{
 "id": "invention/haytham-factorial-remainders",
 "class": "invention",
 "slug": "haytham-factorial-remainders",
 "label": {
  "ar": "بناء ابن الهيثم لجواب مسألة البواقي بالمضروب",
  "en": "Ibn al-Haytham's factorial remainder construction",
  "ur": "باقی کے مسئلے کا ابن الہیثم کا ضربی حاصل سے جواب"
 },
 "summary": {
  "ar": "جواب بالمضروب لشروط بواقي، لا أول مبرهنة بواقي صينية أو برهان عام منقول لمبرهنة ويلسون {cite:haytham-mactutor number-theory}.",
  "en": "A factorial construction for simultaneous remainders, not the first Chinese remainder theorem or a recovered general Wilson proof {cite:haytham-mactutor number-theory}.",
  "ur": "بیک وقت باقیوں کے لیے ضربی تشکیل، پہلا چینی قضیۂ باقی یا برآمد کردہ عمومی برہان ولسن نہیں {cite:haytham-mactutor number-theory}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "egypt-nile",
  "levant-iraq"
 ],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "kind": "alternate",
    "lang": "en",
    "value": "Factorial-plus-one construction for simultaneous remainder constraints"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics"
  ],
  "era": {
   "origins": "middle-period",
   "first_attested": {
    "edtf": "09XX/10XX",
    "calendar": "julian",
    "precision": "century",
    "status": "historical",
    "note": "Late10th/early11th-century author-lifetime horizon, not exact composition/first-use date or invented Hijri.",
    "sources": [
     "source/haytham-mactutor",
     "source/tdv-ibnul-heysem"
    ]
   },
   "status_today": "living"
  },
  "origin": {
   "place": "place/cairo",
   "context": {
    "ar": "سياق المؤلف المصري، لا موضع تأليف المسألة الموثق {cite:tdv-ibnul-heysem biography}.",
    "en": "Author's Egyptian setting, not a verified composition site for the problem {cite:tdv-ibnul-heysem biography}.",
    "ur": "مصنف کا مصری ماحول، مسئلے کا ثابت مقام تصنیف نہیں {cite:tdv-ibnul-heysem biography}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/ibn-al-haytham",
    "role": "improver",
    "note": "Reported particular congruence construction, not first remainder arithmetic, Chinese remainder theorem or factorial notation.",
    "sources": [
     "source/haytham-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "تطبيق خاص للمضروب في حل شروط بواقي متزامنة.",
    "en": "A particular factorial application to simultaneous remainder conditions.",
    "ur": "بیک وقت باقیوں کی شرطوں میں ضربی حاصل کا خاص اطلاق۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "ماكتوتر تنقل طريقة تعطي6!+1=721 وتذكر ثانية لكل الحلول من غير عرض تفاصيلها {cite:haytham-mactutor number-theory}.",
    "en": "MacTutor explains a method giving6!+1=721 and reports a second for all solutions without reproducing it {cite:haytham-mactutor number-theory}.",
    "ur": "میک ٹیوٹر6!+1=721 دینے کا طریقہ، اور تفصیل کے بغیر تمام جوابوں کا دوسرا طریقہ بتاتا ہے {cite:haytham-mactutor number-theory}۔"
   },
   "perspectives": [
    {
     "tradition": "sunni",
     "id": "inherited-individual-frame",
     "summary": {
      "ar": "هوية المؤلف الفردية والإطار السني المعلن محفوظان؛ لا مذهب جديد من صحة حساب {cite:tdv-ibnul-heysem biography}.",
      "en": "Existing individual identity basis and declared Sunni frame retained; no denomination inferred from arithmetic {cite:tdv-ibnul-heysem biography}.",
      "ur": "فردی شناخت و معلن سنی فریم محفوظ، حساب سے نیا مسلک اخذ نہیں {cite:tdv-ibnul-heysem biography}۔"
     },
     "sources": [
      "source/tdv-ibnul-heysem",
      "source/manazir-sabra-1983"
     ]
    },
    {
     "tradition": "academic",
     "id": "bounded-construction-not-priority-verdict",
     "summary": {
      "ar": "استعمال أقدم في حساب ماكتوتر، وتسلسل تسمية أوروبي لاحق في ماثوورلد؛ لا طريق انتقال مباشر أو أصل عربي فحصناه {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}.",
      "en": "Earlier use in MacTutor versus later European naming in MathWorld; no direct transmission route or Arabic original inspected {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}.",
      "ur": "میک ٹیوٹر کا قدیم استعمال اور مَیتھ ورلڈ کی بعد کی یورپی تسمیہ الگ؛ ثابت براہ راست راستہ یا دیکھا عربی اصل نہیں {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}۔"
     },
     "sources": [
      "source/haytham-mactutor",
      "source/weisstein-wilson-theorem"
     ]
    }
   ]
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "تقليد مسائل البواقي ونظرية البواقي الصينية",
     "en": "Remainder-problem tradition and Chinese remainder theorem",
     "ur": "باقی کے مسائل کی روایت اور چینی قضیۂ باقی"
    },
    "note": "Specific construction, not invention of all congruence arithmetic.",
    "sources": [
     "source/haytham-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics"
   ],
   "changed": {
    "ar": "بناء عدد يفي بعدة شروط، مع فصل جواب واحد عن جميع الحلول {cite:haytham-mactutor number-theory}.",
    "en": "Constructed a number meeting several conditions, distinguishing one answer from all solutions {cite:haytham-mactutor number-theory}.",
    "ur": "کئی شرطیں پوری کرنے والا عدد بنانا، ایک جواب اور سب جواب الگ {cite:haytham-mactutor number-theory}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "مثال في إسهام المؤلف العددي، لا قياس أثر تجاري أو أول اختبار عملي للأولية {cite:haytham-mactutor number-theory}.",
    "en": "Part of the author's number theory, not measured commercial impact or the first practical primality test {cite:haytham-mactutor number-theory}.",
    "ur": "مصنف کی نظریۂ اعداد کی مثال، ثابت تجارتی اثر یا پہلا عملی امتحان اولیت نہیں {cite:haytham-mactutor number-theory}۔"
   },
   "significance": 3,
   "why": "Distinct constructive number theory: factorial candidate, simultaneous constraints and bounded attribution. Modern least-positive/family derivation explicitly separate from the unread historical second method."
  },
  "described_in": [],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "درس في البواقي والأولية والفرق بين جواب وكل الأجوبة.",
    "en": "Lesson in remainders, primality and one answer versus all answers.",
    "ur": "باقی، اولیت اور ایک جواب بمقابلہ تمام جوابوں کا سبق۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "لا نسب مثبت إلى كل استعمال برمجي أو تشفيري حديث.",
    "en": "No demonstrated direct ancestry for every modern software or cryptographic use.",
    "ur": "ہر جدید پروگرام یا رمز نگاری استعمال کا ثابت براہ راست نسب نہیں۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/haytham-clock-remainders-context",
   "diagram": "media/diagram-haytham-remainders"
  },
  "kids": {
   "ar": "افحص كل شرط؛ الجواب الصحيح ليس بالضرورة أصغر جواب.",
   "en": "Check every condition; a correct answer need not be the smallest.",
   "ur": "ہر شرط جانچو؛ درست جواب لازماً سب سے چھوٹا جواب نہیں۔"
  },
  "sources": [
   "source/haytham-mactutor",
   "source/weisstein-wilson-theorem",
   "source/tdv-ibnul-heysem",
   "source/commons-clock-group-spindled"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b82",
   "source": "Actual selected MacTutor and MathWorld passages; inspected Commons current image/rights. Existing individual identity retained. Modern301+420j derivation not claimed as recovered original algorithm2; no original Opuscula/full Rashed reading."
