{
 "id": "invention/biruni-difference-interpolation",
 "class": "invention",
 "slug": "biruni-difference-interpolation",
 "label": {
  "ar": "تعديل الفروق في استيفاء البيروني",
  "en": "Al-Biruni's difference-adjusted interpolation",
  "ur": "بیرونی کا فرقوں کی تصحیح سے استیفا"
 },
 "summary": {
  "ar": "شرح لاستعمال الفروق المتغيرة بين صفوف الجدول، مع تدقيق مباشر وعكسي وتعميم؛ لا أول استيفاء أو تطابق مع كل صيغة تربيعية حديثة {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,339–340}.",
  "en": "Exposition using changing tabular differences, direct/inverse refinements and generalization; not first interpolation or identity with every modern quadratic rule {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,339–340}.",
  "ur": "جدولی فرقوں کے بدلاؤ، سیدھی و الٹی تصحیح اور تعمیم کی تشریح؛ پہلا استیفا یا ہر جدید تربيعی قاعدے سے یکسانیت نہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,339–340}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "persia-central-asia"
 ],
 "periods": [
  "period/buyid-seljuk-fatimid-era"
 ],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "kind": "alternate",
    "lang": "ar",
    "value": "تدقيق التجييب والتقويس في القانون المسعودي"
   },
   {
    "kind": "alternate",
    "lang": "en",
    "value": "Al-Biruni's nonlinear table interpolation"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics",
   "astronomy"
  ],
  "era": {
   "origins": "abbasid-golden",
   "first_attested": {
    "edtf": "10XX",
    "calendar": "julian",
    "precision": "century",
    "status": "historical",
    "note": "Broad eleventh-century documentary context of the Qanun in MeijeringII.C, not exact invention/composition year, printed-edition date or universal priority; no fabricated Hijri equivalent.",
    "sources": [
     "source/meijering-interpolation-2002"
    ]
   },
   "status_today": "transformed"
  },
  "origin": {
   "place": "place/ghazna",
   "context": {
    "ar": "سياق القانون المسعودي وعمل صاحبه بغزنة، لا ورشة مؤرخة أو أول استعمال عالمي {cite:britannica-al-biruni biography}.",
    "en": "Context of the Qanun and its author's work at Ghazna, not a dated workshop or first worldwide use {cite:britannica-al-biruni biography}.",
    "ur": "القانون اور غزنہ میں مصنف کے کام کا سیاق، تاریخ یافتہ کارگاہ یا پہلا عالمی استعمال نہیں {cite:britannica-al-biruni biography}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad",
    "role": "improver",
    "place": "place/ghazna",
    "note": "Specific changing-difference exposition, not first interpolation or invention of every quadratic formula. Individual Muslim basis and Sunni-first debated affiliation preserved from existing biography.",
    "sources": [
     "source/qanun-masudi-jundi-v1",
     "source/britannica-al-biruni",
     "source/tdv-biruni-tumer"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "تدقيق موصوف للجداول يتجاوز النسبة الخطية الواحدة؛ تاريخ سابق هندي وغيره محفوظ.",
    "en": "Documented table refinement beyond a single linear proportion; earlier Indian and other traditions retained.",
    "ur": "ایک خطی تناسب سے آگے مستند جدولی تصحیح؛ پہلے ہندوستانی اور دوسرے سلسلے محفوظ۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "فحص مباشر للنص العربي وشرح اختلاف الفروق ووحدات الحساب؛ لا استبدال صيغ نيوتن الحديثة بكلام المؤلف {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,321–324,339–340}.",
    "en": "Direct Arabic reading of unequal differences and computational units; modern Newton formulas not substituted for the author's words {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,321–324,339–340}.",
    "ur": "عربی متن میں غیر مساوی فرقوں اور حسابی اکائیوں کا براہ راست مطالعہ؛ مصنف کی جگہ جدید نیوٹنی فارمولا نہیں رکھا {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,321–324,339–340}۔"
   },
   "perspectives": []
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "طرق الجداول الهندية السابقة والاستيفاء الخطي",
     "en": "Earlier Indian table methods and linear interpolation",
     "ur": "پہلے ہندوستانی جدولی طریقے اور خطی استیفا"
    },
    "note": "Earlier methods documented; exact identity or a named direct line of transmission into this particular Qanun rule is not asserted.",
    "sources": [
     "source/meijering-interpolation-2002",
     "source/rashed-interpolation-1991"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics",
    "astronomy-instruments"
   ],
   "changed": {
    "ar": "جعل اختلاف الفروق جزءاً صريحاً من طريقة استعمال الجدول وتفسيرها {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324}.",
    "en": "Makes changing differences explicit in table use and its explanation {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324}.",
    "ur": "جدول کے استعمال اور اس کی دلیل میں بدلتے فرق نمایاں کرتا ہے {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "شاهد في تاريخ البحث العددي؛ ملخص راشد يصف نقل السموأل ومقارناته، لا نسب كل برمجية {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}.",
    "en": "Witness to numerical research; Rashed's abstract describes al-Samaw'al's quotation/comparisons, not ancestry of every program {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}.",
    "ur": "عددی تحقیق کا شاہد؛ راشد کا خلاصہ سموأل کی نقل و تقابل بتاتا ہے، ہر پروگرام کا نسب نہیں {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}۔"
   },
   "significance": 3,
   "why": "Directly inspected, bounded nonlinear table method, including operational units, inverse lookup and explanatory geometry; earlier traditions and formula/accuracy limits explicit."
