{
 "id": "invention/abu-wafa-spherical-triangle-methods",
 "class": "invention",
 "slug": "abu-wafa-spherical-triangle-methods",
 "label": {
  "ar": "طرق أبي الوفاء لحل المثلثات الكروية",
  "en": "Abu al-Wafa's spherical-triangle solution methods",
  "ur": "کروی مثلث حل کرنے کے ابو الوفا کے طریقے"
 },
 "summary": {
  "ar": "تطوير جهاز حل المثلثات الكروية بطرق أبسط من قاعدة المقادير الستة، ومنها الجيب العام وطرق المثلث القائم؛ خلاف الأولوية لا يمحى {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}.",
  "en": "Simpler spherical-triangle methods than the six-quantity apparatus, including a general sine relation and right-triangle methods; priority dispute preserved {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}.",
  "ur": "چھ مقداروں سے آسان کروی مثلثی طریقے، عمومی جیب اور قائم مثلث کے حل سمیت؛ اولینیت کا اختلاف محفوظ {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "levant-iraq"
 ],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "value": "General spherical sine relation and simpler right-triangle methods",
    "kind": "alternate",
    "lang": "en"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics",
   "astronomy"
  ],
  "era": {
   "origins": "abbasid-golden",
   "first_attested": {
    "edtf": "09XX",
    "calendar": "julian",
    "precision": "century",
    "status": "historical",
    "note": "Broad tenth-century author activity, not exact composition, first proof or surviving-copy date; Britannica gives940 to997/998. No unsupported exact Hijri conversion.",
    "sources": [
     "source/britannica-abu-al-wafa",
     "source/abu-wafa-carra-almageste-1892"
    ]
   },
   "status_today": "living"
  },
  "origin": {
   "place": "place/baghdad",
   "context": {
    "ar": "عمل رياضي وفلكي لعالم أقام ببغداد؛ لا موضع مرصد بعينه لكل برهان {cite:britannica-abu-al-wafa biography}.",
    "en": "Mathematical/astronomical work of a Baghdad-based scholar; no exact observatory site asserted for every proof {cite:britannica-abu-al-wafa biography}.",
    "ur": "بغداد میں مقیم عالم کا ریاضیاتی و فلکی کام؛ ہر برہان کے لیے مخصوص رصدگاہ کا دعویٰ نہیں {cite:britannica-abu-al-wafa biography}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/abu-al-wafa-al-buzjani",
    "role": "improver",
    "place": "place/baghdad",
    "sources": [
     "source/abu-wafa-carra-almageste-1892",
     "source/abu-wafa-youschkevitch-dsb"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "تبسيط وتطوير طرق كروية موروثة، لا أول مثلثات أو أول ظل.",
    "en": "Simplification and extension of inherited spherical methods, not first trigonometry or tangent.",
    "ur": "موروثی کروی طریقوں کی آسانی اور ترقی، پہلی مثلثات یا ظل نہیں۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "المقدمة المترجمة تصرح بالموروث والطرق والبراهين الجديدة؛ برهان الجيب محفوظ مع خلاف أولوية يذكره المحقق {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}.",
    "en": "Translated preface names inheritance, new methods and proofs; sine proof preserved beside the editor's priority dispute {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}.",
    "ur": "ترجمہ شدہ دیباچہ ورثہ، نئے طریقے اور برہان بتاتا؛ جیب کا برہان محقق کے اولینیت اختلاف کے ساتھ محفوظ {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}۔"
   },
   "perspectives": [
    {
     "tradition": "sunni",
     "stance": {
      "ar": "الإطار السني ومساهمة المؤلف المحددة",
      "en": "Sunni frame and bounded author contribution",
      "ur": "سنی سیاق اور مصنف کا محدود حصہ"
     },
     "summary": {
      "ar": "الإطار السني معلن لا شهادة مذهب؛ نثبت الطرق والبرهان عند المؤلف دون احتكار الأولوية.",
      "en": "Sunni frame declared, not personal school proof; methods/proof credited without exclusive priority.",
      "ur": "سنی سیاق اعلان کردہ، ذاتی مسلک کا ثبوت نہیں؛ طریقے و برہان منسوب، اولینیت پر اجارہ نہیں۔"
     },
     "sources": [
      "source/britannica-abu-al-wafa",
      "source/tdv-ebul-vefa-buzcani",
      "source/abu-wafa-carra-almageste-1892"
     ]
    },
    {
     "tradition": "academic",
     "stance": {
      "ar": "خلاف الأولوية: أبو الوفاء وأبو نصر والخجندي",
      "en": "Priority dispute: Abu al-Wafa, Abu Nasr and al-Khujandi",
      "ur": "اولینیت کا اختلاف: ابو الوفا، ابو نصر اور الخجندی"
     },
     "summary": {
      "ar": "يذكر كارا خلاف أبي الوفاء وأبي نصر؛ ويضيف ماكتوتر نسبة الطوسي لبرهان الخجندي مع تحفظه على الأولوية. لا حكم متحف.",
      "en": "Carra notes Abu al-Wafa/Abu Nasr dispute; MacTutor adds al-Tusi's attribution of al-Khujandi's proof while questioning priority. No museum verdict.",
      "ur": "کارا ابو الوفا و ابو نصر کا اختلاف بتاتے؛ میک ٹیوٹر طوسی کی الخجندی کے برہان کی نسبت اور اولینیت پر تحفظ شامل کرتا۔ میوزیم کا فیصلہ نہیں۔"
     },
     "sources": [
      "source/abu-wafa-carra-almageste-1892",
      "source/khujandi-mactutor"
     ]
    }
   ]
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "منلاوس وقاعدة المقادير الستة في المثلثات الكروية",
     "en": "Menelaus and the six-quantity apparatus of spherical trigonometry",
     "ur": "مینیلاؤس اور کروی مثلثات کی چھ مقداریں"
    },
    "note": "Earlier spherical methods, not an identical sine-law proof or personal teacher chain.",
    "sources": [
     "source/abu-wafa-carra-almageste-1892",
     "source/abu-wafa-youschkevitch-dsb"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics",
    "astronomy-instruments"
   ],
   "changed": {
    "ar": "جهاز أبسط لحساب أقواس وزوايا مسائل الفلك، مع فصل البرهان الهندسي عن الحساب في المقدمة {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–425}.",
    "en": "Simpler apparatus for astronomical arcs/angles, with geometric proof distinguished from calculation in the preface {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–425}.",
    "ur": "فلکی قوس و زاویوں کا آسان حساب، دیباچے میں ہندسی برہان اور حساب الگ {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–425}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "مساهمة في تطور المثلثات الكروية لا نسب آلي لكل ملاحة لاحقة {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}.",
    "en": "Contribution to spherical trigonometry, not automatic descent of every later navigation method {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}.",
    "ur": "کروی مثلثات کی ترقی میں حصہ، ہر بعد کے بحری طریقے کا خودکار نسب نہیں {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}۔"
   },
   "significance": 4,
   "why": "Translated authorial preface and general proof support a major bounded method, with earlier apparatus and explicit priority dispute; angular-side mathematics verified."
