{ "id": "invention/farisi-amicable-factorization", "class": "invention", "slug": "farisi-amicable-factorization", "label": { "ar": "منهج الفارسي بالعوامل لإثبات التحاب", "en": "Al-Farisi's factorization-based amicability method", "ur": "تحاب کے لیے فارسی کا عواملی طریقہ" }, "summary": { "ar": "منهج إثبات بالعوامل واختياراتها في قاعدة أقدم، لا أول أعداد متحابة أو حكم بأول برهان كامل لوحدانية التحليل {cite:farisi-mactutor number-theory}.", "en": "Factorization/combinatorial proof approach to an inherited rule, not first amicable numbers or a verdict of first complete unique-factorization proof {cite:farisi-mactutor number-theory}.", "ur": "پرانے قاعدے کا عواملی و ترکیبی اثبات، پہلے متحاب اعداد یا اولین مکمل منفرد تحلیل کے ثبوت کا فیصلہ نہیں {cite:farisi-mactutor number-theory}۔" }, "stub": false, "wings": [ "ideas" ], "regions": [ "persia-central-asia" ], "periods": [], "tags": [], "aliases": [], "themes": [], "data": { "names": [ { "kind": "alternate", "lang": "en", "value": "Factorization and combinatorial divisor sums in al-Farisi's proof of Thabit's rule" } ], "domain": "mathematics", "kind": "method", "disciplines": [ "mathematics" ], "era": { "origins": "middle-period", "first_attested": { "edtf": "12XX/13XX", "calendar": "julian", "precision": "century", "status": "historical", "note": "Late13th/early14th-century lifetime horizon, not exact composition/invention date or manufactured Hijri.", "sources": [ "source/farisi-mactutor", "source/tdv-farisi-bozhuyuk" ] }, "status_today": "living" }, "origin": { "place": "place/tabriz", "context": { "ar": "سياق المؤلف، لا مكان كتابة الرسالة مثبتاً {cite:farisi-mactutor biography}.", "en": "Author's setting, not a proved composition place {cite:farisi-mactutor biography}.", "ur": "مصنف کا ماحول، رسالے کا ثابت مقام تحریر نہیں {cite:farisi-mactutor biography}۔" } }, "makers": [ { "person": "person/kamal-al-din-al-farisi", "role": "improver", "note": "New factorization/combinatorial proof approach to inherited Thabit sufficient rule, not first amicable pair.", "sources": [ "source/farisi-mactutor" ] } ], "attribution": { "status": "improvement", "claim": { "ar": "تغيير منهج البرهان باستعمال العوامل واختياراتها.", "en": "Changed proof approach through factorization and combinatorial choices.", "ur": "عوامل اور ترکیبی انتخاب سے طریقۂ اثبات کی تبدیلی۔" }, "basis": { "ar": "ماكتوتر تصف منهجاً جديداً وتنسب قراءة وحدانية التحليل إلى راشد وتذكر الخلاف {cite:farisi-mactutor number-theory}.", "en": "MacTutor describes a new approach, attributes the uniqueness interpretation to Rashed and notes disagreement {cite:farisi-mactutor number-theory}.", "ur": "میک ٹیوٹر نیا طریقہ بتاتا، وحدانیت کی تعبیر راشد کو منسوب اور اختلاف محفوظ کرتا ہے {cite:farisi-mactutor number-theory}۔" }, "perspectives": [ { "tradition": "sunni", "id": "inherited-individual-frame", "summary": { "ar": "الأساس الفردي المسلم والإطار السني المنفصل محفوظان، لا استنتاج من البلد أو المعلم {cite:farisi-mactutor summary}.", "en": "Documented individual Muslim basis and separate Sunni frame retained, not inferred from country/teacher {cite:farisi-mactutor summary}.", "ur": "فردی مسلم بنیاد اور الگ سنی فریم محفوظ، ملک یا استاد سے اخذ نہیں {cite:farisi-mactutor summary}۔" }, "sources": [ "source/farisi-mactutor" ] }, { "tradition": "academic", "id": "proof-and-priority-boundaries", "summary": { "ar": "القاعدة لثابت؛ تفسير برهان وحدانية التحليل مختلف فيه، وأولوية اكتشاف الزوج الكبير ليست حكماً للفارسي {cite:farisi-mactutor number-theory}.", "en": "Rule belongs to Thabit; unique-factorization proof interpretation is disputed, and large-pair discovery priority is not awarded to al-Farisi {cite:farisi-mactutor number-theory}.", "ur": "قاعدہ ثابت کا؛ منفرد تحلیل کے اثبات کی تعبیر مختلف فیہ، بڑے جوڑے کی دریافت کی اولیت فارسی کو نہیں دی جاتی {cite:farisi-mactutor number-theory}۔" }, "sources": [ "source/farisi-mactutor" ] } ] }, "precursors": [ { "external": { "ar": "قاعدة ثابت بن قرة للأعداد المتحابة", "en": "Thabit ibn Qurra's amicable-number rule", "ur": "ثابت بن قرہ کا متحاب اعداد کا قاعدہ" }, "note": "Inherited sufficient rule, not attributed to Farisi; Thabit not counted as a Muslim maker by this record.", "sources": [ "source/farisi-mactutor" ] } ], "dependents": [], "spread": [], "impact": { "fields": [ "mathematics" ], "changed": { "ar": "من مثال عددي إلى تنظيم القواسم بالعوامل واختيارات الأسس {cite:farisi-mactutor factorization}.", "en": "From numerical examples toward organized divisors through factors/exponent choices {cite:farisi-mactutor factorization}.", "ur": "عددی مثال سے عوامل اور قوت کے انتخاب کے ذریعے منظم مقسوم علیہ تک {cite:farisi-mactutor factorization}۔" }, "history": { "ar": "برهان لقاعدة أقدم، لا نسب مثبت إلى كل استعمال حديث للتحليل {cite:farisi-mactutor number-theory}.", "en": "Proof of an older rule, not demonstrated ancestry of every modern factorization use {cite:farisi-mactutor number-theory}.", "ur": "قدیم قاعدے کا اثبات، تحلیل کے ہر جدید استعمال کا ثابت نسب نہیں {cite:farisi-mactutor number-theory}۔" }, "significance": 3, "why": "Distinct factorization/combinatorial approach; prior rule and unresolved uniqueness/large-pair priority retained. Modern proper-divisor/sigma proof illustrates without claiming original text reconstruction." }, "described_in": [ "work/farisi-tadhkirat-al-ahbab" ], "examples": [], "sites": [], "concepts": [], "today": { "form": { "ar": "قواسم ومجاميع واتجاهان وشروط أولية صريحة.", "en": "Divisors, sums, two directions and explicit prime conditions.", "ur": "مقسوم علیہ، مجموعے، دونوں سمتیں اور صریح اولی شرطیں۔" }, "descendants": { "ar": "لا دعوى أن كل زوج ينتج من هذه القاعدة.", "en": "No claim every pair is generated by this rule.", "ur": "ہر جوڑے کے اس قاعدے سے بننے کا دعویٰ نہیں۔" } }, "media": { "image": "media/farisi-amicable-rods-context", "diagram": "media/diagram-farisi-amicable" }, "kids": { "ar": "اجمع القواسم دون العدد نفسه ثم افحص العودة.", "en": "Sum divisors excluding self, then check the return.", "ur": "خود عدد کے بغیر مقسوم علیہ جمع کریں، پھر واپسی جانچیں۔" }, "sources": [ "source/farisi-mactutor", "source/tdv-farisi-bozhuyuk", "source/weisstein-amicable-pair", "source/commons-amicable-rods-hyacinth" ], "status": { "review": "published", "completeness": 3, "generated_by": "Copilot SDK in VS Code" }, "provenance": { "layer": "own-research", "generated_by": "Copilot SDK in VS Code", "model": "unknown", "run": "inventions-p3-b84", "source": "Actual MacTutor/TDV/selected MathWorld and current Commons image/rights. Modern independent factor-product/divisor checks, not original Arabic proof. No Rashed1982edition/full Hogendijk article read; normal publisher browser CAPTCHA untouched." } }, "prose": { "ar": { "sections": [ { "heading": "الموجز", "markdown": "قد يجمع عدد قواسمه فيعطي عدداً آخر، ثم تعيد قواسم الآخر العدد الأول. يسمى العددان المختلفان متحابين، مثل220 و284. لم يخترع [[person/kamal-al-din-al-farisi|كمال الدين الفارسي]] هذا المثال أو قاعدة ثابت بن قرة الأقدم؛ مساهمته هنا منهج جديد بالعوامل والاختيارات لإثبات القاعدة، كما تصفه ماكتوتر {cite:weisstein-amicable-pair definition} {cite:farisi-mactutor number-theory}.\n\nتتناول [[work/farisi-tadhkirat-al-ahbab|تذكرة الأحباب في بيان التحاب]] هذا الموضوع، مستقلة من [[invention/farisi-water-sphere-rainbow|نموذجه لقوس قزح]]. لا تمنح البطاقة للفارسي أولية مطلقة في التحليل إلى عوامل أو أول برهان كامل على وحدانيته؛ تعرض ماكتوتر تفسير راشد وتنبه إلى خلاف الباحثين في قوة البرهان {cite:farisi-mactutor factorization} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}." }, { "heading": "ما هو", "markdown": "المقصود بالقواسم هنا الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقسم العدد بلا باق، مع استبعاد العدد نفسه عند فحص التحاب. نرمز حديثاً للمجموع الشامل بالرمزsigma، وللمجموع بعد حذف العدد بالرمزs. لذلكs(N)=sigma(N)−N، لاs(N)=sigma(N). هذه لغة شرح حديثة لا ترميزاً نسبناه إلى المخطوط {cite:weisstein-amicable-pair definition-and-equations}.\n\nويجب أن يكون العددان موجبين ومختلفين، وأن تنجح العلاقة في الاتجاهين. العدد6 مثلاً يجمع قواسمه1 و2 و3 فيعطي6؛ هذا عدد تام، وليس زوجاً متحاباً مع نفسه في التعريف المستعمل هنا. وكذلك لا يكفي أن يعطي عددٌ الآخر إن لم تعد الرحلة إلى نقطة البداية." }, { "heading": "العالم قبله", "markdown": "تنسب ماكتوتر القاعدة إلى ثابت بن قرة، ثم تشرح برهان الفارسي الجديد لها. بذلك يبقى السابق باسمه ولا يصبح كل ما في الرسالة ابتكاراً مستقلاً للفارسي. ولا تجعل البطاقة ثابتاً مخترعاً مسلماً جديداً بالاستنتاج من بيئته؛ ذكر السابق العلمي غير عدّه في هذه السلسلة {cite:farisi-mactutor inherited-rule}.\n\nوتعرض ماكتوتر رأي هوخندايك في احتمال معرفة ثابت نفسه للزوج17296 و18416. لا نستخرج من ذلك حكماً جديداً بالأولوية، ولا ننسب اكتشاف الزوج إلى أوروبي متأخر لمجرد شيوع اسمه معه. اسم شائع، وبرهان باق، وأول اكتشاف، ثلاث مسائل لا تحسم إحداها الأخريين {cite:farisi-mactutor large-pair-history}." }, { "heading": "القصة", "markdown": "يذكر المدخل الجامعي أن أعمال الفارسي الحسابية برزت في دراسات لاحقة لمقالة راشد القديمة في قاموس السير العلمية، التي ركزت على البصريات. غياب موضوع من عرض سابق ليس دليلاً على عدم وجوده في تراث المؤلف. وتفردTDV الرسالة المتحابة بعنوانها ضمن قائمة أعماله {cite:farisi-mactutor introduction} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}.\n\nلا نعرف هنا تاريخ تأليف مضبوطاً أو مجلساً حوارياً وقعت فيه الفكرة. أفق أواخر القرن الثالث عشر وأوائل الرابع عشر يربطها بحياة صاحبها، لا بيوم اختراع أو بتحويل هجري اخترعناه. وتبريز سياق سيرته، لا غرفة كتابة الرسالة أثبتناها من أصلها {cite:farisi-mactutor biography} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk biography}." }, { "heading": "المخترع والمخترعون", "markdown": "الأساس الفردي المسلم للفارسي محفوظ من الوصف الصريح في ماكتوتر، والإطار السني معلن مستقلاً. لا نستنتج مذهباً شخصياً من اسم فارسي أو معلم. ويظل إسهامه البصري السابق قائماً؛ العالم نفسه يستطيع العمل في الضوء والأعداد، ولا يبرر تشارك المؤلف دمج السؤالين {cite:farisi-mactutor summary-and-biography}.\n\nوتخالفTDV ماكتوتر في الاسم والتواريخ: تسجل حسن بن علي بن حسن، ومولداً1267 ووفاة1319 بحسب خبر تلميذ ناسخ، بدلاً من اسم محمد وتقديرات1260 و1320 الشائعة. نحفظ الاختلاف منسوباً ولا نخلق شخصاً آخر أو نعلن مقابلة الأصل. تبقى البيانات السابقة شاهداً على مصدرها، مع ظهور الرواية المخالفة للقارئ {cite:tdv-farisi-bozhuyuk opening} {cite:farisi-mactutor quick-info}." }, { "heading": "كيف يعمل", "markdown": "يمكن شرح فكرة العوامل حديثاً بالعدد220=2²×5×11. كل قاسم منه ينتج باختيار قوة2 من0 إلى2، وقوة لكل من5 و11 من0 إلى1. إذن توجد3×2×2=12 اختيارات مختلفة تشمل العدد نفسه. تنظيم هذه الاختيارات يمنع أن ننسى قاسماً أو نعده مرتين، وهو مثال حديث لمعنى البنية العاملية {cite:farisi-mactutor factorization}.\n\nمجموع القواسم الشامل هنا(1+2+4)(1+5)(1+11)=7×6×12=504. بعد حذف220 نحصل على284. وبالمثل284=2²×71 ومجموع قواسمه الشامل7×72=504، ثم504−284=220. نستطيع أيضاً فحص القواسم منفردة؛ اتفاق الطريقتين فحص حسابي مستقل، لا دعوى أنه نص البرهان القديم {cite:weisstein-amicable-pair divisors220284}.\n\nقاعدة ثابت، بترميز حديث، تأخذn≥2 وتضعp=3×2^(n−1)−1، وq=3×2^n−1، وr=9×2^(2n−1)−1. **إذا كانت الثلاثة أولية** كانA=2^n×p×q وB=2^n×r متحابين. شرط الأولية جزء من القاعدة وليس تفصيلاً اختيارياً؛ وهي تعطي عائلة كافية ولا تصف كل زوج ممكن {cite:farisi-mactutor inherited-rule}.\n\nعندn=4 نجد23 و47 و1151، ثمA=17296 وB=18416. المجموع الشامل لكليهما35712: للأول31×24×48، وللثاني31×1152. بحذف كل عدد نحصل على الآخر. وتتحدث ماكتوتر عن مقدمات يستعملها الفارسي لإثبات أولية1151، بينها تطبيق للغربال؛ لا نزعم أن فحصنا الحديث يعيد ترتيب جميع مقدماته {cite:farisi-mactutor example-n4}.\n\nوالتجربة المضادة مفيدة: عندn=3 يكونr=287=7×41 غير أولي. ينتج2024 و2296، ويحققs(2024)=2296، لكنs(2296)=2744 لا2024. من الخطأ أن نعامل287 كأنه أولي ونكتب العامل1+287 في مجموع القواسم؛ التحليل الصحيح يستعمل(1+7)(1+41). هذه إعادة حساب حديثة تبين ضرورة فحص الشروط والاتجاهين.\n\nولرؤية البنية العامة نضعt=2^n. تحت شروط الأولية نجدsigma(A)=sigma(B)=(2t−1)×9t²/2، وبالتوسع الجبري نجدA+B يساوي المقدار نفسه. إذن حذفA من مجموع قواسمه يعطيB والعكس. لا يكفي تساوي مجموعين وحده ما لم نثبت أيضاً أنهما يساويانA+B. هذه صياغة متحفية حديثة للشرح الشرطي، لا نقل للرسالة.