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "تعرض ماكتوتر عند [[person/ibn-al-haytham|ابن الهيثم]] مسألة عدد يبقى منه واحد عند قسمته على2 و3 و4 و5 و6، وينقسم على7 بلا باق. وتشرح بناءً يضرب الأعداد ثم يضيف واحداً:6!+1=721. هذه مساهمة عددية معينة، لا اختراع كل حساب للبواقي أو كل مسألة ذات شروط متعددة {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nيستعمل العرض ما يسمى اليوم مبرهنة ويلسون، مع خبر طريقة ثانية تعطي جميع الحلول. لا تسرد ماكتوتر تفاصيل تلك الطريقة. لذلك نفصل الجواب التاريخي المنقول عن اشتقاق المتحف الحديث301+420j، ولا نسمي721 أصغر جواب موجب؛301 أصغر منه ويحقق الشروط نفسها {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem eq1}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "الباقي ما يتبقى بعد أخذ مضاعفات صحيحة من المقسوم عليه. فقولنا إن721 يترك1 عند القسمة على6 يعني721=6×120+1، لا أن خارج القسمة1. تطلب المسألة تلبية عدة شروط معاً؛ العثور على عدد يفي بشرط واحد ليس حلاً مكتمل الفحص {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nوالمضروب ترميز حديث مختصر لضرب الأعداد الصحيحة المتتالية:6!=1×2×3×4×5×6=720. لا تكون علامة التعجب تعجباً أدبياً، ولا علامة نقلناها من أصل ابن الهيثم. تعرض البطاقة العلاقة بلغة واضحة للقارئ اليوم، مع إبقاء أصلها المنقول وطريقة فحصها شيئين يمكن تمييزهما {cite:weisstein-wilson-theorem definition}."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "تصف ماكتوتر السؤال بأنه حالة خاصة مما يسمى نظرية البواقي الصينية. فلا تصح نسبة كل فكرة جمع شروط القسمة إلى ابن الهيثم. موضع هذه البطاقة بناء خاص بالمضروب في تقليد مسائل أوسع؛ وجود سابقة لا يلغي إمكان شرح مساهمة لاحقة، لكنه يمنع دعوى أن العالم بدأ وحده من الصفر {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nكما أن هذا السؤال مختلف من [[invention/ibn-al-haytham-fourth-power-volumes|قياس الحجوم بالقوى الرابعة]] أو [[invention/ibn-al-haytham-circular-reflection|تعيين موضع انعكاس المرآة]]. لا نعيد حساب مساهمة واحدة بأسماء كثيرة: هنا قيود على أعداد صحيحة، لا سطح بصري أو تقسيم حجم. تعدد المجالات في سيرة عالم لا يثبت وحده انتقال طريقة بعينها بين هذه المجالات {cite:haytham-mactutor number-theory}."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "تذكر ماكتوتر مادة Opuscula وتستعمل ترجمة في دراسة راشد، ثم تصف طريقتين. تنقل مضمون البناء الأول وتقول إن الثاني يعالج جميع الحلول من هذا النوع. قرأنا هذا العرض، لا الأصل العربي أو طبعة راشد الكاملة؛ لا ننشئ عنوان رسالة عربي تخميناً، ولا نحول اسم المجموعة الحديث إلى اسم كتاب قديم {cite:haytham-mactutor Opuscula}.\n\nولا نعرف من هذه الفقرة مجلساً أو تاريخاً أو غرفة كتب فيها الحل. يبقى أفق حياة المؤلف في أواخر القرن العاشر وأوائل الحادي عشر تقريبياً، والقاهرة سياقاً لسيرته لا موضع إنشاء مثبتاً لهذه المسألة. لا نجعل تاريخاً لكتاب المناظر تاريخاً تلقائياً لكل فكرة عددية أخرى {cite:haytham-mactutor biography-and-number-theory} {cite:tdv-ibnul-heysem biography}."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "نحتفظ بهوية المؤلف الفردية وأساسها المسجل من افتتاح المناظر وخبر TDV، وبالإطار السني المعلن المستقل من دعوى صحة الحساب. لا نضيف له مذهباً جديداً من عمله في مصر، ولا نستنتج دينه من اسم المنهج. ليست هذه الجلسة إعادة تحقيق لكل نصوص سيرته {cite:manazir-sabra-1983 p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem biography}.\n\nأما اسم ويلسون فهو تسمية حديثة مستعملة لنتيجة حسابية. يسرد ماثوورلد ويلسون ووارينغ ومعرفة لايبنتس السابقة وبرهان لاغرانج؛ وتعرض ماكتوتر استعمالاً أقدم عند ابن الهيثم. نبقي الحسابين التاريخيين ظاهرين من غير اختراع طريق مباشر من نسخة إلى أخرى أو منح أحدهم كل تاريخ المسألة {cite:weisstein-wilson-theorem history} {cite:haytham-mactutor number-theory}."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "لأن كل عدد من2 إلى6 عامل في720، يكون باقي720 عند قسمته على أي منها0، وباقي721 هو1. لكن هذا وحده لا يثبت شرط القسمة على7. هنا تأتي النتيجة المسماة اليوم مبرهنة ويلسون: إذا كانp أولياً، فإن(p−1)!+1 مضاعف له. في المثال721=7×103 {cite:weisstein-wilson-theorem eq1} {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nهذه الأعداد لا تقول إن721 أولي؛ انقسامه على7 وعلى103 يبين العكس. الشرط الأولي يخصp، لا العدد المبني. كذلك لا يجوز استبدال7 بأي عدد مركب: عند4 تكون3!+1=7، وهذا لا ينقسم على4. صحة صيغة في مجال معلوم ليست تصريحاً باستعمالها بعد إسقاط فرضها {cite:weisstein-wilson-theorem definition-and-composite-exception}.\n\nهذا اشتقاق حديث مستقل لجميع الأجوبة الموجبة للمثال، لا استعادة للطريقة الثانية: المضاعف المشترك الأصغر للأعداد2 إلى6 هو60، لذلكN=60k+1. وبما أن60 يبقى منه4 عند قسمته على7، نحتاج4k+1 منقسماً على7؛ فيكونk=5+7j. ينتجN=301+420j.\n\nنأخذj عدداً صحيحاً غير سالب للأجوبة الموجبة. أولها301 ثم721 ثم1141. فمثلاً301=5×60+1=7×43، و721=12×60+1=7×103. ليست قائمة أوائل الأجوبة برهاناً وحدها على الاكتمال؛ يأتي الاكتمال هنا من تحويل الشروط إلىN=60k+1 وحل شرط7، لا من توقف البحث عند عدد أعجبنا.\n\nوتفسر الزيادة420 تكرار الشروط: فهي منقسمة على60 وعلى7، فلا تغير أياً من البواقي المطلوبة. أما إضافة7 إلى721 فتعطي728، عدداً يظل منقسماً على7 لكنه لا يترك1 عند القسمة على6؛ يبقى منه2. وإضافة60 تحفظ الشروط الأولى، لا شرط7 تلقائياً. لذلك ليست كل زيادة تنتج جواباً آخر. هذا فحص لمعنى الفترة المشتركة في الحل الحديث، لا خبر عن قائمة أعداد وجدناها في المخطوط، ولا برهان على أن صياغتنا هي صياغة المؤلف المفقودة من العرض الثانوي. يحمي التفصيل الفرق بين المحافظة على شرط واحد والمحافظة على نظام الشروط كله."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "المصادر المقروءة هنا لا تقدم خريطة نسخ تصل مباشرة من المؤلف إلى ويلسون. اسم حديث ونتيجة أقدم لا يكفيان لإثبات نقل مخطوط أو اقتباس أو ترجمة. ننسب الأخبار لأصحابها ونترك صلة انتقال غير موثقة بلا سهم مؤكد في الرسم {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}.\n\nكما أن خبر الطريقة الثانية ليس خبراً عن اعتمادها في كل مدرسة أو سوق. لا نحول إمكان استخدام مسألة إلى إحصاء تداول تاريخي. وما يشهده القارئ اليوم من شروح حديثة هو تلقي تعليمي معاصر؛ يحتاج ربطه بدورة تدريس قديمة إلى دليل إضافي لم توفره الفقرات المقروءة."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "الركيزة المباشرة ضرب الأعداد وإضافة واحد، مع شرط مخصوص للمقسوم عليه الأخير. لو حذفنا الشرط الأخير لبقيت أجوبة من صورة60k+1، لا عدد واحد. وجود عوامل مكررة في720 يجعله مضاعفاً صالحاً، لكنه ليس أصغر مضاعف مشترك؛ حاصل ضرب كل الأعداد ليس دائماً أكثر الطرق اختصاراً {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nونستخدم المضاعف الأصغر60 في الشرح الحديث لأنه يجمع الشروط2 إلى6 في عبارة واحدة. لا تكون تلك المقسومات أولية اثنين اثنين:2 و4 و6 بينها قواسم مشتركة. لذلك لا نطبق صيغة لحالة المقسومات المتباينة صامتين؛ نحدد طبيعة المثال قبل استعمال أي اسم عام لنظرية البواقي."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "يتيح ماثوورلد اليوم صياغة المبرهنة شرطاً لازماً وكافياً للأولية عندp>1. لكن عرضنا للحساب الحديث ليس إعلاناً أننا وجدنا برهان الشرطين كاملاً في أصل ابن الهيثم. استعمال نتيجة، وإثباتها، وتقديم اختبار عملي سريع بها دعاوى مختلفة لا تندمج من تلقاء نفسها {cite:weisstein-wilson-theorem definition} {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nويمكن حساب حاصل الضرب خطوة بخطوة مع الاحتفاظ بالباقي فقط لتجنب كتابة أعداد كبيرة في الدرس. هذه وسيلة حديثة لفحص الأمثلة، لا خوارزمية حاسوبية نسبناها للمؤلف. لا نقيم من الشكل الحسابي وحده سلسلة مباشرة إلى كل استعمال برمجي أو تشفيري معاصر."