  },
  "described_in": [],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "تعليم العلاقة بين أقواس وزوايا مثلث على كرة مع رسم حديث معلن.",
    "en": "Teaching relations between spherical arcs and angles with an explicitly modern diagram.",
    "ur": "واضح جدید خاکے سے کروی قوس و زاویے کا تعلق سمجھانا۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "لا تابع تقني محدد مثبت في المصادر المقروءة هنا.",
    "en": "No particular technical descendant established by the passages read here.",
    "ur": "یہاں پڑھے حصوں سے کوئی خاص تکنیکی تابع ثابت نہیں۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/spherical-triangle-modern",
   "diagram": "media/diagram-abu-wafa-spherical-methods"
  },
  "kids": {
   "ar": "مثلث الكرة حدوده أقواس لا خطوط مستقيمة على ورقة. ساعد أبو الوفاء على جعل حسابه أبسط؛ كان له سابقون وشاركه آخرون في قصة البرهان، فلا ننسب كل المثلثات إلى شخص واحد.",
   "en": "A triangle on a sphere has curved sides, not straight lines on paper. Abu al-Wafa helped simplify its calculation; earlier methods and other proof claims remain part of the story, so not all trigonometry belongs to one inventor.",
   "ur": "کرے کے مثلث کی حدیں قوس ہیں، کاغذ کی سیدھی لکیریں نہیں۔ ابو الوفا نے حساب آسان کیا؛ پہلے طریقے اور دوسرے برہان کے دعوے بھی کہانی میں ہیں، تمام مثلثات ایک موجد کی نہیں۔"
  },
  "sources": [
   "source/abu-wafa-carra-almageste-1892",
   "source/britannica-abu-al-wafa",
   "source/tdv-ebul-vefa-buzcani",
   "source/abu-wafa-youschkevitch-dsb",
   "source/abu-wafa-mactutor",
   "source/khujandi-mactutor",
   "source/commons-spherical-triangle",
   "source/encyclopaedia-of-islam-2"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b34",
   "source": "Selected actual Carra translated preface/proof with423 image, scholarly biographies and inspected PD diagram; no independent Arabic collation or sole-priority verdict"
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "حين يحسب الفلكي على كرة لا تكفيه صورة مثلث مستقيم مرسوم على ورقة؛ حدود الشكل أقواس دوائر عظمى، وتربط المسألة بين أطوال تلك الأقواس وزوايا التقائها. تطوير [[person/abu-al-wafa-al-buzjani|أبي الوفاء البوزجاني]] الذي نعرضه هو جعل هذه العلاقات أيسر استعمالاً، مع برهان لعلاقة الجيب العامة وطرق للمثلث القائم، لا اختراع علم المثلثات كله {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}. وفي النص الفرنسي المنشور سنة1892 يظهر البرهان إلى جانب تنبيه صريح إلى خلاف الأولوية، فيبقى الاثنان معاً في قصتنا {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "المثلث الكروي هنا تحده ثلاثة أقواس من دوائر عظمى؛ والدائرة العظمى يمر مستواها بمركز الكرة. نقيس الضلع بزاوية القوس عند المركز، لا بطول خط مستقيم يخترق الكرة؛ أما زاوية الرأس فهي بين اتجاهي القوسين عند اجتماعهما. هذه تفرقة أساسية لفهم النسب التي يعرضها البرهان المترجم، وتفسر لماذا لا يصح أخذ قانون جيب المثلث المستوي وإبقاء أطواله كما هي على الكرة {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}.\n\nوالطريقة ليست أداة نحاسية أو مرصداً جديداً، بل ترتيباً من العلاقات والبراهين والحساب يعين على استخراج مجهول من معطيات مناسبة. يسجل عرض يوشكيفيتش الاستعاضة عن جهاز المقادير الستة بطرق أبسط، ويسجل المرجع الموسوعي قاعدتي الجيب والظل للمثلث القائم {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}. لا نعد كل علاقة في هذه المجموعة اختراعاً مستقلاً لرفع العدد؛ السجل يمثل إسهاماً منهجياً واحداً محدد الحدود."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "لم تكن السماء مجالاً بلا حساب قبل أبي الوفاء؛ في المقدمة التي ترجمها كارا يذكر المؤلف أعمالاً موروثة وأسماء من التقليد اليوناني، ثم يشرح مقصده في تيسير المسالك وإضافة براهين وأمثلة {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}. وتوضح السيرة العلمية ثقل استعمال شكل منلاوس ذي المقادير الستة في مسائل المثلثات الكروية، وهو الخلفية التي يجعلها تبسيط العلاقات مفهومة، لا خصماً نلغي دوره لنصنع بداية مطلقة {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}.\n\nكذلك لا نخلط بين تطوير طرق الحل وبين إدخال كل دالة مثلثية أول مرة. فمقالة الموسوعة الإسلامية ترفض نسبة إدخال الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام إلى أبي الوفاء لأن حبش الحاسب استعملها قبله {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}. وتذكر آيدن جداول حبش السابقة أيضاً، وإن اختلفت عبارة المراجع في تعريف الدوال وأولوية بعض استعمالاتها {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}. وجود سابقة لا يلغي تحسيناً لاحقاً، لكنه يغير الاسم الذي نضعه على ذلك التحسين."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "ولد أبو الوفاء في بوزجان، وانتقل إلى العراق وأقام في [[place/baghdad|بغداد]]؛ تذكر آيدن انتقاله سنة348/959 ومعلمين من أسرته واتصاله بعلماء عصره {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}. وتعرض بريتانيكا عملاً رصدياً وتعاوناً في الرصد مع [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|البيروني]]، فيظهر الحساب داخل بيئة تسأل عن السماء والموقع والزمن، لا في سيرة معزولة عن المسائل {cite:britannica-abu-al-wafa biography}. لا تحدد هذه الأخبار الطاولة التي كتب عليها برهانه أو يوم اكتماله.\n\nفي المقدمة المترجمة يميز المؤلف بين البرهان الهندسي والبرهان بالحساب، ويحرص على المسائل العددية وعلى إصلاح الجداول؛ هذه صورة برنامج تعليمي وعلمي أوسع من شعار «اكتشف قانوناً» {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}. تاريخ السجل هو القرن العاشر إطاراً واسعاً للنشاط، لا سنة مختلقة لتأليف هذا القسم. وتختلف أخبار الوفاة بين997 و998؛ لا نحول اختلافها إلى تاريخ دقيق للبرهان أو إلى تحويل هجري مصطنع {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "تصف بريتانيكا الفرد نفسه صراحة بأنه رياضي وفلكي مسلم؛ هذا أساس الهوية، لا الاستنتاج من الاسم أو من مذهب دولة رعته {cite:britannica-abu-al-wafa biography}. الإطار السني هنا معلن بوصفه إطار المتحف، وليس شهادة بمذهب فقهي شخصي لا تثبته السيرة. أما مساهمته الرياضية فتعينها المقدمة والبرهان، لا مجرد شهرته أو انتسابه إلى مدينة معينة {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}.\n\n**أهل السنة — الإطار المعلن:** نعرض عالماً مسلماً والعمل المنسوب إليه مع الفصل بين الإطار العام وشهادة المذهب الفردي {cite:britannica-abu-al-wafa biography}. **القراءة الأكاديمية:** يذكر كارا خلاف أبي الوفاء وأبي نصر ابن عراق، ويذكر ماكتوتر نسبة الطوسي لبرهان الخجندي مع بقاء سؤال الأولوية غير محسوم في عرضه {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.423} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}. لا ننقل مذهب الراعي إلى العالم، ولا نصدر حكماً متحفياً يفصل في السبق من دون الشواهد اللازمة."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "في ترميزنا التعليمي الحديث نكتب الرؤوس `A,B,C` والأضلاع المقابلة لها `a,b,c`، وكل ضلع زاوية قوس لا طول وتر. عندئذ تكون علاقة الجيب الكروية `sin(a)/sin(A)=sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C)`؛ يقابل ذلك تناسب جيوب الزوايا وجيوب الأضلاع في النص المترجم، لا نسبة الضلع نفسه إلى جيب الزاوية كما في المستوى {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}. استعمال الحروف الحديثة لا يعني أنها حروف نسخة المؤلف أو أن ترتيب رؤوسنا هو ترتيب شكل المترجم.