\n\nويضمنn≥2 أن العوامل الأولية المفترضة فردية ومختلفة عن2؛ لذلك تعامل الاختيارات كعوامل مستقلة. أماn=1 فيعطي20 و34، ولا يحقق التحاب. لا يجوز إسقاط قيد البداية ثم إلقاء فشل المثال على القاعدة؛ الذي طبق عندئذ صيغة خارج مجالها هو القارئ." }, { "heading": "الانتشار", "markdown": "تنبه ماكتوتر إلى أن الزوج الكبير عرف قبل الأسماء الأوروبية المتأخرة، لكنها تترك أولوية اكتشافه الأقدم موضع بحث. وتذكر ماثوورلد إعادة اكتشافات وقواعد لاحقة، لا سلسلة نسخ حققنا فيها انتقال رسالة الفارسي إلى كل مؤلف. التشابه في العدد ليس وحده دليلاً على طريق كتابي مباشر {cite:farisi-mactutor large-pair-history} {cite:weisstein-amicable-pair history}.\n\nولا نساوي طباعة دراسة حديثة بانتشار تاريخي في المدارس. تسردTDV طبعة راشد1982 ودراسته، لكننا لم نقرأ الطبعة الكاملة هنا. نعرض خبر العمل ومحل نقاشه من المصدر المقروء، ولا نخترع رحلة مخطوط أو مجلس تلمذة لسد فجوة في السرد {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}." }, { "heading": "ما بُني عليه", "markdown": "يربط العرض بالعوامل الأولية وعد القواسم واختيارات الأسس. لا يجوز تطبيق صيغة الضرب نفسها على عوامل متداخلة كما لو كانت مستقلة؛24=4×6 لا يجيز ضرب مجموع قواسم4 في مجموع قواسم6، لأنهما يشتركان في2. نفكك إلى قوى أولية متميزة قبل تنظيم الاختيارات، في شرحنا الحديث.\n\nوتنسب ماكتوتر إلى راشد قراءة قيام المنهج على وحدانية التحليل إلى قوى أولية ومحاولة برهانها، ثم تذكر أن مسألة «برهن أم حاول» نوقشت. هذه حدود مهمة: نجاح مثالين لا يثبت وحده القضية العامة، وتعداد عوامل عدد صغير لا يساوي برهان وحدانية التحليل لكل عدد {cite:farisi-mactutor factorization-debate}." }, { "heading": "ما بُني فوقه", "markdown": "يمكن للطالب مقارنة قائمة قواسم فعلية بحاصل ضرب مجاميع القوى الأولية، ثم التحقق من الشمول وعدم التكرار. في فحص المتحف نقارن الطريقتين لأعداد كثيرة، لا نكتفي بتساوي نتيجة واحدة. هذا فحص حديث لتفسيرنا، وليس ادعاء اكتشاف صفحة مفقودة في الرسالة.\n\nوحتى القاعدة الصحيحة لا تنتج كل الأزواج. الزوج1184 و1210 متحاب، لكن1210 ليس من مضاعفات4، بينما كلا عددي عائلة ثابت المذكورة من مضاعفات4 لأنn≥2. لذلك لا يمكن أن يأتي هذا الزوج من هذه الصيغة. الكفاية تعطي طريقة توليد، ولا تجعلها شرطاً ضرورياً لكل التحاب {cite:weisstein-amicable-pair pair-list} {cite:farisi-mactutor inherited-rule}." }, { "heading": "الأثر في الحياة", "markdown": "المصادر المقروءة تعرض عملاً في الحساب ونظرية الأعداد، لا قياساً لمنفعة سوقية. ولا يجعل اسم التحاب الرقمين تعويذة أو علاجاً أو وعداً بعلاقة بشرية. التعريف علاقة مضبوطة بين قواسم، لا برهان على أثر خارق؛ نوضح الاسم من غير أن نتبنى اعتقاداً لم يفحص هنا {cite:weisstein-amicable-pair definition}.\n\nقيمته التعليمية أن الاستقلال بين الشروط يصبح محسوساً: إيجاد اتجاه أول لا يكفي، ومجموع شامل ليس مجموعاً بعد الحذف، وعامل مركب ليس أولياً. يستطيع القارئ اختبار ذلك بيديه في المثال الصغير قبل استعمال أعداد أكبر، من دون ادعاء أن هذا النشاط كان درساً تاريخياً موثقاً." }, { "heading": "كيف غيّر التاريخ", "markdown": "ترى ماكتوتر في عمل الفارسي أكثر من تعديل بسيط لبرهان ثابت؛ تصفه بمنهج جديد يوظف التحليل والاختيارات التركيبية. لا يحتاج تقدير هذه الخطوة إلى محو صاحب القاعدة أو منح كل لغة نظرية الأعداد الحديثة للفارسي. الذي ننسبه هو أسلوب بحث محدد في رسالة محددة {cite:farisi-mactutor new-approach}.\n\nوهو مستقل من تجربة الكرة المائية: هنا تنظم قواسم صحيحة وشروط أولية وبرهاناً عددياً، وهناك تختبر مسار الضوء. ليس مجرد مثال آخر من النظرية البصرية نفسها، ولا تغيير اسم للوصول إلى عدد أكبر من البطاقات؛ تؤيد المصادر الفصل بين إسهامين كبيرين للمؤلف {cite:farisi-mactutor introduction-and-number-theory}." }, { "heading": "من اخترعه حقاً؟", "markdown": "**الإطار السني المعلن:** أساس هوية الفارسي الفردية محفوظ، لا شهادة مذهبية مستخرجة من الاسم. **القراءة الأكاديمية:** القاعدة لثابت، والمنهج الجديد للفارسي كما تصفه ماكتوتر؛ تفسير برهان وحدانية التحليل منسوب إلى راشد ومحل نقاش. لا يصدر المتحف حكماً نهائياً بأول برهان كامل أو اكتشاف الزوج الكبير {cite:farisi-mactutor summary-and-factorization}.\n\nوينقل المصدر رأي هوخندايك في معرفة ثابت للزوج الكبير. لم تقرأ هنا المقالة كاملة؛ فهرس المؤلف يحددها، ووصول المتصفح إلى الناشر توقف عند التحقق البشري. تبقى الحجة منقولة عبر ماكتوتر، لا تتظاهر البطاقة بأن عائق الوصول تحول إلى قراءة كاملة {cite:farisi-mactutor large-pair-history}." }, { "heading": "اليوم", "markdown": "نفصل بينA وB المختلفين وبين العدد التام الذي يعود إلى نفسه. ونفصل أيضاً عن اصطلاحات حديثة أخرى قد تترجم «ودودة» مع تعريف مختلف؛ المعيار هنا مجموع القواسم الصحيحة دون العدد نفسه. الاسم اللطيف لا يغني عن كتابة التعريف قبل مقارنة الجداول {cite:weisstein-amicable-pair definition-and-terminology}.\n\nوالرسم السياقي بقضبان ملونة يضع284 أعلى و220 أسفل، مع صفوف عوامل ومجموعي القواسم. هذا رسم هايسنث الحديث، لا قضبان استعملها الفارسي ولا صفحة من التذكرة. يعطي هيئة بصرية للمثال الأصغر، ولا يصور جميع خطوات برهان القاعدة أو الزوج17296 و18416 {cite:commons-amicable-rods-hyacinth current-image}." }, { "heading": "الشواهد الباقية", "markdown": "قرأنا ماكتوتر ومدخلTDV ومقاطع التعريف والأمثلة الحديثة، لا الأصل العربي أو طبعة راشد1982 أو كل دراسة في الببليوغرافيا. والرسالة مثبتة بعنوانها في قائمةTDV، لكننا لم نعاين مخطوطها. يبقى وصفها الحسابي معتمداً على العرض المقروء لا تحقيقاً نصياً جديداً {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5} {cite:farisi-mactutor number-theory}.\n\nأنشئ الرسم الحديث28أبريل2016، وتظهر في سجل29أبريل مراجعة الأرقام العريضة. ترخيصهCC BY-SA4.0، وينشر أصلPNG دون تعديل. عوينت الصورة وبيانات الحقوق، ولا ننقل إلى هذا الملف حقوق مصدر آخر أو نعيد تسميته أثراً من زمن المؤلف {cite:commons-amicable-rods-hyacinth description-rights}." }, { "heading": "في الثقافة", "markdown": "يجذب لفظ «الأحباب» القارئ إلى علاقة يمكن فحصها بالأرقام. لكن تشبيه العددين بصديقين وسيلة لغوية، لا تفسير كيف تتصرف الأعداد أو دعوة إلى معنى غيبي. يكفي أن يعود مجموع القواسم إلى الشريك في الاتجاهين، وفق التعريف المعلن {cite:weisstein-amicable-pair definition}.\n\nوفي المتحف تبقى الحدود جزءاً من الحكاية: سابق أقدم، ومؤلف طور البرهان، وباحثون يختلفون في قوته وأولويته. لا يلزم مشهد روائي يصور لحظة اختراع لم تثبت، ولا لقب يجعل كل التحليل الحسابي الحديث ملكاً لشخص واحد {cite:farisi-mactutor factorization-and-priority}." }, { "heading": "للصغار", "markdown": "اكتب قواسم220 دون220:1،2،4،5،10،11،20،22،44،55،110. اجمعها لتحصل على284. ثم افعل العكس مع1،2،4،71،142، فتحصل على220. لا تنس الرقم1، ولا تضف العدد نفسه؛ تغيير أحد الشرطين يغير ما تحسبه {cite:weisstein-amicable-pair divisors220284}.