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "لا تسجل الفقرات المقروءة ساعات وفرها تجار أو عقوداً طبقت هذا المثال. الأثر المدعوم جزء من بحث عددي في تركيب الشروط وإمكان تعدد الحلول. لا نضيف حكاية تجارية كي يبدو الحساب أداة يومية أثرية، ولا ننقص قيمة السؤال لأنه لا يحمل قياس ربح مالي {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nوللقارئ اليوم درس واضح: الجواب الصحيح ليس بالضرورة الأصغر، ولا الواحد هو جميع الأجوبة. قد تعطي طريقة بناء نتيجة كبيرة سهلة التحقق، بينما تعطي إعادة صياغة الشروط وصفاً أوجز للعائلة كلها. هذه مقارنة تعليمية من301 و721، لا شهادة على هدف اقتصادي شخصي لابن الهيثم."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "تجعل المسألة أحد جوانب المؤلف غير البصرية مرئياً: معالجة أعداد لها قيود متزامنة، لا صورة نمطية لعالم لا يعمل إلا في المرآة والعين. لكن شهرة المناظر لا تثبت أولويته في كل موضوع. النسبة هنا إلى بناء عددي خاص، على قدر ما تصفه الفقرة التاريخية {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nكما يميز السؤال بين البناء والفحص والاستيفاء. يمكن بناء721، ثم فحص كل شرط، ثم التساؤل عن وجود أصغر منه وعن جميع الأجوبة. هذه مهام مختلفة، وذكر طريقة ثانية في العرض التاريخي يبين أن القصة لا تقف عند إنتاج العدد الأول. لا نملأ التفاصيل الغائبة ببرهان حديث ثم نخفي صاحبه {cite:haytham-mactutor Opuscula}."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "**الإطار السني المعلن:** أساس هوية ابن الهيثم الفردي محفوظ من السجل، لا من استنتاج عقيدة من الحساب. **القراءة الأكاديمية:** ماكتوتر تصف البناء والاستعمال القديم، وماثوورلد يسرد تسمية المبرهنة وتاريخاً أوروبياً لاحقاً. لا نحكم أن هذا يثبت طريق انتقال مباشر أو أن الاسم الحديث يحصر كل تاريخ الفكرة {cite:tdv-ibnul-heysem biography} {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}.\n\nوصف المساهمة بالتحسين هنا يحمي الحد: ليست أول بواقي صينية أو أول مضروب أو كل حساب التطابقات. لا نزعم قراءة الأصل أو فصل جميع مسائل الأولوية. ما نستطيع عرضه هو بناء معين وحدوده، مع تعريف حديث يساعد القارئ على فحصه."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "في الصورة ساعتان رماديتان مرقمتان0 و3 و6 و9، مع+4h بينهما. ينتقل العقرب من9 إلى1 لأن9+4=13 وباقيه1 بمعيار12. هذا تشبيه حديث للحساب الدوري، لا ساعة لابن الهيثم أو صورة من مخطوطه. والصورة ليست هي مسألة7: معيار12 مركب {cite:commons-clock-group-spindled current-image}.\n\nولا تعني المساواة الدورية أن13=1 بين الأعداد الصحيحة العادية؛ تعني أنهما يتركان الباقي نفسه عند القسمة على12. يختلف التعامل مع بواقي القسمة عن محو الفرق العددي. يفيد الشكل في فهم المصطلح، لا في برهنة كل خاصية أولية يحتاجها بناء المضروب {cite:commons-clock-group-spindled description}."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "قرأنا الفقرات المعينة في ماكتوتر والتعريف والصيغة الأولى والتاريخ في ماثوورلد. لم نقرأ أصل Opuscula أو طبعة راشد كاملة، ولا نعين من هذه التسمية وحدها معرف مخطوط عربي. عدم إنشاء عمل جديد هنا حفظ للأمانة، لا ادعاء أن المؤلف لم يكتب شيئاً في المسألة {cite:haytham-mactutor Opuscula}.\n\nوعوينت صورة كامونز وحقوقها: سبندلد صاحب الرفع الأصلي في19أكتوبر2006، والنسخة الحالية ذات تصحيح محاذاة النص من2008، بترخيصCC BY-SA3.0. ينشر الأصل الحاليSVG بلا تعديل. تاريخ رفع الصورة لا يؤرخ الرياضيات القديمة أو يثبت وجود ساعة أثرية بهذا الشكل {cite:commons-clock-group-spindled description-rights}."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "قد تفضل حكاية الاختراع اسماً واحداً ولقطة انتصار وعدداً نهائياً. لكن المسألة أغنى حين يبقى التمييز بين جواب خاص ووصف عام، وبين اسم المبرهنة وتاريخ استعمالها. هذا ليس حكماً على أصحاب الأسماء، بل طريقة المتحف في إظهار ما تقوله الشواهد وما لا تقوله {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}.\n\nولا يحتاج الشرح رسماً متخيلاً للمؤلف أو مجلساً روائياً. يكفي أن تقرأ الشروط وتعيد فحصها، ثم تلاحظ أن الصورة ذات الساعتين من زمن آخر. المقارنة المعلنة تساعد الفهم من غير تحويل قطعة تعليمية حديثة إلى أثر يوهم بتوثيق لا نملكه."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "اكتب721، واقسمه على2 و3 و4 و5 و6، ثم على7. سجل الباقي لا خارج القسمة وحده. كرر مع301. سيبين الفحص أن العدد الأصغر يحقق الشروط أيضاً؛ لا تتوقف عند أول جواب صحيح أو تسمه أصغر جواب بلا بحث أو دليل.\n\nثم جرب7 الذي نتج من3!+1: هل ينقسم على4؟ لا. اسأل أي شرط اختلف من مثال7 الأولي. وليس المطلوب أن تتصور أن الساعة الحديثة كانت في يد المؤلف؛ إنها تشبيه للباقي فقط. الخبر التاريخي والحساب الذي تجربه اليوم يلتقيان من غير أن يصيرا الشيء نفسه {cite:weisstein-wilson-theorem eq1} {cite:haytham-mactutor number-theory}."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- ماكتوتر:مسألة البواقي والبناء المنقول {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n- ماثوورلد:التعريف والتاريخ وشرط الأولية {cite:weisstein-wilson-theorem eq1-and-history}.\n- TDV:سياق المؤلف، لا موضع إنشاء متحقق {cite:tdv-ibnul-heysem biography}.\n- كامونز:الصورة الحديثة وحقوقها {cite:commons-clock-group-spindled description-rights}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/haytham-factorial-remainders",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b82",
     "source": "Actual selected MacTutor introduction/number theory and MathWorld Wilson definition/history; inspected Commons current image/rights. Modern least-positive/family derivation, not original Opuscula or recovered historical method2."
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "MacTutor presents [[person/ibn-al-haytham|Ibn al-Haytham]] considering a number that leaves remainder1 on division by 2,3,4,5 and 6, but is divisible by 7. It explains a construction multiplying the consecutive integers and adding one:6!+1=721. This is a particular number-theoretic contribution, not the invention of every remainder problem or every set of simultaneous conditions {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nThe account invokes what is now called Wilson's theorem and reports a second method giving all solutions, without reproducing its details. We distinguish that report from the museum's independent modern family 301+420j. Nor is 721 the least positive answer:301 is smaller and meets exactly the same conditions {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem eq1}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "A remainder is what remains after removing a whole number of multiples of the divisor. Saying that 721 leaves1 on division by 6 means 721=6×120+1, not that its quotient is 1. The problem requires several conditions at once. Meeting one condition alone is not a fully checked solution {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nFactorial is our modern shorthand for multiplying successive positive integers:6!=1×2×3×4×5×6=720. The exclamation mark is mathematical notation, not punctuation copied from Ibn al-Haytham's original. We explain the relationship in language accessible today while keeping the reported historical construction separate from our way of checking it {cite:weisstein-wilson-theorem definition}."