\n\nإذا كانت `C=90°`، فمن العلاقات في هذا الاصطلاح `sin(a)=sin(c)sin(A)` و`tan(a)=tan(A)sin(b)`، وكذلك `cos(c)=cos(a)cos(b)`؛ هي صياغة مطبعة للمثلث القائم الذي يصف المرجع جهازه الأيسر {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}. المساواة الأولى تعطي مجهولاً حين تكون المعطيات ملائمة؛ والثانية تصل الظل بالجيب؛ والثالثة تربط الأقواس الثلاثة. ليست هذه ثلاث طرق مستقلة لا علاقة بينها، ولا تعني أن أي ثلاثة أعداد تعطينا دائماً مثلثاً وحيداً صحيحاً.\n\nلنجرب مثالاً حديثاً صنعناه للشرح، لا أرقاماً تاريخية من كتاب أبي الوفاء: `a=30°` و`b=45°` و`C=90°`. من علاقة جيب التمام نحصل على `c≈52.238756°`، ومن الظل نحصل على `A≈39.231520°` و`B≈63.434949°`. بالتعويض تكون النسب الثلاث للجيوب نحو`0.790569415`، فتتفق حسابياً. هذا تحقق من المثال في الترميز السابق، لا إعادة إنشاء مستقلة لكل خطوة في البرهان المترجم {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}.\n\nلاحظ أن مجموع زوايا مثالنا أكبر من180 درجة؛ لا نرغم مثلث الكرة على قاعدة المثلث المستوي. وإذا أردنا مسافة سطحية على كرة نصف قطرها `R` نضرب زاوية القوس بالراديان في`R`؛ قيمة الجيب وحدها ليست كيلومترات. كذلك يحتاج عكس الجيب إلى انتباه لاختيار الزاوية والسياق، فلا نحول الصيغة إلى وعد بحل فريد لكل معطيات كيفما كانت. هذه إيضاحات هندسية حديثة للعلاقات المقروءة، وليست دعوى أن المؤلف استخدم لغة الآلة الحاسبة {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}.\n\nوالبرهان المترجم لا يكتفي بإعلان نسبة جاهزة؛ يبدأ بمثلث حدوده أقواس دوائر عظمى، ويضيف أقواساً مرتبطة بالأقطاب ثم إسقاطات عمودية ليستخرج التناسب المطلوب {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}. هذا يفرق بين التحقق من رقم واحد وبين البرهان على علاقة عامة. مثالنا العددي يساعد القارئ على اكتشاف خطأ إدخال طول ضلع مكان جيبه، لكنه لا يحل محل البناء الهندسي؛ إذا اتفقت ثلاثة أرقام في مثال واحد فلا نستنتج وحدها أن العلاقة صحيحة لكل مثلث."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "من الشواهد التي نستطيع تتبعها هنا نشر كارا مقتطفات مترجمة في مجلة علمية سنة1892، ثم مناقشة الإسهام في المراجع الموسوعية والسير الحديثة {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.408–471} {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb bibliography}. هذا يثبت حضور النص في كتابة تاريخ العلم الحديث؛ لا يثبت وحده طريق كل مخطوط أو أن كل مدرسة استخدمت النسخة نفسها. لذلك لا نضع أسهماً من بغداد إلى كل مدينة تجارية لمجرد أن حساب الكرة مفيد للسفر.\n\nوفي خلاف الأولوية نفسه أثر انتقال للأخبار: ينقل ماكتوتر نسبة الطوسي إلى الخجندي، ويعرض ادعاءات أبي الوفاء وأبي نصر {cite:khujandi-mactutor sine theorem}. قرأنا عرض المؤرخين هنا، لا كل نصوص الادعاء الأصلية؛ يبقى فرق واضح بين شهادة مباشرة من النص المترجم وبين خبر عن حكم مؤلف آخر."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "تقوم المساهمة على تقاليد دوائر وأقواس وجداول وعلى جهاز منلاوس السابق، كما يفسر عرض يوشكيفيتش والمقدمة المترجمة {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}. الصلة صلة مسائل ووسائل برهان، لا دليل أن صاحب كل اسم قديم كان معلماً شخصياً لأبي الوفاء. ونترك خبر الجداول في حدوده: يقول المترجم إن الجداول غائبة عن المخطوط الذي بين يديه، فلا ندعي أننا فحصنا جدول المؤلف كاملاً أو قرأنا دقته من ورقة لم نجدها {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.414}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "تصف السيرة العلمية هذه الطرق بوصفها مرحلة مهمة في المثلثات الكروية، وتفصلها عن ادعاء الأولوية المنفردة لكل نتائج المجال {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}. يمكننا تعليم القانون اليوم؛ لكن التشابه بين معادلتين لا يكفي وحده لإثبات سلسلة نقل تقنية إلى جهاز ملاحة بعينه. لذلك لا يضع هذا السجل تابعاً مسمى بلا مصدر أو يجعل الهاتف الحديث نتيجة مباشرة لبرهان واحد؛ الحلقة التي لا نملك شهادتها تبقى غير مرسومة."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "يذكر القسم الذي يلخصه كارا مسائل تطبيقية مثل سمت القبلة وأمثلة عددية؛ هذه نافذة موثقة على فائدة العلاقات الفلكية، لا تقدير بعدد المستفيدين أو سرعة الحساب في كل بلد {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.425}. نعرض السؤال الرياضي ولا نصدر حكماً دينياً عملياً. وتجعل المقدمة الفصل بين البرهان والحساب مفيداً لفهم العمل: إثبات علاقة لا يساوي بعد تنفيذ خطوات مثال بجدول ومعطيات، وإن احتاج العمل إلى الاثنين {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "المغزى ليس أن تاريخ الفلك انقلب في يوم معروف، بل أن جهازاً حسابياً أمكن تبسيطه وتوسيعه؛ يحفظ يوشكيفيتش لأبي الوفاء موضعاً بين البراهين المبكرة للعلاقة العامة مع وصف طريقة الظل {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}. هذه صياغة أدق من سباق يسأل عن «أول إنسان عرف الجيب». وهي تتيح رؤية التراكم: مسائل موروثة، وصياغة أبسط، وبرهان قابل للعرض، ثم نقاش تاريخي فيمن سبق إلى نتيجة مشتركة."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "**أهل السنة — حد الدعوى:** الإسهام الذي نثبته تحسين منظومة الحل عند أبي الوفاء، لا ملكية جميع المثلثات؛ هوية العالم المسلمة مثبتة منفصلة من أولوية كل مبرهنة {cite:britannica-abu-al-wafa biography}. **القراءة الأكاديمية:** عبارة كارا في423 تنص على الخلاف بينه وبين أبي نصر؛ ويضيف ماكتوتر سياق الخجندي والطوسي، دون أن يجعل الدليل المتاح حكماً نهائياً {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.423} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}. لا ننسب إلى المتحف نتيجة لم يحسمها البحث المقروء.\n\nونستبعد من هذه البطاقة كذلك دعوى اكتشاف التغاير القمري؛ ترفضها بريتانيكا ومقالة الموسوعة الإسلامية، ولا نستخدمها زينة لسيرة تحسين رياضي مختلف {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}. فصل الدعاوى يمنع أن تصبح شهرة خبر خاطئ سنداً لخبر صحيح."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "يعرض الرسم الحديث كرة ومثلثاً قائماً عند`C` ومركزاً اسمه`O`؛ الأضلاع أقواس، والخطوط المتقطعة تساعد على تخيل الجزء الخفي {cite:commons-spherical-triangle description and image}. الحروف اليونانية قرب المركز تخص الزوايا المركزية في الرسم، فلا نخلطها بزوايا الرؤوس في معادلاتنا. يمكنك مقارنة شكل القوس بمعنى الضلع، لكن الرسم ليس نسخة من شكل أبي الوفاء ولا قياساً مرسوماً لأرقام مثالنا؛ إنه وسيلة شرح مصرح بحداثتها."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "شاهدنا المباشر هنا ترجمة منتقاة منشورة مع برهان ورسم ومناقشة؛ قوبلت صورة الصفحة423 في المسح العام، وقرئت تتمة البرهان424 من نص النسخة {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}. لا ندعي مقابلة عربية مستقلة، أو فحص أصل بخط المؤلف، أو قراءة المقال كله من أوله إلى آخره. والسير العلمية توسع سياق المؤلفات الباقية والمفقودة؛ وجود كتاب آخر باق لا يجعل كل دعوى حسابية فينا مأخوذة مباشرة منه {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb works and bibliography}."