{
 "id": "invention/al-kashi-pi-calculation",
 "class": "invention",
 "slug": "al-kashi-pi-calculation",
 "label": {
  "ar": "حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة",
  "en": "Al-Kashi's high-precision circumference computation",
  "ur": "کاشی کا محیط دائرہ کا دقیق حساب"
 },
 "summary": {
  "ar": "تحسين حسابي في المحيطية سنة1424؛ نسبة2pi معطاة في نظامين، لا اكتشاف pi أو اختراع الكسور العشرية {cite:kashi-mactutor Circumference treatise} {cite:tdv-kashi-okten mathematical contributions}.",
  "en": "Computational improvement in the1424 Muhitiyya, giving2pi in two numeral systems; not discovery of pi or invention of decimals {cite:kashi-mactutor Circumference treatise} {cite:tdv-kashi-okten mathematical contributions}.",
  "ur": "1424 کے محیطیہ میں عددی بہتری، دو نظاموں میں2pi؛ پائی کی دریافت یا اعشاریوں کی ایجاد نہیں {cite:kashi-mactutor Circumference treatise} {cite:tdv-kashi-okten mathematical contributions}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "persia-central-asia"
 ],
 "periods": [
  "period/mongol-post-mongol"
 ],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "kind": "alternate",
    "lang": "en",
    "value": "Polygon-based pi computation in the Muhitiyya"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics",
   "astronomy"
  ],
  "era": {
   "origins": "middle-period",
   "first_attested": {
    "edtf": "1424",
    "calendar": "julian",
    "precision": "year",
    "status": "historical",
    "note": "MacTutor dates completed treatise to July1424. Year precision only, no guessed day/Hijri conversion or claim to date all prior circle computation.",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor"
    ]
   },
   "status_today": "transformed"
  },
  "origin": {
   "place": "place/samarqand",
   "context": {
    "ar": "المحيط العلمي لأولوغ بك، مع تمييز التأليف من تاريخ بناء المرصد المختلف في الدراسات {cite:kashi-mactutor Samarkand career} {cite:iranica-kashi Life}.",
    "en": "Ulugh Beg's scholarly milieu; composition distinct from differing scholarly dates of observatory construction {cite:kashi-mactutor Samarkand career} {cite:iranica-kashi Life}.",
    "ur": "الغ بیگ کا علمی ماحول؛ تصنیف اور رصدگاہ کی مختلف تعمیراتی تاریخیں الگ {cite:kashi-mactutor Samarkand career} {cite:iranica-kashi Life}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/al-kashi",
    "role": "improver",
    "note": "Named Islamic mathematician in MacTutor; separate default Sunni frame, not birth-city/patron inference. Refines inherited circle computation.",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/tdv-kashi-okten"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "تحسين دقة حساب النسبة عبر هندسة مضلعات وحساب منضبط.",
    "en": "Improved ratio precision through polygon geometry and careful computation.",
    "ur": "کثیرالاضلاعی ہندسہ اور محتاط حساب سے نسبت کی دقت میں اضافہ۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "إيرانيكا يصف مضلعات داخلية وخارجية؛ ماكتوتر وTDV يصفان إخراج2pi الستيني والعشري {cite:iranica-kashi As Mathematician and Astronomer} {cite:tdv-kashi-okten mathematics}.",
    "en": "Iranica describes inscribed/circumscribed polygons; MacTutor/TDV describe sexagesimal and decimal2pi output {cite:iranica-kashi As Mathematician and Astronomer} {cite:tdv-kashi-okten mathematics}.",
    "ur": "ایرانیکا اندرونی و بیرونی کثیرالاضلاع؛ میک ٹیوٹر وTDV ستینی و اعشاری2pi بیان کرتے ہیں {cite:iranica-kashi As Mathematician and Astronomer} {cite:tdv-kashi-okten mathematics}۔"
   },
   "perspectives": []
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "هندسة الدائرة والمضلعات وطرق التقريب السابقة",
     "en": "Earlier circle/polygon geometry and approximation",
     "ur": "سابق ہندسۂ دائرہ و کثیرالاضلاع اور تقریب"
    },
    "note": "Prior geometry/approximations acknowledged, not first pi or polygon construction; no unverified direct lineage to a particular museum record.",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/iranica-kashi"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics",
    "astronomy-instruments"
   ],
   "changed": {
    "ar": "دقة حسابية عالية مع نقل النتيجة بين نظامي الكسور؛ لا دقة مرصد تساوي تلقائياً كل منزلة {cite:kashi-mactutor mathematics}.",
    "en": "High computational precision with output across two fraction systems, not automatic observational accuracy for every digit {cite:kashi-mactutor mathematics}.",
    "ur": "دو کسری نظاموں میں نتیجے کے ساتھ دقیق حساب؛ ہر ہندسہ خودکار رصدی صحت نہیں {cite:kashi-mactutor mathematics}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "تصف الدراسات إنجازاً حسابياً كبيراً وتلقيه البحثي المتأخر، لا انتقالاً أوروبياً مباشراً مثبتاً {cite:kashi-mactutor conclusion}.",
    "en": "Scholarship describes a major calculation and later historical study, not established direct European transmission {cite:kashi-mactutor conclusion}.",
    "ur": "تحقیق اہم حساب اور بعد کا تاریخی مطالعہ بتاتی ہے، ثابت براہ راست یورپی منتقلی نہیں {cite:kashi-mactutor conclusion}۔"
   },
   "significance": 3,
   "why": "Precisely bounded1424 numerical improvement; inherited methods,2pi versus pi, rounding and primary limits explicit. Literal TDV sexagesimal/decimal mismatch disclosed, not guessed corrected."
  },
  "described_in": [
   "work/risala-muhitiyya-kashi"
  ],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "درس ورقي في الحدود والخطأ والدقة، لا ادعاء أن المضلع المحدود يصير دائرة.",
    "en": "Paper study of bounds, error and precision, not a claim that a finite polygon becomes a circle.",
    "ur": "حد، غلطی اور دقت کا کاغذی مطالعہ؛ محدود کثیرالاضلاع دائرہ نہیں بن جاتا۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "مقارنة تعليمية لا نسب مباشر لبرنامج حديث؛ الرسم حديث وسياقي {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description}.",
    "en": "Teaching comparison, not direct ancestry of modern software; image is modern context {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description}.",
    "ur": "تدریسی تقابل، جدید سافٹ ویئر کا براہ راست نسب نہیں؛ تصویر جدید سیاق ہے {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description}۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/kashi-polygon-context",
   "diagram": "media/diagram-kashi-circumference"
  },
  "kids": {
   "ar": "قارن على الورق مساراً داخل دائرة وآخر حولها؛ خطآن صغيران يحدان الجواب، لكن الرسم ليس قياساً دقيقاً.",
   "en": "Compare paper paths inside and around a circle. Two bounds constrain the answer; the drawing is not a precision measurement.",
   "ur": "کاغذ پر دائرے کے اندر و باہر راستہ ملائیں۔ دو حدیں جواب گھیرتی ہیں؛ نقش دقیق پیمائش نہیں۔"
  },
  "sources": [
   "source/kashi-mactutor",
   "source/tdv-kashi-okten",
   "source/iranica-kashi",
   "source/commons-archimedes-pi-urutseg"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b60",
   "source": "Actual complete scholarly biographies and inspected modern PD-shape image; original Muhitiyya not read. Modern recurrence/bounds are explanatory, not historical transcription."