\n\nجرب بعد ذلك6، ثم اسأل لماذا لا نسميه زوجاً مع نفسه. وللتحدي الأكبر افحص المثال الفاشل2024 و2296 في الاتجاهين، ولا تتوقف عند النجاح الأول. هذه ألعاب حساب حديثة تساعد على فهم شروط البرهان، لا تعليمات مخطوط نقلناها حرفياً أو حكم أولوية لم يكتمل بحثه." }, { "heading": "المراجع", "markdown": "- ماكتوتر:المنهج والقاعدة والخلاف {cite:farisi-mactutor number-theory}.\n- بوزهويوك:قائمة الأعمال واختلاف الاسم والتواريخ {cite:tdv-farisi-bozhuyuk biography-and-work5}.\n- ماثوورلد:التعريف والقواسم {cite:weisstein-amicable-pair definition}.\n- كامونز:الرسم وحقوقه {cite:commons-amicable-rods-hyacinth description-rights}." } ], "frontmatter": { "id": "invention/farisi-amicable-factorization", "lang": "ar", "source_lang": "ar", "translators": [], "status": { "review": "published" }, "provenance": { "generated_by": "Copilot SDK in VS Code", "model": "unknown", "run": "inventions-p3-b84", "source": "Actual MacTutor/TDV/selected MathWorld and Commons image/rights. Modern independent arithmetic/proof illustration, not original text. No original/Rashed1982/full Hogendijk reading; publisher CAPTCHA untouched." } }, "updated": "2026-11-06" }, "en": { "sections": [ { "heading": "Summary", "markdown": "A number can yield another when its proper divisors are added, and the other's divisors can lead back to the first. Two different numbers with this property are amicable, like220 and284. [[person/kamal-al-din-al-farisi|Kamal al-Din al-Farisi]] did not invent this example or Thabit ibn Qurra's older rule. His contribution here is a new factorization/combinatorial approach to proving the rule, as MacTutor describes it {cite:weisstein-amicable-pair definition} {cite:farisi-mactutor number-theory}.\n\nHis [[work/farisi-tadhkirat-al-ahbab|Memorandum for friends on amicability]] is distinct from his [[invention/farisi-water-sphere-rainbow|rainbow model]]. This record awards neither absolute priority for factorization nor the first complete proof of its uniqueness. MacTutor attributes that interpretation to Rashed and notes scholarly disagreement over the proof's status {cite:farisi-mactutor factorization} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}." }, { "heading": "What it is", "markdown": "The divisors concerned are positive integers dividing without remainder. For amicability we exclude the number itself. Write sigma for the sum including self, and s for the sum excluding self: s(N)=sigma(N)−N. Confusing the two sums changes the question. These are modern explanatory symbols, not notation attributed to an inspected manuscript {cite:weisstein-amicable-pair definition-and-equations}.\n\nThe numbers must be positive, distinct, and satisfy both directions. For example,6 has proper divisors1,2,3 summing to6. It is perfect, not an amicable pair with itself under our definition. Nor is a one-way journey sufficient: the second number must lead back to the first." }, { "heading": "The world before it", "markdown": "MacTutor credits the construction to Thabit ibn Qurra before discussing al-Farisi's new proof. The predecessor keeps his name; not everything in the later treatise becomes a separate invention of its author. Mentioning that predecessor does not count him as a new Muslim maker through an inference from his environment {cite:farisi-mactutor inherited-rule}.\n\nMacTutor also reports Hogendijk's argument that Thabit may already have known17296 and18416. We do not convert this into a new priority verdict or credit a later European merely because a familiar name accompanies the pair. Conventional naming, a surviving proof, and first discovery are different historical questions {cite:farisi-mactutor large-pair-history}." }, { "heading": "The story", "markdown": "The university biography notes that number-theoretical work became prominent in studies later than Rashed's older Dictionary of Scientific Biography article, which focused on optics. Omission from an earlier account does not demonstrate absence from the author's work. TDV separately lists the amicability treatise by title {cite:farisi-mactutor introduction} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}.\n\nNo exact composition date or conversational scene is established here. A late thirteenth-/early fourteenth-century horizon relates the work to its author, not an invention day or manufactured Hijri conversion. Tabriz belongs to his biographical setting; it is not a particular writing room verified from the original {cite:farisi-mactutor biography} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk biography}." }, { "heading": "The maker(s)", "markdown": "Al-Farisi's documented individual Muslim basis is retained from MacTutor's explicit description, with the Sunni frame separately declared. A Persian name or teacher does not establish a personal sect. His earlier optical contribution remains intact: one scholar can work on light and numbers without making the two questions identical {cite:farisi-mactutor summary-and-biography}.\n\nTDV differs from MacTutor on name and dates: Hasan ibn Ali ibn Hasan, birth1267 and death1319 from a student's reported colophon, rather than Muhammad and approximate1260/1320. We attribute the discrepancy, not invent another person or claim original collation. The inherited fields remain attributable to their earlier sources while readers can see the alternative {cite:tdv-farisi-bozhuyuk opening} {cite:farisi-mactutor quick-info}." }, { "heading": "How it works", "markdown": "For a modern illustration take220=2²×5×11. Each divisor chooses an exponent of2 from0 to2, and an exponent of5 and11 from0 to1. There are3×2×2=12 distinct choices including220 itself. Organizing these choices helps avoid missing or duplicate divisors; this illustrates the factorization structure in modern form {cite:farisi-mactutor factorization}.\n\nThe full divisor sum is(1+2+4)(1+5)(1+11)=7×6×12=504. Subtract220 to obtain284. Similarly284=2²×71, with full sum7×72=504;504−284=220. Direct listing checks both calculations independently. This is a modern explanatory verification, not a quotation of the old proof {cite:weisstein-amicable-pair divisors220284}.