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "MacTutor calls the problem a special case of the Chinese remainder theorem. It would therefore be wrong to credit Ibn al-Haytham with every idea of combining division conditions. This record identifies a specific factorial construction within a wider problem tradition. Earlier foundations do not erase a later contribution, but they prevent a story of one person starting from nothing {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nThis question also differs from his [[invention/ibn-al-haytham-fourth-power-volumes|fourth-power volume method]] and [[invention/ibn-al-haytham-circular-reflection|circular reflection-point problem]]. We do not count one contribution repeatedly under different names. Here the constraints concern integers, not an optical surface or a volume. Working across subjects does not itself establish a direct transfer of a particular method between them {cite:haytham-mactutor number-theory}."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "MacTutor refers to Opuscula and uses a translation in Rashed's study before describing two methods. It explains the first construction and says the second supplies all solutions of this type. We read that account, not the Arabic original or Rashed's full edition. We invent neither an Arabic treatise title nor an ancient book identity from a modern collection label {cite:haytham-mactutor Opuscula}.\n\nThe passage gives no securely dated teaching session or writing room. The author's late tenth- and early eleventh-century lifetime remains a broad horizon; Cairo is biographical context, not a confirmed composition site for this question. A date associated with the Book of Optics is not automatically a date for every other numerical idea {cite:haytham-mactutor biography-and-number-theory} {cite:tdv-ibnul-heysem biography}."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "The author's existing individual identity basis, drawn from the Optics opening and TDV, is retained alongside the separately declared Sunni frame. We infer no new denomination from his Egyptian employment or a successful calculation. This session is not a fresh critical investigation of every biographical text {cite:manazir-sabra-1983 p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem biography}.\n\nWilson is the modern name attached to the arithmetic result. MathWorld discusses Wilson, Waring, Leibniz's earlier knowledge and Lagrange's proof; MacTutor describes an earlier use by Ibn al-Haytham. Both historical accounts remain visible without inventing a direct manuscript-to-manuscript route or assigning the whole history to one person {cite:weisstein-wilson-theorem history} {cite:haytham-mactutor number-theory}."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "Every integer from 2 through6 is a factor of 720. Division of 720 by any of them leaves0, so division of 721 leaves1. That alone does not establish divisibility by 7. The result now called Wilson's theorem supplies the prime condition: for primep, the number(p−1)!+1 is divisible byp. Here721=7×103 {cite:weisstein-wilson-theorem eq1} {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nThis does not make 721 prime: its factors7 and 103 show the opposite. The prime condition concernsp, not the constructed answer. Nor can7 be replaced silently by an arbitrary composite: for 4, the construction3!+1 gives 7, which is not divisible by 4. A formula valid under a hypothesis cannot be used after that hypothesis is discarded {cite:weisstein-wilson-theorem definition-and-composite-exception}.\n\nHere is an independent modern derivation of all positive answers, not a recovery of the historical second method. The least common multiple of 2 through6 is 60, soN=60k+1. Since 60 leaves remainder4 on division by 7, we need4k+1 divisible by 7. This requiresk=5+7j, givingN=301+420j.\n\nTakej as a nonnegative integer for positive answers. The first are 301,721 and 1141. For example,301=5×60+1=7×43, while 721=12×60+1=7×103. Listing a few answers does not alone prove completeness. Here completeness comes from reducing the conditions toN=60k+1 and solving the remaining condition modulo7, rather than stopping a search at an attractive number.\n\nThe increment 420 explains repetition: it is divisible by 60 and 7, preserving every required remainder. Adding only 7 to 721 gives 728, still divisible by 7 but leaving2 rather than 1 on division by 6. Adding60 preserves the earlier conditions, not automatically the condition for 7. An arbitrary increment therefore does not produce another answer. This checks the common period in our modern solution, not a list found in a manuscript or proof that our formulation reproduces the historical second method. Preserving one constraint differs from preserving the whole system."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "The sources read here provide no manuscript route directly connecting the author with Wilson. A modern name and an older result do not establish copying, translation or citation. Reports remain attributed to their sources, and an undocumented transmission link does not become a confident arrow in a diagram {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}.\n\nReporting a second method also does not establish its adoption in every school or market. A possible application is not a historical circulation statistic. Modern explanations are evidence of present-day teaching; connecting them to a particular old curriculum would require evidence absent from the passages consulted here."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The immediate ingredients are multiplying the integers and adding one, together with a particular condition for the final divisor. Without that final condition, answers of the form60k+1 remain, rather than a unique number. Repeated factors make 720 a suitable common multiple, but not the least common multiple. Multiplying everything is not always the shortest construction {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nWe use60 in the modern explanation because it combines the conditions for divisors2 through6. Those divisors are not pairwise coprime:2,4 and 6 have common factors. We must not silently apply a formula restricted to pairwise-coprime moduli. Identifying the actual structure matters more than invoking the broad theorem's name."