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "لا يمكن لخطوط قليلة في رسم صغير أن تثبت ست عشرة منزلة عشرية. إنجاز [[person/al-kashi|غياث الدين الكاشي]] في [[work/risala-muhitiyya-kashi|الرسالة المحيطية]] كان حساباً منضبطاً، لا قياس دائرة بفرجار أكبر. تؤرخ ماكتوتر الرسالة بسنة 1424، وتذكر إخراج ضعف نسبة المحيط إلى القطر في النظام الستيني ثم العشري بدقة عالية؛ إنه تحسين لحساب قديم لا اكتشاف العدد pi {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}.\n\nنسجل طريقة عددية داخل تاريخ الهندسة والفلك. المعرفة السابقة بالدائرة والمضلع لا تختفي خلف اسم المؤلف، كما لا تتحول أرقامه إلى اختراع الكسور العشرية. وسنشرح فكرة الحدود بمثال حديث صغير، مع فصل واضح بينه وبين الأرقام التاريخية التي ترويها الدراسات؛ لم نقرأ مخطوط الرسالة أو نعيد نسخ حسابها سطراً بسطر {cite:kashi-mactutor decimal predecessors} {cite:iranica-kashi polygon computation}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "النسبة pi هي محيط الدائرة مقسوماً على قطرها في الهندسة المستوية المعتادة. أما 2pi فهو محيط دائرة نصف قطرها وحدة واحدة، فخلطهما يضاعف النتيجة خطأ. ينقل أوكتن للكاشي العدد العشري 6.2831853071795865، وهو قيمة تقريبية لضعف النسبة، لا قيمة pi نفسها؛ ويورد مقابله ستينياً {cite:tdv-kashi-okten mathematics}.\n\nليست النتيجة مساواة نهائية لعدد غير منته. إنها تقريب بعدد معلوم من المنازل، يحتاج إلى طريقة تضبط الخطأ أثناء استخراج الجذور والضرب والقسمة. تصف إيرانيكا مضلعات داخل الدائرة وحولها لتقريب المحيط، بينما تشدد ماكتوتر على طول النتيجة في نظامين. هنا تلتقي هندسة الأشكال مع مهارة حسابية، ولا يكفي إظهار عدد طويل بلا بيان معناه وحدوده {cite:iranica-kashi polygon computation} {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "كانت مسائل الدائرة وتقريب نسبتها قديمة قبل الكاشي. تربط إيرانيكا هدف الرسالة بالحاجة إلى تحسين التقريبات المستعملة في الحساب الفلكي، وتذكر تقاليد أقدم. لا يقدم المتحف بداية جديدة للهندسة سنة 1424، ولا يعد مجرد رسم مضلع داخل دائرة ابتكاراً خاصاً بصاحب المحيطية؛ الإضافة الموثقة هنا مستوى العمل العددي والدقة التي بلغها {cite:iranica-kashi As Mathematician and Astronomer}.\n\nكما توضح ماكتوتر أن تاريخ الكسور العشرية والجذور يتضمن علماء سبقوه، ومنهم رجال مدرسة الكرجي والسموأل. لذا لا يصح الانتقال من «استعمل الكسور بمهارة» إلى «اخترع كل كسر عشري». ومقارنة زمن إنجازه بنتائج أوروبية لاحقة لا تثبت تلقائياً أن أصحاب تلك النتائج قرؤوه أو أخذوا عنه؛ الأسبقية الزمنية غير الاتصال النصي {cite:kashi-mactutor decimals and root methods}."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "تعرض المصادر حياة بدأت في محيط كاشان وانتهت في سمرقند، لكن تفاصيلها ليست كلها متساوية اليقين. تقدر ماكتوتر الميلاد بنحو 1380، وتناقش إيرانيكا تقديراً بنحو 1386 مبنياً على افتراض عمره عند رصد 1406. لا نجمع التقديرين في يوم ميلاد مصطنع، ولا نستخدم شهرة رقم لإخفاء طبيعته التقديرية {cite:kashi-mactutor biography} {cite:iranica-kashi Life}.\n\nوجد الكاشي في محيط أولوغ بك دعماً للعمل الفلكي والحسابي. تؤرخ ماكتوتر المحيطية بيوليو 1424، ومفتاح الحساب بسنة 1427؛ هما كتابان مختلفان. كما تختلف الدراسات في تواريخ مراحل إنشاء المرصد، فلا يصبح تاريخ البناء تاريخاً لكل كتاب أو وصول كل عالم. يسجل الاختراع سنة الرسالة بقدر السنة فقط، من غير اختراع يوم أو مقابل هجري {cite:kashi-mactutor Samarkand and works} {cite:iranica-kashi Life}."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "تصف ماكتوتر الكاشي شخصياً بأنه رياضي إسلامي؛ هذا هو أساس الهوية المسجل، لا اسمه أو منشأ أسرته. والإطار السني مسجل منفصلاً بوصفه إطار المتحف الافتراضي في الوسط التيموري الموثق، لا شهادة بمذهبه الشخصي ولا استنتاجاً من دين أولوغ بك. المقالات العلمية المقروءة لا تسوق انتساباً شخصياً مخالفاً؛ لا نجعل سكوتها سيرة عقدية مفصلة {cite:kashi-mactutor summary} {cite:tdv-kashi-okten biography}.\n\nدوره محسّن للحساب. شاركه آخرون محيط العمل والرصد، وتذكر المصادر قاضي زاده وأولوغ بك والعلماء المجتمعين في سمرقند؛ لكن ذلك لا يثبت قائمة مشاركين في كل عملية داخل المحيطية. ورسائله إلى أبيه تتضمن تقييمه لقدرات زملائه؛ ننسب ذلك إليه ولا نحوله إلى ترتيب موضوعي نعلنه عن جميع العلماء {cite:iranica-kashi letters and scientific environment}."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "تخيل دائرة نصف قطرها واحد. مضلع منتظم تصل رؤوسه إلى المحيط يسلك طريقاً أقصر من الدائرة، وآخر تحيط أضلاعه بها يعطي طريقاً أطول. قسمة المحيطين على اثنين تعطي حداً أدنى وحداً أعلى لـpi. هذا شرح هندسي حديث لفكرة الحدود التي تصفها إيرانيكا، لا نقل لرموز الكاشي أو ترتيب برهانه {cite:iranica-kashi polygon computation}.\n\nنسمي عدد الأضلاع n وطول الضلع الداخلي s. الحد الأدنى هو `L=n*s/2`، والحد الأعلى في نموذجنا هو `U=L/sqrt(1-s*s/4)`. المسدس الداخلي يعطي s=1، فيكون L=3 وU نحو 3.464102. لا نحتاج هنا إلى معرفة رقم pi الطويل مسبقاً؛ الأضلاع وأنصاف الأقطار تنتج علاقات مثلثية وجذرية يمكن حسابها.\n\nعند تنصيف الزاوية المركزية يتضاعف عدد الأضلاع. نستعمل في شرحنا العلاقة `s_new=s/sqrt(2+sqrt(4-s*s))`. للمضلع ذي اثني عشر ضلعاً يصير الحد الأدنى نحو 3.105829 والأعلى نحو 3.215390. ما زال المجال واسعاً، لكنه أضيق من مجال المسدس. هذه أرقام فحصناها حديثاً، لا خلايا قرأناها من مخطوط المحيطية.\n\nوالاستمرار إلى 96 ضلعاً يعطي في المثال نفسه تقريباً `3.141032 < pi < 3.142715`. لا تكفي هذه الحدود للمنازل التاريخية الطويلة؛ فائدتها تعليم الفرق بين تضييق المجال وبين ادعاء جواب تام. كل مضلع محدود يبقى مضلعاً، والرسم المنشور الذي يظهر مسدسين لا يعرض كل خطوات حساب الكاشي أو حجمه.\n\nالصيغة البديلة `sqrt(2-sqrt(4-s*s))` مكافئة في الحساب الدقيق، لكنها تطرح عددين متقاربين حين يصغر الضلع. لذلك اخترنا الصيغة الأولى في المثال الحديث لتقليل فقد الدقة العددي. هذا تفسير معاصر لحساب الآلات، لا نسبة تلك اللغة أو بنية الحاسوب إلى عالم القرن الخامس عشر. ولا نستخدم دقة آلة محدودة لإثبات كل منزلة في رقم تاريخي طويل.\n\nأما الستيني والعشري فنظامان لكتابة المقادير الكسرية نفسها، لا كميتان مختلفتان. يعطي أوكتن `6;16,59,28,1,34,51,46,15,50` و`6.2831853071795865`؛ الأجزاء بعد الفاصلة الستينية تحمل مقامات 60 وقواه. وتحويل نتيجة مقربة إلى نظام آخر أو قسمتها على اثنين لا يخلق معلومات جديدة غير موجودة في الحساب الأول {cite:tdv-kashi-okten mathematics}.\n\nلكن الفحص الحسابي للنص المنشور يكشف فرقاً: تحويل المتتالية الستينية كما تظهر حرفياً يعطي نحو `6.2831853071795924`، لا العدد العشري المطبوع معها. نسجل عدم التطابق ولا نصحح خانة تاريخية بالتخمين؛ لم نقرأ الأصل لمعرفة هل الخلل في النقل أو الطباعة أو غيرهما. إذن خبر الدقة الطويلة من الدراسات غير التحقق من تكافؤ هذين السطرين المنشورين {cite:tdv-kashi-okten mathematics}."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "تذكر ماكتوتر أن أعمال الكاشي ظلت زمناً طويلاً غير معروفة في أوروبا، ثم تناولها مؤرخو العلم في القرنين التاسع عشر والعشرين. ويذكر أوكتن دراسة باول لوكي الألمانية للمحيطية وترجمتها المنشورة سنة 1953. هذا تاريخ دراسة ونشر، لا دليل على انتقال مباشر لكل تقنية حسابية إلى كل مؤلف أوروبي قارناه به {cite:kashi-mactutor conclusion} {cite:tdv-kashi-okten work6}.