{
 "id": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
 "class": "invention",
 "slug": "karaji-polynomial-arithmetic",
 "label": {
  "ar": "حساب القوى والمقادير المركبة عند الكرجي",
  "en": "Al-Karaji's polynomial arithmetic",
  "ur": "الکرجی کا کثیر رکنی حساب"
 },
 "summary": {
  "ar": "تحسين في الجبر ببغداد أوائل القرن الحادي عشر: إجراء عمليات حسابية على القوى والمقادير المركبة، مع حدود في القسمة والجذور واستمرار براهين هندسية، لا اختراع الرموز الحديثة {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}.",
  "en": "Early-eleventh-century Baghdad algebraic improvement: arithmetic on powers and composite expressions, with limits on division and roots and retained geometrical proofs; not invention of modern notation {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}.",
  "ur": "گیارہویں صدی کے ابتدائی بغداد میں جبری بہتری: قوتوں اور مرکب عبارتوں پر حساب، تقسیم اور جذر کی حدود اور باقی ہندسی ثبوتوں کے ساتھ؛ جدید رموز کی ایجاد نہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "levant-iraq"
 ],
 "periods": [
  "period/buyid-seljuk-fatimid-era"
 ],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "value": "arithmetization of algebra",
    "kind": "alternate",
    "lang": "en"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics"
  ],
  "era": {
   "origins": "middle-period",
   "first_attested": {
    "edtf": "10XX",
    "calendar": "julian",
    "precision": "century",
    "status": "historical",
    "derived": true,
    "note": "Conservative century-level placement of al-Fakhri and related Baghdad work from the historical notice and TDV career/patronage account; not a precise composition, birth, death or manuscript-copy date. No Hijri year invented from this century-level placement.",
    "sources": [
     "source/karaji-woepcke-1853",
     "source/tdv-kereci"
    ]
   },
   "status_today": "transformed"
  },
  "origin": {
   "place": "place/baghdad",
   "context": {
    "ar": "ألّف أهم أعماله الرياضية ببغداد؛ تربط TDV الفخري برعاية فخر الملك في العصر البويهي، ضمن العالم العباسي، لا بإثبات مذهب المؤلف {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "en": "Principal mathematical works written in Baghdad; TDV identifies Fakhr al-Mulk's Buyid-era patronage within the Abbasid world, not the author's personal sect {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "ur": "اہم ریاضیاتی کام بغداد میں؛ ٹی ڈی وی عباسی دنیا کے بویہی دور میں فخر الملک کی سرپرستی بتاتا ہے، مصنف کا ذاتی مسلک نہیں {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/al-karaji",
    "role": "improver",
    "place": "place/baghdad",
    "note": "Arithmetic treatment of powers and composite algebraic quantities. Explicit named Muslim basis: Ataie-Ashtiani/Simmons p762; Sunni is the separately labelled museum default, not personal school attestation or an inference from Buyid patronage.",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor",
     "source/tdv-kereci",
     "source/karaji-ataie-simmons-2020"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "توسيع أدوات الحساب للعمل على المجهولات والقوى والمقادير المركبة في تقليد سابق، لا تأسيس كل الجبر أو اكتمال نظريته الحديثة.",
    "en": "Extended arithmetic tools to unknowns, powers and composite expressions within earlier algebra, not creation of all algebra or its complete modern theory.",
    "ur": "پہلے الجبرا میں نامعلوم، قوتوں اور مرکب عبارتوں پر حسابی اوزار کا پھیلاؤ؛ پورے الجبرا یا مکمل جدید نظریے کی ایجاد نہیں۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "تعرض ماكتوتر جمع المقادير المركبة وطرحها وضربها، مع قسمة أضيق واستخراج جذور مقيد؛ وتؤكد TDV بقاء البرهان الهندسي {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}.",
    "en": "MacTutor describes addition, subtraction and multiplication of composite expressions, narrower division and restricted root extraction; TDV confirms retained geometrical demonstration {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}.",
    "ur": "میک ٹیوٹر مرکب عبارتوں کا جمع، تفریق اور ضرب، محدود تقسیم اور مخصوص جذر بتاتا ہے؛ ٹی ڈی وی ہندسی برہان کے باقی رہنے کی تصدیق کرتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔"
   },
   "perspectives": [
    {
     "tradition": "sunni",
     "id": "sunni-museum-frame",
     "standing": "main",
     "summary": {
      "ar": "إطار المتحف السني المعلن: التصنيف تحسين يحفظ السابقين، وأساس الهوية المسلمة وصف صريح باسم العالم؛ لا يثبت ذلك مذهبه الشخصي ولا يجعل خلاف المؤرخين حكماً مذهبياً {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}.",
