{
 "id": "invention/ibn-al-haytham-fourth-power-volumes",
 "class": "invention",
 "slug": "ibn-al-haytham-fourth-power-volumes",
 "label": {
  "ar": "طريقة ابن الهيثم بالقوى الرابعة لقياس الحجوم",
  "en": "Ibn al-Haytham's fourth-power volume method",
  "ur": "ابن الہیثم کا چوتھی قوت سے حجم کا طریقہ"
 },
 "summary": {
  "ar": "مجاميع قوى رابعة واستنفاد لحجم مجسم ذي محور دوران عمودي على محور القطع؛ نسبته8/15 لا نصف الأسطوانة المحورية الأقدم {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}.",
  "en": "Fourth-power sums/exhaustion for a solid rotated about an axis perpendicular to the parabola's axis:8/15, not the earlier axial half-cylinder result {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}.",
  "ur": "قطع کے محور پر عمودی گردش والے جسم کے لیے چوتھی قوتوں کے مجموعے اور استنفاد:8/15، پرانے محوری نصف اسطوانے کا نتیجہ نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "egypt-nile"
 ],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "value": "Fourth-power sums and perpendicular-axis paraboloid volume",
    "kind": "alternate",
    "lang": "en"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics"
  ],
  "era": {
   "origins": "abbasid-golden",
   "first_attested": {
    "edtf": "10XX",
    "calendar": "julian",
    "precision": "century",
    "status": "historical",
    "note": "Broad eleventh-century activity in Katz's historical framing, not exact composition, invention, surviving-copy date or fabricated Hijri.",
    "sources": [
     "source/katz-calculus-islam-india-1995"
    ]
   },
   "status_today": "living"
  },
  "origin": {
   "place": "place/cairo",
   "context": {
    "ar": "سياق عالم عمل بمصر؛ لا إثبات لموضع تأليف الرسالة {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}.",
    "en": "Biographical Egyptian setting, not a verified treatise-composition location {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}.",
    "ur": "مصر میں کام کرنے والے عالم کا سیاق، رسالے کی ثابت جگہ نہیں {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/ibn-al-haytham",
    "role": "improver",
    "sources": [
     "source/katz-calculus-islam-india-1995",
     "source/bressoud-calculus-before-newton-iii"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "توسيع حساب الحجوم بمجاميع القوى الرابعة؛ لا اختراع التكامل كله أو كل جسم مكافئ.",
    "en": "Extension of volume calculation through fourth-power sums, not invention of all calculus or every paraboloid.",
    "ur": "چوتھی قوتوں سے حجمی حساب کی توسیع، تمام حسابان یا ہر قطع مکافی جسم کی ایجاد نہیں۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "يوثق كاتز طريقة الجمع والحجم ويصرح بفصل إعادة البناء الحديثة عن أمثلة المؤلف {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168}.",
    "en": "Katz documents summation/volume method and separates modern reconstruction from the author's illustrations {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168}.",
    "ur": "کاٹز جمع و حجم کی ترکیب بیان کرتے اور جدید تشکیل کو مصنف کی مثالوں سے الگ رکھتے ہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168}۔"
   },
   "perspectives": [
    {
     "tradition": "sunni",
     "stance": {
      "ar": "إطار معلن ومساهمة محددة",
      "en": "Declared frame and bounded contribution",
      "ur": "اعلان کردہ سیاق، متعین حصہ"
     },
     "summary": {
      "ar": "هوية الفرد موثقة مستقلاً؛ الإطار السني ليس شهادة مذهبه الشخصي، ولا يمحو إسهام السابقين.",
      "en": "Individual identity independently grounded; Sunni frame is not personal-school proof and erases no predecessors.",
      "ur": "فرد کی شناخت کا الگ ثبوت؛ سنی سیاق ذاتی مسلک کا ثبوت نہیں اور سابقین کا حصہ نہیں مٹاتا۔"
     },
     "sources": [
      "source/manazir-sabra-1983",
      "source/tdv-ibnul-heysem"
     ]
    },
    {
     "tradition": "academic",
     "stance": {
      "ar": "إعادة بناء قابلة للتعميم، لا تعميم تاريخي مطلق",
      "en": "Generalizable reconstruction, not unlimited historical assertion",
      "ur": "قابل تعمیم تشکیل، لامحدود تاریخی دعویٰ نہیں"
     },
     "summary": {
      "ar": "كاتز يميز مثالn=4 والنتيجة المعلنة العامة؛ وبريسود لا يرى دليلاً على تجاوز المؤلف القوى الرابعة.",
      "en": "Katz distinguishes n=4 illustration/general assertion; Bressoud finds no evidence the author went beyond fourth powers.",
      "ur": "کاٹز n=4 مثال و عمومی اعلان الگ کرتے؛ بریسود کے مطابق چوتھی قوت سے آگے مصنف کے جانے کا ثبوت نہیں۔"
     },
     "sources": [
      "source/katz-calculus-islam-india-1995",
      "source/bressoud-calculus-before-newton-iii"
     ]
    }
   ]
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "قياس أرخميدس المحوري، ثم سوابق ثابت بن قرة وأبي سهل الكوهي",
     "en": "Archimedes' axial volume and Thabit ibn Qurra/al-Kuhi precedents",
     "ur": "ارشمیدس کا محوری حجم اور ثابت بن قرہ و کوہی کے سابق کام"
    },
    "note": "Earlier half-cylinder result distinguished from perpendicular-axis8:15. Named non-Muslim precursor Thabit retained; no fabricated graph dependence or direct Archimedes-text access.",
    "sources": [
     "source/bressoud-calculus-before-newton-i",
     "source/katz-calculus-islam-india-1995"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics"
   ],
   "changed": {
    "ar": "ربط مجموع قوى رابعة بحجم وبرهان استنفاد {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}.",
    "en": "Connected a fourth-power sum to volume and exhaustion proof {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}.",
    "ur": "چوتھی قوت کا مجموعہ حجم اور استنفاد کے ثبوت سے جوڑا {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "شاهد على تاريخ سابق للحسابان؛ الانتقال إلى أوروبا سؤال بحث لا سلسلة محسومة {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.174}.",
    "en": "Witness to calculus prehistory; European transmission is a research question, not a settled chain {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.174}.",
    "ur": "حسابان کی ابتدائی تاریخ کی گواہی؛ یورپی انتقال تحقیق کا سوال، طے شدہ سلسلہ نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.174}۔"
   },
   "significance": 4,
   "why": "Peer-reviewed selected mathematical history/formula images plus independent scholarly teaching exposition support bounded method; exact polynomial/finite bounds checked. Distinct from existing optical experiment, no universal first/calculus claim."