\n\nويجب فصل تلقي المحيطية من استعمال مفتاح الحساب كتاباً للتدريس. يخبرنا أوكتن عن أثر الكتاب التعليمي وترجمات بعضه، لكنه ليس الرسالة القصيرة في المحيط. لا نستعير كل شاهد على انتشار الكتاب الأكبر لإثبات انتشار مطابق لكل صفحة من الرسالة، ولا نضع مساراً جغرافياً يقينياً حيث لا تملك المصادر إلا خبراً عاماً {cite:tdv-kashi-okten work7}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "تتطلب الطريقة علاقات الدائرة والمثلث والجذر، ونظاماً للتعامل مع منازل الكسور. تؤكد الدراسات قدرة الكاشي على الجمع بين الهندسة والحساب، وتفرق ماكتوتر بين إنجازه وبين سوابقه في الكسور والجذور. لا يساوي هذا إثبات أنه استمد كل خطوة من كتاب معين محفوظ في المتحف، ولذلك تبقى أسلاف السجل وصفاً عاماً مسنداً لا روابط سببية متخيلة {cite:kashi-mactutor mathematical contributions}.\n\nويساعد السياق الفلكي على فهم اهتمامه بالدقة، لكن لا يجب اختزال الرسالة إلى جدول رصد. الناتج الحسابي عن شكل مثالي غير قياس جسم حقيقي بأداة تتأثر بالمواد والحركة. تروي إيرانيكا اهتمامه بتشوه الآلات الكبيرة، بما يبين أن الدقة الهندسية والعددية والمادية مسائل متصلة لكنها غير متطابقة {cite:iranica-kashi instruments and practical precision}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "تضم مؤلفات الكاشي مسائل متعددة: الزيج الخاقاني وتحديث حسابات أقدم، ومفتاح الحساب، ورسالة الوتر والجيب، وآلات فلكية. لا نعد هذه عناوين مترادفة للمحيطية. كما لا ننسب دقة جيب الدرجة الواحدة إلى جدول المحيط، ولا نجعل مجرد وجود مسائل كثيرة لدى عالم واحد إذناً بتكثير سجل الاختراع الواحد بلا مساهمات مستقلة {cite:tdv-kashi-okten works} {cite:kashi-mactutor sine treatise}.\n\nما توثقه هذه الصفحة هو إنجاز محدود يمكن أن يدرس ويقارن لاحقاً. لا نضيف له قائمة أحفاد من كل برنامج حديث يحسب pi؛ فالتشابه في الهدف الرياضي لا يثبت وراثة الطريقة. وبالمثل لا تصبح طريقة هندسية قديمة سلسلة لا نهائية أو خوارزمية حديثة لأنها تنتج عدداً نعرفه اليوم بدقة أكبر."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "كان مفتاح الحساب موجهاً إلى تعلم الحساب في مجالات متعددة، من الفلك والمساحة إلى العمارة والتجارة، بحسب ماكتوتر. هذا يوضح بيئة علمية تهتم باستعمال الحساب، لكننا لا ننقل كل استخدام لذلك الكتاب إلى المحيطية بوصفه نتيجة مقاسة. الصفحة لا تملك سجلاً يقول كم مبنى أو معاملة تغير بسبب المنزلة السادسة عشرة تحديداً {cite:kashi-mactutor Key to Arithmetic}.\n\nالأثر الذي نستطيع وصفه هو رفع إمكانات الحساب وبيان التعبير عن نتيجة دقيقة في نظامين. لا يعني كثرة المنازل أن كل مسألة يومية تحتاجها، أو أن أدوات العصر كانت تقيس العالم بدقة كل رقم مطبوع. وللتعليم قيمة في تمييز «يمكن حسابه» من «يمكن قياسه»، من غير اختراع نسب توفير أو أعداد مستفيدين لا تقدمها المصادر {cite:tdv-kashi-okten mathematics}."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "تصف الدراسات المحيطية إنجازاً بارزاً في الحساب الوسيط، وتذكر ماكتوتر مقارنة مستوى الدقة بما قبلها وبنتائج لاحقة. نحفظ المقارنة بوصفها عرضاً تاريخياً، لا شهادة مستقلة أننا فتشنا كل حضارات العالم وكل نص مفقود. أهمية الإنجاز الموثق لا تحتاج إلى حذف الحسابات اليونانية أو الصينية أو الإسلامية السابقة {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}.\n\nويكشف تسجيل النتيجة ستينياً وعشرياً انتقالاً بين أداتين حسابيتين في عمل واحد. تتحدث ماكتوتر عن استعمال الكسور العشرية لأعداد مثل pi لا لمقاربة جذور جبرية وحدها. هذه نقطة في تاريخ الممارسة العددية، تختلف عن دعوى اختراع الفاصلة الحديثة أو كل مفهوم العدد الحقيقي أو انتقال مباشر إلى عالم أوروبي بعينه {cite:kashi-mactutor decimal contributions}."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "الكاشي صاحب الحساب المنسوب إلى المحيطية، لا صاحب الدائرة أو كل تقريب لنسبتها. لذلك حالة النسبة في السجل «تحسين»، لا «أصل أول» مطلق. وتنبه ماكتوتر إلى أن بعض دعاوى الأولوية في الكسور واستخراج الجذور تتجاوز ما تسمح به معرفة السابقين. لا ننقل تلك الدعاوى إلى هذه الصفحة لمجرد أنها تجعل العنوان أكثر إثارة {cite:kashi-mactutor priority qualifications}.\n\nكما ينبغي ضبط وحدة الرقم: القيمة `6.2831853071795865` تخص 2pi، لا pi، وعدد المنازل العشرية غير عدد الخانات الستينية. وقسمة القيمة المقربة قد تظهر رقماً إضافياً شكلياً بلا دقة جديدة. التمييز بين التقريب والقطع والتدوير جزء من قراءة العدد، ولا تثبته صورة رسم جميل أو تكرار عبارة «ست عشرة منزلة» وحدها {cite:tdv-kashi-okten mathematics}."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "يمكن استعمال المثال الصغير لفهم الحدود وتراكم الأخطاء واختيار صيغة أكثر استقراراً. وتبقى هذه أدوات شرح حديث، لا إعادة إنشاء موثقة لخوارزمية المحيطية من أول مخطوط. إذا احتجنا إلى وصف دقيق لكل خطوة تاريخية فعلينا قراءة شاهد أو طبعة وتحديد رموزه، لا ملء الفجوة بما نعرفه من برامج اليوم.\n\nالصورة من رسم أوروستيغ سنة 2009: دائرتان مع مسدس داخلي وآخر خارجي. هي عمل هندسي حديث في الملك العام بحسب بيانات الملف، لا لوحة سمرقندية. توضح فكرتين بصريتين منفصلتين ولا تعرض مضلعات بملايين الأضلاع، ولا تحمل أرقام الكاشي. فصل الصورة عن الشاهد التاريخي يساعد القارئ على استعمالها دون أن يقرأ فيها أكثر مما تحتويه {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description and history}."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "يسمي أوكتن طبعة لوكي وترجمته الألمانية ودراسات أخرى، ويصف عدداً من أعمال الكاشي الباقية في مخطوطات. لم نقرأ المحيطية الأصلية أو طبعتها الألمانية هنا، ولا نقدم رقماً محفوظاً بوصفه نسخاً من صفحة شاهدناها. المراجع المحددة في نهاية الصفحة هي ما قرأناه فعلاً، والنتيجة العددية منقولة عنها مع التمييز بين النظامين {cite:tdv-kashi-okten works6–8}.\n\nأما الرسائل إلى أبيه فهي نافذة مختلفة على الحياة العلمية. تناقش إيرانيكا قيمتها وحدود المديح الذاتي والمنافسة، فلا نجعلها سجلاً محايداً لجميع قدرات الزملاء أو بديلاً عن قراءة كتاب الحساب. ولا نحول تاريخ مخطوط كتاب آخر إلى تاريخ تأليف المحيطية؛ بقاء عنوان للمؤلف لا يكفي لإثبات وحدة الشاهد {cite:iranica-kashi letters and works}."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "تجذب الأرقام الطويلة الانتباه، لكن قصة الكاشي لا تختزل في مسابقة حفظ منازل. تعرض المصادر عالماً يكتب إلى أبيه ويبحث عن دعم ويعمل بين زملاء وفي بلاط. يرد تقدير أولوغ بك له في الأخبار والكتب؛ ننسبه إلى صاحبه ولا نجعله حكماً من المتحف بأن كل رأي للكاشي كان الأفضل بلا استثناء {cite:kashi-mactutor biography and patronage} {cite:iranica-kashi Life}.\n\nوتفرق إيرانيكا بين براعته في الحساب والآلات وبين حدود ما نعرفه عن إسهامه في النظريات الكونية للكواكب. هذا ليس انتقاصاً من الحساب؛ بل تذكير بأن علوم الفلك متعددة، وأن شهرة شخص في بعضها لا تثبت تلقائياً كل إنجاز ممكن في جميعها. العالم التاريخي أوسع من رقم شهير وأضيق من بطل منسوب إليه كل شيء {cite:iranica-kashi concluding assessment}."