      "en": "Explicit Sunni museum frame: an improvement preserving predecessors, with a named explicit Muslim basis. This is not personal school evidence or an attributed Sunni judgement resolving historians' technical disagreement {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}.",
      "ur": "متحف کا واضح سنی فریم: سابقین کے ساتھ بہتری، اور نام زد واضح مسلم شناخت۔ یہ ذاتی مسلک کا ثبوت یا مؤرخین کے فنی اختلاف کو حل کرنے والا منسوب سنی حکم نہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}۔"
     },
     "sources": [
      "source/karaji-mactutor",
      "source/karaji-ataie-simmons-2020"
     ]
    },
    {
     "tradition": "academic",
     "id": "arithmetic-autonomy",
     "standing": "main",
     "summary": {
      "ar": "تعرض ماكتوتر قراءة فوبكه ورشد راشد التي تبرز استقلال العمليات الجبرية عن التمثيل الهندسي؛ نقل عن هذه الدراسات، لا قراءة مستقلة لكاملها {cite:karaji-mactutor Biography}.",
      "en": "MacTutor reports Woepcke's and Rashed's emphasis on the autonomy of algebraic operations from geometrical representation; those studies are reported, not independently read in full {cite:karaji-mactutor Biography}.",
      "ur": "میک ٹیوٹر ووپکے اور رشدی راشد کی جبری عملیات کی ہندسی تمثیل سے آزادی پر زور دینے والی تعبیر نقل کرتا ہے؛ اصل مطالعات مکمل الگ نہیں پڑھے گئے {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
     },
     "sources": [
      "source/karaji-mactutor"
     ]
    },
    {
     "tradition": "academic",
     "id": "retained-geometry",
     "standing": "main",
     "summary": {
      "ar": "تعرض ماكتوتر تحفظ كروسلي على محدودية المعادلات والبراهين وبقاء هندسة إقليدس؛ وتذكر TDV برهان الفخري الهندسي. لا يحسم المتحف الخلاف بعبارة «ألغى الهندسة» {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}.",
      "en": "MacTutor reports Crossley's caution about limited equations/proofs and retained Euclidean geometry; TDV likewise notes geometrical proof in al-Fakhri. The museum does not resolve this by saying geometry was abolished {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}.",
      "ur": "میک ٹیوٹر محدود مساوات و براهین اور باقی اقلیدسی ہندسہ پر کراسلی کا تحفظ نقل کرتا ہے؛ ٹی ڈی وی بھی الفخری میں ہندسی ثبوت بتاتا ہے۔ متحف اسے ہندسہ کے خاتمے کا فیصلہ نہیں بناتا {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔"
     },
     "sources": [
      "source/karaji-mactutor",
      "source/tdv-kereci"
     ]
    }
   ]
  },
  "precursors": [
   {
    "invention": "invention/algebra",
    "note": "Al-Khwarizmi and subsequent Arabic algebraists supplied the algebraic setting; not a claim that al-Karaji invented algebra again.",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor"
    ]
   },
   {
    "external": {
     "ar": "الحساب الديوفانطي",
     "en": "Diophantine arithmetic",
     "ur": "دیوفنطس کا حساب"
    },
    "note": "A named earlier intellectual contribution, not a Muslim-maker priority claim.",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [
   {
    "external": {
     "ar": "تلقي السموأل وتطويره",
     "en": "Al-Samawal's reception and development",
     "ur": "سموأل کا استفادہ اور ترقی"
    },
    "note": "Later testimony and continuation as reported by MacTutor; no claim that every reported result survives in al-Karaji's own text, or about a particular post-conversion invention.",
    "sources": [
     "source/karaji-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics"
   ],
   "changed": {
    "ar": "جعل المقادير الجبرية مجالاً لعمليات منظمة على غرار الأعداد، دون قسمة عامة أو حل جميع الدرجات {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "en": "Made algebraic expressions objects of organized number-like operations, without general division or solutions of every degree {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "ur": "جبری عبارتوں کو اعداد کی طرح منظم عملیات کا موضوع بنایا، عمومی تقسیم یا ہر درجے کے حل کے بغیر {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "حلقة في انتقال مركز الثقل إلى حساب المقادير، تلقاها السموأل؛ ليست سلسلة مثبتة إلى كل جبر مدرسي أو برنامج حديث {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "en": "A step toward arithmetic of expressions, received by al-Samawal; not a demonstrated direct chain to every school method or modern program {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "ur": "عبارتوں کے حساب کی سمت ایک قدم جس سے سموأل نے استفادہ کیا؛ ہر درسی طریقے یا جدید پروگرام تک ثابت براہ راست سلسلہ نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
   },
   "significance": 4,
   "why": "A substantial development of algebraic operations, distinguished from the earlier discipline, modern symbolism and stronger priority claims."