  },
  "described_in": [],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "تعليم مجاميع القوى والحدود العليا والدنيا؛ الصورة تقارن بالجسم المحوري الأقدم.",
    "en": "Teaching power sums and lower/upper bounds; image compares the earlier axial solid.",
    "ur": "قوتوں کے مجموعے و بالا و زیریں حدود کی تعلیم؛ تصویر پرانے محوری جسم کا تقابل۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "لا نسب مثبت لبرنامج أو منشأة أو صيغة أوروبية بعينها.",
    "en": "No proven lineage to a particular program, building or European formula.",
    "ur": "کسی خاص پروگرام، عمارت یا یورپی ضابطے تک ثابت نسب نہیں۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/paraboloid-dh-comparison",
   "diagram": "media/diagram-ibn-haytham-fourth-powers"
  },
  "kids": {
   "ar": "يمكن حصر حجم بين طبقات أصغر وأكبر منه. استعمل ابن الهيثم مجاميع قوى رابعة لمسألة محددة، لا لاختراع كل حساب.",
   "en": "Trap a volume between smaller and larger layers. Ibn al-Haytham used fourth-power sums for a specific problem, not to invent all calculation.",
   "ur": "حجم کو چھوٹی اور بڑی تہوں کے بیچ گھیر سکتے ہیں۔ ابن الہیثم نے ایک متعین مسئلے میں چوتھی قوتیں استعمال کیں، تمام حساب ایجاد نہیں کیا۔"
  },
  "sources": [
   "source/katz-calculus-islam-india-1995",
   "source/bressoud-calculus-before-newton-i",
   "source/bressoud-calculus-before-newton-iii",
   "source/dennis-addington-alhazen-summation-2009",
   "source/commons-paraboloid-dh",
   "source/manazir-sabra-1983",
   "source/tdv-ibnul-heysem"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b36",
   "source": "Actual selected Katz scholarly text167–168 images, Bressoud I/III selected article text, Dennis/Addington notes, existing individualized identity basis and licensed comparison image. Original Arabic paraboloid treatise not independently read."
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "كيف نقيس حجماً لا تشبه حدوده صندوقاً أو أسطوانة؟ تربط طريقة [[person/ibn-al-haytham|ابن الهيثم]] بين جمع قوى الأعداد الرابعة وحصر جسم منحنٍ بين مقادير يمكن حسابها؛ وفي المسألة المدروسة يكون الحجم ثمانية أجزاء من خمسة عشر جزءاً من أسطوانة تحيط به {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}. ليست النتيجة اختراع كل حساب التفاضل والتكامل، ولا أول قياس لكل جسم مكافئ. إنما هي مساهمة محددة في نقل الحساب الهندسي إلى مسألة تحتاج قوة رابعة، مع برهان لا يكتفي بأن تبدو الطبقات الرقيقة قريبة من الشكل {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–4}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "المساهمة طريقة حساب وبرهان، لا آلة باقية في خزانة. «القوة الرابعة» تعني ضرب العدد في نفسه أربع مرات؛ فالقوة الرابعة للعدد اثنين هي ستة عشر، وجمع هذه القوى للأعداد المتتابعة مسألة أخرى غير حساب قوة مجموعها {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.2–4}. وتحتاج المسألة الهندسية إلى الاثنين معاً: تفسير لماذا ينتج مربع نصف قطر المقطع حدوداً من الدرجة الرابعة، ثم حساب مجموع تلك الحدود دون تعداد طبقات لا تنتهي {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}.\n\nوالجسم المقصود ليس الوعاء المكافئ العادي الناتج من دوران القطع حول محوره؛ محور الدوران هنا عمودي على محور القطع ومار بطرف المنطقة المحددة {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–3}. لذلك لا ننقل نسبة الثمانية إلى خمسة عشر إلى كل وعاء أو قبة تسمى مكافئة. الرسم المصاحب للمقارنة يعرض الشكل المحوري الأقدم، لا الشكل الجديد نفسه."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "كانت مسائل المساحات والحجوم قائمة قبل ابن الهيثم بقرون. يذكر كاتز مجموع المربعات عند أرخميدس، وصيغة مجموع المكعبات عند أريابهاتا، ولا يجعل القوى الأولى والثانية والثالثة اختراعاً جديداً لمجرد ورودها في البرهان اللاحق {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.165}. وكانت النتائج الهندسية كثيراً ما تعبر عن نسبة إلى شكل معروف، لا عن صيغة رمزية كالتي نكتبها اليوم {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.4–5}.\n\nويميز بريسود بين حساب أرخميدس للجسم المحوري، وحجمه نصف حجم الأسطوانة المناسبة، وبين سوابق ثابت بن قرة وأبي سهل الكوهي في الوسط العلمي العربي {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.2}. يبقى ثابت في قصة السابقة ولا يمحى من السرد بسبب شروط اختيار صانع هذا السجل. وجود السابقة لا يلغي التطوير، كما أن التطوير لا يجعل السابقين مجرد أسماء هامشية."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "يضع كاتز بحث المجاميع في مصر في القرن الحادي عشر، ويصل سيرة العالم القادم من [[place/basra|البصرة]] بإقامته وعمله في مصر؛ وتقدم موسوعة TDV تفاصيل السيرة مع اختلافات أخبار الوفاة {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–166} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. نستعمل [[place/cairo|القاهرة]] سياقاً لحياته، لا شهادة على غرفة كتب فيها هذه الرسالة. ولا نعرف من هذه المقاطع سنة اختراع دقيقة، ولذلك يعني التاريخ الواسع في البيانات قرن النشاط لا يوم التأليف.\n\nالمصادر المقروءة هنا شروح علمية حديثة. معرفة موضع ترجمة أو طبعة في الفهرس ليست قراءة الرسالة. نعتمد تفاصيل الحساب على كاتز وبريسود، ولا ننسب لأنفسنا مقابلة مخطوط عربي أو قراءة كل طبعة أحالا إليها {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168,174}."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "في سجل الشخص أساس فردي لهويته الإسلامية، من افتتاح المناظر باسمه ومن الرسائل التي تذكرها TDV في الدفاع عن النبوة ومناقشة مسائل كلامية؛ لا نستنتج دينه من اسمه أو من دين الدولة التي أقام فيها {cite:manazir-sabra-1983 scan-p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. الإطار السني معلن بوصفه إطار المتحف، وليس وثيقة تثبت مذهبه الفقهي الشخصي. لا تجعل رعاية الحاكم الفاطمي العالم تلقائياً على مذهبه.\n\n**أهل السنة — الإطار المعلن:** تنسب المساهمة المحددة إلى العالم مع حفظ أساس هويته وحدود المعلوم {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. **القراءة الأكاديمية:** يفرق كاتز بين أمثلة المؤلف وإعادة البناء الحديثة، ويصرح بريسود بعدم وجود دليل على أنه تجاوز القوة الرابعة، وإن كانت الطريقة قابلة للامتداد {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167} {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.2–3}. هذه مساهمة رياضية مستقلة عن [[invention/camera-obscura|تجارب البيت المظلم]]، لا عد ثان للتجربة نفسها."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "نستعمل رموزاً حديثة للشرح، لا نعيد إنتاج كتابة المؤلف. نأخذ طولين موجبين `a,b`، والقطع `x=a(y/b)^2`، والمنطقة بينه وبين المستقيم `x=a` حين `0≤y≤b`. عند دوران المنطقة حول ذلك المستقيم يكون نصف قطر المقطع الأفقي `r(y)=a(1−(y/b)^2)`؛ يبدأ بـ`a` في القاعدة وينتهي بصفر عند القمة {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}. أما تدوير المنطقة حول المحور الآخر فينشئ جسماً مختلفاً، فلا يكفي الاسم الواحد لتوحيد الحجمين.