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "انظر إلى الدائرتين والمسدسين. في أي رسم تقع الرؤوس على المحيط، وفي أيهما تلامس الأضلاع الدائرة من الخارج؟ ارسم على الورق مساراً أقصر وآخر أطول، واكتب بينهما «الجواب هنا». هذه لعبة فهم للحدود، لا نشاطاً يقيس ست عشرة منزلة من ورقة صغيرة ولا تجربة ننسبها حرفياً إلى الكاشي.\n\nثم اسأل: هل زيادة عدد الأرقام المكتوبة تجعل الجواب صحيحاً؟ اكتب تقديراً قصيراً وقل ما تعرفه عن حدوده بدلاً من إضافة أرقام لا تملك دليلاً عليها. لا حاجة إلى بناء أداة أو النظر إلى السماء؛ تكفي الورقة والسؤال. وإذا اختلف رسمك عن الدائرة قليلاً فهذا يبين الفرق بين الرسم الذي يشرح والعلاقة الحسابية التي تثبت."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- {cite:kashi-mactutor complete biography}\n- {cite:tdv-kashi-okten complete entry}\n- {cite:iranica-kashi complete article body}\n- {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description licence and history}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/al-kashi-pi-calculation",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b60",
     "source": "Actual complete MacTutor/Okten TDV/Iranica bodies; modern finite-polygon explanation, not original Muhitiyya transcription"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "A small drawing cannot establish sixteen decimal places. [[person/al-kashi|Ghiyath al-Din al-Kashi]]'s achievement in the [[work/risala-muhitiyya-kashi|Treatise on the Circumference]] was careful computation, not measuring a circle with a larger compass. MacTutor dates the work to 1424 and describes expressing twice the circumference-to-diameter ratio in sexagesimal and decimal forms with high precision. This improved an inherited calculation; it did not discover pi {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}.\n\nOur record concerns a numerical method within geometry and astronomy. Earlier circles and polygons do not disappear behind the author's name, nor does his result establish invention of decimal fractions. We explain bounds through a small modern example, separating it from historically reported output. We have not read the original manuscript or transcribed its calculation line by line {cite:kashi-mactutor decimal predecessors} {cite:iranica-kashi polygon computation}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "Pi is circumference divided by diameter in ordinary plane geometry. Twice pi is the circumference of a unit-radius circle: confusing them doubles the answer incorrectly. Okten reports al-Kashi's decimal value 6.2831853071795865, an approximation to twice the ratio, not pi itself, together with a sexagesimal representation {cite:tdv-kashi-okten mathematics}.\n\nThis is not a finite expression equal to an infinite expansion. It is an approximation whose precision depends on controlling errors in roots, multiplication and division. Iranica describes polygons inside and around a circle, while MacTutor emphasizes the output in two numeral systems. Shape geometry and computational skill meet here; displaying a long number without explaining its meaning is insufficient {cite:iranica-kashi polygon computation} {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "Circle problems and approximations preceded al-Kashi. Iranica connects his treatise with improving approximations used in astronomy and acknowledges older traditions. Geometry did not begin again in 1424, nor is merely drawing a polygon inside a circle his personal invention. The bounded contribution is the computational work and precision attained {cite:iranica-kashi As Mathematician and Astronomer}.\n\nMacTutor also places decimals and root extraction within earlier work, including al-Karaji's school and al-Samawal. “Used fractions skilfully” must not become “invented all decimal fractions.” Nor does chronological comparison with later European results prove their authors read him. Earlier occurrence and documented textual transmission are different claims {cite:kashi-mactutor decimals and root methods}."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "The sources describe a career from the Kashan environment to Samarkand, but the biographical details have unequal certainty. MacTutor estimates birth around 1380; Iranica discusses about 1386, inferred by assuming an age at the 1406 observation. We neither combine these into an invented birthday nor hide an estimate's character behind a familiar date {cite:kashi-mactutor biography} {cite:iranica-kashi Life}.\n\nUlugh Beg's scholarly environment offered support for astronomy and calculation. MacTutor dates the Muhitiyya to July 1424 and the Key to Arithmetic to 1427: different works. Studies also differ about stages of observatory construction. A building date cannot date every book or scholar's arrival. Our record uses only the treatise's year, without a guessed day or Hijri conversion {cite:kashi-mactutor Samarkand and works} {cite:iranica-kashi Life}."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "MacTutor individually identifies al-Kashi as an Islamic mathematician. This is the recorded Muslim basis, not his name or family origin. The Sunni frame is separately the museum's default in the documented Timurid milieu, not a certificate of personal school or an inference from Ulugh Beg's religion. The scholarly biographies read here give no contrary personal sect attestation; silence is not a detailed creed biography {cite:kashi-mactutor summary} {cite:tdv-kashi-okten biography}.\n\nHe is an improver of computation. Qadi Zada, Ulugh Beg and other scholars shared the intellectual setting, but that does not establish co-authorship of every calculation in the Muhitiyya. Letters to his father rank colleagues' abilities; those are his assessments, not an objective league table announced by the museum {cite:iranica-kashi letters and scientific environment}."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "Imagine a unit-radius circle. A regular polygon with vertices on its circumference takes a shorter route; a surrounding tangent polygon takes a longer route. Halving their perimeters gives lower and upper bounds for pi. This modern explanation illustrates Iranica's description of polygon bounds; it does not reproduce al-Kashi's symbols or proof order {cite:iranica-kashi polygon computation}.\n\nCall the number of sides n and the inscribed side length s. Our lower bound is `L=n*s/2`; the upper is `U=L/sqrt(1-s*s/4)`. For a hexagon s=1, giving L=3 and U approximately 3.464102. We do not need pi's long decimal expansion first: sides and radii yield geometric relations expressible through square roots.