Changing dimensions, and the volume of a cone",
  "ur": "پیمائشیں بدلنا اور مخروط کا حجم"
 },
 "summary": {
  "ar": "أثر تغيير الأطوال في المساحة، وعلاقة حجم المخروط والهرم بقاعدته وارتفاعه، كما في باب المساحة عند الخوارزمي.",
  "en": "How changing lengths changes area, and how the volume of a cone or pyramid relates to its base and height, as in al-Khwarizmi's mensuration chapter.",
  "ur": "لمبائیاں بدلنے کا رقبے پر اثر، اور مخروط یا ہرم کے حجم کا اس کے قاعدے اور بلندی سے تعلق، جیسا خوارزمی کے باب مساحت میں ہے۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [],
 "regions": [],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "kind": "lesson",
  "sources": [
   "source/ontario-curriculum-secondary-mathematics"
  ],
  "status": {
   "review": "draft",
   "completeness": 1,
   "generated_by": "Claude Code; claude-sonnet-5-5; courses pipeline (docs/courses-mission/PIPELINE.md); 2026-11-12"
  },
  "part_of": "course/ca-on-g9-mth1w-e",
  "expectations": [
   {
    "code": "E1.4",
    "text": {
     "en": "show how changing one or more dimensions of a two-dimensional shape and a three-dimensional object affects perimeter/circumference, area, surface area, and volume, using technology when appropriate",
     "ar": "بيّن كيف يؤثر تغيير بُعد واحد أو أكثر في شكل ثنائي الأبعاد وفي جسم ثلاثي الأبعاد على المحيط أو محيط الدائرة والمساحة والمساحة السطحية والحجم، مستعينًا بالتقنية عند الاقتضاء",
     "ur": "دکھائیں کہ دو بُعدی شکل اور سہ بُعدی جسم کی ایک یا زیادہ پیمائشیں بدلنے سے احاطہ یا محیطِ دائرہ، رقبہ، سطحی رقبہ اور حجم پر کیا اثر پڑتا ہے، مناسب ہونے پر ٹیکنالوجی کے ساتھ"
    }
   },
   {
    "code": "E1.6",
    "text": {
     "en": "solve problems using the relationships between the volume of prisms and pyramids and between the volume of cylinders and cones, involving various units of measure",
     "ar": "حُلَّ مسائل باستعمال العلاقات بين حجم المنشورات والأهرامات وبين حجم الأسطوانات والمخاريط، بوحدات قياس متنوعة",
     "ur": "منشوروں اور اہراموں کے حجم کے درمیان اور بیلنوں اور مخروطوں کے حجم کے درمیان تعلقات استعمال کر کے مسائل حل کریں، مختلف پیمائشی اکائیوں میں"
    }
   }
  ],
  "connections": [
   {
    "position": "before",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "ضعف الضلع وحجم المخروط",
     "en": "Doubling a side, and the volume of a cone",
     "ur": "ضلع دگنا کرنا اور مخروط کا حجم"
    },
    "text": {
     "ar": "يقول الخوارزمي في باب المساحة إن المربع المتساوي الأضلاع الذي ضلعه اثنان أربعة أمثال سطح الذراع في الذراع، وإن المربع الذي ضلعه نصف ذراع ربع ذلك السطح. ويقول إن المخروط المحدد الرأس تكسيره ثلث تكسير أسفله في عموده، وإن المخروط المقطوع يُكمل حتى يصير محدداً ثم يُطرح منه ما زيد. ماذا يحدث للمساحة حين يتضاعف الضلع؟",
     "en": "In his mensuration chapter al-Khwarizmi says that an equal-sided square of side two is four times the area of the cubit-by-cubit square, and a square of side half a cubit is a quarter of it. He gives the volume of a pointed cone or pyramid as a third of its base times its height, and says a truncated one is completed to a point and the added part subtracted. What happens to an area when a side doubles?",
     "ur": "اپنے باب مساحت میں خوارزمی کہتے ہیں کہ برابر اضلاع کا مربع جس کا ضلع دو ہو، ذراع ضرب ذراع والے رقبے کا چار گنا ہے، اور جس کا ضلع آدھا ذراع ہو وہ اس کا چوتھائی ہے۔ وہ نوکدار مخروط یا ہرم کا حجم اس کے قاعدے کا تہائی ضرب اس کی بلندی بتاتے ہیں، اور کٹے ہوئے کو نوک تک پورا کر کے بڑھایا ہوا حصہ گھٹانے کو کہتے ہیں۔ جب ضلع دگنا ہو تو رقبے کے ساتھ کیا ہوتا ہے؟"