  },
  "described_in": [
   "work/al-qanun-al-masudi"
  ],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [
   "concept/istikmal-interpolation"
  ],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "تعليم قراءة الخوارزمية وحدود التقريب؛ الصورة رسم تربيعي حديث للمقارنة، لا الصيغة نفسها {cite:commons-quadratic-interpolation description,code}.",
    "en": "Learning algorithm reading and approximation limits; image is a modern quadratic comparison, not the same formula {cite:commons-quadratic-interpolation description,code}.",
    "ur": "خوارزم پڑھنے اور تقریب کی حد سمجھنے کی تعلیم؛ تصویر جدید تربيعی تقابل ہے عین وہی فارمولا نہیں {cite:commons-quadratic-interpolation description,code}۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "لا دعوى انتقال مباشر مثبت إلى نيوتن أو الحاسوب {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}.",
    "en": "No demonstrated direct transmission to Newton or computers claimed {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}.",
    "ur": "نیوٹن یا کمپیوٹر تک ثابت براہ راست انتقال کا دعویٰ نہیں {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/biruni-modern-quadratic-context",
   "diagram": "media/diagram-biruni-difference-interpolation"
  },
  "kids": {
   "ar": "إذا لم تكن الزيادة بين صفوف الجدول ثابتة، فقد لا تكفي حصة واحدة منها لكل موضع. جرّب جدولاً ورقياً، لا رصداً للشمس.",
   "en": "If neighbouring table increases change, one fixed share may not suit every position. Try paper arithmetic, not solar observations.",
   "ur": "جدول کی پڑوسی بڑھوتریاں بدلیں تو ایک مقرر حصہ ہر جگہ کافی نہیں۔ کاغذ پر حساب کریں، سورج کا مشاہدہ نہیں۔"
  },
  "sources": [
   "source/qanun-masudi-jundi-v1",
   "source/meijering-interpolation-2002",
   "source/rashed-interpolation-1991",
   "source/commons-quadratic-interpolation",
   "source/britannica-al-biruni",
   "source/tdv-biruni-tumer",
   "source/nallino-albatenii-opus-astronomicum"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b48",
   "source": "Actual selected Arabic primary/OCR and scans301/322/323/340 inspected; MeijeringII.B–II.C and Rashed publisher abstract, not full article; modern PD image inspected; own normalized arithmetic not historical measured results"
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "كيف نستخرج من جدول قيمة لم يكتبها صاحبه في صف مستقل؟ لا تكفي دائماً قسمة الزيادة بين صفين إلى حصص متساوية؛ فالزيادات نفسها قد تتغير، وهي المشكلة التي يناقشها [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|البيروني]] في [[work/al-qanun-al-masudi|القانون المسعودي]] قبل أن يشرح طريقة لتعديل العمل {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,321–324}. موضوع هذه البطاقة تحسين محدد في قراءة الجداول، لا اختراع الجيب أو الاستيفاء كله، ولا منح مؤلف واحد ملكية كل صيغة تربيعية لاحقة. وتاريخ الاستيفاء يتضمن طرقاً هندية أقدم، يبينها البحث الحديث {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}. ما يعرض هنا نص وحساب تقريبي، لا آلة أثرية ولا تجربة تثبت دقة كل نتيجة."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "الاستيفاء تقدير قيمة تقع بين قيم معلومة، و[[concept/istikmal-interpolation|الاستكمال]] اسم حاضر في عرض المحقق لعمل البيروني؛ أما النص الأصلي المقروء فيميز بين العمل المعهود والتدقيق في التجييب والتقويس {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.40–42,321–324}. التجييب يطلب قيمة الجيب من القوس، والتقويس يعكس الطلب إلى قوس لقيمة معلومة، مع عناية المؤلف بألا يعمم اسم الجيب على كل جدول {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.321}. يضيف التحسين فرقاً آخر إلى التفكير: ليس مقدار التغير بين صفين وحده، بل كيف يختلف ذلك المقدار عما سبقه. هذه وحدة البطاقة، وليست الخانات أو عمليات الضرب اختراعات مستقلة نضاعف بها العدد."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "يشرح ماييرنغ صيغاً من الدرجة الثانية عند براهماغوبتا وطرقاً هندية لاحقة قبل البيروني، ويضعها ضمن تاريخ أوسع للجداول الفلكية {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}. ويذكر ملخص راشد أن البيروني عرف أربع طرق للاستيفاء، اثنتان هنديتان، من خلال نص يدرسه عند السموأل {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. لا نحول هذا الملخص إلى قراءة للمخطوط أو لجميع براهين المقال، ولا نستنتج أن كل إجراء في القانون نسخة مطابقة من طريقة واحدة. وفي المتحف بطاقة أخرى عن [[invention/battani-sine-table-methods|جداول البتاني]] تشمل استيفاء خطياً مباشراً وعكسياً؛ ليست البطاقة الجديدة إعادة تسمية له {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "يبدأ السؤال قبل قائمة التعليمات. في باب اختيار عدد القطر يفضل البيروني جعل أعظم الجيوب واحداً لتخفيف الضرب والقسمة، ثم يبرهن هندسياً أن فروق الجيوب لا تتناسب تناسباً ثابتاً مع فروق الأقواس {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302}. ويذكر كلفة الحساب الطويل لو دققت الأقسام إلى الدقائق، موضحاً اختياره خطوات ربع درجة في الجدول {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.302}. ليست كثرة المنازل العددية بديلاً عن طريقة سليمة لاستعمالها. التأريخ هنا سياق وثائقي في القرن الحادي عشر، كما يصنف ماييرنغ الكتاب، لا يوم اختراع نعرفه ولا سنة هذه الطبعة الحديثة {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}. لا نملأ فراغ التاريخ بهجري محسوب على أنه خبر أصلي."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "نسبة التحسين إلى البيروني مبنية على شرحه المكتوب لا على شهرته العامة؛ دور صاحب البطاقة تحسين العمل الجدولي المحدد، مع بقاء السابقين في القصة {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,339–340} {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}. ويفصل السجل بين مؤلف النص ومحقق الطبعة وراشد وماييرنغ وصاحب الصورة الحديثة؛ لا ينسب جمعهم في الصفحة إلى يد تاريخية واحدة.\n\n**أهل السنة:** صفة البيروني المسلم موثقة للفرد في بريتانيكا وبحث تومر، أما تصنيفه المذهبي فمختلف فيه، وتعرض سيرته قراءة تومر ضمن الإطار السني المعلن {cite:britannica-al-biruni biography} {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}.\n\n**النسبتان المنقولتان، الشيعية والزيدية:** يعرض سجل الشخص كلا التصنيفين عبر تومر، لا بحكم حاسم من المتحف {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}. اسم المؤلف أو مذهب راعيه أو موقع استضافة المسح لا يقوم مقام الشهادة الفردية."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "يأخذ القارئ الصف الذي يقل قوسه عن المطلوب، ويحفظ قيمته وبقية القوس، ثم يفرق المؤلف بين زيادة محسوبة بالتعديل المعهود وزيادة يدققها من الفضل المحاذي والفضل السابق {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–322}. المعنى أن معدل الزيادة المستعمل لا يبقى واحداً عند جميع المواضع؛ ويقدم النص تعليلاً هندسياً لتدرجه {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.323}. لا تعني كلمة التدقيق أن الناتج أصبح قيمة تامة بلا خطأ.\n\nيمكن تفكيك إجراء القيم المتزايدة برموز حديثة: القيمة الابتدائية `y0`، والزيادتان السابقة واللاحقة `Dprev` و`Dnext`، والكسر المقطوع من الفترة `t`؛ عندئذ تكون القراءة `y0+t*((1-t)*Dprev+t*Dnext)` {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.322–323,339–340}. هذه كتابة تعليمية منا للكلام المقروء، وليست رموز المؤلف أو صيغة نيوتن المعتادة التي تمر حتماً بالنقاط الثلاث. يظهر الضرب في البقية مرتين، فتكون العلاقة غير خطية.\n\nفي جدول مصنوع للدرس قيمه1 و2 و2.5 عند المواضع−1 و0 و1، تكون الزيادة السابقة1 واللاحقة0.5. عند نصف الفترة التالية يعطي الإجراء2.375، بينما يعطي الاستيفاء الخطي2.25؛ ولا نعرف من هذه المعطيات وحدها القيمة الحقيقية الواقعة بينهما. المثال ليس أرقام القانون أو برهان تفوق شامل، بل يوضح ما تغير في التعليمات.