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "تجمع السير أعمال أبي الوفاء في الحساب العملي والهندسة والفلك، ومنها مسائل تخدم الكتاب والحرفيين {cite:abu-wafa-mactutor works}. لا تندمج تلك الكتب في كتاب واحد، ولا نختار تاريخاً واحداً مختلفاً عليه لنؤرخ به القانون الكروي. والرسم المرخص الذي نستعمله نتاج تعليمي حديث في الملك العام، ينسب إلى سلسلة صانعيه في كومنز؛ لا صورة تاريخية للعالم أو إعادة بناء لمرصده {cite:commons-spherical-triangle description and licensing}."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "ارسم مثلثاً على ورقة ثم تخيله على كرة: الخطوط صارت أقواساً، ولا تستطيع نقل كل قواعد الورقة كما هي. ساعد أبو الوفاء في تبسيط الحساب على الكرة ضمن عمل سبقه وشاركه آخرون في قصة البرهان {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}. وإذا سألت من كان الأول، ابحث عن النص وحدود ما يقول، لا عن اسم على ملصق. في قصتنا متعة المسألة ومعرفة الدليل أهم من إعلان فائز بلا شهادة."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- كارا دي فو، *مجسطي أبي الوفاء*،1892: المقاطع المقروءة413–414 و421–425، خاصة البرهان423–424؛ لا ادعاء قراءة المقال كاملاً {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,421–425}.\n- يوشكيفيتش، السيرة العلمية، قسم المثلثات والأعمال؛ نسخة الجامعة المعاد تنسيقها بلا إحالة إلى صفحات الطبعة الأصلية {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry and works}.\n- بريتانيكا؛ آيدن348–349؛ ماكتوتر لأبي الوفاء والخجندي {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349} {cite:abu-wafa-mactutor biography} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}.\n- الموسوعة الإسلامية،ج1 ص178؛ كومنز للرسم الحديث وترخيصه {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178} {cite:commons-spherical-triangle licensing}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/abu-wafa-spherical-triangle-methods",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b34",
     "source": "المقدمة والبرهان المترجمان عند كارا1892 ص413–414 و423–424 وصورة423؛ السير المقروءة ورسم الملك العام؛ لا مقابلة مستقلة للأصل العربي"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "An astronomer calculating on a sphere cannot simply use a straight-sided triangle drawn on paper: the boundaries are great-circle arcs, and the problem connects their lengths with the angles at which they meet. The contribution presented here is [[person/abu-al-wafa-al-buzjani|Abu al-Wafa al-Buzjani]]'s simplification of these relationships, including a proof of the general sine relation and methods for right spherical triangles—not the invention of all trigonometry {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}. The French publication of1892 places the proof beside an explicit priority dispute; both remain in our story {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "The spherical triangle considered here has three great-circle arcs for sides; a great circle lies in a plane through the sphere's center. A side is measured by its arc's central angle, not a straight chord through the sphere; a vertex angle is between the directions of the two arcs meeting there. This distinction is essential to reading the translated proof, and explains why we cannot take the plane sine law and retain its ordinary side lengths unchanged on a sphere {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}.\n\nThe method is not a brass instrument or a new observatory, but a set of relationships, proofs and calculations that helps recover an unknown from suitable data. Youschkevitch describes simpler methods replacing the six-quantity apparatus; the encyclopedia records sine and tangent rules for right triangles {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}. We do not inflate the count by treating every relationship as a separate invention: this record represents one bounded methodological contribution."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "The sky was not beyond calculation before Abu al-Wafa. In the translated preface, the author names inherited work and Greek predecessors, then explains his intention to simplify procedures and add proofs and examples {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}. The scientific biography explains the cumbersome use of Menelaus's six-quantity configuration in spherical problems. That background makes the simplification intelligible; it is not an opponent to erase in pursuit of an absolute beginning {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}.\n\nNor should improved solution methods be confused with introducing every trigonometric function. The Encyclopaedia of Islam rejects attributing the introduction of tangent, cotangent, secant and cosecant to Abu al-Wafa because Habash al-Hasib had used them earlier {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}. Aydin likewise mentions Habash's earlier tables, although reference works differ in wording about definitions and particular first uses {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}. A precedent does not cancel a later improvement, but it changes the label we should give that improvement."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "Born in Buzjan, Abu al-Wafa moved to Iraq and lived in [[place/baghdad|Baghdad]]; Aydin records the move in348/959, teachers from his family, and contacts with contemporary scholars {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}. Britannica describes observing work and cooperation with [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|al-Biruni]], placing calculation among questions about sky, position and time rather than in an isolated biography {cite:britannica-abu-al-wafa biography}. These reports do not identify the desk where he wrote his proof or the day he completed it.\n\nThe translated preface distinguishes geometrical proof from calculation, emphasizes numerical problems, and discusses corrected tables: a broader scientific and teaching program than the slogan “discovered a law” {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}. The record's tenth-century date is a broad activity frame, not an invented year of composition. Death reports differ between997 and998; we turn neither into an exact proof date or a fabricated Hijri conversion {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "Britannica explicitly calls the individual a Muslim mathematician and astronomer. That is the identity evidence—not inference from his name or a patron's denomination {cite:britannica-abu-al-wafa biography}. Sunni is declared here as the museum's frame, not testimony to a personal legal school that the biography does not establish. The mathematical contribution is identified by the preface and proof, not merely by fame or association with a city {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}.