\n\nنقسم الارتفاع إلى `n` أجزاء متساوية، سماكة كل منها `b/n`. مساحة القرص تتناسب مع مربع نصف قطره؛ وعندما نربع التعبير الذي يحتوي `y²` يظهر `y⁴`. هنا يأتي سبب القوة الرابعة، لا من رغبة في عد أربعة أبعاد مكانية {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 p.1}. في التقريب الداخلي يكون حجم الطبقة عند ارتفاع `ib/n` هو `πa²b/n × (1−i²/n²)²`. بجمع الطبقات نحتاج إلى مجموع المربعات ومجموع القوى الرابعة، بعد توسيع القوس إلى `1−2i²/n²+i⁴/n⁴` {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}.\n\nصيغة مجموع القوى الرابعة بالكتابة الحديثة هي `S4(n)=n^5/5+n^4/2+n^3/3−n/30`، أو `n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30` {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.167}. مثلاً يعطي جمع `1+16+81+256` العدد354. هذا فحص صغير للصيغة، لا برهان على صحتها لكل عدد موجب؛ فاختبار مثال واحد لا يغطي بقية الأعداد.\n\nيمكن فهم اشتقاقها بإعادة ترتيب جمع منتهٍ. إذا رمزنا إلى مجموع القوى بالرمز `Sk`، فإن `(n+1)S3(n)=S4(n)+ΣS3(j)` حين يمتد `j` من واحد إلى `n`. نضع صيغة مجموع المكعبات داخل المجموع، فتصبح الجهة اليمنى `5S4/4+S3/2+S2/4`. ولذلك `S4=4(n+1/2)S3/5−S2/5`، ثم نعوض الصيغ المعروفة للمربعات والمكعبات {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.2–3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167}. هذه إعادة بناء حديثة قابلة للفحص. يوضح كاتز أن عرض المؤلف اشتق المثال عند `n=4` وأعلن النتيجة العامة؛ لا نحول صياغة كاتز الحديثة إلى نص حرفي قديم.\n\nبعد التعويض، يكون مجموع الأقراص الداخلي مقسوماً على حجم الأسطوانة `πa²b` مساوياً `L(n)=8/15−1/(2n)−1/(30n^4)`. والمجموع الخارجي `U(n)=L(n)+1/n`. اخترنا هذين التعريفين التعليميين بحيث تقع كل طبقة حقيقية بين طبقة أضيق وأوسع؛ الفرق الكلي `1/n` من الأسطوانة يمكن تصغيره بحسب الحاجة. عند `n=4` نجد `L=0.408203125` و`U=0.658203125`، وبينهما `8/15` {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}.\n\nالحساب العددي الأخير مثالنا لا قياسات تاريخية. إذا افترضنا حجماً يخالف `8πa²b/15`، أمكن جعل الفرق بين الحصرين أصغر من مقدار ذلك الخلاف، فيناقض الاحتواء الهندسي؛ هذا تفسير حديث لفكرة الاستنفاد التي يصفها كاتز بالبرهان بالخلف المزدوج {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}. لا يوجد هنا «آخر قرص» بسماكة صفر، ولا يثبت التقارب بمجرد رسم طبقات كثيرة. وللطولين `a=2,b=3` يكون الحجم `32π/5` وحدة مكعبة؛ يجب توحيد وحدة الطولين قبل استعمال العدد.\n\nفي إعادة البناء هذه نفترض أن عدد الأقسام صحيح موجب، وأن الارتفاع ونصف قطر القاعدة موجبان. لو جعلنا الارتفاع صفراً لما بقي مجال نقسمه إلى طبقات، ولو جعلنا نصف القطر صفراً لانعدم الجسم؛ هذه حالات متدهورة لا يجوز إخفاؤها بالقسمة على صفر. وليست الزيادة في عدد الأقسام زيادة في ارتفاع الجسم: يتغير سمك القرص وعدد الأقراص مع بقاء الطولين ثابتين. يفسر نموذج الأقراص الذي يعرضه بريسود وكاتز هذا الفرق بين تغيير التقريب وتغيير الشيء المقاس {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}.\n\nويقدم فحص الأبعاد وسيلة مستقلة لكشف خطأ في نقل الصيغة: يجب أن يكون الحجم حاصل طول مكعب، ولذلك يناسبه العامل `a²b`، ولا يناسبه `ab` الذي يمثل مساحة. أما نسبة الحجم إلى الأسطوانة فعدد بلا وحدة، لأننا نقسم مقدارين من النوع نفسه. إن تضاعفت جميع الأطوال تضاعف الحجم ثماني مرات وبقيت النسبة نفسها؛ ليس ذلك خبراً عن تجربة أجراها العالم، بل نتيجة تعليمية من الصيغة المعروضة {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "يذكر كاتز ورود صيغة القوى الرابعة لاحقاً في أعمال ابن حيدر وابن غازي والكاشي، لكنه يطرح انتقال الأفكار إلى أوروبا سؤالاً يحتاج إلى بحث المخطوطات، لا سلسلة تلمذة مكتملة {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.168,174}. نتبع مقدار الشهادة: ظهور صيغة في كتاب لاحق لا يثبت وحده طريق وصولها إليه. كما أن انتشار ترجمة المناظر اللاتينية لا يجعل كل نتيجة رياضية أخرى قد انتقلت معها بالضرورة {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.166}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "يقوم الحساب على مجاميع أبسط، ومساحة الدائرة، وتقسيم الجسم إلى مقادير محيطة ومحاطة. يعرض دنيس وأدنغتون المستطيلات والأشرطة وسيلة لفهم إعادة ترتيب المجاميع، ويشددان على اقتران التفسير العددي بالشكل الهندسي {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.1–4}. لا يلزم لذلك افتراض أن ابن الهيثم قرأ نص أرخميدس الخاص بهذا الجسم مباشرة؛ يميز بريسود بين التراث الهندسي السابق والطرق التي ظهرت في الوسط العربي {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.2}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "**أهل السنة — حدود النسبة:** إثبات المساهمة لا يستدعي نسبة كل رياضيات لاحقة إلى صاحبها {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. **القراءة الأكاديمية:** يصف كاتز إمكان تعميم البنية الحسابية، لكنه يفصل ما نستطيع استخراجه اليوم عما صرح به العالم؛ ويترك مسارات الانتقال الأوروبية مفتوحة للبحث {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167,174}. لذلك لا يصل مخططنا هذه الطريقة مباشرة باختراع برنامج هندسي حديث أو بقبة أثرية بعينها دون وثيقة."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "لا تقدم المقاطع المقروءة سجلاً لورشة صنعت خزانات اعتماداً على هذه النسبة، ولا مقدار توفير مال أو مواد. فائدتها الموثقة هنا رياضية: معرفة حجم دقيق بربط الحساب بالاحتواء، بدلاً من قياس غلاف منحنٍ بالتخمين {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}. يمكن للزائر اختبار الفكرة بطبقات ورقية، لكن دقة القص وسماكة الورق تجربة حديثة مختلفة عن البرهان؛ لا تساوي صورة نموذج نجاحه أو تاريخه."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "تكشف الطريقة أن قصة الحجوم والتكامل موزعة على مسائل وأزمنة، وليست لحظة اختراع واحدة. يعرض بريسود صعوبة الانتقال من هندسة المربعات والمكعبات إلى حساب يحتاج قوة أعلى، ويستخدمها لتفسير المعرفة التي سبقت الصيغ المدرسية السريعة {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4}. الجانب المهم أن العدد والشكل يختبران بعضهما: صيغة الجمع لا تكفي ما لم نثبت أن الأقراص تحصر الجسم الصحيح، ورسم الجسم لا يكفي ما لم نحسب مجموع الأقراص."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "النسبة هنا تطوير طريقة لقياس حجم معين باستعمال القوى الرابعة، وليست شهادة بأنه اخترع الجمع أو أول قبة أو النظرية الأساسية للتكامل {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168,174}. **أهل السنة:** يحتفظ العرض بالإطار المعلن دون تحويله إلى حجة سبق علمي {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. **القراءة الأكاديمية:** نصوغ ما تدعمه الشروح المقروءة ونحفظ الفرق بين برهان المؤلف وإعادة البناء الحديثة؛ عدم قراءة الأصل مستقلاً حد لمصدرنا، لا دعوة لملئه بالذاكرة {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168}."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "يصلح المثال لتعليم الفرق بين مجموع منتهٍ وحجم دقيق، وبين التحقق العددي والبرهان. الرسم الحديث لستيفن بالتكاتي ساندوفال، المرخص بالمشاركة بالمثل، يبين الوعاء المحوري مع قطر وارتفاع؛ ننشره للمقارنة مع المسألة الأقدم لا باعتباره قبة الثمانية إلى خمسة عشر {cite:commons-paraboloid-dh image and licensing}. يمكن تدوير الورقة ذهنياً، لكن تغيير محور الدوران يغير الجسم نفسه، لا زاوية نظر المصور فقط."