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "MathWorld states the modern theorem as a necessary and sufficient primality condition forp>1. That modern explanation is not an announcement that we found both directions fully proved in Ibn al-Haytham's original. Using a result, proving it and designing a fast practical test from it are separate claims {cite:weisstein-wilson-theorem definition} {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nFor teaching, one can multiply step by step while retaining only the current remainder, avoiding enormous written integers. This is a modern way to check examples, not a computer algorithm assigned to the medieval author. Similar arithmetic does not establish a direct lineage to every present software or cryptographic application."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The consulted passages record no merchants' time savings or contracts applying this example. The supported contribution belongs to research on simultaneous numerical conditions and multiple solutions. We invent no commercial anecdote to make the arithmetic an ancient everyday device; a question does not need a measured financial return to deserve explanation {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nToday's reader gains a clear lesson: a correct answer need not be the smallest, and one answer is not every answer. A constructive method can produce a large, easily checked number while reformulating the conditions gives a shorter description of the entire family. That is a lesson from 301 and 721, not evidence of the author's personal economic motive."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "The problem makes the author's non-optical mathematics visible: integers under simultaneous constraints, not only mirrors and eyes. Yet the fame of the Optics does not prove priority in every other subject. Attribution here remains bounded to a particular construction described in the historical account {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n\nIt also separates construction, verification and completeness. One can construct 721, check each condition, then ask for smaller answers and the whole family. Those are different tasks. Reporting a second method shows that the historical account does not stop with producing the first number. We do not fill its missing details with a modern proof and conceal the substitution {cite:haytham-mactutor Opuscula}."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "**Declared Sunni frame:** Ibn al-Haytham's existing individual identity basis is retained, not deduced from arithmetic. **Academic account:** MacTutor describes the earlier construction and use; MathWorld describes the theorem's name and later European history. Neither establishes our own direct transmission route or makes a modern name the limit of the idea's history {cite:tdv-ibnul-heysem biography} {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}.\n\n“Improvement” protects the attribution's boundary: not the first Chinese remainder theorem, first factorial or every congruence calculation. We claim neither original-text reading nor a final ruling on every priority question. What we can show is a particular construction, its limits and a modern statement that helps readers check it."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "The image has two grey clocks labelled0,3,6,9, with+4h between them. The hand moves from 9 to 1:9+4=13, which leaves1 modulo 12. This is a modern analogy for cyclic arithmetic, not Ibn al-Haytham's clock or a manuscript illustration. Nor is it the prime7 problem itself:12 is composite {cite:commons-clock-group-spindled current-image}.\n\nCongruence does not mean 13=1 as ordinary integers. It means that they leave the same remainder on division by 12. Remainder arithmetic is not erasing the difference between numbers. The picture helps explain the vocabulary, not prove every prime-number property needed by the factorial construction {cite:commons-clock-group-spindled description}."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "We read the specified MacTutor passages and MathWorld's definition, first formula and historical paragraph. We did not read the original Opuscula or Rashed's full edition, and do not infer an Arabic manuscript ID from that label. Not creating a new work record here preserves that boundary; it does not assert that the author wrote nothing about the problem {cite:haytham-mactutor Opuscula}.\n\nThe actual Commons image and rights were inspected. Spindled made the original upload on 19October2006; the current version includes a2008 text-alignment correction and carries CC BY-SA3.0. The current original SVG is published unmodified. Upload dates do not date the ancient mathematics or prove a surviving historical clock of this appearance {cite:commons-clock-group-spindled description-rights}."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "An invention story may favour a single name, triumphant scene and final number. This question becomes richer when a particular answer remains distinct from a general description, and a theorem's name from its earlier uses. That is not a judgement against named mathematicians; it is how the museum displays what the evidence does and does not establish {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}.\n\nThe explanation needs neither an imaginary portrait nor a fictional teaching gathering. Read the conditions, check them again, and recognize that the two-clock image belongs to another period. An explicitly declared comparison teaches without making a modern educational asset pretend to document an ancient scene."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Write721 and divide by 2,3,4,5,6, then7. Record remainders, not only quotients. Repeat with 301. The smaller number also meets the conditions. Do not stop at the first correct answer or call it smallest without a search or proof.\n\nNow try7, obtained from 3!+1: is it divisible by 4? No. Ask which hypothesis differs from the original prime7 example. The modern clock was not necessarily in the author's hands; it is only a remainder analogy. Historical evidence and today's arithmetic meet without becoming the same thing {cite:weisstein-wilson-theorem eq1} {cite:haytham-mactutor number-theory}."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- MacTutor: reported remainder problem and construction {cite:haytham-mactutor number-theory}.\n- MathWorld: formula, history and primality condition {cite:weisstein-wilson-theorem eq1-and-history}.\n- TDV: author's setting, not a verified composition site {cite:tdv-ibnul-heysem biography}.\n- Commons: modern image and rights {cite:commons-clock-group-spindled description-rights}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/haytham-factorial-remainders",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b82",
     "source": "Arabic-first prose from actual selected MacTutor/MathWorld passages and inspected Commons current image/rights. Modern least-positive/family derivation, not original Opuscula or recovered historical method2."