\n\nBisecting the central angle doubles the side count. Our explanatory recurrence is `s_new=s/sqrt(2+sqrt(4-s*s))`. Twelve sides give a lower bound about 3.105829 and upper about 3.215390. The interval remains broad but is narrower than the hexagon's. These are freshly checked modern numbers, not cells read from the Muhitiyya.\n\nContinuing to 96 sides gives approximately `3.141032 < pi < 3.142715`. This cannot establish the historically reported long precision. It teaches narrowing an interval rather than announcing an exact answer. Every finite polygon remains a polygon; the accompanying two-hexagon picture neither reproduces the historical computation's full sequence nor its scale.\n\nThe equivalent expression `sqrt(2-sqrt(4-s*s))` subtracts nearly equal quantities when the side becomes small. We choose the first form for our modern example to reduce numerical cancellation. This is a contemporary computational explanation, not language or computer architecture attributed to a fifteenth-century scholar. A finite-precision machine demonstration does not independently certify every historical digit.\n\nSexagesimal and decimal notation express fractional quantities using different place values. Okten prints `6;16,59,28,1,34,51,46,15,50` and `6.2831853071795865`: after the sexagesimal separator, positions have denominators 60 and its powers. Converting a rounded quantity between bases or dividing it by two does not create information absent from the original calculation {cite:tdv-kashi-okten mathematics}.\n\nHowever, checking the literal printed sequence reveals a discrepancy: it converts to approximately `6.2831853071795924`, not the accompanying decimal. We flag the mismatch without guessing a correction to a historical digit. Without reading the original, we cannot locate the error in transmission, typography or elsewhere. Reported high precision and verification that these two printed lines agree are different matters {cite:tdv-kashi-okten mathematics}."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "MacTutor describes al-Kashi's work remaining long unknown in Europe and later receiving nineteenth- and twentieth-century historical study. Okten lists Paul Luckey's German study and translation of the Circumference, published in 1953. This documents scholarship and publication, not direct transfer of every numerical technique to every European compared with him {cite:kashi-mactutor conclusion} {cite:tdv-kashi-okten work6}.\n\nThe Circumference must also be distinguished from the Key's use as a teaching text. Okten describes the larger textbook's reception and translations of parts, not identical circulation for this shorter treatise. We cannot borrow every sign of the Key's popularity as evidence for every Muhitiyya page or draw a certain map from only a general reception account {cite:tdv-kashi-okten work7}."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The method needs circle and triangle relations, roots and fractional-place arithmetic. The biographies emphasize al-Kashi's combination of geometry and computation while distinguishing earlier decimal and root work. This does not identify a particular museum book behind every step; the precursor remains a sourced general description rather than an invented causal edge {cite:kashi-mactutor mathematical contributions}.\n\nAstronomy helps explain the concern with precision, but the treatise is not merely an observation table. A computed ideal figure differs from a physical instrument affected by materials and movement. Iranica describes concern about large instruments warping: geometric, numerical and material accuracy are related without being identical {cite:iranica-kashi instruments and practical precision}."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "Al-Kashi's works address several problems: the Khaqani Zij updates earlier astronomy; the Key teaches arithmetic; the Chord and Sine treats another computation; instruments perform other tasks. These are not interchangeable titles for the Muhitiyya. Sine-one-degree precision does not belong to a circumference table, nor do numerous titles automatically justify multiplying one contribution into many records {cite:tdv-kashi-okten works} {cite:kashi-mactutor sine treatise}.\n\nWe document a bounded achievement for later study and comparison. Not every modern program computing pi becomes its descendant. Sharing a mathematical target does not prove inheritance of a particular algorithm. An old geometric procedure likewise does not become an infinite series or modern method merely because it produces a quantity we now know more precisely."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "MacTutor describes the Key's intended applications in astronomy, surveying, architecture, accounting and trade. That places calculation in a practical intellectual setting, but it does not measure effects of the Muhitiyya. We have no record showing how many buildings or transactions changed because of its sixteenth decimal place specifically {cite:kashi-mactutor Key to Arithmetic}.\n\nThe supported effect is improved computational capability and expressing a precise result in two systems. More digits do not mean every everyday task needs them or every contemporary instrument measures the world to that precision. Teaching can distinguish “calculable” from “measurable” without inventing savings or beneficiary counts that the sources do not supply {cite:tdv-kashi-okten mathematics}."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "The biographies describe a notable medieval computational achievement; MacTutor compares its precision with earlier and later results. We retain this as a historical account, not our independent certificate that every civilization and lost text has been searched. The achievement does not require deleting earlier Greek, Chinese or Islamic computations {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}.\n\nRecording sexagesimal and decimal output also shows movement between arithmetic tools within one work. MacTutor emphasizes using decimal fractions for quantities such as pi, not only algebraic-root approximations. This is a development in numerical practice, distinct from inventing the modern decimal point, every concept of real number or a direct route to a named European {cite:kashi-mactutor decimal contributions}."