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "شاهدنا المقروء هو المقال العلمي الحديث بصور صفحتي167 و168، وشروح بريسود، لا مخطوط بخط ابن الهيثم {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168} {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–4}. يحيل كاتز إلى دراسة راشد عن قياس المجسم المكافئ؛ نسجل الإحالة طريقاً للبحث ولا نستشهد بصفحات دراسة لم نقرأها {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.174}. كذلك لا تمثل الصورة المرخصة آلة تاريخية أو ورقة قديمة اكتشفت حديثاً."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "يساعد المثال على رواية الرياضيات بأسماء أصحابها وأسئلتها ووسطائها، لا بإعلان أن حضارة واحدة صنعت كل شيء. ففي سرد بريسود وكاتز يظهر اليوناني والهندي والعاملون في العربية مع اختلاف مسائلهم وأزمانهم {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}. ولا تكون كل قبة مرئية توقيعاً حسابياً لابن الهيثم؛ التشابه البصري لا يحدد المنحنى بدقة ولا يثبت أن البنّاء استعمل هذه الصيغة."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "تخيل برجاً من أقراص يتناقص عرضها كلما ارتفعنا. برج ضيق يبقى داخل الشكل، وبرج أوسع يغطيه؛ كلما رقّت الطبقات ضاق الفرق بين البرجين. هذه مدخل لفكرة الحصر التي تساعد على فهم حساب ابن الهيثم {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}. اسأل دائماً: أي شكل ندير، وحول أي خط؟ ثم جرب الأعداد، لكن تذكر أن نجاح أربع طبقات لا يبرهن وحده ما يحدث لكل عدد منها."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- كاتز1995: المقاطع163–168 و174 مقروءة، وصورتا167–168 مفحوصتان؛ لا قراءة كاملة للمقال أو أصل الرسالة {cite:katz-calculus-islam-india-1995 selected passages}.\n- بريسود، الجزء الأول1–4 والثالث1–3؛ النص الأصلي للمقال لا ملخصات المنصة الآلية {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4} {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.1–3}.\n- شرح دنيس وأدنغتون، وأساس الهوية السابق، وبيانات الصورة الحديثة {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.1–5} {cite:manazir-sabra-1983 scan-p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87} {cite:commons-paraboloid-dh licensing}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/ibn-al-haytham-fourth-power-volumes",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b36",
     "source": "كاتز1995، المقاطع163–168 و174 وصورتا167–168؛ بريسود1 و3 بالمقاطع المحددة؛ دنيس وأدنغتون2009؛ لا قراءة مستقلة لأصل رسالة المجسم المكافئ"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "How can we measure a volume whose boundary is neither a box nor a cylinder? [[person/ibn-al-haytham|Ibn al-Haytham's]] method connects sums of fourth powers with trapping a curved solid between calculable quantities. In this problem its volume is eight fifteenths of its surrounding cylinder {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}. This was not the invention of all calculus, or the first measurement of every paraboloid. It was a particular extension of geometrical calculation to a problem requiring fourth powers, accompanied by a proof rather than merely the impression that thin layers resemble the shape {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–4}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "The contribution is a calculating and proving method, not a surviving machine. A fourth power multiplies a number by itself four times: two to the fourth is sixteen. Adding consecutive fourth powers differs from raising the sum of those numbers to the fourth power {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.2–4}. Geometry requires both an explanation of why squaring the section's radius introduces fourth powers, and a way to calculate their sum without enumerating endlessly many layers {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}.\n\nThe solid is not the ordinary paraboloid bowl obtained by rotating a parabola about its own axis. Here the rotation axis is perpendicular to the parabola's axis and lies at the boundary of the specified region {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–3}. The 8/15 ratio therefore does not apply to every bowl or dome called parabolic. Our comparison image shows the earlier ordinary axial solid, not the new dome."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "Area and volume problems long preceded Ibn al-Haytham. Katz discusses Archimedes' sum of squares and Aryabhata's formula for cubes; their use in a later argument does not make these earlier results new inventions {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.165}. Geometrical results were often expressed as ratios to known shapes, rather than modern symbolic volume formulas {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.4–5}.\n\nBressoud distinguishes Archimedes' axial solid, with half the corresponding cylinder's volume, from the precedents of Thabit ibn Qurra and Abu Sahl al-Kuhi in Arabic scientific work {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.2}. Thabit stays in this account: the browser's maker-selection rule must not erase the people whose work preceded the contribution. Earlier work does not eliminate improvement, and improvement does not reduce earlier mathematicians to incidental names."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "Katz situates the summation work in eleventh-century Egypt and connects the scholar from [[place/basra|Basra]] with his Egyptian life. TDV provides biographical details while reporting differences in accounts of his death {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–166} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. We use [[place/cairo|Cairo]] as biographical context, not evidence for a particular room where this treatise was written. The broad activity-century date is not a precise invention or composition date.\n\nThe mathematical sources actually read here are modern scholarly explanations. Knowing where an edition or translation is listed does not amount to reading the original treatise. Calculation details rely on Katz and Bressoud; we claim neither independent Arabic manuscript collation nor reading every edition in their bibliographies {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168,174}."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "The person record retains an individualized Muslim basis: the opening in his name in the *Optics*, and TDV's account of his writings defending prophethood and discussing theological questions. Neither his name nor the denomination of his host state supplies that identity {cite:manazir-sabra-1983 scan-p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. The Sunni frame is the museum's declared frame, not documentation of a personal legal school. Fatimid patronage does not automatically determine his affiliation.