\n\nيلزم أيضاً ضبط الوحدات. الأربع دقائق الواردة في العمل عدد ستيني مقداره1/15، يقوم مقام القسمة على الخمس عشرة دقيقة التي لربع الدرجة، لا زاوية جديدة قدرها أربع درجات {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.323}. ويعالج النص التقويس بخطواته الخاصة، لا بمجرد إعلان أن عكس أي تقريب هو عكس الدالة الحقيقي {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.322,324}.\n\nويستحق الرجوع من الجيب إلى القوس انتباهاً مستقلاً: يبدأ المؤلف بأقرب جيب أصغر ويحفظ قوسه، ثم يستعمل بقية الجيب والفروق للحصول على زيادة القوس {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.322}. لا يصح تبديل عنواني العمودين فقط مع إبقاء كل عمليات الحساب، لأن الكمية المعروفة والبقية المطلوبة قد تبدلتا. كذلك ليس الفرق السابق صفراً لمجرد أن شاشة القارئ تبدأ عند الصف الحالي؛ يحتاج الإجراء إلى معلومة مجاورة محددة. اختيار نافذة العرض ليس حدود الجدول التاريخي، ولذلك لا نخترع قاعدة لطرف مفقود أو نستبدل قيمة صامتة بمعلومة لم نجدها. هذا شرح لمتطلبات التعليمات المقروءة، وليس برنامجاً جديداً منسوباً إلى المؤلف."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "ينقل ملخص راشد أن السموأل اقتبس فقرة للبيروني، وقارن طرقاً خطية وغير خطية ونتائجها وحاول تحسينها؛ هذا شاهد محدد على قراءة ونقاش لاحق، لا خريطة لكل انتقال بين البلدان {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. لم نقرأ لهذا العرض كامل المقال أو المخطوط الذي حققه، ولذلك لا نختلق أسماء ناسخين أو تواريخ مدارس من وراء الملخص. ويوضح ماييرنغ وجود طرق استيفاء في مصادر عربية وفارسية، مع احتمال تأثير هندي، لا تطابق آلي بين جميع الصيغ {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}. تبقى قائمة الانتشار خالية من محطات لا يثبتها المقروء، فالانتقال الممكن ليس حافة اعتماد موثقة في الرسم البياني."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "يتكئ العمل على معرفة القوس وجيبه، وتقسيم الدائرة والجدول، والحساب الستيني والفروق بين الصفوف؛ يشرح المؤلف اختيار الواحد ومقارنته بنصف قطر مقداره ستون {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301,323–324}. لا يجعل هذا الاختيار البيروني مخترع الكسور أو كل استعمال للنسب. والسابق الهندي جزء حقيقي من التاريخ، لا مجرد خلفية مزخرفة، لكن المصدر الحديث لا يبيح لنا وصل كل خطوة محددة بمعلم مسمى على سبيل اليقين {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C} {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. نحفظ الفرق بين وجود تقليد سابق ووجود نسخة معروفة انتقلت إلى قارئ معروف؛ الأول وحده لا يثبت الثاني."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "بعد عرض الجيوب والأظلال يخصص النص تعميماً للعمل المدقق في جميع الجداول، فيأخذ قيمة محفوظة والقيم المجاورة ويعدل السابق بحسب اختلاف الفروق ثم يحسب حصة الكسر {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}. هذه خطوة من مثال مثلثي إلى إجراء أوسع في الكتاب نفسه، لا شهادة بنجاح مطلق لكل بيانات يمكن تخيلها. أما مقارنة السموأل للطرائق فيصفها ملخص راشد، وتبقى منسوبة إليه {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. لا نوصل الرسم مباشرة بكل برنامج أو قمر صناعي اليوم، ولا نزعم أن تشابه الرموز الحديثة يثبت طريقاً تاريخياً إلى نيوتن؛ تشابه حسابين ودليل انتقال نص بين صاحبيه مسألتان مختلفتان."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "الأثر المباشر المقروء هو مساعدة مستعمل الجداول في الزوايا غير المدرجة وفي الرجوع من قيمة إلى زاوية، مع شرح سبب عدم كفاية النسبة الواحدة {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,328–329}. هذا عمل للقارئ الحاسب، ولا يقدم النص المقروء إحصاء لعدد البيوت أو المساجد أو الرحلات التي انتفعت بالإجراء بعينه. لذلك لا نصنع أرقاماً عن توفير الوقت أو المال أو استبدال جميع الجداول السابقة. وتسمح المقارنة بفهم فرق مهم: قد يكون الجدول محسوباً بعناية، ثم يدخل التقريب عند استعماله بين صفين. لا يكفي وصف الكتاب بالدقة لإعفاء كل خطوة لاحقة من السؤال عن وحدتها وافتراضاتها."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "تظهر قيمة الشاهد في جعل الافتراض الحسابي موضوعاً للنقد والتعليل، لا في استبدال تاريخ الرياضيات كله بحكاية بطل منفرد؛ فالبيروني لا يكتفي بإعطاء إجراء، بل يعلل اختلاف الفروق {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,323}. وضمن تاريخ ماييرنغ تتجاور إنجازات هندية وصينية ومصادر عربية وفارسية قبل تطورات أوروبية لاحقة {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}. لا يعطينا هذا الترتيب وحده دليلاً على اتصال كل مؤلف بمن بعده. وأهمية إعادة قراءة الألفاظ العملية أنها تمنع إسقاط صيغة مألوفة علينا فوق صيغة أخرى لمجرد أنهما تستعملان الفروق؛ هذه فائدة تاريخية وتعليمية معاً، من دون إحصاء مخترع لنتائجها."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "**النص ضمن الإطار السني المعلن:** تنسب البطاقة إلى البيروني الشرح المعين الذي قرأناه، وتحفظ انتماءه الفردي المختلف فيه كما تعرضه سيرته، فلا يتحول الحساب إلى حجة مذهبية {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324} {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}. ولا تنسب إليه أول استيفاء من الدرجة الثانية في العالم.\n\n**القراءة الأكاديمية:** الطرق الهندية السابقة ثابتة في بحث ماييرنغ، وملخص راشد يتحدث عن أربع طرق عند البيروني ومساهمة هندية ومقارنات السموأل {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C} {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. مقارنة المحقق بنيوتن وغريغوري في مقدمته تبقى قولاً تفسيرياً منسوباً، لا حكماً بالتطابق أو انتقال النص إليهما {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.40–42}. السبق، وتعدد الطرق، وتفاصيل هذه الطريقة أسئلة منفصلة."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "يستطيع الزائر مقارنة تقريبين بالورقة دون تلسكوب أو برنامج. عند `t=0` يحفظ الإجراء القيمة الأولى، وعند `t=1` يصل إلى التالية؛ وإذا تساوت الزيادتان عاد إلى الحساب الخطي. هذه نتائج جبرية للصياغة التعليمية، لا تجربة أجراها البيروني أمامنا {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}. لكن اتفاق الطرفين لا يضمن معرفة ما بينهما، ولا يثبت أن الإجراء أفضل لكل دالة. يفصل هذا بين حسن فهم التعليمات وبين تقديم ضمان عددي لم تقمه الدراسة. ويمكن للقارئ أن يسأل عن الخطأ وحدود الفترة قبل الإعجاب بكثرة الأرقام، لا أن يستعمل النص في ملاحة أو توقيت يحتاجان إلى تحقق مستقل."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "قرأنا من الطبعة العربية مواضع منتقاة، وفحصنا صور المسح301 و322 و323 و340، المطابقة للمطبوع300 و321 و322 و339؛ جميع الإحالات الجديدة إلى المسح، فلا تختلط بصفحات المطبوع {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301,322–323,340}. هذه ليست مقابلة للمخطوطات أو قراءة لجميع جداول الكتاب المشوشة في استخراج النص.\n\nالصورة المعروضة رسم دابلر الحديث المؤرخ7 مارس2010، أهدي صراحة للملك العام، وفحصت نسخته960×720 {cite:commons-quadratic-interpolation description,rights,image}. تعرض قطعاً مكافئاً يمر بثلاث عينات وعلامة للقيمة القصوى ولوحة تغير أسفله؛ إنها مقارنة مفهومية، لا أوزان هذا الإجراء نفسها ولا دليل أن البيروني رسم مشتقة حديثة {cite:commons-quadratic-interpolation code}. المسوح والملفات الأصلية محفوظة خارج المستودع."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "يجمع هذا الموضع بين لغة هندسية وتعليمات للحاسب، ويختار المؤلف أسماء موجزة للأقواس وتتماتها منعاً للاشتباه، كما يناقش كلفة تفصيل الجدول {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.302,321}. يبين ذلك طريقة عرض معرفة عملية في كتاب، لا تصريحاً بأن كل قارئ تاريخي فهمها أو استعملها بالطريقة نفسها. واللوحة الحديثة تستخدم الأزرق والأحمر ومحاور مطبوعة، وهي لغة تعليمية أخرى متأخرة لا نردها إلى المخطوط {cite:commons-quadratic-interpolation image,code}. عرض اللغتين جنباً إلى جنب مفيد ما دام الوصف يشرح المسافة بينهما؛ فلا تصبح أناقة رسم اليوم دليلاً على أصل تاريخي لم يفحص."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "اكتب على ورقة ثلاثة مواضع−1 و0 و1، وتحتها1 و2 و2.5. من الأول إلى الأوسط زيادة1، ومن الأوسط إلى الأخير زيادة0.5. للنصف بين الأوسط والأخير يعطي الحساب الخطي2.25. امزج الزيادتين بالتساوي فتحصل على0.75، ثم خذ نصفها وأضفه إلى2؛ النتيجة2.375. هذه لعبة بأعداد اخترناها لتوضيح تسلسل التعليمات، لا قياسات قديمة {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}.\n\nأخف القيمة المتوسطة المطلوبة ولا تختر فائزاً؛ لا نعرفها من البطاقات وحدها. جرّب زيادتين متساويتين ولاحظ اتفاق الإجراءين. يكفي قلم وورقة، ولا حاجة إلى مراقبة الشمس أو توجيه منظار إليها. السؤال المفيد ليس أي عدد يبدو أجمل، بل ماذا افترضنا لكي نصل إليه؟"