    },
    "entity": "concept/ilm-al-misaha",
    "sources": [
     "source/khwarizmi-jabr-cairo-1939"
    ]
   },
   {
    "position": "after",
    "kind": "invention",
    "title": {
     "ar": "تكبير الأطوال وتكبير المساحة",
     "en": "Scaling lengths and scaling area",
     "ur": "لمبائیوں کو بڑا کرنا اور رقبے کا بڑھنا"
    },
    "text": {
     "ar": "في قياس الكاشي لسطح المقرنص يقول السجل إن تكبير كل طول مرتين يكبر المساحة أربعاً، وإن وحدات الشكل والتكبير جزء من صحة الجواب. ماذا يحدث لمساحة شكل لو ضاعفنا ضلعه؟",
     "en": "On al-Kashi's way of measuring the surface of muqarnas, the record says that doubling every length quadruples the area, and that scale and units are part of the mathematical answer. What would happen to the area of a shape if its side were doubled?",
     "ur": "مقرنص کی سطح ناپنے کے کاشی کے طریقے پر ریکارڈ کہتا ہے کہ ہر لمبائی کو دگنا کرنے سے رقبہ چار گنا ہو جاتا ہے، اور یہ کہ پیمانہ اور اکائیاں ریاضیاتی جواب کا حصہ ہیں۔ اگر کسی شکل کا ضلع دگنا کر دیا جائے تو اس کے رقبے کا کیا ہوگا؟"
    },
    "entity": "invention/kashi-muqarnas-mensuration",
    "sources": [
     "source/dold-samplonius-muqarnas-1992"
    ]
   }
  ],
  "order": 2
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "موجز",
     "markdown": "يطلب منك هذا الدرس أن تبيّن كيف يؤثر تغيير الأبعاد في المحيط والمساحة والحجم، وأن تحلّ مسائل بعلاقات الحجوم. يقدّم المتحف المربع الذي يتضاعف ضلعه وحجم المخروط والهرم بالثلث؛ أما المنشورات والأسطوانات والمساحة السطحية فيأتي بها صفّك. {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "ماذا يتغير حين يتضاعف الطول؟",
     "markdown": "ارسم المربع بضلع واحد ثم اثنين ثم ثلاثة، وسجّل المساحات. اسأل كيف تتغير المساحة حين يتضاعف الضلع، ثم فكّر فيما قد يحدث للحجم حين تتضاعف الأبعاد كلها."
    },
    {
     "heading": "تعمّق",
     "markdown": "في باب [[concept/ilm-al-misaha|المساحة]] عند [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]]، كما يروي السجل، المخروط المحدد الرأس تكسيره ثلث تكسير أسفله في عموده، والمخروط المقطوع يُكمل حتى يصير محدداً ثم يُطرح منه ما زيد {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.80} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.81}. وفي دراسة [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|قياس الكاشي للمقرنص]] درس قريب في تغيير المقياس. فمن أرقام الأجزاء في الشكل 8: مساحة المعين ذي الزاوية 45 درجة نحو 0.707107، ونصفه 0.353553، وهي أعداد بوحدة المقياس المربعة، لا سنتيمترات ولا أحجام حفر {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp210-213}. وتكبير كل طول مرتين يكبر المساحة أربعاً؛ ووحدات الشكل والتكبير جزء من صحة الجواب {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 fig8-p213}."
    },
    {
     "heading": "لماذا فعلوا ذلك؟",
     "markdown": "يذكر الخوارزمي في مقدمة كتابه أن مساحة الأرضين من الحاجات التي وضعه لها {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30}. ولا يحفظ السجل جملة يشرح فيها الخوارزمي أو الكاشي لماذا عالجا الأجسام أو السقوف. وفي حالة الكاشي تفرق دولد-سامبلونيوس بين ما قاله النص وما تستنتجه: فتفسيرها قلة عناية المؤلف بالنوع المستوي قياساً بالمقوس محاولة لفهم عدم الاتساق، لا شهادة مباشرة على نيته {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp193-194-and211}."