\n\n**Sunni—declared frame:** attribute the bounded contribution while retaining identity evidence and its limits {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. **Academic account:** Katz distinguishes the author's examples from modern reconstruction; Bressoud explicitly finds no evidence he went beyond fourth powers, even though the method can be extended {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167} {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.2–3}. This is mathematically distinct from the existing [[invention/camera-obscura|dark-room experiments]], not another count of that experiment."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "We use modern teaching notation, not a reproduction of the author's symbols. For positive lengths `a,b`, take the parabola `x=a(y/b)^2` and the region between it and `x=a`, with `0≤y≤b`. Rotate this region around `x=a`. The horizontal section has radius `r(y)=a(1−(y/b)^2)`, falling from `a` at the base to zero at the summit {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}. Rotation about the other axis produces a different solid, not another view of the same volume.\n\nDivide the height into `n` equal intervals, each `b/n` thick. A disk's area depends on the square of its radius. Squaring a radius expression containing `y²` introduces `y⁴`; no fourth spatial dimension is involved {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 p.1}. An inner disk at height `ib/n` contributes `πa²b/n × (1−i²/n²)²`. Expanding the bracket as `1−2i²/n²+i⁴/n⁴` explains why both squares and fourth powers must be summed {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}.\n\nIn modern notation the fourth-power formula is `S4(n)=n^5/5+n^4/2+n^3/3−n/30`, equivalently `n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30` {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.167}. For example, `1+16+81+256=354`. That checks a small case; it is not proof that the formula works for every positive integer.\n\nA finite-sum rearrangement explains the derivation. Write `Sk` for a sum of kth powers. Then `(n+1)S3(n)=S4(n)+ΣS3(j)`, for `j=1,...,n`. Substituting the cube-sum formula makes the right side `5S4/4+S3/2+S2/4`. Consequently `S4=4(n+1/2)S3/5−S2/5`; substitute the known square and cube formulas to finish {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.2–3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167}. This is checkable modern reconstruction. Katz specifies that the author's derivation illustrates `n=4` and asserts the general result. Katz's modern presentation must not become an alleged literal medieval text.\n\nAfter substitution, the inner disk sum divided by cylinder volume `πa²b` is `L(n)=8/15−1/(2n)−1/(30n^4)`. The outer sum is `U(n)=L(n)+1/n`. These teaching definitions enclose every actual layer between a smaller and a larger disk; their total difference is `1/n` of the cylinder and can be made as small as required. At `n=4`, `L=0.408203125` and `U=0.658203125`, enclosing `8/15` {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}.\n\nThose numbers are our example, not historical measurements. Suppose the actual volume differed from `8πa²b/15`. Make the enclosing gap smaller than that supposed difference and obtain a contradiction with geometrical containment: this is a modern explanation of the exhaustion/double-reductio argument Katz describes {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}. There is no final zero-thickness disk, and convergence is not proved by drawing many layers. For our own lengths `a=2,b=3`, the volume is `32π/5` cubic units; the length units must agree.\n\nOur reconstruction assumes a positive integer number of divisions and positive height/base radius. Zero height leaves no interval to divide; zero radius collapses the solid. These degenerate cases must not be hidden through division by zero. Increasing the number of divisions does not increase the object's height: disk thickness and count change while both lengths remain fixed. The disk models distinguish changing an approximation from changing what is measured {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}.\n\nDimensional checking independently helps catch a mistranscribed formula. Volume needs cubed length, consistent with `a²b`, not the area factor `ab`. The ratio to the cylinder is dimensionless because both quantities have the same kind of unit. Doubling all lengths multiplies volume by eight while preserving the ratio. This is a teaching consequence of the displayed formula, not a reported experiment performed by the scholar {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "Katz reports the fourth-power formula in later works of Ibn Haydur, Ibn Ghazi and al-Kashi, but presents transmission toward Europe as a manuscript-research question rather than a complete teacher-to-pupil chain {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.168,174}. A formula's presence in a later book does not by itself establish the route by which it arrived. Nor does the documented Latin circulation of the *Optics* prove that every separate mathematical result circulated with it {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.166}."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The calculation uses simpler power sums, circular area and enclosing/inscribed quantities. Dennis and Addington use rectangles and strips to explain rearrangement and the coordination of numerical representation with geometry {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.1–4}. This does not require assuming that Ibn al-Haytham directly read Archimedes' particular text about the solid. Bressoud distinguishes inherited geometry from proofs developed in Arabic scientific settings {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.2}."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "**Sunni—attribution boundary:** establishing this contribution does not require assigning every later mathematical development to its maker {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. **Academic account:** Katz explains how the arithmetic structure can be generalized while separating what we can extract today from what the scholar stated; European routes remain a research question in his account {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167,174}. Our generic diagram therefore does not manufacture a direct link to a named design program or historic dome."