\n\nThabit's rule in modern notation takes n≥2 and forms p=3×2^(n−1)−1, q=3×2^n−1, r=9×2^(2n−1)−1. **If all three are prime**, A=2^n×p×q and B=2^n×r are amicable. Primality is part of the rule, not optional decoration. This sufficient construction supplies a family, not every possible amicable pair {cite:farisi-mactutor inherited-rule}.\n\nFor n=4 the primes are23,47,1151, yielding A=17296 and B=18416. Both full sums equal35712:31×24×48 for A and31×1152 for B. Subtracting either number returns the other. MacTutor describes al-Farisi using lemmas, including a sieve application, to establish1151's primality; our arithmetic does not reproduce the original sequence of lemmas {cite:farisi-mactutor example-n4}.\n\nA counterexample clarifies the conditions. For n=3, r=287=7×41 is composite. The formulas give2024 and2296, and s(2024)=2296, but s(2296)=2744, not2024. Treating287 as prime and inserting1+287 into the divisor-product formula is wrong: the correct contribution is(1+7)(1+41). This independent modern calculation explains why both the premises and the return direction matter.\n\nFor the general structure put t=2^n. Under the prime conditions sigma(A)=sigma(B)=(2t−1)×9t²/2; algebraic expansion also gives A+B equal to that expression. Subtracting A therefore yields B, and conversely. Equal inclusive sums alone would be insufficient without their equality to A+B. This conditional explanation is modern museum algebra, not a transcription.\n\nThe restriction n≥2 keeps the assumed prime factors odd and different from2, allowing independent factor choices. Taking n=1 instead gives20 and34, which are not amicable. Dropping the lower bound and blaming that failure on the rule would test a formula outside its stated domain." }, { "heading": "The spread", "markdown": "MacTutor identifies knowledge of the larger pair before later European names, while leaving its earliest discovery open to investigation. MathWorld discusses rediscoveries and subsequent rules, not a manuscript chain we have established from al-Farisi to every later author. Identical numbers alone do not prove a direct textual route {cite:farisi-mactutor large-pair-history} {cite:weisstein-amicable-pair history}.\n\nA modern edition is not itself evidence of historical school circulation. TDV lists Rashed's1982 edition and study; we did not read the full edition here. The work and its scholarly discussion are reported through the source actually read, without an invented manuscript journey or teaching encounter {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}." }, { "heading": "What it was built on", "markdown": "The explanatory ingredients are prime powers, divisors, and exponent choices. The same product formula cannot simply be applied to overlapping factors:24=4×6 does not license multiplying the divisor sums of4 and6, since they share2. In our modern explanation we first separate distinct prime powers before organizing independent choices.\n\nMacTutor attributes to Rashed an interpretation based on unique prime-power factorization and an attempted proof, then notes discussion over whether it was proved or only attempted. This limit matters. Two successful examples do not prove the general theorem, and listing the factors of one small integer is not a uniqueness proof for every integer {cite:farisi-mactutor factorization-debate}." }, { "heading": "What was built on it", "markdown": "A student can compare an actual divisor list with a product of prime-power sums, checking completeness and nonduplication. Our museum check compares these independently for many integers, not merely one successful result. That validates our present explanation; it does not recover a lost page of the treatise.\n\nEven a correct rule need not produce every pair.1184 and1210 are amicable, but1210 is not divisible by4, whereas both members of this Thabit family are divisible by4 because n≥2. The pair therefore cannot arise from this formula. A sufficient condition generates examples without becoming a necessary condition for all amicability {cite:weisstein-amicable-pair pair-list} {cite:farisi-mactutor inherited-rule}." }, { "heading": "Impact on daily life", "markdown": "The sources read describe arithmetic and number theory, not a measured market benefit. The name amicability does not make the numbers a charm, treatment, or promise about human relationships. Our subject is a specified divisor relation, not evidence for supernatural effects or endorsement of an unexamined belief {cite:weisstein-amicable-pair definition}.\n\nIts educational value is that separate conditions become visible: one direction is insufficient, an inclusive sum differs from a proper-divisor sum, and a composite factor is not prime. Readers can test these distinctions on the smaller pair before larger numbers, without claiming that our exercise reconstructs a documented historical lesson." }, { "heading": "How it changed history", "markdown": "MacTutor treats al-Farisi's work as more than a minor modification of Thabit's proof: a new approach employing factorization and combinatorial ideas. Appreciating that step requires neither erasing the rule's author nor assigning all modern number-theoretical language to al-Farisi. The contribution is a specified approach in a specified treatise {cite:farisi-mactutor new-approach}.\n\nIt is independent of the water-sphere experiment: one concerns divisors, primality, and numerical proof; the other concerns light paths. It is not another example of the same optical theory renamed to increase a record count. The biography itself distinguishes these two major contributions {cite:farisi-mactutor introduction-and-number-theory}." }, { "heading": "Who invented it?", "markdown": "**Declared Sunni frame:** the inherited individual Muslim basis remains, not a personal sectarian certificate extracted from a name. **Academic account:** Thabit's rule precedes al-Farisi's new approach; Rashed's interpretation of the factorization proof remains disputed. The museum awards neither a final first-complete-proof verdict nor first discovery of the larger pair {cite:farisi-mactutor summary-and-factorization}.