    },
    {
     "heading": "خطأ شائع",
     "markdown": "قد توحي الأرقام ذات المنازل الكثيرة بدقة مطلقة، لكن السجل يقول إن أرقام الكتاب الكثيرة لا تتحول إلى وعد بدقة مطلقة لكل سطح منحني {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp196-and209-221}. ففي المقوس تجمع قواعد الخلايا وتضرب في معامل تشرح الباحثة أنه متوسط يفيد في توحيد الحساب؛ وليس رقماً سحرياً صالحاً لأي انحناء يختاره المصمم {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp214-221}."
    },
    {
     "heading": "كيف نعرف؟",
     "markdown": "تكشف دولد-سامبلونيوس تناقضاً في المسقط: فاعتبار مساحة السقف مساوية للمساحة التي يقام عليها المقرنص يتعارض مع السقوف المائلة في التعريف والأمثلة {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp210-211}. وهي نفسها لا تعرف اشتقاق بعض القيم المعطاة للعناصر الوسيطة، وتحصل بإعادتها على أرقام مختلفة {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp214-221}. ويقول السجل إن القراءة لا ينبغي أن تكون احتفالاً يخفي التناقض ولا رفضاً شاملاً بسببه {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp210-211}."
    },
    {
     "heading": "فكّر في هذا",
     "markdown": "تجد دولد-سامبلونيوس أن خطوة في طريقة الكاشي تتعارض مع السقوف المائلة في تعريفه وأمثلته. خذ موقفاً: هل ينبغي للطالب أن يتعلم الطريقة مع ذلك؟ وما أقوى اعتراض على موقفك، وكيف تجيب عنه؟"
    },
    {
     "heading": "إلى المتحف",
     "markdown": "- [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]]: قاعدة ثلث الأساس في العمود للمخروط والهرم، والمخروط المقطوع.\n- [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص]]: أرقام الشكل 8، والمعامل المتوسط، وما لا تعرفه الباحثة.\n- [[work/miftah-al-hisab-kashi|مفتاح الحساب]]: الكتاب الذي حفظ الطريقة وما قرأه المتحف منه.\n- [[person/al-khwarizmi|الخوارزمي]]: سجل صاحب باب المساحة."
    },
    {
     "heading": "جرّب هذا",
     "markdown": "اقرأ [[concept/ilm-al-misaha|علم المساحة]] و[[invention/kashi-muqarnas-mensuration|قياس الكاشي المعياري لمساحة المقرنص]]. اصنع نموذجاً من الورق لهرم وقارن بحساب حجمه بقاعدة الثلث، واكتب ما يفعله ضعف الطول بالمساحة."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-e-2",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": []
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Brief",
     "markdown": "This lesson asks you to show how changing dimensions affects perimeter, area and volume, and to solve problems with the relationships among volumes. The museum offers the square whose side doubles and the one-third rule for the volume of a cone or pyramid; prisms, cylinders and surface area are for your class to bring. {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "What changes when a length is doubled?",
     "markdown": "Draw the square with side one, two and three, and record the areas. Ask how the area changes when the side doubles, then think about what might happen to a volume when all the dimensions double."
    },
    {
     "heading": "Go deeper",
     "markdown": "In al-Khwarizmi's chapter on [[concept/ilm-al-misaha|mensuration]], as the record reports it, the volume of a pointed cone or pyramid is a third of its base times its height, and a truncated one is completed to a point and the added part subtracted {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.80} {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.81}. The study of [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|al-Kashi's muqarnas measurement]] carries a related lesson on scale. Its Figure 8 gives approximately 0.707107 for a 45-degree rhombus and 0.353553 for its half; these are areas in squared-module units, not centimetres or volumes of cavities {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp210-213}. The record adds that doubling every length quadruples area, so scale and units are part of the mathematical answer {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 fig8-p213}."