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "Al-Kashi authored the calculation associated with this treatise, not the circle or every approximation to its ratio. The attribution is therefore improvement, not absolute origin. MacTutor explicitly qualifies decimal and root priority claims by considering predecessors. We do not import stronger claims merely to make the headline more exciting {cite:kashi-mactutor priority qualifications}.\n\nThe numerical unit is equally important: `6.2831853071795865` approximates twice pi. Decimal places are not sexagesimal positions. Halving rounded output can display an extra digit without new accuracy. Approximation, truncation and rounding are different operations; repeating “sixteen places” or showing a handsome diagram establishes none of them independently {cite:tdv-kashi-okten mathematics}."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "The small example teaches bounds, accumulated error and a more stable expression. These are modern explanatory tools, not a documented reconstruction from the first manuscript. An exact historical algorithm requires reading a specified witness or edition and identifying its notation, not filling gaps with present-day programming knowledge.\n\nUrutseg's 2009 image shows two circles with an inscribed and a circumscribed hexagon. Commons identifies this as modern simple geometry in the public domain, not a Samarkand painting. It contains neither millions of sides nor al-Kashi's digits. Separating illustration from evidence lets readers use what the picture actually explains without imagining what it does not show {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description and history}."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "Okten names Luckey's edition and German translation and describes several other works preserved in manuscripts. We have not read the original Muhitiyya or German edition and do not present output as a transcription from a viewed page. Our references are the works actually consulted; the numerical result is reported through them with the numeral systems distinguished {cite:tdv-kashi-okten works6–8}.\n\nLetters to his father offer a different window onto scientific life. Iranica discusses their value, self-praise and competition; they are neither an impartial inventory of colleagues' abilities nor substitutes for reading the arithmetic work. A different book's copy date cannot date the Muhitiyya, and a surviving title alone cannot establish one shared witness {cite:iranica-kashi letters and works}."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "Long numbers attract attention, but al-Kashi's story is not a digit-memorizing contest. The sources depict a scholar writing to his father, seeking support and working among colleagues and at court. Ulugh Beg's praise remains its speaker's judgement, not a museum verdict that every one of al-Kashi's opinions surpassed all rivals {cite:kashi-mactutor biography and patronage} {cite:iranica-kashi Life}.\n\nIranica distinguishes computational and instrument skill from the limits of known contributions to cosmological planetary theory. This does not belittle arithmetic: astronomy has several fields, and distinction in one does not automatically prove every achievement in all. A historical scholar is more than a famous number and less than a hero credited with everything {cite:iranica-kashi concluding assessment}."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Look at the circles and hexagons. Which has corners on the circumference, and which has sides touching the circle from outside? Draw a shorter and longer paper path and write “the answer lies here” between them. This is a bounds activity, not measuring sixteen decimal places from a small picture or exactly reenacting al-Kashi's work.\n\nDoes writing more digits make an answer correct? Write a short estimate and explain its limits rather than adding unsupported numbers. No instrument-building or sky observation is required. Paper and a question are enough. A slightly imperfect drawing also demonstrates why a picture that explains differs from a mathematical relation that proves."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- {cite:kashi-mactutor complete biography}\n- {cite:tdv-kashi-okten complete entry}\n- {cite:iranica-kashi complete article body}\n- {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description licence and history}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/al-kashi-pi-calculation",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b60",
     "source": "Arabic translation from actual MacTutor/Okten TDV/Iranica; modern finite-polygon explanation, not original Muhitiyya transcription"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "چھوٹی تصویر سولہ اعشاری مقام ثابت نہیں کرتی۔ [[person/al-kashi|غیاث الدین کاشی]] کی [[work/risala-muhitiyya-kashi|رسالۂ محیطیہ]] میں خدمت محتاط حساب تھی، بڑے پرکار سے دائرہ ناپنا نہیں۔ میک ٹیوٹر اسے 1424 کا بتاتا اور محیط و قطر کی نسبت کے دوگنے کو ستینی اور اعشاری صورت میں دقیق لکھنا بیان کرتا ہے۔ یہ سابق حساب کی بہتری تھی، پائی کی دریافت نہیں {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}۔\n\nیہ اندراج ہندسے اور فلکیات کے اندر عددی طریقے کا ہے۔ پرانا دائرہ اور کثیرالاضلاع مصنف کے نام کے پیچھے غائب نہیں ہوتے، نہ اس کا نتیجہ اعشاری کسروں کی ایجاد ثابت کرتا ہے۔ ہم حدوں کو چھوٹی جدید مثال سے سمجھاتے اور تاریخی نتیجے سے الگ رکھتے ہیں۔ اصل مخطوطہ نہیں پڑھا یا حساب سطر بہ سطر نقل نہیں کیا {cite:kashi-mactutor decimal predecessors} {cite:iranica-kashi polygon computation}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "عام مستوی ہندسے میں پائی محیط کو قطر سے تقسیم کرنے کی نسبت ہے۔ دوگنا پائی اکائی نصف قطر کے دائرے کا محیط ہے؛ دونوں ملانے سے جواب غلط دوگنا ہو گا۔ اوکتن کاشی کا اعشاری عدد 6.2831853071795865 دیتے ہیں، جو دوگنی نسبت کی تقریب ہے، خود پائی نہیں؛ ساتھ ستینی صورت بھی دیتے ہیں {cite:tdv-kashi-okten mathematics}۔\n\nیہ لامتناہی پھیلاؤ کی مکمل محدود مساوات نہیں۔ یہ تقریب ہے جس کی دقت جذر، ضرب اور تقسیم میں غلطی قابو کرنے پر منحصر ہے۔ ایرانیکا دائرے کے اندر اور گرد کثیرالاضلاع بیان کرتا ہے، جبکہ میک ٹیوٹر دو عددی نظاموں کے نتیجے پر زور دیتا ہے۔ شکل کے ہندسے اور حسابی مہارت کا ملاپ ہے؛ لمبا عدد دکھا کر معنی اور حد نہ بتانا کافی نہیں {cite:iranica-kashi polygon computation} {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "دائرے کے مسائل اور نسبت کی تقریب کاشی سے پرانی تھی۔ ایرانیکا رسالے کو فلکیات میں استعمال شدہ تقریبوں کی بہتری سے جوڑتا اور سابق روایت مانتا ہے۔ ہندسہ 1424 میں نئے سرے سے شروع نہیں ہوا، نہ دائرے میں کثیرالاضلاع کھینچنا ان کی خاص ایجاد ہے۔ محدود خدمت عددی محنت اور حاصل دقت کی ہے {cite:iranica-kashi As Mathematician and Astronomer}۔\n\nمیک ٹیوٹر اعشاریوں اور جذر کو بھی سابق کام میں رکھتا ہے، خصوصاً کرجی کے مکتب اور سموأل کا ذکر کرتا ہے۔ «کسریں مہارت سے استعمال کیں» کو «تمام اعشاری کسریں ایجاد کیں» نہیں بنانا چاہیے۔ بعد کے یورپی نتائج سے زمانی تقابل یہ ثابت نہیں کرتا کہ ان مؤلفین نے انہیں پڑھا۔ پہلے ہونا اور دستاویزی متنی منتقلی دو مختلف دعوے ہیں {cite:kashi-mactutor decimals and root methods}۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "ماخذ کاشان کے ماحول سے سمرقند تک کی زندگی بیان کرتے ہیں، مگر تفصیل یکساں یقینی نہیں۔ میک ٹیوٹر پیدائش تقریباً 1380 بتاتا ہے؛ ایرانیکا 1406 کے رصد پر عمر فرض کر کے تقریباً 1386 کا اندازہ زیر بحث لاتا ہے۔ دونوں سے مصنوعی یوم پیدائش نہیں بناتے، نہ مقبول تاریخ کے پیچھے تخمینے کی نوعیت چھپاتے ہیں {cite:kashi-mactutor biography} {cite:iranica-kashi Life}۔\n\nالغ بیگ کے علمی ماحول میں فلک اور حساب کو سرپرستی ملی۔ میک ٹیوٹر محیطیہ جولائی 1424 اور مفتاح الحساب 1427 کا بتاتا ہے؛ دونوں الگ تصانیف ہیں۔ رصدگاہ کی تعمیر کے مرحلوں کی تاریخیں بھی مطالعات میں مختلف ہیں۔ عمارت کی تاریخ ہر کتاب یا عالم کی آمد نہیں۔ اندراج صرف رسالے کا سال دیتا ہے، فرضی دن یا ہجری تبدیلی نہیں {cite:kashi-mactutor Samarkand and works} {cite:iranica-kashi Life}۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "میک ٹیوٹر کاشی کو ذاتی طور پر اسلامی ریاضی دان کہتا ہے۔ مسلم شناخت کی درج بنیاد یہ ہے، نام یا خاندان کا وطن نہیں۔ سنی فریم الگ طور پر دستاویزی تیموری ماحول میں عجائب گھر کا عمومی فریم ہے، شخصی فقہی مکتب کی سند یا الغ بیگ کے مذہب کا قیاس نہیں۔ پڑھی علمی سوانح میں مخالف ذاتی انتساب نہیں؛ خاموشی مکمل عقیدتی سوانح نہیں ہوتی {cite:kashi-mactutor summary} {cite:tdv-kashi-okten biography}۔\n\nوہ حساب میں بہتری لانے والے ہیں۔ قاضی زادہ، الغ بیگ اور دوسرے علما اسی علمی ماحول میں تھے، مگر اس سے محیطیہ کی ہر کارروائی کی مشترک تصنیف ثابت نہیں ہوتی۔ والد کو خطوط میں ساتھیوں کی صلاحیت پر ان کی رائے ہے؛ ہم اسے ان سے منسوب رکھتے ہیں، عجائب گھر کی معروضی درجہ بندی نہیں بناتے {cite:iranica-kashi letters and scientific environment}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "اکائی نصف قطر کا دائرہ سوچیے۔ محیط پر راسوں والا منتظم کثیرالاضلاع چھوٹا راستہ لیتا ہے؛ گرد کے مماس ضلعوں والا بڑا راستہ دیتا ہے۔ دونوں محیط آدھے کرنے سے پائی کی زیریں و بالائی حد ملتی ہے۔ یہ ایرانیکا کی کثیرالاضلاعی حدوں کا جدید بیان ہے، کاشی کی علامتیں یا برہان کی ترتیب نہیں {cite:iranica-kashi polygon computation}۔\n\nضلعوں کی تعداد n اور اندرونی ضلع کی لمبائی s کہیں۔ ہماری زیریں حد `L=n*s/2` اور بالائی `U=L/sqrt(1-s*s/4)` ہے۔ مسدس میں s=1، لہٰذا L=3 اور U تقریباً 3.464102 ہے۔ پہلے پائی کا لمبا اعشاری عدد درکار نہیں؛ ضلع اور نصف قطر جذر سے ظاہر ہونے والے ہندسی رشتے دیتے ہیں۔\n\nمرکزی زاویہ آدھا کرنے پر ضلع دوگنے ہوتے ہیں۔ وضاحتی تکرار `s_new=s/sqrt(2+sqrt(4-s*s))` ہے۔ بارہ ضلعوں میں زیریں حد تقریباً 3.105829 اور بالائی 3.215390 ہو جاتی ہے۔ وقفہ ابھی وسیع ہے مگر مسدس سے تنگ۔ یہ ہماری نئی جانچی ہوئی عددی مثالیں ہیں، محیطیہ سے پڑھے خانے نہیں۔\n\nاسی عمل کو 96 ضلعوں تک لے جانے سے تقریباً `3.141032 < pi < 3.142715` ملتا ہے۔ اس سے تاریخی لمبی دقت ثابت نہیں ہوتی۔ یہ وقفہ تنگ کرنے اور قطعی جواب کہنے کا فرق سکھاتا ہے۔ ہر محدود کثیرالاضلاع کثیرالاضلاع ہی ہے؛ ساتھ دو مسدسوں کی تصویر تاریخی حساب کا پورا سلسلہ یا اس کی جسامت نہیں دکھاتی۔\n\nمساوی عبارت `sqrt(2-sqrt(4-s*s))` ضلع چھوٹا ہونے پر قریب قریب عدد منہا کرتی ہے۔ جدید مثال میں عددی دقت کے ضیاع کو گھٹانے کے لیے پہلی صورت چنی ہے۔ یہ معاصر کمپیوٹیشن کی وضاحت ہے، پندرھویں صدی کے عالم سے کمپیوٹر کی زبان یا ساخت منسوب کرنا نہیں۔ محدود دقت کی مشین ہر تاریخی ہندسہ الگ سے ثابت نہیں کرتی۔\n\nستینی و اعشاری صورتیں مختلف مقامی قدر سے کسر ظاہر کرتی ہیں۔ اوکتن `6;16,59,28,1,34,51,46,15,50` اور `6.2831853071795865` دیتے ہیں۔ ستینی جداکار کے بعد مقاموں کے مخرج 60 اور اس کی قوتیں ہیں۔ گول کی ہوئی مقدار کو نظام بدل کر یا آدھا کر کے لکھنے سے اصل حساب میں نہ ہونے والی معلومات پیدا نہیں ہوتیں {cite:tdv-kashi-okten mathematics}۔\n\nمگر چھپی ترتیب کی لفظی جانچ اختلاف دکھاتی ہے: اس کا تبدیل شدہ عدد تقریباً `6.2831853071795924` ہے، ساتھ کا اعشاری عدد نہیں۔ تاریخی ہندسہ قیاس سے درست کرنے کی بجائے اختلاف واضح کرتے ہیں۔ اصل پڑھے بغیر نقل، طباعت یا کسی اور جگہ غلطی متعین نہیں کر سکتے۔ منقول بلند دقت اور ان دو چھپی سطروں کی مطابقت الگ سوال ہیں {cite:tdv-kashi-okten mathematics}۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "میک ٹیوٹر کاشی کے کام کا یورپ میں طویل عرصہ نامعلوم رہنا اور انیسویں و بیسویں صدی میں تاریخی مطالعہ بیان کرتا ہے۔ اوکتن پاول لوکی کی جرمن تحقیق و ترجمہ 1953 کا بتاتے ہیں۔ یہ مطالعہ اور اشاعت ہے، ہر عددی ترکیب کا ہر موازنہ شدہ یورپی عالم کو براہ راست انتقال نہیں {cite:kashi-mactutor conclusion} {cite:tdv-kashi-okten work6}۔\n\nمحیطیہ کو مفتاح کے تدریسی استعمال سے بھی الگ رکھنا ہے۔ اوکتن بڑی کتاب کی پذیرائی اور بعض حصوں کے ترجمے بتاتے ہیں، مختصر رسالے کی یکساں گردش نہیں۔ مفتاح کی مقبولیت کا ہر نشان محیطیہ کے ہر صفحے کا ثبوت نہیں بن سکتا، نہ صرف عمومی خبر سے یقینی سفری نقشہ بنایا جا سکتا ہے {cite:tdv-kashi-okten work7}۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "طریقے کو دائرے، مثلث، جذر اور کسری مقاموں کے حساب کی ضرورت ہے۔ سوانح کاشی کے ہندسہ و حساب کے ملاپ کے ساتھ سابق اعشاری اور جذر کے کام الگ رکھتی ہے۔ اس سے ہر قدم کے پیچھے عجائب گھر کی کوئی خاص کتاب متعین نہیں ہوتی۔ سابقہ بنیاد عمومی ماخذی وصف ہے، فرضی سببی ربط نہیں {cite:kashi-mactutor mathematical contributions}۔\n\nفلکیات دقت کا شوق سمجھاتی ہے، مگر رسالہ صرف رصدی جدول نہیں۔ مثالی شکل کا حساب مادی آلے سے مختلف ہے جس پر مادہ و حرکت اثر کرتے ہیں۔ ایرانیکا بڑے آلات کے ٹیڑھے ہونے کی فکر بیان کرتا ہے: ہندسی، عددی اور مادی صحت متعلق ہیں، یکساں نہیں۔ ان میں فرق رکھنا تاریخی کام کو سمجھنے کا حصہ ہے {cite:iranica-kashi instruments and practical precision}۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "کاشی کی تصانیف کے مسائل الگ ہیں: خاقانی زیج سابق فلک کی تجدید، مفتاح حساب کی تعلیم، وتر و جیب الگ حساب، اور آلات دوسرے کام کرتے ہیں۔ یہ محیطیہ کے بدلتے نام نہیں۔ ایک درجے کے جیب کی دقت محیط کے جدول کی نہیں، نہ بہت سے عنوان ایک ہی خدمت کو کئی اندراج بنانے کی خودکار اجازت ہیں {cite:tdv-kashi-okten works} {cite:kashi-mactutor sine treatise}۔\n\nیہاں محدود خدمت درج ہے جس کا بعد میں مطالعہ اور تقابل ہو سکتا ہے۔ پائی نکالنے والا ہر جدید پروگرام اس کا وارث نہیں۔ مشترک ریاضیاتی ہدف خاص طریقے کی وراثت ثابت نہیں کرتا۔ پرانی ہندسی کارروائی بھی محض آج زیادہ دقیق معلوم عدد دینے سے لامتناہی سلسلہ یا جدید خوارزم نہیں بن جاتی۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "میک ٹیوٹر مفتاح کے مقاصد میں فلک، مساحت، عمارت، حساب داری اور تجارت دیتا ہے۔ یہ حساب کا عملی علمی ماحول ہے، مگر محیطیہ کے اثر کی پیمائش نہیں۔ ہمارے پاس یہ ریکارڈ نہیں کہ بالخصوص سولھویں اعشاری مقام سے کتنی عمارتیں یا معاملات بدلے۔ کتابوں کی نسبت الگ رکھنا غیر ثابت روزمرہ نتائج سے بچاتا ہے {cite:kashi-mactutor Key to Arithmetic}۔\n\nماخذی اثر بہتر حسابی صلاحیت اور دو نظاموں میں دقیق نتیجہ ہے۔ زیادہ ہندسے ہر روزمرہ کام کی ضرورت نہیں، نہ اس وقت کے آلات اتنی دقت سے دنیا ناپتے تھے۔ تعلیم «حساب ہو سکتا ہے» اور «ناپا جا سکتا ہے» میں فرق کر سکتی ہے، بچت یا مستفید افراد کی غیر ماخذی گنتی بنائے بغیر {cite:tdv-kashi-okten mathematics}۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "سوانح اسے قرون وسطیٰ کا نمایاں عددی کام بتاتی ہے؛ میک ٹیوٹر پہلے و بعد کے نتائج سے دقت ملاتا ہے۔ اسے تاریخی بیان رکھتے ہیں، ہمارا ہر تہذیب اور گم متن کی تلاش کا آزاد سرٹیفکیٹ نہیں۔ یہ خدمت پہلے کے یونانی، چینی یا اسلامی حساب حذف کرنے کی محتاج نہیں؛ اہمیت کا مطلب تاریخ کا ازسرنو آغاز نہیں {cite:kashi-mactutor Circumference treatise}۔\n\nستینی و اعشاری نتیجہ ایک کام میں دو حسابی اوزاروں کا انتقال دکھاتا ہے۔ میک ٹیوٹر صرف جبری جذر نہیں بلکہ پائی جیسے اعداد کے لیے اعشاری کسروں پر زور دیتا ہے۔ یہ عددی عمل کی ترقی ہے، جدید اعشاری نقطہ، ہر حقیقی عدد کا تصور یا خاص یورپی عالم تک براہ راست راستے کی ایجاد نہیں {cite:kashi-mactutor decimal contributions}۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "کاشی اس رسالے سے منسوب حساب کے مؤلف ہیں، دائرے یا ہر تقریب کے نہیں۔ نسبت بہتری کی ہے، مطلق ابتدا کی نہیں۔ میک ٹیوٹر سابقین کی روشنی میں اعشاری اور جذر کی اولیت محدود کرتا ہے۔ صرف سرخی دلچسپ بنانے کے لیے زیادہ بڑے دعوے یہاں نہیں لاتے؛ انہی کی اپنی مضبوط خدمت بیان کرنا کافی ہے {cite:kashi-mactutor priority qualifications}۔\n\nعدد کی اکائی بھی ضروری ہے: `6.2831853071795865` دوگنے پائی کی تقریب ہے۔ اعشاری مقام ستینی مقام نہیں۔ گول نتیجہ آدھا کرنے سے ظاہری اضافی ہندسہ مل سکتا ہے، نئی صحت نہیں۔ تقریب، قطع اور تدویر مختلف کارروائیاں ہیں؛ «سولہ مقام» دہرانے یا اچھا نقش دکھانے سے کوئی کارروائی آزادانہ ثابت نہیں ہوتی {cite:tdv-kashi-okten mathematics}۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "چھوٹی مثال حد، جمع ہوتی غلطی اور زیادہ مستحکم عبارت سکھاتی ہے۔ یہ جدید تدریسی اوزار ہیں، پہلے مخطوطے کی دستاویزی تعمیر نو نہیں۔ عین تاریخی طریقہ بتانے کو خاص نسخہ یا اشاعت پڑھنا اور علامتیں شناخت کرنا ہو گا، آج کے پروگراموں سے خلا بھرنا نہیں۔ جدید وضاحت کو اسی نام سے بتانے پر اس کی تعلیمی قدر باقی رہتی ہے۔\n\nاوروتسیگ کی 2009 کی تصویر دو دائرے اور اندرونی و بیرونی مسدس دکھاتی ہے۔ کامنز اسے عوامی ملکیت کی جدید سادہ ہندسی صورت بتاتا ہے، سمرقند کی تصویر نہیں۔ اس میں لاکھوں ضلع یا کاشی کے اعداد نہیں۔ تصویر اور شہادت الگ رکھنے سے قاری اتنا ہی سیکھتا ہے جتنا نقش واقعی دکھاتا ہے {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description and history}۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "اوکتن لوکی کی اشاعت و جرمن ترجمہ اور مخطوطات میں محفوظ دوسرے کام بتاتے ہیں۔ ہم نے اصل محیطیہ یا جرمن اشاعت نہیں پڑھی، نہ نتیجے کو دیکھے ہوئے صفحے کی نقل کہتے ہیں۔ آخر کے مراجع وہ ہیں جن کا واقعی مطالعہ ہوا؛ انہی سے عددی نتیجہ دونوں نظاموں کا فرق رکھ کر بیان ہوا ہے {cite:tdv-kashi-okten works6–8}۔\n\nوالد کو خطوط علمی زندگی کی دوسری جھلک ہیں۔ ایرانیکا قدر، خودستائی اور مسابقت بیان کرتا ہے؛ یہ ساتھیوں کی صلاحیت کی غیر جانب دار فہرست یا حساب کی کتاب کا بدل نہیں۔ دوسری کتاب کی کتابت محیطیہ کی تصنیف نہیں بتاتی، اور صرف محفوظ عنوان سے ایک مشترک نسخہ ثابت نہیں ہوتا {cite:iranica-kashi letters and works}۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "لمبے عدد توجہ کھینچتے ہیں مگر کاشی کی کہانی ہندسے یاد کرنے کا مقابلہ نہیں۔ ماخذ ایک والد کو خط لکھنے، حمایت تلاش کرنے اور ساتھیوں و دربار میں کام کرنے والا عالم دکھاتے ہیں۔ الغ بیگ کی تعریف کہنے والے کی رائے ہے، عجائب گھر کا فیصلہ نہیں کہ کاشی کی ہر بات سب سے بہتر تھی {cite:kashi-mactutor biography and patronage} {cite:iranica-kashi Life}۔\n\nایرانیکا حساب و آلے کی مہارت اور کونی سیاروی نظریے میں معلوم خدمت کی حد الگ کرتا ہے۔ یہ حساب کو کم کرنا نہیں؛ فلک کے کئی شعبے ہیں اور ایک میں شہرت سب کی ہر کامیابی ثابت نہیں کرتی۔ تاریخی عالم مشہور عدد سے بڑا، مگر ہر چیز کا ذمہ دار بے عیب ہیرو نہیں۔ حدیں بیان کرنے سے انسانی کام زیادہ واضح ہوتا ہے {cite:iranica-kashi concluding assessment}۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "دائرے اور مسدس دیکھیں۔ کس کے کونے محیط پر اور کس کے ضلع باہر سے مماس ہیں؟ کاغذ پر چھوٹا اور بڑا راستہ بنائیں اور درمیان «جواب یہاں ہے» لکھیں۔ یہ حدوں کا کام ہے، چھوٹی تصویر سے سولہ اعشاری مقام ناپنا یا عین کاشی کا کام دہرانا نہیں۔ اصل مقصد جواب کے گرد حد سمجھنا ہے۔\n\nکیا زیادہ ہندسے لکھنے سے جواب درست ہوتا ہے؟ چھوٹا تخمینہ لکھ کر اس کی حد کہیں، غیر ثابت عدد نہ بڑھائیں۔ آلہ بنانا یا آسمان دیکھنا ضروری نہیں؛ کاغذ اور سوال کافی ہیں۔ معمولی ٹیڑھا نقش یہ بھی دکھاتا ہے کہ سمجھانے والی تصویر اور ثابت کرنے والا ریاضیاتی رشتہ مختلف چیزیں ہیں۔ دونوں کو اپنا درست کام کرنے دیں۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- {cite:kashi-mactutor complete biography}\n- {cite:tdv-kashi-okten complete entry}\n- {cite:iranica-kashi complete article body}\n- {cite:commons-archimedes-pi-urutseg Description licence and history}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/al-kashi-pi-calculation",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b60",
     "source": "Arabic translation from actual MacTutor/Okten TDV/Iranica; modern finite-polygon explanation, not original Muhitiyya transcription"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  }
 },
 "degree": 4,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-06",
 "connections": [
  {
   "to": "person/al-kashi",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "High-precision polygon-based circumference calculation, not first pi or decimals.",
   "sources": [
    "source/iranica-kashi",
    "source/kashi-mactutor",
    "source/tdv-kashi-okten"
   ]
  },
  {
   "to": "work/risala-muhitiyya-kashi",
   "type": "described_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "sources": [
    "source/kashi-mactutor",
    "source/tdv-kashi-okten",
    "source/iranica-kashi",
    "source/commons-archimedes-pi-urutseg"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "invention/kashi-conjunction-plate",
  "invention/kashi-general-root-extraction",
  "invention/kashi-muqarnas-mensuration",
  "invention/kashi-sine-one-degree",
  "place/samarqand",
  "person/al-kashi",
  "work/risala-muhitiyya-kashi"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}