\n\n**Sunni—declared frame:** we present a documented Muslim scholar and his attributed work while separating the general frame from individual school testimony {cite:britannica-abu-al-wafa biography}. **Academic account:** Carra discusses priority between Abu al-Wafa and Abu Nasr ibn Iraq; MacTutor adds al-Tusi's attribution of a proof to al-Khujandi while leaving priority uncertain {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.423} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}. A patron's denomination is not transferred to the scholar, and the museum issues no verdict deciding priority without the necessary evidence."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "In our modern teaching notation, vertices are `A,B,C` and opposite sides `a,b,c`, each side an angular arc rather than a chord length. The spherical sine law is then `sin(a)/sin(A)=sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C)`. This corresponds to the translated text's proportionality between sines of angles and sines of opposite sides—not the plane ratio of a side itself to an angle's sine {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}. Modern letters are not asserted to be the author's manuscript labels, or our vertex order the translator's figure.\n\nFor `C=90°`, the relations in this convention include `sin(a)=sin(c)sin(A)`, `tan(a)=tan(A)sin(b)`, and `cos(c)=cos(a)cos(b)`. This is a normalized formulation of the simpler right-triangle apparatus described in the encyclopedia {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}. The first retrieves an unknown when suitable data are available; the second connects tangent and sine; the third relates the three arcs. They are connected relationships, not three unrelated inventions, and do not imply that any three arbitrary numbers always determine exactly one valid triangle.\n\nTry a modern example created for this explanation, not historical numbers from Abu al-Wafa's book: `a=30°`, `b=45°`, `C=90°`. The cosine relation gives `c≈52.238756°`; the tangent relations give `A≈39.231520°` and `B≈63.434949°`. Substitution makes all three sine ratios approximately`0.790569415`, providing a numerical check. This verifies our example in the stated notation, not an independent reconstruction of every step of the translated proof {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}.\n\nNotice that our example's angles total more than180 degrees: we do not force a spherical triangle to obey the plane triangle's rule. For surface distance on a sphere of radius`R`, multiply the arc angle in radians by`R`; a sine value alone is not kilometers. Inverting sine also requires attention to angle choice and context, so the formula is not a promise of a unique solution for arbitrary input. These are modern geometrical explanations of the relationships read, not a claim that the author used calculator language {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}.\n\nThe translated proof does not merely announce a ready-made ratio: it begins with great-circle arcs bounding a triangle, introduces arcs associated with poles, then perpendicular projections to establish the proportionality {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}. This distinguishes checking a particular number from proving a general relationship. Our numerical example can reveal the mistake of using a side angle instead of its sine, but cannot replace the geometrical construction. Agreement among three numbers in one example does not by itself prove a law for every triangle."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "One traceable witness is Carra's publication of translated selections in a scholarly journal in1892, followed by discussion in modern encyclopedias and scientific biographies {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.408–471} {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb bibliography}. This establishes the text's presence in modern history of science, not the route of every manuscript or use of the same copy in every school. We therefore do not draw arrows from Baghdad to every trading city merely because spherical calculation is useful for travel.\n\nThe priority discussion itself shows transmission of reports: MacTutor recounts al-Tusi's attribution to al-Khujandi and claims associated with Abu al-Wafa and Abu Nasr {cite:khujandi-mactutor sine theorem}. We read the historians' account here, not every original claim text. A direct translated passage remains distinct from a report of another author's judgment."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The contribution draws on traditions of circles, arcs and tables, and on earlier Menelaus-based apparatus, as the scientific biography and translated preface explain {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}. These are connections among problems and proof techniques, not evidence that every ancient name was Abu al-Wafa's personal teacher. Keep the table evidence bounded too: the translator says the tables were missing from his manuscript. We cannot claim to have inspected the author's complete tables or read their accuracy from an absent leaf {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.414}."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "The scientific biography treats these methods as an important stage in spherical trigonometry, distinct from exclusive priority for all its results {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}. We can teach the law today, but two similar equations do not by themselves establish technical transmission to a particular navigation device. This record therefore supplies no named unsupported descendant, and does not make the modern phone the direct result of one proof. Where the necessary witness is missing, the connecting arrow remains undrawn."