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- [[source/qanun-masudi-jundi-v1|القانون المسعودي، الجزء الأول]]، قراءة منتقاة بالمسح، مع فحص الصفحات المذكورة؛ المطبوع يسبق رقم المسح بواحد.\n- [[source/meijering-interpolation-2002|ماييرنغ، تاريخ الاستيفاء]]،II.B–II.C، قراءة فعلية من نسخة المؤلف.\n- [[source/rashed-interpolation-1991|راشد، السموأل والبيروني وبراهماغوبتا]]، ملخص الناشر فقط، لا المقال كله.\n- [[source/britannica-al-biruni|بريتانيكا: البيروني]] و[[source/tdv-biruni-tumer|تومر: البيروني]]، أساس الهوية الفردية والنسب المذهبية المنقولة.\n- [[source/commons-quadratic-interpolation|رسم دابلر وحقوقه]]، مقارنة حديثة مهداة للملك العام.\n- [[source/nallino-albatenii-opus-astronomicum|زيج البتاني بتحقيق نالينو]]، حدود المقارنة مع البطاقة الخطية السابقة."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/biruni-difference-interpolation",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b48",
     "source": "Actual Qanun selected scans301–302,321–324,328–329,339–340 and inspected301/322/323/340; MeijeringII.B–II.C; Rashed publisher abstract only; inspected modern Commons PD illustration; normalized formula and invented paper example distinguished from historical notation/data"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "How can a reader obtain a value that a table does not give in its own row? Dividing the increase between rows into equal shares is not always enough: the increases themselves may change. [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|Al-Biruni]] discusses this problem in the [[work/al-qanun-al-masudi|Qanun al-Mas'udi]], then explains a way of adjusting the calculation {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,321–324}. This entry concerns a specific improvement in table use, not the invention of sine, all interpolation or every later quadratic formula. Earlier Indian methods belong in the account, not outside it {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}. The evidence here is text and approximate calculation, not archaeological machinery or a demonstration that every result is more accurate."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "Interpolation estimates a value between known entries. The editor uses [[concept/istikmal-interpolation|istikmal]] when discussing al-Biruni; the actual primary passage distinguishes customary and refined procedures for finding a sine or finding an arc {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.40–42,321–324}. Direct lookup seeks a sine from an arc; inverse lookup seeks an arc from a value. The author also warns against calling every tabular operation sine-finding when its object is something else {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.321}.\n\nThe refinement brings another difference into consideration: not only the change between neighbouring rows, but how that change differs from the preceding one. That procedure is the unit of this entry. Columns, subtraction and each multiplication are not separately counted inventions. Nor does calling an expression nonlinear establish its equality with every other nonlinear expression."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "Meijering explains second-order formulas associated with Brahmagupta and subsequent Indian work before al-Biruni, within a much longer history of astronomical tables {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}. Rashed's abstract reports four methods available to al-Biruni, two Indian, through a passage examined in al-Samaw'al {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. Reading that abstract is not reading its underlying manuscript or every mathematical proof in the full article.\n\nThe museum's separate [[invention/battani-sine-table-methods|al-Battani table-method entry]] includes direct and inverse linear interpolation {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}. This entry is not a relabelling of that work. A precursor's existence does not make every later rule identical to it, but a specific later improvement cannot erase earlier work simply because a modern summary calls its author a pioneer."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "The question begins before the instructions. Discussing the choice of diameter, al-Biruni prefers a greatest sine of one to reduce repeated multiplication and division, then argues geometrically that sine differences do not vary in the same fixed proportion as the arcs {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302}. He also acknowledges the labour of calculation at finer intervals and explains the quarter-degree spacing adopted for his sine table {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.302}.\n\nMany numerical places do not replace a suitable procedure for using them. Dating here is the broad eleventh-century documentary context assigned to the Qanun by Meijering, not an exact invention day or the date of the modern edition {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}. No calculated Hijri date is inserted as though it were an original historical report."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "Attribution rests on al-Biruni's written exposition, not his general fame. His role here is improver of a particular tabular procedure, with predecessors retained {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,339–340} {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}. Textual author, edition editor, Rashed, Meijering and the modern illustrator are distinct contributors. Bringing their work together on a page does not turn them into one historical hand.\n\n**Sunni frame:** Britannica and Tümer supply an individual basis for Muslim identity, while personal denominational classification remains debated. The biography presents Tümer's interpretation within the declared Sunni frame {cite:britannica-al-biruni biography} {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}.\n\n**Reported Shia and Zaydi classifications:** The person record preserves both through Tümer, not as a decisive museum verdict {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}. A name, patron's affiliation or scan-hosting website cannot replace evidence about the individual."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "The reader takes the row whose arc is below the required arc, retains its value and the remaining portion of the arc, then distinguishes the customary correction from a refinement using the adjacent difference and its predecessor {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–322}. The increase used in the calculation is therefore not held fixed throughout the interval. The text explains its gradual change geometrically {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.323}. Calling the result refined does not make it exact or error-free.