  },
  "described_in": [],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "تُشرح الفكرة اليوم بالرموز الحديثة؛ صورة2014 وسيلة تعليمية وليست شاهداً على كتابة الكرجي {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}.",
    "en": "Modern symbols explain the principle today; the2014 image is a teaching aid, not evidence of al-Karaji's notation {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}.",
    "ur": "آج جدید رموز سے اصول سمجھایا جاتا ہے؛2014 کی تصویر تدریسی مدد ہے، کرجی کی تحریر کی شہادت نہیں {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "المشابهة بحساب كثيرات الحدود الحديث تعليمية؛ أصول النصوص والتلقي تحتاج أدلتها الخاصة {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "en": "Comparison with modern polynomial arithmetic is explanatory; textual transmission requires its own evidence {cite:karaji-mactutor Biography}.",
    "ur": "جدید کثیر رکنی حساب سے موازنہ توضیحی ہے؛ متنی انتقال اپنی الگ شہادت چاہتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/karaji-polynomial-expansion",
   "diagram": "media/diagram-karaji-polynomial-arithmetic"
  },
  "kids": {
   "ar": "إذا ضربت مجموعاً في مجموع، فلكل جزء نصيبه من الضرب، ثم تجمع الأجزاء المتشابهة. الرموز هنا حديثة؛ الفكرة التاريخية هي تنظيم الحساب على مقادير لا نعرف قيمتها بعد.",
   "en": "When multiplying one sum by another, every part must meet every part; then collect matching kinds. Our symbols are modern: the historical idea is organized arithmetic on quantities not yet known.",
   "ur": "ایک مجموعے کو دوسرے سے ضرب دیں تو ہر حصہ ہر حصے سے ملتا ہے؛ پھر ہم جنس حصے جمع ہوتے ہیں۔ ہمارے رموز جدید ہیں، تاریخی خیال نامعلوم مقداروں پر منظم حساب ہے۔"
  },
  "sources": [
   "source/karaji-mactutor",
   "source/tdv-kereci",
   "source/karaji-ataie-simmons-2020",
   "source/karaji-woepcke-1853",
   "source/commons-polynomial-expansion"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b25",
   "source": "Actual MacTutor and TDV entries, HESS printed p762 identity paragraph, visually read Woepcke printed3–4 and inspected licensed modern image; no complete primary treatise, direct modern lineage or modern notation priority claimed"
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "نعرف كيف نجمع الأعداد ونضربها، ولكن كيف نحسب حين تكون بعض المقادير مجهولة؟ جعل [[person/al-karaji|أبو بكر الكرجي]] القوى والمقادير المركبة موضوعاً لعمليات منظمة تشبه حساب الأعداد، في عمله الرياضي ببغداد أوائل القرن الحادي عشر {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. هذه مساهمة في تطوير [[invention/algebra|الجبر السابق]] وليست ولادة الجبر من العدم، ولا اختراع الحروف والأسس التي نكتب بها المثال اليوم {cite:karaji-mactutor Biography}. تعرض الصفحة ما استطاعت هذه العمليات إنجازه وما بقي خارج عمومها؛ فالتمييز بين قاعدة نافعة ونظرية حديثة مكتملة جزء من فهم الإنجاز نفسه {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "المقصود حساب الحدود المفردة، مثل المقدار المجهول ومربعه ومكعبه ومقلوباته، ثم المقادير المؤلفة من مجموع حدود متعددة {cite:karaji-mactutor Biography}. تسمّيها ماكتوتر «مقادير مركبة»، وتعرض قواعد جمعها وطرحها وضربها، بينما لا تجعل القسمة عامة لكل مقدار مركب {cite:karaji-mactutor Biography}. و«كثيرات الحدود» اسم تعليمي حديث لجزء من هذا العمل، لا ادعاء بأن المؤلف استعمل تعريفات المناهج المعاصرة أو رموزها {cite:karaji-mactutor Biography}. يتسع بحثه أيضاً للمقلوبات؛ لذلك لا يطابق عنواننا الحديث كل مفردات تصنيفه التاريخي حرفياً {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "كان الخوارزمي ومن جاء بعده قد بنوا تقليداً لحل المعادلات، وكانت مسائل ديوفانتوس الحسابية من الموارد التي قرأها الكرجي وطوّرها {cite:karaji-mactutor Biography}. وتشرح ماكتوتر أن اجتماع القراءة الحسابية لديوفانتوس مع مفاهيم الجبر العربي أتاح اتجاهاً جديداً، لا أن أحد الموردين اختفى أو أصبح بلا قيمة {cite:karaji-mactutor Biography}. كان ممكناً التعامل مع الجذر والمال والمكعب بأسماء معروفة؛ والجديد الذي تبرزه هذه السيرة هو تنظيم العمليات على مراتب المجهول نفسها {cite:karaji-mactutor Biography}. فلا ينبغي الخلط بين سبق حل معادلة وبين توسيع الحساب على التعبيرات التي تدخل فيها."