    }
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "میک ٹیوٹر [[person/ibn-al-haytham|ابن الہیثم]] کا ایسا عدد تلاش کرنا بیان کرتا ہے جسے2،3،4،5،6 سے تقسیم کرنے پر باقی1 ہو، مگر7 پر پورا تقسیم ہو۔ بیان میں مسلسل اعداد ضرب دے کر ایک جمع کرنے کی تشکیل ہے:6!+1=721۔ یہ ایک خاص عددی حصہ ہے، باقی کے ہر مسئلے یا بیک وقت ہر شرط کی پہلی ایجاد نہیں {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n\nبیان آج ولسن کے قضیے کے نام سے معروف نتیجہ استعمال کرتا ہے، اور تمام جواب دینے والا دوسرا طریقہ بھی بتاتا ہے، مگر اس کی تفصیل نہیں دیتا۔ ہم اس خبر اور عجائب گھر کے آزاد جدید سلسلے301+420j کو الگ رکھتے ہیں۔721 سب سے چھوٹا مثبت جواب بھی نہیں؛301 چھوٹا ہے اور یہی شرطیں پوری کرتا ہے {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem eq1}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "باقی وہ ہے جو مقسوم علیہ کے پورے مضاعفات نکالنے کے بعد بچے۔721 کو6 سے تقسیم کرنے پر1 بچنے کا مطلب721=6×120+1 ہے، خارج قسمت1 ہونا نہیں۔ مسئلہ کئی شرطیں ایک ساتھ مانگتا ہے؛ ایک شرط پوری کرنے والا عدد ابھی مکمل طور پر جانچا ہوا جواب نہیں {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n\nعاملیہ مسلسل مثبت صحیح اعداد کی ضرب کا جدید اختصار ہے:6!=1×2×3×4×5×6=720۔ علامت تعجب یہاں ریاضیاتی علامت ہے، ابن الہیثم کے اصل متن سے نقل شدہ ادبی اظہار نہیں۔ آج کی قابل فہم زبان میں تعلق سمجھاتے ہوئے منقول تاریخی تشکیل اور اپنی جانچ کا فرق باقی رکھتے ہیں {cite:weisstein-wilson-theorem definition}۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "میک ٹیوٹر اسے چینی قضیۂ باقی کی خاص صورت کہتا ہے۔ اس لیے تقسیم کی شرطیں جمع کرنے کی ہر فکر ابن الہیثم کو دینا درست نہیں۔ اس ریکارڈ کا موضوع بڑے مسائل کی روایت میں عاملیے کی ایک خاص تشکیل ہے۔ پرانی بنیاد بعد کے حصے کو بے معنی نہیں کرتی، مگر ایک شخص کے صفر سے سب شروع کرنے کی کہانی روکتی ہے {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n\nیہ سوال [[invention/ibn-al-haytham-fourth-power-volumes|چوتھی قوت سے حجم کے طریقے]] اور [[invention/ibn-al-haytham-circular-reflection|دائروی نقطۂ انعکاس]] سے بھی الگ ہے۔ ایک ہی حصہ کئی ناموں سے دوبارہ نہیں گنتے۔ یہاں صحیح اعداد کی قیدیں ہیں، بصری سطح یا حجمی تقسیم نہیں۔ کئی میدانوں میں کام کرنا خود کسی خاص طریقے کی ان کے درمیان براہ راست منتقلی ثابت نہیں کرتا {cite:haytham-mactutor number-theory}۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "میک ٹیوٹر اوپسکولا کا حوالہ دے کر راشد کی تحقیق کا ترجمہ استعمال کرتا اور دو طریقے بیان کرتا ہے۔ پہلے کی تشکیل واضح کرتا ہے، دوسرے کے متعلق کہتا ہے کہ اس قسم کے تمام جواب دیتا ہے۔ ہم نے وہ بیان پڑھا، عربی اصل یا راشد کی پوری طباعت نہیں۔ قیاس سے عربی رسالے کا عنوان نہیں بناتے، نہ جدید مجموعے کا نام قدیم کتاب کی شناخت قرار دیتے ہیں {cite:haytham-mactutor Opuscula}۔\n\nاس پیراگراف میں ثابت تاریخ والی مجلس یا کمرۂ تصنیف نہیں۔ مصنف کی اواخر دسویں اور اوائل گیارہویں صدی کی زندگی وسیع زمانی افق ہے؛ قاہرہ سوانح کا ماحول ہے، اس سوال کی ثابت جگہ تصنیف نہیں۔ المناظر کی کسی تاریخ کو ہر دوسری عددی فکر کی تاریخ خود بخود نہیں بناتے {cite:haytham-mactutor biography-and-number-theory} {cite:tdv-ibnul-heysem biography}۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "مصنف کی پہلے سے درج فردی شناخت، المناظر کے آغاز اور ٹی ڈی وی کی بنیاد سمیت، الگ معلن سنی فریم کے ساتھ محفوظ ہے۔ مصر کی ملازمت یا درست حساب سے نیا مسلک اخذ نہیں کرتے۔ یہ نشست ان کی سوانح کے ہر متن کی نئی تنقیدی تحقیق نہیں {cite:manazir-sabra-1983 p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem biography}۔\n\nولسن اس حسابی نتیجے سے جڑا جدید نام ہے۔ مَیتھ ورلڈ ولسن، وارنگ، لائبنتس کی پہلے کی معرفت اور لاگرانژ کا برہان بتاتا ہے؛ میک ٹیوٹر ابن الہیثم کا پرانا استعمال۔ دونوں تاریخی بیانات محفوظ ہیں، بغیر نسخے سے نسخے تک فرضی براہ راست راستہ یا پوری تاریخ ایک شخص کو دینے کے {cite:weisstein-wilson-theorem history} {cite:haytham-mactutor number-theory}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "2 سے6 تک ہر صحیح عدد720 کا عامل ہے۔ ان میں سے ہر ایک سے720 کی تقسیم کا باقی0 اور721 کا1 ہے۔ مگر صرف اس سے7 کی شرط ثابت نہیں ہوتی۔ آج ولسن کا قضیہ کہلاتا نتیجہ کہتا ہے: اولیp کے لیے(p−1)!+1،p پر پورا تقسیم ہوتا ہے۔ یہاں721=7×103 {cite:weisstein-wilson-theorem eq1} {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n\nاس کا مطلب721 اولی ہونا نہیں؛ اس کے عامل7 اور103 الٹ دکھاتے ہیں۔ اولیت کی شرطp پر ہے، بنائے ہوئے جواب پر نہیں۔7 کی جگہ خاموشی سے کوئی مرکب نہیں رکھ سکتے:4 کے لیے3!+1 کا جواب7 ہے، جو4 پر پورا تقسیم نہیں ہوتا۔ کسی فرض کے تحت درست صیغہ اس فرض کو ہٹانے کے بعد لازماً درست نہیں {cite:weisstein-wilson-theorem definition-and-composite-exception}۔\n\nیہ تمام مثبت جوابوں کا آزاد جدید اخذ ہے، تاریخی دوسرے طریقے کی بازیافت نہیں۔