\n\nThe source reports Hogendijk's argument for earlier knowledge by Thabit. His full article was not read here: the author index identifies it, while normal publisher browsing stopped at human verification. The argument remains attributed through MacTutor, not disguised as a full-paper reading completed despite the access barrier {cite:farisi-mactutor large-pair-history}." }, { "heading": "Today", "markdown": "We distinguish two different A,B from a perfect number returning to itself. We also distinguish other modern uses of “friendly” with a different definition: here the test is the sum of positive divisors excluding self. An appealing name does not replace writing the definition before comparing tables {cite:weisstein-amicable-pair definition-and-terminology}.\n\nThe contextual coloured-rod illustration places284 above220, with factor rows and proper-divisor sums. It is Hyacinth's modern picture, not rods used by al-Farisi or a page of the Memorandum. It illustrates the smaller example, not every step of the general proof or the pair17296/18416 {cite:commons-amicable-rods-hyacinth current-image}." }, { "heading": "Surviving examples", "markdown": "We read MacTutor, TDV, and selected modern definitions/examples, not the Arabic original, Rashed's1982 edition, or every bibliography item. TDV identifies the treatise by title, but its manuscript was not inspected here. The arithmetic account depends on the scholarly description actually read, not a new critical edition {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5} {cite:farisi-mactutor number-theory}.\n\nThe image was created28April2016; the29April history includes the current bold-number revision. It is CC BY-SA4.0, used as an unchanged original PNG. Both image and actual rights were inspected. We neither transfer another image's licence to it nor rename it an artifact from the author's lifetime {cite:commons-amicable-rods-hyacinth description-rights}." }, { "heading": "In culture", "markdown": "The title's “friends” invites attention to a relationship that can be checked numerically. Calling the numbers friends is a verbal analogy, not a mechanism governing their behavior or a mystical explanation. The proper-divisor sums must simply return the partner in both directions under the declared definition {cite:weisstein-amicable-pair definition}.\n\nLimits remain part of the museum story: an earlier predecessor, an author developing a proof, and scholars disagreeing over strength and priority. No invented discovery scene is needed, nor a title making every modern factorization method one person's possession {cite:farisi-mactutor factorization-and-priority}." }, { "heading": "For young readers", "markdown": "Write220's proper divisors:1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110. Their sum is284. Reverse the exercise with1,2,4,71,142 to obtain220. Do not forget1 or include the number itself: changing either condition changes what you are calculating {cite:weisstein-amicable-pair divisors220284}.\n\nNext try6 and ask why it is not a pair with itself. For a larger challenge, check the failed2024/2296 example in both directions rather than stopping at the first success. These are modern arithmetic explorations, not verbatim manuscript instructions or a final historical priority judgment." }, { "heading": "References", "markdown": "- MacTutor:approach, rule, disagreements {cite:farisi-mactutor number-theory}.\n- Bozhuyuk:works and alternative biography {cite:tdv-farisi-bozhuyuk biography-and-work5}.\n- MathWorld:definition/divisors {cite:weisstein-amicable-pair definition}.\n- Commons:illustration/rights {cite:commons-amicable-rods-hyacinth description-rights}." } ], "frontmatter": { "id": "invention/farisi-amicable-factorization", "lang": "en", "source_lang": "ar", "translators": [ "Copilot SDK in VS Code" ], "status": { "review": "published" }, "provenance": { "generated_by": "Copilot SDK in VS Code", "model": "unknown", "run": "inventions-p3-b84", "source": "Arabic museum article translated; actual MacTutor/TDV/selected MathWorld/image rights. Modern arithmetic not original proof; no Rashed1982/full Hogendijk reading." } }, "updated": "2026-11-06" }, "ur": { "sections": [ { "heading": "خلاصہ", "markdown": "ایک عدد کے خاص مقسوم علیہ جمع ہوں تو دوسرا عدد آئے، اور دوسرے کے مقسوم علیہ پہلے کو واپس دیں۔ دو مختلف اعداد کا ایسا جوڑا متحاب کہلاتا ہے، مثلاً220 اور284۔ [[person/kamal-al-din-al-farisi|کمال الدین فارسی]] نے یہ مثال یا ثابت بن قرہ کا قدیم قاعدہ ایجاد نہیں کیا؛ یہاں ان کی خدمت عوامل اور ترکیبی انتخاب سے اس کے اثبات کا نیا طریقہ ہے، جیسا میک ٹیوٹر بیان کرتا ہے {cite:weisstein-amicable-pair definition} {cite:farisi-mactutor number-theory}۔\n\n[[work/farisi-tadhkirat-al-ahbab|تذکرۃ الاحباب فی بیان التحاب]] ان کے [[invention/farisi-water-sphere-rainbow|قوس قزح کے نمونے]] سے الگ کام ہے۔ یہ اندراج نہ ہر تحلیل کی مطلق اولیت دیتا ہے، نہ منفرد تحلیل کے پہلے مکمل ثبوت کا فیصلہ۔ میک ٹیوٹر راشد کی تعبیر منسوب کرتا اور برہان کی حیثیت پر علمی اختلاف بھی رکھتا ہے {cite:farisi-mactutor factorization} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}۔" }, { "heading": "یہ کیا ہے", "markdown": "یہاں مقسوم علیہ مثبت صحیح عدد ہیں جو بلا باقی تقسیم کریں۔ تحاب جانچتے وقت خود عدد نکالا جاتا ہے۔ جدید توضیح میںsigma میں خود عدد شامل،s میں خارج ہے: s(N)=sigma(N)−N۔ دونوں مجموعے ملانے سے سوال بدلتا ہے۔ یہ جدید علامتیں ہیں، کسی دیکھے ہوئے مخطوطے کی تحریر نہیں {cite:weisstein-amicable-pair definition-and-equations}۔\n\nعدد مثبت، مختلف اور دونوں سمتوں میں درست ہونے چاہییں۔6 کے خاص مقسوم علیہ1،2،3 جمع ہو کر6 بنتے ہیں؛ وہ تام عدد ہے، ہمارے تعریف کے مطابق اپنے ساتھ متحاب جوڑا نہیں۔ یک طرفہ سفر بھی کافی نہیں: دوسرے عدد سے واپسی پہلے عدد تک ہونی ضروری ہے۔" }, { "heading": "اس سے پہلے کی دنیا", "markdown": "میک ٹیوٹر قاعدہ پہلے ثابت بن قرہ کو دیتا، پھر فارسی کے نئے اثبات پر آتا ہے۔ پیش رو کا نام محفوظ ہے؛ بعد کے رسالے میں ہر چیز مصنف کی الگ ایجاد نہیں بن جاتی۔ سائنسی پیش رو کا ذکر انہیں ماحول سے قیاس کر کے اس سلسلے کا نیا مسلم موجد گننا بھی نہیں {cite:farisi-mactutor inherited-rule}۔\n\nمیک ٹیوٹر ہوگنڈائک کا یہ استدلال بھی نقل کرتا ہے کہ ثابت شاید17296 اور18416 کو جانتے تھے۔ ہم اسے نئی قطعی اولیت نہیں بناتے، نہ معروف یورپی نام ساتھ آنے سے کسی متاخر کو پہلی دریافت دیتے ہیں۔ رائج نام، محفوظ اثبات اور پہلی دریافت الگ تاریخی سوال ہیں {cite:farisi-mactutor large-pair-history}۔" }, { "heading": "کہانی", "markdown": "جامعاتی سوانح بتاتی ہے کہ حسابی کام راشد کی پرانی سائنسی سوانح والی مقالی بحث کے بعد کے مطالعات میں نمایاں ہوا، جبکہ پرانی تحریر بصریات پر تھی۔ پہلے تعارف میں ذکر نہ ہونا مصنف کے ہاں موضوع نہ ہونے کا ثبوت نہیں۔ ٹی ڈی وی تحاب کا رسالہ الگ عنوان کے ساتھ تصانیف میں درج کرتا ہے {cite:farisi-mactutor introduction} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}۔\n\nیہاں تصنیف کی قطعی تاریخ یا مکالمے کا کوئی منظر ثابت نہیں۔ تیرھویں صدی کے اواخر اور چودھویں کے اوائل کا افق مصنف سے نسبت ہے، ایجاد کا دن یا گھڑی ہوئی ہجری تبدیلی نہیں۔ تبریز سوانحی ماحول ہے، اصل نسخے سے ثابت تحریر کا خاص کمرہ نہیں {cite:farisi-mactutor biography} {cite:tdv-farisi-bozhuyuk biography}۔" }, { "heading": "بنانے والے", "markdown": "فارسی کی فردی مسلم بنیاد میک ٹیوٹر کی صریح شناخت سے محفوظ اور سنی فریم الگ واضح ہے۔ فارسی نام یا استاد ذاتی مسلک ثابت نہیں کرتا۔ پہلے کی بصری خدمت برقرار ہے: ایک عالم روشنی اور اعداد دونوں پر کام کرے تو دونوں سوال ایک نہیں بن جاتے {cite:farisi-mactutor summary-and-biography}۔\n\nٹی ڈی وی نام اور تاریخ میں میک ٹیوٹر سے مختلف ہے: حسن بن علی بن حسن،1267 کی پیدائش اور1319 کی وفات طالب علم کے منقول اختتامی نوٹ سے، بجائے محمد اور تقریباً1260/1320 کے۔ اختلاف منسوب ہے، نیا شخص یا اصل نسخے کا تقابل نہیں گھڑا جاتا۔ پہلے کے خانے اپنے سابق ماخذ کی نسبت رکھتے اور قاری نئی روایت بھی دیکھ سکتا ہے {cite:tdv-farisi-bozhuyuk opening} {cite:farisi-mactutor quick-info}۔" }, { "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے", "markdown": "جدید مثال220=2²×5×11 لیں۔ ہر مقسوم علیہ میں2 کی قوت0 سے2 اور5 و11 کی قوت0 سے1 منتخب ہوتی ہے۔3×2×2=12 الگ انتخاب ہیں جن میں220 خود بھی ہے۔ انتخاب کی تنظیم کوئی مقسوم علیہ بھولنے یا دوبارہ گننے سے بچاتی ہے؛ یہ عوامل کی ساخت کی جدید تشریح ہے {cite:farisi-mactutor factorization}۔\n\nپورا مجموعہ(1+2+4)(1+5)(1+11)=7×6×12=504 ہے۔220 نکالیں تو284۔ دوسری طرف284=2²×71، پورا مجموعہ7×72=504، پھر504−284=220۔ براہ راست فہرست دونوں حساب الگ جانچ سکتی ہے۔ یہ جدید آزاد تصدیق ہے، قدیم اثبات کا اقتباس نہیں {cite:weisstein-amicable-pair divisors220284}۔\n\nثابت کے قاعدے کی جدید علامتیں n≥2 لے کرp=3×2^(n−1)−1،q=3×2^n−1،r=9×2^(2n−1)−1 بناتی ہیں۔ **تینوں اولی ہوں** توA=2^n×p×q اورB=2^n×r متحاب ہیں۔ اولیت قاعدے کا حصہ ہے، اختیاری سجاوٹ نہیں۔ یہ کافی شرط ایک خاندان بناتی ہے، ہر ممکن متحاب جوڑے کی فہرست نہیں {cite:farisi-mactutor inherited-rule}۔\n\nn=4 پر اولی اعداد23،47،1151 ہیں، پھرA=17296 اورB=18416۔ دونوں کا پورا مجموعہ35712 ہے: پہلے کے لیے31×24×48، دوسرے کے لیے31×1152۔ ہر عدد نکالنے پر دوسرا آتا ہے۔ میک ٹیوٹر فارسی کے1151 کی اولیت ثابت کرنے کے تمہیدی نتائج اور چھلنی کے استعمال کا ذکر کرتا ہے؛ ہمارا حساب ان کی اصل تمہیدوں کی ترتیب نہیں دہراتا {cite:farisi-mactutor example-n4}۔\n\nمخالف مثال شرطیں واضح کرتی ہے۔n=3 پرr=287=7×41 مرکب ہے۔ فارمولے2024 اور2296 دیتے اورs(2024)=2296 ہے، مگرs(2296)=2744،2024 نہیں۔287 کو اولی مان کر مجموعے میں1+287 لگانا غلط ہے؛ درست حصہ(1+7)(1+41) ہے۔ یہ آزاد جدید حساب بتاتا ہے کہ مفروضے اور واپس آنے والی سمت دونوں کیوں ضروری ہیں۔\n\nعام ساخت دیکھنے کے لیےt=2^n رکھیں۔ اولیت کی شرطوں پرsigma(A)=sigma(B)=(2t−1)×9t²/2، اور الجبرائی توسیع سےA+B بھی یہی مقدار ہے۔ لہٰذاA نکالنے پرB اور الٹ سمت میںA ملتا ہے۔ محض شامل خود مجموعوں کی برابری کافی نہیں، ان کاA+B ہونا بھی چاہیے۔ یہ مشروط جدید تشریح ہے، رسالے کی نقل نہیں۔\n\nn≥2 کی حد فرض کردہ اولی عوامل کو طاق اور2 سے الگ رکھتی ہے، اس لیے انتخاب آزاد ہیں۔n=1 پر20 اور34 آتے ہیں، جو متحاب نہیں۔ ابتدائی حد گرا کر ناکامی قاعدے پر ڈالنا درست جانچ نہیں؛ اس صورت میں قاری نے فارمولا اس کے معلن دائرے سے باہر لگایا ہے۔" }, { "heading": "پھیلاؤ", "markdown": "میک ٹیوٹر بڑے جوڑے کی واقفیت متاخر یورپی ناموں سے پہلے بتاتا مگر پہلی دریافت تحقیق کے لیے کھلی رکھتا ہے۔ میتھ ورلڈ دوبارہ دریافت اور بعد کے قواعد بیان کرتا ہے، فارسی سے ہر مصنف تک ہماری ثابت کردہ نسخی زنجیر نہیں۔ ایک جیسے عدد اکیلے براہ راست متنی راستہ ثابت نہیں کرتے {cite:farisi-mactutor large-pair-history} {cite:weisstein-amicable-pair history}۔\n\nجدید طباعت خود تاریخی درسگاہوں میں رواج کا ثبوت نہیں۔ ٹی ڈی وی راشد کی1982 کی اشاعت اور تحقیق درج کرتا؛ پوری اشاعت یہاں نہیں پڑھی۔ رسالے اور بحث کی خبر پڑھے ہوئے ماخذ سے ہے، قصے کی خالی جگہ بھرنے کے لیے فرضی نسخے کا سفر یا تدریسی ملاقات نہیں {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5}۔" }, { "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی", "markdown": "تشریح کے اجزا اولی قوتیں، مقسوم علیہ اور قوتوں کا انتخاب ہیں۔ ایک دوسرے سے مشترک عامل رکھنے والوں پر وہی ضربی فارمولا نہیں لگا سکتے:24=4×6 سے4 اور6 کے مقسوم علیہ کے مجموعے ضرب دینا جائز نہیں، کیونکہ2 مشترک ہے۔ ہم جدید وضاحت میں پہلے مختلف اولی قوتیں جدا کرتے، پھر آزاد انتخاب منظم کرتے ہیں۔\n\nمیک ٹیوٹر راشد کو اولی قوتوں میں منفرد تحلیل اور اس کے اثبات کی کوشش والی تعبیر منسوب کرتا، پھر «ثابت کیا یا کوشش کی» کی بحث بھی رکھتا ہے۔ یہ حد اہم ہے۔ دو درست مثالیں عام قضیہ ثابت نہیں کرتیں، اور چھوٹے عدد کے عوامل گننا ہر عدد کی تحلیل کی وحدانیت کا ثبوت نہیں {cite:farisi-mactutor factorization-debate}۔" }, { "heading": "اس پر کیا بنایا گیا", "markdown": "طالب علم مقسوم علیہ کی واقعی فہرست کو اولی قوتوں کے مجموعے کی ضرب سے ملا کر تکمیل اور عدم تکرار دیکھ سکتا ہے۔ عجائب گھر کی جانچ کئی اعداد کے لیے الگ طریقوں سے ہوتی، ایک موافق نتیجے تک محدود نہیں۔ یہ موجودہ تشریح کی جانچ ہے، رسالے کے کھوئے صفحے کی بازیافت نہیں۔\n\nدرست قاعدہ بھی ہر جوڑا نہیں بناتا۔1184 اور1210 متحاب ہیں، مگر1210 چار سے تقسیم نہیں ہوتا، جبکہ ثابت کے اس خاندان کے دونوں عدد چار کے مضرب ہیں کیونکہn≥2۔ لہٰذا یہ جوڑا اس فارمولے سے نہیں آتا۔ کافی شرط مثالیں پیدا کرتی ہے، ہر تحاب کی لازمی شرط نہیں بنتی {cite:weisstein-amicable-pair pair-list} {cite:farisi-mactutor inherited-rule}۔" }, { "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر", "markdown": "پڑھے ذرائع حساب اور نظریۂ اعداد بتاتے، بازار کی ناپی ہوئی منفعت نہیں۔ تحاب کا نام اعداد کو تعویذ، علاج یا انسانی تعلق کی ضمانت نہیں بناتا۔ موضوع مقسوم علیہ کا متعین تعلق ہے، غیر معمولی تاثیر کا ثبوت یا کسی نہ جانچے عقیدے کی توثیق نہیں {cite:weisstein-amicable-pair definition}۔\n\nتدریسی قدر یہ ہے کہ الگ شرطیں نظر آتی ہیں: ایک سمت ناکافی، شامل خود مجموعہ خاص مقسوم علیہ کے مجموعے سے مختلف، اور مرکب عامل اولی نہیں۔ قاری چھوٹے جوڑے پر یہ فرق خود جانچ کر بڑے اعداد کی طرف جا سکتا ہے، بغیر اس دعوے کے کہ ہماری مشق کوئی محفوظ تاریخی سبق ہے۔" }, { "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا", "markdown": "میک ٹیوٹر فارسی کے کام کو ثابت کے اثبات کی معمولی ترمیم سے بڑھ کر، عوامل اور ترکیبی خیالات کا نیا طریقہ بتاتا ہے۔ اس کی قدر کے لیے قدیم قاعدے کے مصنف کو مٹانا یا ہر جدید عددی زبان فارسی کو دینا ضروری نہیں۔ منسوب خدمت ایک خاص رسالے کا متعین طریقہ ہے {cite:farisi-mactutor new-approach}۔\n\nیہ آبی کرہ کے تجربے سے آزاد ہے: ایک میں مقسوم علیہ، اولیت اور عددی اثبات، دوسرے میں روشنی کے راستے ہیں۔ ایک ہی بصری نظریے کی نئی مثال کو گنتی بڑھانے کے لیے نام نہیں دیا گیا۔ سوانح خود مصنف کی ان دو بڑی خدمات میں فرق کرتی ہے {cite:farisi-mactutor introduction-and-number-theory}۔" }, { "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟", "markdown": "**واضح سنی فریم:** فردی مسلم بنیاد محفوظ، نام سے نکالا ہوا ذاتی مسلکی سرٹیفکیٹ نہیں۔ **علمی مطالعہ:** ثابت کا قاعدہ فارسی کے نئے طریقے سے پہلے ہے؛ راشد کی منفرد تحلیل کے برہان کی تعبیر مختلف فیہ ہے۔ عجائب گھر اولین مکمل ثبوت یا بڑے جوڑے کی پہلی دریافت کا حتمی فیصلہ نہیں دیتا {cite:farisi-mactutor summary-and-factorization}۔\n\nماخذ ثابت کی پہلے واقفیت کے لیے ہوگنڈائک کا استدلال نقل کرتا ہے۔ ان کا پورا مقالہ یہاں نہیں پڑھا: مصنف کا اشاعتی اشاریہ اسے شناخت کرتا ہے مگر ناشر کے عام براؤزر پر انسانی تصدیق آ گئی۔ دلیل میک ٹیوٹر سے منقول رہتی ہے، رکاوٹ کو مکمل قرأت بنا کر پیش نہیں کیا جاتا {cite:farisi-mactutor large-pair-history}۔" }, { "heading": "آج", "markdown": "دو مختلفA,B کو خود پر لوٹنے والے تام عدد سے الگ کرتے ہیں۔ جدید «دوستانہ» کے مختلف تعریف والے دوسرے استعمال بھی الگ ہیں؛ یہاں خود عدد نکال کر مثبت مقسوم علیہ کا مجموعہ معیار ہے۔ خوش نما نام جدولوں کے موازنے سے پہلے تعریف لکھنے کی ضرورت ختم نہیں کرتا {cite:weisstein-amicable-pair definition-and-terminology}۔\n\nرنگین سلاخوں کے سیاقی خاکے میں284 اوپر اور220 نیچے، عوامل کی قطاریں اور خاص مقسوم علیہ کے مجموعے ہیں۔ یہ ہایاسنتھ کی جدید تصویر ہے، فارسی کی سلاخیں یا تذکرے کا صفحہ نہیں۔ یہ چھوٹی مثال دکھاتی، عام اثبات کا ہر قدم یا17296/18416 کا جوڑا نہیں {cite:commons-amicable-rods-hyacinth current-image}۔" }, { "heading": "باقی ماندہ شواہد", "markdown": "میک ٹیوٹر، ٹی ڈی وی اور منتخب جدید تعریفیں و مثالیں پڑھی گئیں، عربی اصل، راشد کی1982 کی اشاعت یا پوری کتابیات نہیں۔ ٹی ڈی وی رسالے کا عنوان بتاتا مگر مخطوطہ یہاں نہیں دیکھا گیا۔ حسابی تعارف پڑھی علمی توضیح پر ہے، نئی تنقیدی اشاعت نہیں {cite:tdv-farisi-bozhuyuk work5} {cite:farisi-mactutor number-theory}۔\n\nتصویر28اپریل2016 بنائی گئی؛29اپریل کے سجل میں موجودہ موٹے اعداد والی ترمیم ہے۔CC BY-SA4.0 کے تحت اصلPNG بلا تبدیلی لیا گیا۔ تصویر اور واقعی حقوق دونوں دیکھے گئے۔ دوسرے فایل کا اجازت نامہ یہاں نہیں منتقل، نہ اسے مصنف کے زمانے کا اثر کہا جاتا ہے {cite:commons-amicable-rods-hyacinth description-rights}۔" }, { "heading": "ثقافت میں", "markdown": "عنوان کے «احباب» ایک ایسے تعلق کی طرف توجہ دلاتے ہیں جسے عددوں میں جانچا جا سکتا ہے۔ اعداد کو دوست کہنا لفظی تشبیہ ہے، ان کے رویے کا مشینی سبب یا غیبی توجیہ نہیں۔ معلن تعریف میں خاص مقسوم علیہ کا مجموعہ بس دونوں سمتوں میں ساتھی کو واپس دے {cite:weisstein-amicable-pair definition}۔\n\nحدود عجائب گھر کی کہانی کا حصہ ہیں: پہلے کا پیش رو، اثبات کو آگے بڑھانے والا مصنف، اور قوت و اولیت پر اختلاف کرنے والے محققین۔ فرضی لمحۂ دریافت یا ہر جدید عواملی طریقہ ایک شخص کی ملکیت بنانے والے لقب کی ضرورت نہیں {cite:farisi-mactutor factorization-and-priority}۔" }, { "heading": "بچوں کے لیے", "markdown": "220 کے خاص مقسوم علیہ لکھیں:1،2،4،5،10،11،20،22،44،55،110۔ جمع کریں تو284۔ واپس1،2،4،71،142 سے220 ملتا ہے۔1 نہ بھولیں اور خود عدد شامل نہ کریں؛ دونوں میں سے کوئی شرط بدلنے سے حساب کا موضوع بدلتا ہے {cite:weisstein-amicable-pair divisors220284}۔\n\nاب6 آزمائیں اور پوچھیں وہ اپنے ساتھ جوڑا کیوں نہیں۔ زیادہ مشکل کے لیے2024/2296 کی ناکام مثال دونوں سمتوں میں جانچیں، پہلے کامیاب حصے پر نہ رکیں۔ یہ جدید حسابی مشقیں ہیں، لفظ بہ لفظ اصل ہدایات یا تاریخی اولیت کا آخری حکم نہیں۔" }, { "heading": "مراجع", "markdown": "- میک ٹیوٹر:طریقہ، قاعدہ، اختلاف {cite:farisi-mactutor number-theory}۔\n- بوزہویوک:تصانیف اور مختلف سوانح {cite:tdv-farisi-bozhuyuk biography-and-work5}۔\n- میتھ ورلڈ:تعریف و مقسوم علیہ {cite:weisstein-amicable-pair definition}۔\n- کامنز:تصویر و حقوق {cite:commons-amicable-rods-hyacinth description-rights}۔" } ], "frontmatter": { "id": "invention/farisi-amicable-factorization", "lang": "ur", "source_lang": "ar", "translators": [ "Copilot SDK in VS Code" ], "status": { "review": "published" }, "provenance": { "generated_by": "Copilot SDK in VS Code", "model": "unknown", "run": "inventions-p3-b84", "source": "Arabic museum article translated; actual MacTutor/TDV/selected MathWorld/current image rights. Modern arithmetic not original proof; no Rashed1982/full Hogendijk reading." } }, "updated": "2026-11-06" } }, "degree": 4, "contemporaries": [], "updated": "2026-11-06", "connections": [ { "to": "person/kamal-al-din-al-farisi", "type": "improved_by", "inverse": true, "derived": true, "role": "improver", "note": "Factorization/combinatorial proof approach to inherited Thabit rule; no absolute first amicable pair or first complete uniqueness-proof verdict.", "sources": [ "source/farisi-mactutor", "source/tdv-farisi-bozhuyuk" ] }, { "to": "work/farisi-tadhkirat-al-ahbab", "type": "described_by", "inverse": true, "derived": true, "sources": [ "source/farisi-mactutor", "source/tdv-farisi-bozhuyuk", "source/weisstein-amicable-pair", "source/commons-amicable-rods-hyacinth" ] } ], "related": [ "invention/farisi-water-sphere-rainbow", "place/khurasan", "person/kamal-al-din-al-farisi", "work/farisi-tadhkirat-al-ahbab" ], "license": { "prose": "CC BY-SA 4.0", "data": "CC0 1.0" } }