    },
    {
     "heading": "Why they did it",
     "markdown": "[[person/al-khwarizmi|Al-Khwarizmi]] says in his preface that the measurement of land is among the needs he wrote his book for {cite:khwarizmi-jabr-cairo-1939 p.30}. The record preserves no sentence in which he or al-Kashi explains why they treated solids or ceilings. For al-Kashi, Dold-Samplonius separates what the text says from what she infers: her explanation for his relatively careless treatment of simple muqarnas is an interpretation, not direct testimony about the author's intentions {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp193-194-and211}."
    },
    {
     "heading": "Often misunderstood",
     "markdown": "Many printed digits can suggest absolute accuracy, but the record says they do not promise absolute accuracy for every curved surface {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp196-and209-221}. For curved muqarnas the cell bases are summed and multiplied by a coefficient; the historian explains it as an average that unifies the calculation, not a magical constant valid for any chosen curvature {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp214-221}."
    },
    {
     "heading": "How do we know?",
     "markdown": "Dold-Samplonius identifies a projection inconsistency: equating the roof area with the area on which the muqarnas is built conflicts with inclined roofs in the definition and the examples {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp210-211}. She also does not know how some of the values given for the intermediate elements were obtained, and her reconstructions yield different numbers {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp214-221}. The record says that reading should be neither a celebration that suppresses the inconsistency nor a wholesale dismissal because it exists {cite:dold-samplonius-muqarnas-1992 pp210-211}."
    },
    {
     "heading": "Think about it",
     "markdown": "Dold-Samplonius finds that one step of al-Kashi's method conflicts with the inclined roofs in his own definition and examples. Take a position: should a student still learn the method? What is the strongest objection to your position, and how do you answer it?"
    },
    {
     "heading": "Into the museum",
     "markdown": "- [[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]]: the rule for the cone and pyramid and the truncated case, as the record reports them.\n- [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|Al-Kashi's modular muqarnas mensuration]]: the Figure 8 values, the average coefficient, and what the historian does not know.\n- [[work/miftah-al-hisab-kashi|The Key to Arithmetic]]: the book that carries the method, and what the museum has read of it.\n- [[person/al-khwarizmi|Al-Khwarizmi]]: the record of the author of the mensuration chapter."
    },
    {
     "heading": "Try this",
     "markdown": "Read [[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]] and [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|Al-Kashi's modular muqarnas mensuration]]. Make a paper pyramid and compare its volume with the one-third rule, and write what doubling a length does to an area."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-e-2",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "مختصر",
     "markdown": "یہ سبق آپ سے کہتا ہے کہ دکھائیں پیمائشیں بدلنے سے احاطہ، رقبہ اور حجم پر کیا اثر پڑتا ہے، اور حجموں کے تعلقات سے مسائل حل کریں۔ عجائب گھر وہ مربع پیش کرتا ہے جس کا ضلع دگنا ہو اور مخروط یا ہرم کے حجم کا تہائی والا قاعدہ؛ منشور، بیلن اور سطحی رقبہ آپ کی جماعت لائے گی۔ {cite:ontario-curriculum-secondary-mathematics}"
    },
    {
     "heading": "لمبائی دگنی ہو تو کیا بدلتا ہے؟",
     "markdown": "ایک، دو اور تین ضلع والا مربع بنائیں اور رقبے لکھیں۔ پوچھیں کہ ضلع دگنا ہو تو رقبہ کیسے بدلتا ہے، پھر سوچیں کہ جب تمام پیمائشیں دگنی ہوں تو حجم کے ساتھ کیا ہو سکتا ہے۔"
    },
    {
     "heading": "یہ آزمائیں",
     "markdown": "[[concept/ilm-al-misaha|Mensuration (ilm al-misaha)]] اور [[invention/kashi-muqarnas-mensuration|مقرنس کی سطح کا کاشی کا اکائی وار حساب]] پڑھیں۔ کاغذ کا ایک ہرم بنائیں اور اس کے حجم کا تہائی والے قاعدے سے موازنہ کریں، اور لکھیں کہ لمبائی دگنی کرنے سے رقبے کے ساتھ کیا ہوتا ہے۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "course/ca-on-g9-mth1w-e-2",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Claude Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-12"
  }
 },
 "degree": 0,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-12",
 "connections": [],
 "related": [],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}