2 سے6 تک اقل مشترک مضرب60 ہے، اس لیےN=60k+1۔ چونکہ60 کو7 سے تقسیم کرنے پر4 بچتا ہے،4k+1 کا7 پر پورا تقسیم ہونا چاہیے۔ نتیجہk=5+7j اورN=301+420j ہے۔\n\nمثبت جوابوں کے لیےj غیر منفی صحیح عدد لیتے ہیں۔ پہلے جواب301،721،1141 ہیں۔ مثلاً301=5×60+1=7×43 اور721=12×60+1=7×103۔ چند جواب درج کرنا اکیلے تکمیل کا برہان نہیں۔ یہاں تکمیل شرطوں کوN=60k+1 میں بدلنے اور7 کی شرط حل کرنے سے آتی ہے، پسندیدہ عدد پر تلاش روکنے سے نہیں۔\n\n420 کا اضافہ تکرار سمجھاتا ہے: وہ60 اور7 دونوں پر پورا تقسیم ہو کر ہر مطلوب باقی محفوظ رکھتا ہے۔721 میں صرف7 ملانے سے728 آتا ہے، جو7 پر تقسیم تو ہوتا ہے مگر6 سے تقسیم میں1 کے بجائے2 چھوڑتا ہے۔60 ملانا پہلی شرطیں بچاتا ہے،7 کی شرط لازماً نہیں۔ لہٰذا کوئی بھی اضافہ نیا جواب نہیں دیتا۔ یہ ہمارے جدید حل کی مشترک مدت کی جانچ ہے، نسخے سے ملی فہرست یا تاریخی دوسرے طریقے کی عین عبارت ہونے کا برہان نہیں۔ ایک شرط بچانا اور سارا نظام بچانا الگ ہیں۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "یہاں پڑھے ماخذ مصنف سے ولسن تک براہ راست مخطوطے کا راستہ نہیں دیتے۔ جدید نام اور پرانا نتیجہ نقل، ترجمہ یا اقتباس ثابت نہیں کرتے۔ خبریں اپنے ماخذ سے منسوب رہتی ہیں؛ غیر ثابت کڑی خاکے میں یقینی تیر نہیں بن جاتی {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}۔\n\nدوسرے طریقے کی خبر ہر مدرسے یا بازار میں اس کے رائج ہونے کی خبر بھی نہیں۔ ممکن اطلاق تاریخی پھیلاؤ کا عدد نہیں۔ آج کی توضیح معاصر تدریس ہے؛ اسے کسی خاص پرانے نصاب سے جوڑنے کے لیے ایسا مزید ثبوت چاہیے جو یہاں پڑھے پیراگراف نہیں دیتے۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "فوری اجزا اعداد کی ضرب، ایک کا اضافہ اور آخری مقسوم علیہ کی خاص شرط ہیں۔ آخری شرط ہٹا دیں تو60k+1 کے جواب رہتے ہیں، ایک منفرد عدد نہیں۔ بار بار آنے والے عوامل720 کو مناسب مشترک مضرب بناتے ہیں، مگر سب سے چھوٹا نہیں۔ ہر چیز ضرب دینا ہمیشہ مختصر ترین تشکیل نہیں {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n\nجدید توضیح میں60 اس لیے لیتے ہیں کہ2 سے6 کی شرطیں ایک عبارت میں جمع ہو جائیں۔ یہ مقسوم علیہ باہم جوڑا وار غیر مشترک نہیں:2،4،6 میں مشترک عوامل ہیں۔ اس لیے ایسی حالت کا صیغہ خاموشی سے استعمال نہیں کرتے جو صرف باہم غیر مشترک پیمانوں کے لیے ہو۔ اصل مسئلے کی ساخت سمجھنا نظریے کا بڑا نام لینے سے زیادہ ضروری ہے۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "مَیتھ ورلڈ جدید قضیے کوp>1 کے لیے اولیت کی لازم اور کافی شرط بتاتا ہے۔ یہ کہنا نہیں کہ ہمیں ابن الہیثم کے اصل متن میں دونوں سمتوں کا مکمل برہان مل گیا۔ نتیجہ استعمال کرنا، اسے ثابت کرنا اور اس سے تیز عملی امتحان بنانا الگ دعوے ہیں {cite:weisstein-wilson-theorem definition} {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n\nدرس میں ہر قدم ضرب دیتے ہوئے صرف موجودہ باقی محفوظ رکھا جا سکتا ہے، تاکہ بہت بڑے اعداد نہ لکھنے پڑیں۔ یہ مثالیں جانچنے کا جدید طریقہ ہے، قرون وسطیٰ کے مصنف سے منسوب کمپیوٹری طریقہ نہیں۔ مشابہ حساب ہر موجودہ پروگرام یا رمز نگاری اطلاق تک براہ راست نسب ثابت نہیں کرتا۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "پڑھے پیراگراف نہ تاجروں کے بچائے ہوئے وقت، نہ اس مثال پر مبنی معاہدے درج کرتے ہیں۔ ثابت حصہ بیک وقت عددی شرطوں اور متعدد حلوں کی تحقیق ہے۔ اسے قدیم روزمرہ آلہ دکھانے کے لیے تجارتی قصہ نہیں گھڑتے؛ کسی سوال کو بیان کے لائق ہونے کے لیے مالی فائدے کا پیمانہ ضروری نہیں {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n\nآج کے قاری کے لیے صاف سبق ہے: درست جواب لازماً چھوٹا ترین نہیں، اور ایک جواب سب جواب نہیں۔ تشکیل کا طریقہ بڑا مگر آسانی سے قابل جانچ عدد دے سکتا ہے، جبکہ شرطیں دوبارہ لکھنا پوری جماعت کا مختصر بیان دے۔ یہ301 اور721 سے تدریسی سبق ہے، مصنف کے ذاتی معاشی مقصد کی شہادت نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "مسئلہ مصنف کی غیر بصری ریاضی بھی دکھاتا ہے: بیک وقت قیدوں والے صحیح اعداد، صرف آئینے اور آنکھیں نہیں۔ مگر المناظر کی شہرت ہر دوسرے میدان میں اولیت ثابت نہیں کرتی۔ نسبت اسی خاص تشکیل تک محدود ہے جسے تاریخی بیان پیش کرتا ہے {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n\nیہ تشکیل، تصدیق اور تکمیل الگ بھی کرتی ہے۔721 بنایا جا سکتا ہے، ہر شرط جانچی جا سکتی ہے، پھر چھوٹے جواب اور پوری جماعت پوچھی جا سکتی ہے۔ یہ الگ کام ہیں۔ دوسرے طریقے کا ذکر بتاتا ہے کہ تاریخی قصہ پہلا عدد پیدا کرنے پر نہیں رکتا۔ غائب تفصیل کو جدید برہان سے بھر کر اس بدلاؤ کو چھپاتے نہیں {cite:haytham-mactutor Opuscula}۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "**معلن سنی فریم:** ابن الہیثم کی موجود فردی شناخت کی بنیاد محفوظ ہے، حساب سے اخذ نہیں۔ **علمی بیان:** میک ٹیوٹر پرانی تشکیل اور استعمال، مَیتھ ورلڈ قضیے کا نام اور بعد کی یورپی تاریخ بتاتا ہے۔ دونوں سے ہمارا براہ راست راستۂ انتقال ثابت نہیں، نہ جدید نام پوری فکر کی تاریخ کی حد بن جاتا ہے {cite:tdv-ibnul-heysem biography} {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}۔