\n\nFor increasing values, a modern unpacking uses starting value `y0`, preceding and following increases `Dprev` and `Dnext`, and fraction of a table interval `t`. The resulting instruction reads `y0+t*((1-t)*Dprev+t*Dnext)` {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.322–323,339–340}. These are our teaching symbols, not the author's notation or the standard Newton rule that necessarily fits all three samples. Multiplication by the residual occurs twice, making the expression nonlinear.\n\nTake an invented teaching table with values1,2,2.5 at positions−1,0,1. The preceding increase is1 and the following increase0.5. At half the next interval this procedure gives2.375, while linear interpolation gives2.25. Nothing in those samples alone tells us the actual intermediate value. This is not numerical data from the Qanun or proof of universally superior accuracy; it shows what changed in the instructions.\n\nUnits also matter. The four minutes in the primary instruction are the sexagesimal number1/15, standing for division by the fifteen arcminutes in a quarter-degree interval, not a new angle of four degrees {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.323}. Inverse lookup receives its own procedure; the inverse of an approximation is not automatically the true inverse function {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.322,324}.\n\nReturning from sine to arc deserves separate attention: the author starts with the nearest smaller sine, retains its arc and uses the remaining sine and differences to obtain an arc increment {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.322}. Simply swapping column headings while preserving every operation is not sufficient, because the known quantity and required residual have changed. Nor is the preceding difference zero merely because a reader's displayed window starts at the current row. A particular neighbour is required. Display limits are not historical table boundaries; no rule for a missing endpoint or silent replacement value is invented. This explains the instructions' requirements, not new software attributed to the author."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "Rashed's abstract reports that al-Samaw'al quoted al-Biruni, examined linear and nonlinear procedures, compared their results and tried to improve them {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. This is a particular witness to subsequent reading and discussion, not a complete map of migration between countries. We have not read the full article or manuscript for this entry and do not invent copyists or school dates from behind its abstract.\n\nMeijering describes interpolation in Arabic and Persian sources and possible Indian influences, without establishing automatic identity between all formulas {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}. The spread list contains no unsupported stations. Possible influence is not a documented dependency edge; recording that distinction is more useful than filling a map with attractive but unverified arrows."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The procedure uses knowledge of arcs and sines, circular division, tables, sexagesimal arithmetic and differences between rows. The author explains choosing one and compares this with a radius of sixty {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301,323–324}. This choice does not make him inventor of fractions or every use of ratios.\n\nEarlier Indian work is a substantial part of the history, not decorative background. However, the modern sources do not license a certain named teacher-to-pupil route for each particular instruction {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C} {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. An earlier technical tradition and a known copy reaching a known reader are different kinds of evidence. The first alone does not establish the second, and neither excuses ignoring the actual algorithm being exhibited."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "After discussing sines and shadows, the author explicitly generalizes refined work to all tables: retain a value, obtain neighbours, adjust the preceding difference according to changing differences, then calculate the fractional contribution {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}. This moves from a trigonometric example to a broader procedure within the book itself, not proof of success for every imaginable dataset.\n\nAl-Samaw'al's subsequent comparison is reported by Rashed's abstract and remains attributed to it {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. No line is drawn directly to every computer program or modern satellite. Similar modern symbols cannot prove a historical path to Newton. Mathematical resemblance and evidence that a text passed between its authors are separate questions; a teaching chain should not pretend otherwise."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The directly supported benefit concerns table users seeking an unlisted angle's value or returning from a value to an angle, with an explanation of why a single proportion may not suffice {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,328–329}. The inspected passages do not count households, mosques or journeys using this particular refinement. No numbers for money saved, calculation time or universal replacement of older tables are invented.\n\nThe comparison exposes an important distinction: a table may have been carefully calculated, while approximation enters when someone works between its rows. Describing a book as accurate cannot exempt every subsequent operation from examination of its units and assumptions. Practical usefulness here is a documented computational purpose, not a modern survey of adoption."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "The witness matters because an arithmetic assumption becomes an object of criticism and explanation. Al-Biruni does not simply issue instructions; he explains unequal differences {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,323}. It is not necessary to replace mathematical history with a solitary-hero story to recognize that achievement.\n\nMeijering's account places Indian and Chinese contributions alongside Arabic and Persian sources before later European developments {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}. Chronological succession alone does not prove contact between every author and successor. Rereading operational wording also prevents a familiar modern formula being projected onto a different procedure merely because both use differences. That is a historical and educational value, without an invented numerical measure of its consequences."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "**Text within the declared Sunni frame:** This entry attributes the specific inspected exposition to al-Biruni, retaining his biography's debated individual affiliation rather than making arithmetic into denominational evidence {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324} {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}. It does not award him the world's first second-order interpolation.