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The passage summarized by Carra names applications including Qibla azimuth and numerical examples: a documented window onto the usefulness of astronomical relationships, not a count of beneficiaries or an estimate of computation speeds everywhere {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.425}. We describe the mathematical question, not issue a religious ruling. The preface's separation of proof and calculation matters here: establishing a relation is not yet performing an example with tables and data, even when both are needed {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "The point is not that astronomy changed overnight on a known date, but that a calculating apparatus could be simplified and extended. Youschkevitch places Abu al-Wafa among early proofs of the general relation and describes the tangent method {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}. This is more precise than a contest over “the first person to know sine.” It reveals accumulation: inherited problems, simpler formulation, a demonstrable proof, and later historical debate over priority for a shared result."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "**Sunni—claim boundary:** the contribution established here is improvement of Abu al-Wafa's solution apparatus, not ownership of all trigonometry. His documented Muslim identity is separate from priority for each theorem {cite:britannica-abu-al-wafa biography}. **Academic account:** Carra explicitly names the dispute with Abu Nasr on423; MacTutor adds al-Khujandi and al-Tusi without turning the available evidence into a final verdict {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.423} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}. The museum does not decide what the research read has not settled.\n\nWe also exclude the lunar-variation discovery claim. Britannica and the encyclopedia reject it; it cannot decorate the biography of a different mathematical improvement {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}. Separating claims prevents a famous erroneous story from becoming evidence for a sound one."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "The modern diagram shows a sphere, a triangle right-angled at`C`, and center`O`; its sides are arcs, and dashed lines help visualize hidden portions {cite:commons-spherical-triangle description and image}. Greek letters near the center label central angles: do not confuse them with vertex angles in our equations. The image helps explain a side's arc, but is not a copy of Abu al-Wafa's figure or a scale drawing of our numerical example. Its modern teaching purpose is explicit."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "Our direct textual witness is a published selected translation with proof, figure and commentary. The image of printed423 was visually checked in the public scan, and the proof's continuation on424 read in the transcription {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}. We claim neither an independent Arabic collation, inspection of an autograph, nor reading the entire article. Scientific biographies expand the context of surviving and lost works; the survival of another book does not make every calculation here a direct reading of that book {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb works and bibliography}."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "Biographies bring together Abu al-Wafa's practical arithmetic, geometry and astronomy, including problems for scribes and artisans {cite:abu-wafa-mactutor works}. Those books do not merge into one, and their disputed dates cannot supply a convenient single composition year for this spherical law. Our licensed diagram is a modern public-domain teaching work credited to its documented Commons creators, not a historical portrait or reconstruction of his observatory {cite:commons-spherical-triangle description and licensing}."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Draw a triangle on paper, then imagine one on a ball: the lines become arcs, and not every paper rule transfers unchanged. Abu al-Wafa helped simplify calculation on a sphere, within a history of earlier methods and other proof claims {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}. If you ask who was first, look for a text and what it can establish, not just a name on a poster. Enjoying the problem and understanding the evidence matter more than declaring an unsupported winner."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- Carra de Vaux, *L'Almageste d'Abu'l-Wefa*,1892: selections413–414 and421–425, especially proof423–424; not a claim to have read the complete article {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,421–425}.\n- Youschkevitch, scientific biography, trigonometry/works; university-hosted reflowed text, not original-edition pagination {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry and works}.\n- Britannica; Aydin348–349; MacTutor Abu al-Wafa and al-Khujandi biographies {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349} {cite:abu-wafa-mactutor biography} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}.\n- Encyclopaedia of Islam, volume1,178; Commons modern diagram/licence {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178} {cite:commons-spherical-triangle licensing}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/abu-wafa-spherical-triangle-methods",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code (model unknown), from Arabic"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b34",
     "source": "Arabic canonical account; selected actual Carra1892 translated preface/proof and423 image, scholarly biographies and inspected PD diagram; no independent Arabic collation"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "کرے پر حساب کرنے والا ماہر فلکیات کاغذ کے سیدھے مثلث پر اکتفا نہیں کر سکتا؛ اس شکل کی حدیں عظیم دائروں کی قوس ہیں اور مسئلہ ان قوسوں اور ان کے ملنے کے زاویوں کا تعلق ہے۔ یہاں [[person/abu-al-wafa-al-buzjani|ابو الوفا البوزجانی]] کا حصہ ان تعلقات کو آسان بنانا، عمومی کروی قانون جیب کا برہان اور قائم کروی مثلث کے طریقے ہیں، تمام مثلثات کی ایجاد نہیں {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}۔1892 کی فرانسیسی اشاعت میں برہان کے ساتھ اولینیت کا صریح اختلاف بھی ہے؛ ہماری کہانی دونوں محفوظ رکھتی ہے {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "یہاں کروی مثلث کی تین حدیں عظیم دائروں کی قوس ہیں؛ عظیم دائرے کا مستوی کرے کے مرکز سے گزرتا ہے۔ ضلع کو قوس کے مرکزی زاویے سے ناپتے ہیں، کرے کے اندر سیدھے وتر کی لمبائی سے نہیں؛ راس کا زاویہ وہاں ملنے والی دو قوسوں کی سمتوں کے درمیان ہے۔ ترجمہ شدہ برہان کی نسبتیں سمجھنے کے لیے یہ فرق بنیادی ہے؛ اسی لیے مستوی قانون جیب کی عام ضلع لمبائیاں جوں کی توں کرے پر نہیں رکھ سکتے {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}۔\n\nیہ طریقہ پیتل کا آلہ یا نئی رصدگاہ نہیں بلکہ تعلقات، برہان اور حساب کی ترتیب ہے جو مناسب معلومات سے نامعلوم مقدار دیتی ہے۔ یوشکیویچ چھ مقداروں کی پیچیدہ ترکیب کی جگہ آسان طریقے بتاتے؛ موسوعہ قائم مثلث کے جیب و ظل کے قواعد بیان کرتا ہے {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}۔ ہر تعلق کو الگ ایجاد کہہ کر گنتی نہیں بڑھاتے؛ یہ اندراج ایک متعین منہجی حصے کی نمائندگی کرتا ہے۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "ابو الوفا سے پہلے آسمان حساب سے خالی نہ تھا۔ ترجمہ شدہ دیباچے میں مصنف موروثی کام اور یونانی روایت کے نام بتا کر طریقے آسان کرنے، برہان اور مثالیں بڑھانے کا ارادہ سمجھاتے ہیں {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}۔ علمی سوانح مینیلاؤس کی چھ مقداروں والی شکل سے کروی مسائل حل کرنے کا بوجھ واضح کرتی ہے۔ یہی پس منظر آسان تعلقات کی اہمیت سمجھاتا ہے، کوئی مخالف نہیں جسے مٹا کر مطلق ابتدا بنائی جائے {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}۔\n\nحل کے طریقے بہتر کرنے کو ہر مثلثاتی تفاعل پہلی مرتبہ متعارف کرانے سے بھی نہ ملائیں۔ موسوعۃ الاسلامیہ ظل، ظل تمام، قاطع اور قاطع تمام کے آغاز کی نسبت ابو الوفا سے رد کرتی ہے کیونکہ حبش الحاسب پہلے انہیں استعمال کر چکے تھے {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}۔ آیدن بھی حبش کے پہلے جدول بتاتے ہیں، اگرچہ مراجع کی تعریف اور مخصوص اولین استعمال کی عبارت مختلف ہے {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}۔ سابقہ کام بعد کی بہتری ختم نہیں کرتا، مگر اس بہتری کا درست نام بدلتا ہے۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "ابو الوفا بوزجان میں پیدا ہوئے، عراق آئے اور [[place/baghdad|بغداد]] میں رہے؛ آیدن348/959 کی منتقلی، خاندان کے اساتذہ اور معاصر علماء کے روابط بتاتے ہیں {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}۔ بریٹانیکا رصدی کام اور [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|البیرونی]] کے ساتھ رصدی تعاون بیان کرتی ہے؛ یوں حساب آسمان، مقام اور وقت کے سوالوں کے ماحول میں نظر آتا ہے، تنہا سوانح میں نہیں {cite:britannica-abu-al-wafa biography}۔ یہ خبریں برہان لکھنے کی میز یا تکمیل کا دن نہیں بتاتیں۔\n\nترجمہ شدہ دیباچہ ہندسی برہان اور حساب میں فرق، عددی مسائل کی اہمیت اور جدولوں کی اصلاح بتاتا ہے؛ یہ «ایک قانون دریافت کیا» سے وسیع تعلیمی و علمی منصوبہ ہے {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}۔ اندراج کی دسویں صدی سرگرمی کا وسیع سیاق ہے، اس حصے کی گھڑی ہوئی تصنیفی تاریخ نہیں۔ وفات کی خبریں997 اور998 میں مختلف ہیں؛ ان سے برہان کا ٹھیک دن یا بناوٹی ہجری تبدیلی نہیں بناتے {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349}۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "بریٹانیکا فرد کو صراحت سے مسلم ریاضی دان اور ماہر فلکیات کہتی ہے۔ شناخت کا ثبوت یہی ہے، نام یا سرپرست حکومت کے مسلک سے اخذ نہیں {cite:britannica-abu-al-wafa biography}۔ یہاں سنی میوزیم کا اعلان کردہ سیاق ہے، ذاتی فقہی مسلک کی شہادت نہیں جو سوانح ثابت نہیں کرتی۔ ریاضیاتی حصہ دیباچے اور برہان سے متعین ہوتا ہے، محض شہرت یا کسی شہر سے نسبت سے نہیں {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,423–424}۔\n\n**Sunni (اہلِ سنت) — اعلان کردہ سیاق:** مستند مسلم عالم اور ان سے منسوب کام پیش کرتے ہوئے عمومی سیاق کو ذاتی مسلکی شہادت سے الگ رکھتے ہیں {cite:britannica-abu-al-wafa biography}۔ **اکادمیاتی بیان:** کارا ابو الوفا اور ابو نصر ابن عراق کی اولینیت کا اختلاف بتاتے؛ میک ٹیوٹر طوسی کی الخجندی کے برہان کی نسبت کے ساتھ اولینیت غیر یقینی رکھتا ہے {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.423} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}۔ سرپرست کا مسلک عالم کو منتقل نہیں ہوتا، اور ضروری شواہد کے بغیر میوزیم سبقت کا فیصلہ نہیں دیتا۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "ہماری جدید تدریسی علامتوں میں راس`A,B,C` اور ان کے مقابل اضلاع`a,b,c` ہیں؛ ہر ضلع قوس کا زاویہ ہے، وتر کی لمبائی نہیں۔ تب کروی قانون جیب `sin(a)/sin(A)=sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C)` ہے۔ یہ ترجمہ شدہ متن کے زاویوں کے جیوب اور مقابل اضلاع کے جیوب کی نسبت ہے، مستوی مثلث کی طرح خود ضلع کی جیب زاویہ سے نسبت نہیں {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}۔ جدید حروف کو مصنف کے نسخے کے حروف یا اپنی راس ترتیب کو مترجم کے شکل کی ترتیب نہیں کہتے۔\n\nاگر`C=90°` ہو تو اسی اصطلاح میں `sin(a)=sin(c)sin(A)`، `tan(a)=tan(A)sin(b)` اور `cos(c)=cos(a)cos(b)` ہیں۔ یہ موسوعے کے بیان کردہ آسان قائم مثلثی طریقے کی معیاری علامتی صورت ہے {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}۔ پہلا تعلق مناسب معلومات پر نامعلوم دیتا، دوسرا ظل اور جیب جوڑتا، تیسرا تین قوسوں کا تعلق بتاتا ہے۔ یہ غیر متعلق تین ایجادات نہیں؛ نہ ان کا مطلب ہے کہ کوئی بھی تین عدد ہمیشہ ایک ہی درست مثلث دیں گے۔\n\nسمجھانے کے لیے اپنی بنائی جدید مثال لیں، ابو الوفا کی کتاب کے تاریخی اعداد نہیں: `a=30°`، `b=45°`، `C=90°`۔ جتا کے تعلق سے `c≈52.238756°`، اور ظل کے تعلقات سے `A≈39.231520°` اور`B≈63.434949°` ملتے ہیں۔ اقدار رکھنے پر جیب کی تینوں نسبتیں تقریباً`0.790569415` ہیں؛ یوں عددی تصدیق ہوتی ہے۔ یہ بتائی علامتوں میں اپنی مثال کی پڑتال ہے، ترجمہ شدہ برہان کے ہر قدم کی آزاد تعمیر نہیں {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}۔\n\nدیکھیں، مثال کے زاویوں کا مجموعہ180 درجے سے زیادہ ہے؛ کرے کا مثلث مستوی مثلث کے قاعدے کا پابند نہیں۔ نصف قطر`R` کے کرے پر سطحی فاصلہ چاہیے تو قوس کا ریڈیئن زاویہ`R` سے ضرب دیں؛ صرف جیب کی قدر کلومیٹر نہیں ہوتی۔ جیب معکوس سے زاویہ لیتے وقت بھی انتخاب اور سیاق دیکھنا ضروری ہے؛ فارمولا ہر بے ترتیب معلومات کے واحد حل کا وعدہ نہیں۔ یہ پڑھے تعلقات کی جدید ہندسی وضاحت ہے، مصنف کے لیے کیلکولیٹر کی زبان کا دعویٰ نہیں {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}۔\n\nترجمہ شدہ برہان محض تیار نسبت کا اعلان نہیں: عظیم دائروں کی قوسوں والے مثلث سے شروع، قطبوں سے متعلق قوس اور پھر عمودی اسقاط متعارف کر کے تناسب نکالتا ہے {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}۔ اس سے ایک عدد کی جانچ اور عمومی تعلق کے برہان میں فرق واضح ہوتا ہے۔ ہماری عددی مثال ضلع کے زاویے کو اس کے جیب کی جگہ ڈالنے کی غلطی دکھا سکتی، مگر ہندسی تعمیر کی جگہ نہیں لیتی۔ ایک مثال کے تین عدد ملنے سے اکیلے ہر مثلث کا عمومی قانون ثابت نہیں ہو جاتا۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "یہاں قابل تتبع شاہد کارا کی1892 میں علمی مجلے میں منتخب ترجمے کی اشاعت، پھر جدید موسوعوں اور علمی سوانح میں بحث ہے {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.408–471} {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb bibliography}۔ اس سے جدید تاریخ علم میں متن کی موجودگی ثابت، ہر مخطوطے کا راستہ یا ہر مدرسے میں ایک ہی نسخے کا استعمال ثابت نہیں۔ اس لیے صرف سفر میں کروی حساب مفید ہونے پر بغداد سے ہر تجارتی شہر تک تیر نہیں کھینچتے۔\n\nخود اولینیت کی بحث میں خبروں کی منتقلی دکھائی دیتی ہے: میک ٹیوٹر طوسی کی الخجندی سے نسبت اور ابو الوفا و ابو نصر کے دعوے نقل کرتا ہے {cite:khujandi-mactutor sine theorem}۔ یہاں مؤرخوں کا بیان پڑھا، ہر اصل دعوے کا متن نہیں۔ ترجمے کے براہ راست حصے اور دوسرے مصنف کے فیصلے کی خبر الگ شواہد ہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "علمی سوانح اور ترجمہ شدہ دیباچہ دائروں، قوسوں، جدولوں اور مینیلاؤس کے پہلے طریقے کا ورثہ واضح کرتے ہیں {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}۔ تعلق مسائل اور برہانی طریقوں کا ہے، اس بات کا ثبوت نہیں کہ ہر قدیم نام ابو الوفا کا ذاتی استاد تھا۔ جدولوں کی شہادت بھی محدود رکھیں: مترجم کہتا ہے اس کے نسخے میں جدول موجود نہیں تھے۔ مصنف کے مکمل جدول دیکھنے یا غائب ورق سے ان کی صحت ناپنے کا دعویٰ نہیں کر سکتے {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.414}۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "علمی سوانح ان طریقوں کو کروی مثلثات کا اہم مرحلہ کہتی ہے، تمام نتائج کی منفرد اولینیت سے الگ {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}۔ آج قانون پڑھا سکتے ہیں، مگر دو ملتی مساوات بذات خود کسی مخصوص جہاز رانی آلے تک تکنیکی انتقال ثابت نہیں کرتیں۔ اس لیے اندراج بلا ماخذ تابع کا نام نہیں دیتا، نہ جدید فون کو ایک برہان کا براہ راست نتیجہ بناتا ہے۔ جس حلقے کی شہادت نہیں، اس کا تیر نقشے پر نہیں بناتے۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "کارا کے خلاصہ کردہ حصے میں سمت قبلہ اور عددی مثالوں جیسے اطلاقات ہیں؛ فلکی تعلقات کی افادیت کی مستند جھلک، ہر ملک کے مستفید افراد کی گنتی یا حسابی رفتار کا تخمینہ نہیں {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.425}۔ ریاضیاتی سوال بتاتے ہیں، عملی دینی فتویٰ نہیں دیتے۔ دیباچے میں برہان و حساب کا فرق اہم ہے: تعلق ثابت کرنا جدول و معلومات سے مثال کے مراحل پورے کرنا نہیں، اگرچہ کام کو دونوں درکار ہوں {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414}۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "مطلب یہ نہیں کہ فلکیات معلوم دن میں یکسر بدل گئی، بلکہ حسابی ترکیب آسان اور وسیع ہو سکی۔ یوشکیویچ عمومی تعلق کے ابتدائی برہانوں میں ابو الوفا کو رکھتے اور ظل کا طریقہ بیان کرتے ہیں {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry}۔ یہ «سب سے پہلے جیب کس نے جانا» کے مقابلے سے دقیق تر ہے۔ اس میں تراکم نظر آتا ہے: موروثی مسائل، آسان صورت، دکھایا جا سکنے والا برہان، پھر مشترک نتیجے کی سبقت پر تاریخی بحث۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "**Sunni (اہلِ سنت) — دعوے کی حد:** یہاں ثابت حصہ ابو الوفا کے حل کی ترتیب کی بہتری ہے، تمام مثلثات کی ملکیت نہیں۔ عالم کی مستند مسلم شناخت ہر مبرہنے کی سبقت سے الگ ہے {cite:britannica-abu-al-wafa biography}۔ **اکادمیاتی بیان:** کارا423 پر ابو نصر سے اختلاف صاف بتاتے؛ میک ٹیوٹر الخجندی و طوسی کا سیاق بڑھاتا، دستیاب شہادت کو آخری فیصلہ نہیں بناتا {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 p.423} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}۔ میوزیم پڑھی تحقیق کے غیر طے شدہ سوال کا فیصلہ نہیں کرتا۔\n\nقمری تغیر کی دریافت کا دعویٰ بھی اس کارڈ سے خارج ہے۔ بریٹانیکا اور موسوعہ اسے رد کرتے؛ اسے دوسری ریاضیاتی بہتری کی سوانح کی زینت نہیں بناتے {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178}۔ دعوے الگ رکھنے سے مشہور غلط خبر درست خبر کی دلیل نہیں بنتی۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "جدید خاکہ کرہ،`C` پر قائم مثلث اور مرکز`O` دکھاتا؛ اضلاع قوس ہیں، ٹوٹی لکیریں چھپا حصہ سمجھاتی ہیں {cite:commons-spherical-triangle description and image}۔ مرکز کے پاس یونانی حروف مرکزی زاویے ہیں، ہماری مساوات کے راس زاویے نہیں۔ قوس سے ضلع کا مطلب سمجھ سکتے ہیں، لیکن یہ ابو الوفا کی شکل کی نقل یا ہماری مثال کے اعداد کا پیمانے والا نقشہ نہیں۔ اس کا جدید تدریسی مقصد واضح ہے۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "یہاں براہ راست متنی شاہد منتخب شائع ترجمہ، برہان، شکل اور تبصرہ ہے۔ عام مسح میں مطبوعہ423 کی تصویر دیکھی اور424 کے باقی برہان کا متن پڑھا {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.423–424}۔ آزاد عربی مقابلے، مصنف کے ہاتھ کے اصل نسخے کے معائنے یا پورے مقالے کی قرأت کا دعویٰ نہیں۔ علمی سوانح باقی و مفقود کتابوں کا سیاق بڑھاتی ہیں؛ کوئی دوسری کتاب باقی ہونے سے یہاں کا ہر حساب براہ راست اسی سے پڑھا ہوا نہیں ہو جاتا {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb works and bibliography}۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "سوانح ابو الوفا کے عملی حساب، ہندسے اور فلکیات کو جمع کرتی، کاتبوں اور کاریگروں کے مسائل سمیت {cite:abu-wafa-mactutor works}۔ وہ کتابیں ایک کتاب نہیں بن جاتیں، اور ان کی مختلف متنازع تاریخیں کروی قانون کی آسان واحد تصنیفی تاریخ نہیں دیتیں۔ استعمال کردہ خاکہ جدید عوامی ملکیت کا تعلیمی کام ہے، کومنز کے مستند تخلیق کاروں کو منسوب؛ عالم کی تاریخی تصویر یا رصدگاہ کی تعمیر نو نہیں {cite:commons-spherical-triangle description and licensing}۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "کاغذ پر مثلث بنائیں، پھر گیند پر اس کا تصور کریں: لکیریں قوس بن گئیں اور کاغذ کے ہر قاعدے کو ویسے منتقل نہیں کر سکتے۔ ابو الوفا نے کرے کا حساب آسان کیا، پہلے طریقوں اور دوسرے برہانی دعووں کی تاریخ میں {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}۔ اگر پوچھیں پہلا کون تھا تو متن اور اس کی حد دیکھیں، صرف پوسٹر پر نام نہیں۔ مسئلے کی لذت اور دلیل سمجھنا بے شہادت فاتح بتانے سے اہم ہے۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- کارا دی وو، *ابو الوفا کا مجسطی*،1892: پڑھے منتخب413–414 اور421–425، خصوصاً423–424 کا برہان؛ پورا مقالہ پڑھنے کا دعویٰ نہیں {cite:abu-wafa-carra-almageste-1892 pp.413–414,421–425}۔\n- یوشکیویچ، علمی سوانح، مثلثات و تصانیف؛ جامعہ کی ازسرنو مرتب نقل، اصل اشاعت کے صفحوں کی نسبت نہیں {cite:abu-wafa-youschkevitch-dsb trigonometry and works}۔\n- بریٹانیکا؛ آیدن348–349؛ میک ٹیوٹر کی ابو الوفا و الخجندی سوانح {cite:britannica-abu-al-wafa biography} {cite:tdv-ebul-vefa-buzcani pp.348–349} {cite:abu-wafa-mactutor biography} {cite:khujandi-mactutor sine theorem}۔\n- موسوعۃ الاسلامیہ، جلد1،178؛ جدید خاکے و اجازت کے لیے کومنز {cite:encyclopaedia-of-islam-2 vol.1 p.178} {cite:commons-spherical-triangle licensing}۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/abu-wafa-spherical-triangle-methods",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code (model unknown), from Arabic"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b34",
     "source": "عربی اصل؛ کارا1892 کے منتخب ترجمہ شدہ دیباچے و برہان اور423 کی تصویر، پڑھی سوانح اور دیکھا عوامی ملکیت کا خاکہ؛ آزاد عربی مقابلہ نہیں"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  }
 },
 "degree": 2,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-06",
 "connections": [
  {
   "to": "person/abu-al-wafa-al-buzjani",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Simpler spherical-triangle solution apparatus and early general sine proof; Abu Nasr/al-Khujandi priority dispute retained, not invention of all trigonometry/tangent.",
   "sources": [
    "source/abu-wafa-carra-almageste-1892",
    "source/abu-wafa-youschkevitch-dsb",
    "source/khujandi-mactutor"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "invention/abu-wafa-debt-multiplication",
  "invention/abu-wafa-fixed-opening-constructions",
  "person/abu-nasr-mansur-ibn-iraq",
  "place/iran",
  "person/abu-al-wafa-al-buzjani"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}