\n\nیہاں «بہتری» نسبت کی حد محفوظ کرتی ہے: پہلا چینی قضیۂ باقی، پہلا عاملیہ یا ہر تطابقی حساب نہیں۔ اصل متن پڑھنے یا اولیت کے ہر سوال کا آخری فیصلہ کرنے کا دعویٰ نہیں۔ ہم خاص تشکیل، حدود اور قاری کو جانچ میں مدد دینے والا جدید بیان پیش کرتے ہیں۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "تصویر میں دو سرمئی گھڑیاں0،3،6،9 کے لیبل اور درمیان+4h کے ساتھ ہیں۔ سوئی9 سے1 پر آتی ہے:9+4=13، جس کا12 کے پیمانے پر باقی1 ہے۔ یہ دوری حساب کی جدید تشبیہ ہے، ابن الہیثم کی گھڑی یا مخطوطے کی تصویر نہیں۔ نہ یہ خود اولی7 کا مسئلہ ہے:12 مرکب ہے {cite:commons-clock-group-spindled current-image}۔\n\nتطابق کا مطلب عام صحیح اعداد میں13=1 نہیں۔ مطلب یہ ہے کہ12 سے تقسیم میں دونوں کا باقی یکساں ہے۔ باقیوں کا حساب عددی فرق مٹانا نہیں۔ تصویر لفظ سمجھاتی ہے، عاملیے کی تشکیل کے لیے ہر اولی عددی خاصیت ثابت نہیں کرتی {cite:commons-clock-group-spindled description}۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "میک ٹیوٹر کے متعین پیراگراف اور مَیتھ ورلڈ کی تعریف، پہلا صیغہ اور تاریخی پیراگراف پڑھے۔ اصل اوپسکولا یا راشد کی پوری طباعت نہیں پڑھی، نہ اسی نام سے عربی مخطوطے کی شناخت نکالتے ہیں۔ نیا کام درج نہ کرنا اسی حد کی حفاظت ہے، یہ کہنا نہیں کہ مصنف نے مسئلے پر کچھ لکھا ہی نہیں {cite:haytham-mactutor Opuscula}۔\n\nکامنز کی اصل تصویر اور حقوق دیکھے گئے۔ سپنڈلڈ نے19 اکتوبر2006 کو اصل اپ لوڈ کیا؛ موجودہ صورت میں2008 کی عبارت کی سیدھ کی اصلاح ہے،CC BY-SA3.0 کے تحت۔ موجودہ اصلSVG بلا تبدیلی شائع ہوتا ہے۔ اپ لوڈ کی تاریخ قدیم ریاضی یا اسی صورت کی تاریخی گھڑی کا ثبوت نہیں {cite:commons-clock-group-spindled description-rights}۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "ایجاد کی کہانی ایک نام، کامیابی کا منظر اور آخری عدد پسند کر سکتی ہے۔ مگر خاص جواب اور عمومی بیان، اور قضیے کے نام اور پرانے استعمال میں فرق رہے تو سوال زیادہ بھرپور ہے۔ یہ نام زد ریاضی دانوں کے خلاف فیصلہ نہیں؛ عجائب گھر کا شواہد کی صلاحیت اور حد دکھانے کا طریقہ ہے {cite:haytham-mactutor number-theory} {cite:weisstein-wilson-theorem history}۔\n\nتوضیح کو نہ خیالی تصویر، نہ افسانوی تدریسی مجلس چاہیے۔ شرطیں پڑھیں، دوبارہ جانچیں، اور پہچانیں کہ دو گھڑیوں کی تصویر دوسرے زمانے کی ہے۔ معلن تقابل جدید تدریسی اثاثے کو قدیم منظر کا ثبوت بنائے بغیر سکھاتا ہے۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "721 لکھ کر2،3،4،5،6 اور پھر7 سے تقسیم کرو۔ صرف خارج قسمت نہیں، باقی درج کرو۔301 کے ساتھ دہراؤ۔ چھوٹا عدد بھی شرطیں پوری کرتا ہے۔ پہلے درست جواب پر نہ رکو، نہ تلاش یا دلیل کے بغیر اسے چھوٹا ترین کہو۔\n\nاب3!+1 سے ملا7 آزماؤ: کیا4 پر پورا تقسیم ہوتا ہے؟ نہیں۔ پوچھو کہ اصل اولی7 کی مثال سے کون سا فرض بدل گیا۔ جدید گھڑی مصنف کے ہاتھ میں ہونا ضروری نہیں، وہ باقی کی تشبیہ ہے۔ تاریخی شہادت اور آج کا حساب ملتے ہیں، ایک چیز نہیں بن جاتے {cite:weisstein-wilson-theorem eq1} {cite:haytham-mactutor number-theory}۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- میک ٹیوٹر: منقول باقی کا مسئلہ اور تشکیل {cite:haytham-mactutor number-theory}۔\n- مَیتھ ورلڈ: صیغہ، تاریخ اور شرط اولیت {cite:weisstein-wilson-theorem eq1-and-history}۔\n- ٹی ڈی وی: مصنف کا ماحول، ثابت مقام تصنیف نہیں {cite:tdv-ibnul-heysem biography}۔\n- کامنز: جدید تصویر اور حقوق {cite:commons-clock-group-spindled description-rights}۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/haytham-factorial-remainders",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b82",
     "source": "Arabic-first prose from actual selected MacTutor/MathWorld passages and inspected Commons current image/rights. Modern least-positive/family derivation, not original Opuscula or recovered historical method2."
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  }
 },
 "degree": 2,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-06",
 "connections": [
  {
   "to": "person/ibn-al-haytham",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Specific factorial remainder construction, not first congruences/Chinese remainder theorem or recovered historical algorithm2.721 is not the least positive answer.",
   "sources": [
    "source/haytham-mactutor",
    "source/weisstein-wilson-theorem"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "event/ibn-al-haytham-summoned-to-cairo",
  "event/kitab-al-manazir-composed",
  "invention/camera-obscura",
  "invention/haytham-incoming-light-vision",
  "invention/ibn-al-haytham-circular-reflection",
  "invention/ibn-al-haytham-fourth-power-volumes",
  "place/basra",
  "place/cairo"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}