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The passages read do not document a workshop making tanks by this ratio, or quantify savings of money or materials. The documented achievement is mathematical: finding an exact volume through calculation and containment rather than estimating a curved boundary {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}. Visitors may try paper layers, but cutting accuracy and paper thickness belong to a modern experiment, not the historical proof. A model's photograph is not evidence of its age or mathematical correctness."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "This method shows a history of volume and integration spread across problems and periods, not a single invention moment. Bressoud uses the difficulty of moving beyond square/cube geometry to explain knowledge preceding fast school formulas {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4}. Number and shape constrain each other: a summation formula is insufficient unless the disks enclose the correct solid, and a drawing is insufficient without calculating their sum. That relation makes the method more than a numerical curiosity."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "The attribution is an extension of volume methods using fourth powers, not the invention of addition, the first dome or the Fundamental Theorem of Calculus {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168,174}. **Sunni:** the declared frame is not evidence of scientific priority {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}. **Academic account:** retain what the read explanations support and distinguish the author's argument from modern reconstruction. Not independently reading the Arabic original is a source limitation, not permission to supply it from memory {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168}."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "The example teaches the difference between a finite sum and an exact volume, and between numerical verification and proof. Steven Baltakatei Sandoval's modern share-alike diagram shows the ordinary axial bowl with diameter and height: it is a comparison with the earlier problem, not an image of the 8/15 dome {cite:commons-paraboloid-dh image and licensing}. Mentally changing the rotation axis changes the object itself, not just the camera angle."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "Our inspected witnesses are the modern paper, including printed 167–168 images, and Bressoud's exposition—not an autograph manuscript {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168} {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–4}. Katz refers to Rashed's study of the paraboloid; that is a research lead, not permission to cite unread pages {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.174}. The licensed illustration is neither a historical instrument nor a newly discovered medieval sheet."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "The example helps tell mathematics through named people, questions and mediators, rather than claiming that one civilization made everything. Greek, Indian and Arabic-working mathematicians appear with different problems and periods in these accounts {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}. Not every visible dome carries Ibn al-Haytham's mathematical signature: resemblance does not specify a curve exactly or prove that its builder used this formula."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Imagine a tower of disks narrowing upward. A narrow tower stays inside a curved shape; a wider one covers it. Thinner layers reduce the difference. This introduces the bounding idea behind the calculation {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}. Always ask what region is rotating, and around which line. Then try numbers, remembering that four successful layers cannot by themselves prove what happens for every number of layers."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- Katz1995, selected 163–168,174 read;167–168 images checked. Not the full article or original Arabic treatise {cite:katz-calculus-islam-india-1995 selected passages}.\n- Bressoud I1–4 and III1–3, actual articles rather than platform AI summaries {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4} {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.1–3}.\n- Dennis/Addington notes, existing individualized identity basis and modern image metadata {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.1–5} {cite:manazir-sabra-1983 scan-p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87} {cite:commons-paraboloid-dh licensing}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/ibn-al-haytham-fourth-power-volumes",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code; model unknown"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b36",
     "source": "Arabic museum article from actual selected Katz163–168,174 and167–168 images, Bressoud I/III selections and Dennis/Addington notes; no independent Arabic paraboloid-treatise reading"
    }
   },
   "updated": "2026-11-13"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "ایسے جسم کا حجم کیسے معلوم ہو جس کی حد نہ صندوق ہو نہ اسطوانہ؟ [[person/ibn-al-haytham|ابن الہیثم]] کی ترکیب چوتھی قوتوں کے مجموعے کو ایک خم دار جسم کے بالا اور زیریں اندازوں سے جوڑتی ہے۔ زیر بحث جسم کا حجم محیط اسطوانے کا آٹھ بٹا پندرہ ہے {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}۔ یہ تمام حسابان کی ایجاد یا ہر قطع مکافی جسم کا پہلا حساب نہیں، بلکہ ایسے خاص مسئلے کی توسیع ہے جس میں چوتھی قوت درکار ہوتی ہے۔ باریک تہیں شکل جیسی دکھائی دیں، اتنا کافی نہیں؛ ان کے ساتھ ثبوت بھی چاہیے {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–4}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "یہ حساب اور دلیل کی ترکیب ہے، محفوظ مشین نہیں۔ چوتھی قوت میں عدد کو چار مرتبہ بطور عامل لیتے ہیں؛ دو کی چوتھی قوت سولہ ہے۔ مسلسل اعداد کی چوتھی قوتوں کا مجموعہ، ان اعداد کے مجموعے کی چوتھی قوت سے مختلف ہے {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.2–4}۔ ہندسی سوال میں پہلے یہ سمجھنا ہوتا ہے کہ رداس کا مربع چوتھی قوت کیوں پیدا کرتا ہے، پھر تہوں کو لامتناہی گننے کے بجائے مجموعے کا حساب کرنا ہوتا ہے {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}۔\n\nیہ عام پیالہ نما جسم نہیں جو قطع مکافی کو اسی کے محور کے گرد گھمانے سے بنتا ہے۔ یہاں محورِ گردش قطع کے محور پر عمودی ہے اور متعین خطے کی حد سے گزرتا ہے {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–3}۔ لہٰذا8/15 ہر مکافی پیالے یا گنبد کا تناسب نہیں۔ ساتھ کی تقابلی تصویر پرانا محوری جسم دکھاتی ہے، نیا گنبد نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "مساحت اور حجم کے سوالات ابن الہیثم سے بہت پہلے موجود تھے۔ کاٹز ارشمیدس کے مجموعۂ مربعات اور آریابھٹ کی مجموعۂ مکعبات کی ترکیب کا ذکر کرتے ہیں؛ بعد کے ثبوت میں ان کا استعمال انہیں نئی ایجاد نہیں بنا دیتا {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.165}۔ بہت سے ہندسی نتائج جدید علامتی ضابطے کے بجائے معلوم جسم کی نسبت کے طور پر بیان ہوتے تھے {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.4–5}۔\n\nبریسود ارشمیدس کے محوری جسم، جس کا حجم متعلقہ اسطوانے کا نصف تھا، اور عربی علمی ماحول میں ثابت بن قرہ و ابو سہل کوہی کے سابق کام الگ بیان کرتے ہیں {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.2}۔ سابق عالم ثابت اس کہانی میں موجود رہتے ہیں؛ براؤزر کے صانع کے انتخاب کی شرط سابقین کو حذف نہیں کرتی۔ سابق کام ترقی کو ختم نہیں کرتا، اور ترقی سابقین کو محض حاشیہ بھی نہیں بناتی۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "کاٹز مجموعوں کی تحقیق کو گیارہویں صدی کے مصر میں رکھتے اور [[place/basra|بصرہ]] سے آنے والے عالم کا مصری قیام بیان کرتے ہیں۔ ٹی ڈی وی سوانح اور وفات کی روایات کے اختلافات بتاتی ہے {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–166} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}۔ [[place/cairo|قاہرہ]] یہاں سوانحی سیاق ہے، رسالہ لکھنے کے کسی کمرے کا ثبوت نہیں۔ وسیع صدی کا اندراج سرگرمی کا زمانہ ہے، ایجاد یا تصنیف کی قطعی تاریخ نہیں۔\n\nیہاں پڑھے گئے ریاضیاتی ماخذ جدید علمی تشریحات ہیں۔ کسی ترجمے یا تدوین کا فہرست میں مقام دیکھنا اصل رسالہ پڑھنا نہیں۔ حساب کی تفصیل کاٹز اور بریسود سے لی گئی؛ نہ عربی مخطوطے کی آزاد مقابلہ خوانی، نہ ان کے تمام حوالوں کی قراءت کا دعویٰ ہے {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168,174}۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "شخصی ریکارڈ میں مسلم شناخت کی انفرادی بنیاد محفوظ ہے: المناظر کا ان کے نام سے آغاز اور ٹی ڈی وی میں دفاعِ نبوت و کلامی مسائل کی تصانیف کا ذکر۔ نام یا میزبان ریاست کا مسلک اس شناخت کی بنیاد نہیں {cite:manazir-sabra-1983 scan-p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}۔ سنی سیاق عجائب گھر کا اعلان کردہ زاویہ ہے، ذاتی فقہی مسلک کی دستاویز نہیں۔ فاطمی سرپرستی خود بخود ان کا عقیدہ متعین نہیں کرتی۔\n\n**Sunni (اہلِ سنت) — اعلان کردہ سیاق:** حصہ متعین نسبت کے ساتھ بیان ہو اور شناخت کے ثبوت کی حد محفوظ رہے {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}۔ **علمی قراءت:** کاٹز مصنف کی مثال اور جدید تشکیل الگ کرتے ہیں۔ بریسود کے مطابق چوتھی قوت سے آگے جانے کا ثبوت نہیں، اگرچہ ترکیب بڑھائی جا سکتی ہے {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167} {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.2–3}۔ یہ [[invention/camera-obscura|تاریک کمرے کے تجربات]] سے الگ ریاضیاتی حصہ ہے، اسی تجربے کی دوسری گنتی نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "یہ جدید تدریسی علامتیں ہیں، مصنف کی اصل کتابت نہیں۔ مثبت لمبائیاں `a,b` لیں۔ قطع `x=a(y/b)^2` اور خط `x=a` کے درمیان خطہ، جہاں `0≤y≤b` ہو، اسی خط کے گرد گھمائیں۔ افقی قطع کا رداس `r(y)=a(1−(y/b)^2)` ہے؛ قاعدے پر `a` سے چوٹی پر صفر ہو جاتا ہے {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}۔ دوسرے محور کے گرد گردش دوسرے جسم کو جنم دیتی ہے، اسی حجم کا دوسرا منظر نہیں۔\n\nاونچائی کو `n` برابر حصوں میں بانٹیں، ہر ایک کی موٹائی `b/n`۔ قرص کا رقبہ رداس کے مربع پر منحصر ہے۔ رداس میں `y²` آنے سے اس کے مربع میں `y⁴` آتا ہے؛ کسی چوتھی مکانی جہت کی ضرورت نہیں {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 p.1}۔ `ib/n` کی اونچائی پر اندرونی قرص کا حجم `πa²b/n × (1−i²/n²)²` ہے۔ قوس کھولنے پر `1−2i²/n²+i⁴/n⁴` بنتا ہے؛ اسی لیے مربعات اور چوتھی قوتوں، دونوں کے مجموعے درکار ہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}۔\n\nجدید صورت میں ضابطہ `S4(n)=n^5/5+n^4/2+n^3/3−n/30`، یا مساوی طور پر `n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30` ہے {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.167}۔ مثلاً `1+16+81+256=354`۔ یہ چھوٹی مثال کی پڑتال ہے، ہر مثبت صحیح عدد کے لیے ثبوت نہیں۔ ایک کامیاب مثال باقی اعداد کا احاطہ نہیں کرتی۔\n\nمحدود مجموعے کی ترتیب بدل کر استنباط سمجھ سکتے ہیں۔ `Sk` سے قوتوں کا مجموعہ مراد لیں۔ تب `(n+1)S3(n)=S4(n)+ΣS3(j)`، جہاں `j` ایک سے `n` تک ہے۔ مجموعۂ مکعبات کا ضابطہ رکھنے پر دائیں طرف `5S4/4+S3/2+S2/4` آتا ہے۔ نتیجتاً `S4=4(n+1/2)S3/5−S2/5`؛ پھر معلوم مربع و مکعب کے ضابطے رکھیں {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.2–3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167}۔ یہ قابل جانچ جدید تشکیل ہے۔ کاٹز بتاتے ہیں کہ مصنف نے `n=4` کی مثال نکالی اور عمومی نتیجہ بیان کیا؛ جدید استنباط کو لفظ بہ لفظ قرون وسطیٰ کا متن نہیں کہتے۔\n\nتبدیلی کے بعد اندرونی قرصوں کے مجموعے کو حجمِ اسطوانہ `πa²b` سے تقسیم کریں تو `L(n)=8/15−1/(2n)−1/(30n^4)` ملتا ہے۔ بیرونی مجموعہ `U(n)=L(n)+1/n` ہے۔ یہ تدریسی تعریفیں ہر اصل تہ کو چھوٹے اور بڑے قرص کے درمیان رکھتی ہیں۔ مجموعی فرق اسطوانے کا `1/n` ہے، جسے حسب ضرورت چھوٹا کر سکتے ہیں۔ `n=4` پر `L=0.408203125` اور `U=0.658203125`، جبکہ `8/15` درمیان میں ہے {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}۔\n\nیہ اعداد ہماری مثال ہیں، تاریخی پیمائش نہیں۔ فرض کریں اصل حجم `8πa²b/15` سے مختلف ہو۔ احاطے کا فرق اس مفروضہ اختلاف سے چھوٹا کریں تو ہندسی احتواء سے تضاد پیدا ہوتا ہے؛ یہ استنفاد کی اس دوہری برہان بالخلف کا جدید بیان ہے جسے کاٹز واضح کرتے ہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}۔ صفر موٹائی کا کوئی آخری قرص نہیں، اور بہت سی تہیں کھینچنا تقارب کا ثبوت نہیں۔ اپنی مثال `a=2,b=3` میں حجم `32π/5` مکعب اکائیاں ہے؛ دونوں لمبائیوں کی اکائی یکساں ہونی چاہیے۔\n\nاس جدید تشکیل میں حصوں کی تعداد مثبت صحیح عدد، اور اونچائی و قاعدے کا رداس مثبت فرض ہیں۔ صفر اونچائی پر تقسیم کا وقفہ نہیں بچتا، صفر رداس پر جسم سمٹ جاتا ہے۔ یہ زوال پذیر صورتیں صفر سے تقسیم کر کے نہیں چھپائی جا سکتیں۔ حصے بڑھانے سے جسم کی اونچائی نہیں بڑھتی؛ قرص کی موٹائی اور تعداد بدلتی ہیں، دونوں لمبائیاں ثابت رہتی ہیں۔ قرصوں کا نمونہ تقریب بدلنے اور اصل شے بدلنے میں فرق واضح کرتا ہے {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.3} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}۔\n\nابعاد کی پڑتال غلط نقل شدہ ضابطہ پکڑنے کا الگ راستہ ہے۔ حجم میں لمبائی کا مکعب چاہیے؛ `a²b` مناسب ہے، رقبے کا عامل `ab` نہیں۔ اسطوانے سے نسبت بے اکائی ہے کیونکہ ایک نوع کی دو مقداریں تقسیم ہوتی ہیں۔ تمام لمبائیاں دوگنی ہوں تو حجم آٹھ گنا، مگر نسبت یکساں رہتی ہے۔ یہ دکھائے ضابطے کا تدریسی نتیجہ ہے، عالم کی کسی رپورٹ شدہ تجرباتی پیمائش کا دعویٰ نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "کاٹز ابن حیدر، ابن غازی اور کاشی کی بعد کی تصانیف میں چوتھی قوت کا ضابطہ ملنے کا ذکر کرتے، مگر یورپ تک انتقال کو مخطوطاتی تحقیق کا سوال رکھتے ہیں، مکمل سلسلۂ اساتذہ نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.168,174}۔ بعد کی کتاب میں ضابطے کی موجودگی راستہ خود بخود ثابت نہیں کرتی۔ المناظر کے لاطینی انتقال کا ثبوت بھی ہر الگ ریاضیاتی نتیجے کے ساتھ منتقل ہونے کا ثبوت نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.166}۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "حساب میں آسان تر قوتوں کے مجموعے، دائرے کا رقبہ، اور محیط و محاط مقداریں استعمال ہوتی ہیں۔ ڈینس و ایڈنگٹن مستطیلوں اور پٹیوں سے مجموعوں کی نئی ترتیب اور عدد و ہندسے کا تعلق سمجھاتے ہیں {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.1–4}۔ اس کے لیے یہ مفروضہ ضروری نہیں کہ ابن الہیثم نے اس جسم پر ارشمیدس کی خاص کتاب براہ راست پڑھی تھی۔ بریسود موروثی ہندسہ اور عربی علمی ماحول میں بننے والے ثبوت الگ رکھتے ہیں {cite:bressoud-calculus-before-newton-i p.2}۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "**Sunni (اہلِ سنت) — نسبت کی حد:** یہ حصہ ثابت کرنے کے لیے ہر بعد کی ریاضی اسی صانع سے منسوب کرنا ضروری نہیں {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}۔ **علمی قراءت:** کاٹز حسابی ساخت کی تعمیم سمجھاتے، مگر آج ہم جو نکال سکتے ہیں اسے عالم کے بیان سے الگ رکھتے اور یورپی راستے تحقیق کے لیے کھلے چھوڑتے ہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–167,174}۔ ہمارا عمومی خاکہ کسی خاص جدید ڈیزائن پروگرام یا تاریخی گنبد تک بے دستاویز نسب نہیں بناتا۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "پڑھے گئے مقامات کسی کارگاہ میں اس نسبت سے حوض بننے، یا مال و مواد کی بچت کی مقدار کا ریکارڈ نہیں دیتے۔ مستند کامیابی ریاضیاتی ہے: خم دار حد کا اندازہ لگانے کے بجائے حساب اور احاطے سے درست حجم نکالنا {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168}۔ کاغذی تہوں کی آزمائش ممکن ہے، مگر کٹائی کی درستگی اور کاغذ کی موٹائی جدید تجربے کے مسائل ہیں، تاریخی ثبوت نہیں۔ نمونے کی تصویر اس کی عمر یا صحت کی سند نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "یہ طریقہ حجم و تکامل کی ایسی تاریخ دکھاتا ہے جو مختلف مسائل اور زمانوں میں پھیلی ہے، ایک لمحۂ ایجاد نہیں۔ بریسود مربع و مکعب کے ہندسے سے آگے بڑھنے کی مشکل سے ان تصورات کو سمجھاتے ہیں جو تیز نصابی ضابطوں سے پہلے تھے {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4}۔ عدد اور شکل ایک دوسرے کو مقید کرتے ہیں: مجموعے کا ضابطہ تبھی کافی ہے جب قرص صحیح جسم گھیرتے ہوں، اور صرف تصویر کافی نہیں جب تک ان کا مجموعہ نہ نکالیں۔ یہی ربط اسے محض عددی لطیفے سے آگے لے جاتا ہے۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "نسبت چوتھی قوت سے مخصوص حجم کی ترکیب کی توسیع ہے، جمع، پہلے گنبد یا حسابان کے بنیادی قضیے کی ایجاد نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168,174}۔ **Sunni (اہلِ سنت):** اعلان کردہ سیاق علمی تقدم کی دلیل نہیں {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87}۔ **علمی قراءت:** پڑھی ہوئی تشریح کی تائید تک بات رکھتے اور مصنف و جدید تشکیل کو الگ کرتے ہیں۔ اصل عربی رسالہ آزادانہ نہ پڑھنا ماخذ کی حد ہے، حافظے سے خالی جگہ بھرنے کی اجازت نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.166–168}۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "مثال محدود مجموعے اور درست حجم، اور عددی پڑتال و ثبوت کا فرق سمجھاتی ہے۔ سٹیون بالتکاتئی ساندووال کا جدید مشارکت بالمثل خاکہ قطر اور اونچائی کے ساتھ عام محوری پیالہ دکھاتا ہے؛ یہ پہلے مسئلے کا تقابل ہے،8/15 گنبد کی تصویر نہیں {cite:commons-paraboloid-dh image and licensing}۔ ذہن میں محورِ گردش بدلنے سے اصل جسم بدلتا ہے، صرف کیمرے کا زاویہ نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "ہمارا پڑھا شاہد جدید مقالہ، خصوصاً167–168 کی تصاویر، اور بریسود کی تشریح ہے؛ مصنف کا خود نوشتہ مخطوطہ نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.167–168} {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.2–4}۔ کاٹز راشد کی مجسم مکافی کی تحقیق کا حوالہ دیتے ہیں؛ اسے تحقیقی راستہ سمجھتے ہیں، اَن پڑھے صفحات کی سند نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.174}۔ مرخص خاکہ نہ تاریخی آلہ ہے نہ نیا ملنے والا قرون وسطیٰ کا ورق۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "مثال ریاضی کو ناموں، سوالوں اور واسطوں سے بیان کرنے میں مدد دیتی ہے، یہ اعلان کرنے میں نہیں کہ ایک تہذیب نے سب کچھ بنایا۔ ان علمی بیانات میں یونانی، ہندوستانی اور عربی میں کام کرنے والے اہل علم کے مسائل اور زمانے مختلف ہیں {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4} {cite:katz-calculus-islam-india-1995 pp.165–168}۔ ہر دکھائی دینے والے گنبد پر ابن الہیثم کی حسابی مہر نہیں؛ ظاہری مماثلت منحنی خط یا معمار کے استعمال کردہ ضابطے کی سند نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "قرصوں کا ایسا مینار سوچیں جو اوپر جاتے ہوئے تنگ ہوتا جائے۔ چھوٹا مینار خم دار جسم کے اندر اور بڑا اس کے باہر رہے۔ تہیں باریک کرنے سے دونوں کا فرق کم ہوتا ہے۔ یہ ابن الہیثم کے حساب کی حدبندی سمجھنے کا راستہ ہے {cite:katz-calculus-islam-india-1995 p.168}۔ پہلے پوچھیں: کون سا خطہ، کس لکیر کے گرد گھومتا ہے؟ پھر اعداد آزمائیں، مگر چار کامیاب تہیں ہر تعداد کے لیے خود بخود ثبوت نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- کاٹز1995، منتخب163–168،174 پڑھے؛167–168 کی تصاویر دیکھی گئیں۔ پورا مقالہ یا اصل عربی رسالہ نہیں {cite:katz-calculus-islam-india-1995 selected passages}۔\n- بریسود1 کے1–4 اور3 کے1–3، اصل مضامین، پلیٹ فارم کے خودکار خلاصے نہیں {cite:bressoud-calculus-before-newton-i pp.1–4} {cite:bressoud-calculus-before-newton-iii pp.1–3}۔\n- ڈینس و ایڈنگٹن، انفرادی شناخت کی سابق بنیاد، اور جدید تصویر {cite:dennis-addington-alhazen-summation-2009 pp.1–5} {cite:manazir-sabra-1983 scan-p.60} {cite:tdv-ibnul-heysem pp.82–87} {cite:commons-paraboloid-dh licensing}۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/ibn-al-haytham-fourth-power-volumes",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code; model unknown"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b36",
     "source": "عربی مضمون؛ کاٹز کے منتخب163–168،174 اور167–168 کی تصاویر، بریسود1/3 کے منتخب مقامات، ڈینس و ایڈنگٹن؛ اصل عربی رسالے کا آزاد مطالعہ نہیں"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  }
 },
 "degree": 2,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-06",
 "connections": [
  {
   "to": "person/ibn-al-haytham",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Fourth-power sums/exhaustion for perpendicular-axis volume8/15; not ordinary axial paraboloid/all calculus. Cairo is biographical context only.",
   "sources": [
    "source/bressoud-calculus-before-newton-iii",
    "source/katz-calculus-islam-india-1995"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "event/ibn-al-haytham-summoned-to-cairo",
  "event/kitab-al-manazir-composed",
  "invention/camera-obscura",
  "invention/haytham-factorial-remainders",
  "invention/haytham-incoming-light-vision",
  "invention/ibn-al-haytham-circular-reflection",
  "place/basra",
  "place/cairo"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}