\n\n**Academic reading:** Meijering documents earlier Indian methods; Rashed's abstract describes four methods available to al-Biruni, Indian contributions and al-Samaw'al's comparisons {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C} {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}. The edition introduction's comparison with Newton and Gregory remains an attributed interpretation, not a finding of identical formulas or direct transmission to them {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.40–42}. Priority, plurality of methods and the details of this particular procedure must remain distinguishable."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "Visitors can compare approximations on paper without telescopes or software. At `t=0` the unpacked procedure keeps the initial value; at `t=1` it reaches the next one. Equal increases reduce it to linear calculation. These are algebraic consequences of the teaching expression, not an experiment witnessed in al-Biruni's workshop {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}.\n\nAgreement at the endpoints does not guarantee knowledge between them or superiority for every function. Understanding instructions and supplying a numerical guarantee not established by the research are different accomplishments. A reader can ask about error, interval limits and assumptions before admiring many digits. The historical account is not a recommendation for navigation or timing tasks requiring independent verification."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "We read selected Arabic passages and inspected scans301,322,323,340, corresponding to printed300,321,322,339. New citations explicitly use scan pages; the printed number is one lower {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301,322–323,340}. This is not manuscript collation or reading every table, many of which are garbled in extracted text.\n\nThe displayed picture is DaBler's modern7 March2010 illustration, explicitly released into the public domain; its960×720 rendering was inspected {cite:commons-quadratic-interpolation description,rights,image}. It shows a parabola through three samples, a marked maximum and a lower difference/slope panel. It is a conceptual comparison, not this rule's exact weights or evidence that al-Biruni drew a modern derivative {cite:commons-quadratic-interpolation code}. Scans, extracted text and original binaries stay outside the repository."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "The passage combines geometrical language and instructions for calculators. The author chooses concise names for arcs and their complements to prevent confusion and discusses the labour of finer tabulation {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.302,321}. This shows how practical knowledge is presented in a book, not that every historical reader understood or used it identically.\n\nThe modern illustration employs blue, red and plotted axes, a much later instructional language that is not attributed to the manuscript {cite:commons-quadratic-interpolation image,code}. Placing the two approaches together is useful only when their distance is explained. Elegance in today's drawing must not become evidence of an unexamined historical original or of notation the author never used in the passage read."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Write positions−1,0,1 on paper, with values1,2,2.5 below. The first increase is1, the next0.5. Halfway between the middle and last positions, the linear estimate is2.25. Blend the two increases equally to get0.75, take half and add it to2: the result is2.375. These invented game numbers illustrate the instruction sequence, not historical measurements {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}.\n\nKeep the unknown intermediate value hidden and do not choose a winner: the cards alone do not give it. Try equal increases and notice agreement. Pen and paper suffice; do not observe the Sun or point a telescope at it. Ask not which number looks nicer, but what assumption led to it."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- [[source/qanun-masudi-jundi-v1|Qanun al-Mas'udi, vol.1]], selected scan-page reading and specified image inspections; printed numbering is one lower.\n- [[source/meijering-interpolation-2002|Meijering, A Chronology of Interpolation]],II.B–II.C, actual author-hosted article.\n- [[source/rashed-interpolation-1991|Rashed, al-Samaw'al, al-Biruni and Brahmagupta]], publisher abstract only, not the full article.\n- [[source/britannica-al-biruni|Britannica]] and [[source/tdv-biruni-tumer|Tümer]], individual identity and reported denominational classifications.\n- [[source/commons-quadratic-interpolation|DaBler's illustration and rights]], modern public-domain comparison.\n- [[source/nallino-albatenii-opus-astronomicum|Nallino's al-Battani edition]], boundary with the earlier linear-method entry."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/biruni-difference-interpolation",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b48",
     "source": "English from Arabic; actual selected Qanun text/scans, MeijeringII.B–II.C and Rashed publisher abstract only; modern PD image inspected; own normalized arithmetic not historical notation or measured data"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "جدول میں جس قدر کی الگ سطر نہیں، اسے کیسے تلاش کریں؟ دو سطروں کے اضافے کو برابر حصوں میں بانٹ دینا ہمیشہ کافی نہیں، کیونکہ اضافے خود بدل سکتے ہیں۔ [[person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad|بیرونی]] [[work/al-qanun-al-masudi|القانون المسعودی]] میں یہی مسئلہ اٹھاتے، پھر حساب کی تصحیح سمجھاتے ہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,321–324}۔ یہ صفحہ جدول استعمال کرنے کی ایک مخصوص بہتری کا ہے، جیب، سارے استیفا یا ہر بعد کے تربيعی فارمولے کی ایجاد کا نہیں۔ پہلے ہندوستانی طریقے اس تاریخ کا حصہ ہیں {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}۔ یہاں شہادت متن اور تقریبی حساب ہے، کوئی باقی مشین یا ہر نتیجے کی زیادہ صحت ثابت کرنے والا تجربہ نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "معلوم قدروں کے درمیان کی قدر کا اندازہ استیفا ہے۔ محقق بیرونی کے کام کے لیے [[concept/istikmal-interpolation|استکمال]] کا لفظ استعمال کرتے ہیں؛ پڑھے اصل متن میں جیب اور قوس نکالنے کے معروف اور مدقق طریقے الگ ہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.40–42,321–324}۔ سیدھی تلاش قوس سے جیب، الٹی تلاش قدر سے قوس مانگتی ہے۔ مصنف ہر جدول کے کام کو جیب نکالنا کہنے سے بھی احتیاط کرتے ہیں، اگر مطلوب کوئی اور مقدار ہو {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.321}۔\n\nبہتری میں ایک اور فرق زیر نظر آتا ہے: صرف پڑوسی سطروں کا فرق نہیں، اس فرق کا پچھلے فرق سے اختلاف بھی۔ یہی پورا طریقہ اس اندراج کی اکائی ہے؛ کالم، تفریق اور ہر ضرب کو الگ ایجاد نہیں گنا گیا۔ غیر خطی کہنے سے بھی دو مختلف حساب خود بخود ایک نہیں ہو جاتے۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "میئرنگ بیرونی سے پہلے برہماگپت اور بعد کے ہندوستانی حساب میں دوسرے درجے کے طریقے بیان کرتے اور انہیں فلکی جدولوں کی زیادہ طویل تاریخ میں رکھتے ہیں {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}۔ راشد کا خلاصہ سموأل کے ہاں زیر مطالعہ اقتباس کے ذریعے بیرونی کو معلوم چار طریقے بتاتا ہے، جن میں دو ہندوستانی ہیں {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}۔ خلاصہ پڑھنا اس کے اصل مخطوطے یا پورے مضمون کے تمام ریاضیاتی دلائل پڑھنا نہیں۔\n\nمیوزیم کے [[invention/battani-sine-table-methods|بتانی کے جدولی طریقوں]] والے الگ صفحے میں سیدھا اور الٹا خطی استیفا شامل ہے {cite:nallino-albatenii-opus-astronomicum Arabic pp.16–17; Latin pp.10–11}۔ نیا اندراج اس کا بدلا نام نہیں۔ پہلے طریقے کا وجود ہر اگلا قاعدہ اس کی نقل نہیں بناتا، لیکن کسی بعد کی بہتری کے لیے پہلے کام کو مٹانا بھی درست تاریخی بیان نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "سوال ہدایات سے پہلے آتا ہے۔ قطر کے عدد کے باب میں بیرونی بڑے جیب کو ایک رکھنے کی وجہ بار بار ضرب اور تقسیم کی بچت بتاتے، پھر ہندسے سے دکھاتے ہیں کہ جیبوں کے فرق قوسوں کے فرق کے ساتھ مستقل تناسب میں نہیں بدلتے {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302}۔ وہ چھوٹے وقفوں کی حسابی محنت کا ذکر اور جیب کے جدول میں ربع درجے کے وقفے کی وضاحت بھی کرتے ہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.302}۔\n\nبہت سے اعشاری ہندسے ان کے استعمال کا مناسب طریقہ نہیں بدل دیتے۔ تاریخ یہاں گیارہویں صدی کا وسیع دستاویزی سیاق ہے، جس میں میئرنگ القانون کو رکھتے ہیں، ایجاد کا معلوم دن یا جدید مطبوعے کا سال نہیں {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}۔ اندازے سے نکلی ہجری تاریخ کو اصل تاریخی خبر بنا کر نہیں بھرا گیا۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "نسبت بیرونی کی لکھی تشریح پر ہے، صرف ان کی شہرت پر نہیں۔ ان کا کردار مخصوص جدولی عمل میں بہتری کا ہے، پہلے اہل حساب اپنی جگہ موجود ہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,339–340} {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}۔ اصل مصنف، جدید محقق، راشد، میئرنگ اور جدید مصور الگ افراد اور کردار ہیں۔ صفحے پر ان کا کام جمع ہونے سے یہ سب ایک تاریخی ہاتھ نہیں بن جاتے۔\n\n**Sunni (اہلِ سنت) سیاق:** بریٹانیکا اور تومر انفرادی مسلم شناخت کا ماخذ ہیں، مگر ذاتی مسلکی نسبت مختلف فیہ ہے۔ سوانح میں تومر کی تعبیر معلن سنی سیاق میں ہے {cite:britannica-al-biruni biography} {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}۔\n\n**منقول شیعی اور زیدی نسبتیں:** شخصی اندراج دونوں تومر کے ذریعے محفوظ کرتا ہے، میوزیم کے قطعی فیصلے کے طور پر نہیں {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}۔ نام، سرپرست کا مسلک یا مسح رکھنے والی ویب سائٹ فرد کے بارے میں شہادت کا بدل نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "قاری مطلوب سے چھوٹی قوس والی سطر لیتا، اس کی قدر اور بچی قوس محفوظ کرتا ہے۔ مصنف پھر معروف تصحیح کو اس تدقیق سے الگ کرتے ہیں جس میں سامنے کا فرق اور اس سے پچھلا فرق لیا جاتا ہے {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–322}۔ حساب میں استعمال ہونے والا اضافہ پورے وقفے میں ایک مقرر مقدار نہیں رہتا۔ متن اس بتدریج تبدیلی کی ہندسی وجہ بھی دیتا ہے {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.323}۔ مدقق نام سے نتیجہ بے خطا یا بالکل صحیح نہیں ہو جاتا۔\n\nبڑھتی قدروں کے لیے جدید علامتوں میں ابتدائی قدر `y0`، پچھلا اور اگلا اضافہ `Dprev` اور `Dnext`، اور جدولی وقفے کا طے شدہ حصہ `t` لیں۔ ہدایت یوں کھلتی ہے: `y0+t*((1-t)*Dprev+t*Dnext)` {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.322–323,339–340}۔ یہ ہماری تدریسی علامتیں ہیں، مصنف کی تحریر یا وہ عام نیوٹنی قاعدہ نہیں جو لازماً تینوں نقطوں سے گزرتا ہے۔ بچے حصے سے دو مرتبہ ضرب کی وجہ سے تعلق غیر خطی بنتا ہے۔\n\nایک بنائے ہوئے تدریسی جدول میں مواضع−1،0،1 پر قدریں1،2،2.5 رکھیں۔ پچھلا اضافہ1 اور اگلا0.5 ہے۔ اگلے وقفے کے آدھے مقام پر اس طریقے کا جواب2.375 اور خطی استیفا کا2.25 ہے۔ صرف ان قدروں سے ہمیں اصل درمیانی قدر معلوم نہیں ہوتی۔ یہ القانون کے عددی اعداد یا ہر حالت میں برتری کا ثبوت نہیں، ہدایات میں تبدیلی سمجھانے کا نمونہ ہے۔\n\nاکائی بھی ضروری ہے۔ اصل ہدایت کی چار منٹ مقدار ستینی عدد1/15 ہے، ربع درجے کے پندرہ قوسی منٹ پر تقسیم کی جگہ آتی ہے؛ یہ چار درجے کا نیا زاویہ نہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.323}۔ الٹی تلاش کی اپنی ہدایات ہیں؛ کسی تقریب کا الٹ حقیقی تابع کا عین الٹ لازماً نہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.322,324}۔\n\nجیب سے قوس کی واپسی الگ توجہ چاہتی ہے: مصنف قریب ترین چھوٹا جیب لے کر اس کی قوس محفوظ کرتے، پھر جیب کی باقی مقدار اور فرقوں سے قوس کا اضافہ نکالتے ہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan p.322}۔ کالموں کے نام بدل کر ہر عمل وہی رکھنا کافی نہیں، کیونکہ معلوم مقدار اور مطلوب باقی حصہ بدل چکے ہیں۔ پچھلا فرق بھی صرف اس لیے صفر نہیں کہ قاری کی دکھائی کھڑکی اسی سطر سے شروع ہے۔ ہدایت کو خاص پڑوسی کی اطلاع چاہیے۔ نمائش کی حد تاریخی جدول کا سرا نہیں؛ گم شدہ سرے کا قاعدہ یا خاموش متبادل قدر نہیں گھڑی گئی۔ یہ ہدایات کی ضرورت سمجھانا ہے، مصنف سے منسوب نیا سافٹ ویئر نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "راشد کا خلاصہ بتاتا ہے کہ سموأل نے بیرونی کی عبارت نقل کی، خطی و غیر خطی طریقے اور ان کے نتائج پرکھے اور بہتری کی کوشش کی {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}۔ یہ بعد کی قرأت اور بحث کا خاص شاہد ہے، تمام ملکوں میں منتقلی کا مکمل نقشہ نہیں۔ اس اندراج کے لیے پورا مضمون یا مخطوطہ نہیں پڑھا، اس لیے خلاصے کے پیچھے سے ناسخوں یا مدرسوں کی تاریخیں نہیں گھڑی گئیں۔\n\nمیئرنگ عربی اور فارسی ماخذ میں استیفا اور ممکنہ ہندوستانی اثر بتاتے ہیں، ہر فارمولے کی خود کار یکسانیت نہیں {cite:meijering-interpolation-2002 II.C}۔ پھیلاؤ کی فہرست میں بے ماخذ پڑاؤ نہیں۔ ممکنہ اثر اور گراف میں مستند انحصار الگ ہیں؛ خوب صورت مگر غیر ثابت تیروں کے بجائے یہ فرق محفوظ رکھنا زیادہ مفید ہے۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "قوس اور جیب کی معرفت، دائرے کی تقسیم، جدول، ستینی حساب اور سطروں کے فرق اس کام کے اجزا ہیں۔ مصنف ایک کے انتخاب کو سمجھاتے اور ساٹھ والے نصف قطر سے تقابل کرتے ہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301,323–324}۔ اس انتخاب سے وہ کسروں یا ہر نسبت کے موجد نہیں بن جاتے۔\n\nپہلا ہندوستانی کام حقیقی تاریخی حصہ ہے، محض پس منظر کی آرائش نہیں۔ تاہم جدید ماخذ ہر خاص ہدایت کے لیے کسی نام زد استاد اور شاگرد کا یقینی سلسلہ نہیں دیتے {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C} {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}۔ پہلے فنی سلسلے کا وجود اور معلوم نسخے کا معلوم قاری تک پہنچنا الگ شہادتیں ہیں۔ پہلی خود بخود دوسری نہیں، اور دونوں اصل زیر نمائش حساب کو پڑھے بغیر فیصلہ کرنے کی اجازت نہیں دیتیں۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "جیب اور ظل کے بعد مصنف مدقق عمل کو تمام جدولوں کے لیے عام کرتے ہیں: قدر محفوظ کریں، پڑوسی قدریں لیں، بدلتے فرقوں سے پچھلا فرق درست کریں اور پھر کسر کا حصہ حساب کریں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}۔ یہ کتاب کے اندر مثلثی مثال سے زیادہ وسیع ہدایت کی طرف قدم ہے، ہر ممکن بنائے ہوئے اعداد میں یقینی کامیابی کی ضمانت نہیں۔\n\nبعد میں سموأل کے تقابل کی خبر راشد کے خلاصے کے حوالے سے ہے اور اسی کی نسبت سے رہتی ہے {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}۔ یہاں سے ہر جدید کمپیوٹر پروگرام یا مصنوعی سیارے تک سیدھی لکیر نہیں کھینچی گئی۔ جدید علامتوں کی مشابہت نیوٹن تک تاریخی راستہ ثابت نہیں کرتی۔ دو حسابوں کا ریاضیاتی تعلق اور مصنفوں کے درمیان متن کی منتقلی کی شہادت الگ سوال ہیں؛ تدریسی سلسلہ ان کو ایک نہیں کرتا۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "براہ راست ثابت فائدہ جدول کے اس صارف کا ہے جو غیر درج زاویے کی قدر یا کسی قدر کی قوس نکالے، اور یہ سمجھے کہ ایک تناسب ہمیشہ کیوں کافی نہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324,328–329}۔ پڑھے مقامات اس خاص تدقیق سے فائدہ اٹھانے والے گھروں، مسجدوں یا سفر کا شمار نہیں دیتے۔ بچی رقم، وقت یا تمام پرانے جدولوں کی جگہ لینے کے اعداد نہیں بنائے گئے۔\n\nایک اہم فرق واضح ہوتا ہے: جدول کی قدریں بہت احتیاط سے حساب کی جا سکتی ہیں، مگر اس کی سطروں کے درمیان کام کرتے وقت تقریب پھر داخل ہوتی ہے۔ کسی کتاب کو دقیق کہنے سے ہر اگلا عمل اکائی اور مفروضے کے سوال سے مستثنیٰ نہیں ہو جاتا۔ یہاں عملی فائدہ مستند حسابی مقصد ہے، استعمال کا جدید سماجی سروے نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "اس شاہد کی اہمیت حسابی مفروضے کو نقد اور دلیل کا موضوع بنانے میں ہے۔ بیرونی صرف ہدایت نہیں دیتے، غیر مساوی فرقوں کی وجہ بھی سمجھاتے ہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301–302,323}۔ اس کام کو پہچاننے کے لیے ریاضی کی پوری تاریخ ایک تنہا ہیرو کی کہانی بنانا ضروری نہیں۔\n\nمیئرنگ ہندوستانی و چینی کام اور عربی و فارسی ماخذ کو بعد کی یورپی پیش رفت سے پہلے رکھتے ہیں {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C}۔ صرف زمانی ترتیب ہر مصنف اور اس کے بعد والے کا رابطہ ثابت نہیں کرتی۔ ہدایتی الفاظ دوبارہ پڑھنے سے یہ بھی بچتا ہے کہ فرق استعمال کرنے والے دو الگ طریقوں میں مانوس جدید فارمولا دوسرے پر چڑھا دیا جائے۔ یہ تاریخی اور تدریسی فائدہ ہے، اس کے نتائج کا گھڑا ہوا عددی پیمانہ نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "**معلن سنی سیاق میں متن:** بیرونی کی نسبت یہاں خاص پڑھی ہوئی تشریح کی ہے؛ ان کی سوانح میں محفوظ مختلف فیہ انفرادی نسبت اپنی جگہ ہے۔ حساب کو مسلکی شہادت نہیں بنایا گیا {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.321–324} {cite:tdv-biruni-tumer religious-affiliation}۔ انہیں دنیا کا پہلا دوسرے درجے کا استیفا نہیں دیا گیا۔\n\n**علمی قرأت:** میئرنگ پہلے ہندوستانی طریقے مستند کرتے اور راشد کا خلاصہ بیرونی کے چار طریقے، ہندوستانی حصہ اور سموأل کے تقابل بیان کرتا ہے {cite:meijering-interpolation-2002 II.B–II.C} {cite:rashed-interpolation-1991 abstract}۔ مطبوعے کی تمہید میں نیوٹن اور گریگوری سے تقابل محقق کی منسوب تعبیر ہے، عین ایک جیسے فارمولوں یا ان تک براہ راست انتقال کا فیصلہ نہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.40–42}۔ سبقت، کئی طریقوں کی موجودگی اور اس خاص عمل کی تفصیل الگ سوال رہنے چاہییں۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "زائر دوربین یا سافٹ ویئر کے بغیر کاغذ پر دو تقریبیں دیکھ سکتا ہے۔ `t=0` پر یہ تحریری صورت ابتدائی قدر رکھتی اور `t=1` پر اگلی قدر تک پہنچتی ہے۔ دونوں اضافے برابر ہوں تو خطی حساب بنتا ہے۔ یہ تدریسی عبارت کے جبری نتائج ہیں، بیرونی کی کارگاہ میں ہمارے سامنے کیا ہوا تجربہ نہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}۔\n\nدونوں سروں پر اتفاق درمیان کا علم یا ہر تابع میں زیادہ صحت یقینی نہیں کرتا۔ ہدایت سمجھنا اور تحقیق سے غیر ثابت عددی ضمانت دینا الگ باتیں ہیں۔ بہت سے ہندسوں پر حیران ہونے سے پہلے خطا، وقفے کی حد اور مفروضہ پوچھا جا سکتا ہے۔ یہ تاریخی بیان ایسے سفر یا وقت کے حساب کی سفارش نہیں جن کے لیے الگ تصدیق ضروری ہو۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "عربی کے منتخب مقامات پڑھے اور مسح301،322،323،340 کی تصاویر دیکھیں؛ ان پر مطبوعہ نمبر300،321،322،339 ہیں۔ نئی حوالہ دہی مسح کے نمبر سے ہے، مطبوعہ ایک کم ہے {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.301,322–323,340}۔ یہ مخطوطوں کا تقابل یا پوری کتاب کے تمام جدولوں کی قرأت نہیں، جن کا استخراج کئی جگہ بگڑا ہے۔\n\nنمائشی تصویر دابلر کی7 مارچ2010 کی جدید تخلیق ہے، جسے صاف طور پر عوامی ملکیت کیا گیا؛960×720 صورت دیکھی گئی {cite:commons-quadratic-interpolation description,rights,image}۔ تین نمونوں سے گزرتا قطع مکافی، بلند ترین مقام اور نیچے فرق یا ڈھلوان کا خانہ ہے۔ یہ مفہومی تقابل ہے، اس خاص قاعدے کے عین اوزان یا بیرونی کے جدید مشتق بنانے کی شہادت نہیں {cite:commons-quadratic-interpolation code}۔ مسح، متن کا استخراج اور اصل فائلیں مخزن سے باہر ہیں۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "یہ مقام ہندسی زبان اور حساب کرنے والے کی ہدایات جمع کرتا ہے۔ مصنف قوس اور اس کے متمم کے مختصر نام اشتباہ سے بچانے کے لیے چنتے اور باریک جدول کی محنت بتاتے ہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.302,321}۔ اس سے کتاب میں عملی علم کی پیش کش معلوم ہوتی ہے، یہ نہیں کہ ہر تاریخی قاری نے یکساں سمجھا یا استعمال کیا۔\n\nجدید تصویر میں نیلا، سرخ اور چھپے محوری نشان ایک بہت بعد کی تدریسی زبان ہیں؛ انہیں مخطوطے کی طرف منسوب نہیں کیا گیا {cite:commons-quadratic-interpolation image,code}۔ دونوں کو ساتھ رکھنا تب مفید ہے جب ان کا فاصلہ سمجھایا جائے۔ آج کے نقشے کی خوب صورتی کسی غیر جانچے تاریخی اصل یا ان علامتوں کا ثبوت نہیں بن سکتی جو پڑھی عبارت میں مصنف نے استعمال نہیں کیں۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "کاغذ پر مواضع−1،0،1 اور ان کے نیچے قدریں1،2،2.5 لکھیں۔ پہلا اضافہ1 اور اگلا0.5 ہے۔ درمیانی اور آخری مقام کے آدھے پر خطی اندازہ2.25 ہے۔ دونوں اضافے برابر ملائیں تو0.75، اس کا آدھا2 میں ملائیں تو2.375۔ کھیل کے یہ عدد ہدایت کی ترتیب دکھانے کے لیے ہم نے چنے ہیں، پرانے مشاہدے نہیں {cite:qanun-masudi-jundi-v1 scan pp.339–340}۔\n\nنامعلوم درمیانی قدر چھپا کر رکھیں، کسی کو فاتح نہ کہیں؛ صرف کارڈ اس قدر کو نہیں بتاتے۔ برابر اضافے رکھ کر اتفاق دیکھیں۔ قلم اور کاغذ کافی ہیں؛ سورج کا مشاہدہ یا دوربین اس کی طرف نہ کریں۔ یہ نہیں پوچھیں کہ کون سا عدد اچھا لگتا ہے، بلکہ یہ کہ کس مفروضے سے اس تک پہنچے۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- [[source/qanun-masudi-jundi-v1|القانون المسعودی، جلد اوّل]]، منتخب مسح صفحات اور مذکورہ تصاویر؛ مطبوعہ نمبر ایک کم ہے۔\n- [[source/meijering-interpolation-2002|میئرنگ، استیفا کی تاریخ]]،II.B–II.C، مصنف کی فراہم کردہ اصل تحریر۔\n- [[source/rashed-interpolation-1991|راشد، سموأل، بیرونی اور برہماگپت]]، صرف ناشر کا خلاصہ، پورا مضمون نہیں۔\n- [[source/britannica-al-biruni|بریٹانیکا]] اور [[source/tdv-biruni-tumer|تومر]]، انفرادی شناخت اور منقول مسلکی نسبتیں۔\n- [[source/commons-quadratic-interpolation|دابلر کا نقشہ اور حقوق]]، عوامی ملکیت کا جدید تقابل۔\n- [[source/nallino-albatenii-opus-astronomicum|نالینو کی بتانی کی زیج]]، پہلے خطی اندراج سے امتیاز۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/biruni-difference-interpolation",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b48",
     "source": "Urdu from Arabic; actual selected Qanun text/scans, MeijeringII.B–II.C and Rashed publisher abstract only; modern PD image inspected; own normalized arithmetic not historical notation or measured data"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  }
 },
 "degree": 4,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-06",
 "connections": [
  {
   "to": "person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Explicit changing-difference/direct-inverse table refinement; not first interpolation, every modern quadratic formula or a universal accuracy guarantee. Existing debated affiliation retained.",
   "sources": [
    "source/britannica-al-biruni",
    "source/meijering-interpolation-2002",
    "source/qanun-masudi-jundi-v1",
    "source/rashed-interpolation-1991",
    "source/tdv-biruni-tumer"
   ]
  },
  {
   "to": "work/al-qanun-al-masudi",
   "type": "described_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "sources": [
    "source/qanun-masudi-jundi-v1",
    "source/meijering-interpolation-2002",
    "source/rashed-interpolation-1991",
    "source/commons-quadratic-interpolation",
    "source/britannica-al-biruni",
    "source/tdv-biruni-tumer",
    "source/nallino-albatenii-opus-astronomicum"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "person/al-biruni-muhammad-ibn-ahmad",
  "work/al-qanun-al-masudi",
  "event/al-biruni-at-qabus-court-gurgan",
  "event/al-biruni-flees-to-bukhara",
  "event/mahmud-summons-al-biruni-to-ghazna",
  "event/qanun-al-masudi-dedicated",
  "event/tahqiq-ma-lil-hind-composed",
  "event/thaalibi-khwarazmshah-court-1012"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}