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "تضع السيرة أهم كتب الكرجي الرياضية في [[place/baghdad|بغداد]]، وتربط موسوعة الديانة التركية كتاب «الفخري» بفخر الملك في المحيط البويهي {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. هذا وصف للرعاية السياسية داخل العالم العباسي، لا شهادة بمذهب الكاتب الشخصي {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. وتعرض مقدمة فوبكه القديمة التعرف على صاحب الكتاب وراعيه ومشكلات النسخة التي عمل عليها، وهي شاهد على تاريخ البحث الحديث أيضاً {cite:karaji-woepcke-1853 pp. 3–4}. نكتفي بتأريخ العمل إلى القرن الحادي عشر، ولا نحول تاريخ طباعة1853 أو تقدير عمر المؤلف إلى يوم لتأليف الطريقة."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "تختلف المصادر في تفسير نسبتي «الكرجي» و«الكرخي»؛ فالأولى تحيل إلى كرج والثانية إلى كرخ بغداد، ولا تحسم ماكتوتر أصل الأسرة أو مكان الميلاد بيقين {cite:karaji-mactutor Biography}. أساس إدراجه هنا مسلماً أوضح من الاسم: يصفه عطائي آشتياني وسيمونز باسمه عالماً رياضياً ومهندساً مسلماً {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}. أما الإطار السني فافتراض المتحف المعلن للمحيط العباسي البغدادي، لا إقرار شخصي من الرجل ولا استنتاج من الراعي البويهي؛ ولا تسمي التراجم المقروءة انتماءً شخصياً مخالفاً {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}. ودوره التقني هنا «محسّن»، مع بقاء فضل السابقين {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "تبدأ الطريقة بتمييز مراتب المقدار الواحد: المجهول، ثم مربعه، ثم مكعبه، وهكذا؛ وتضم السيرة أيضاً مقلوبات هذه المراتب {cite:karaji-mactutor Biography}. ضرب مرتبتين يحتاج قاعدة لتعيين المرتبة الناتجة، لا رسماً جديداً لكل حالة {cite:karaji-mactutor Biography}. بلغة تعليمية حديثة، ضرب `x²` في `x³` يعطي `x⁵`: هذه كتابتنا للتوضيح، وليست سطراً من مخطوط للكرجي {cite:karaji-mactutor Biography}. وتنبّه السيرة إلى أنه اقترب من قانون جمع الأسس، لكنه لم يضع التعريف الحديث `x⁰=1`؛ فلا ننسب إليه الصياغة العامة بكل شروطها {cite:karaji-mactutor Biography}.\n\nثم يأتي المقدار المركب: عند الجمع والطرح تراعى أجناس الحدود، وعند الضرب تعمل الحدود بعضها في بعض قبل جمع النتائج المتشابهة {cite:karaji-mactutor Biography}. مثالنا الحديث `(x+2)(x+3)` يعطي `x²+3x+2x+6` ثم `x²+5x+6`. إن وضعنا `x=2` أمكن التحقق عددياً: حاصل أربعة في خمسة عشرون، وهو حاصل أربعة زائد عشرة زائد ستة. هذا شرح حسابي للمبدأ، لا مثال ننسب ألفاظه أو أرقامه إلى الكتاب {cite:karaji-mactutor Biography}.\n\nيفيد هذا التعويض في كشف خطأ حسابي محتمل، لكنه لا يبرهن وحده على صحة القاعدة لكل قيمة: اتفاق الطرفين في حالة واحدة غير إثبات العلاقة العامة. ولهذا نفرق في العرض بين إجراء العملية، وفحص مثال، وتعليل القاعدة. حين تنقل السيرة خلاف المؤرخين حول براهين الكرجي، لا تعني أن نجاح المثال العددي وحده يحسم الخلاف {cite:karaji-mactutor Biography}. ويمكن للقارئ إعادة المثال بقيمة أخرى للتمرن، دون تحويل تجربته الشخصية إلى شاهد على ما كتبه المؤلف أو إلى ادعاء بأن المتحف أعاد فحص جميع مسائل كتابه.\n\nليست كل العمليات متساوية في العموم: تصف ماكتوتر قسمة مقدار مركب على حد مفرد، لا خوارزمية لقسمة أي كثير حدود على أي كثير حدود آخر {cite:karaji-mactutor Biography}. وتذكر قاعدة لاستخراج الجذر التربيعي من مقدار مركب تشترط معاملات موجبة؛ فلا تصلح دليلاً على امتلاك جميع مسائل الجذور الحديثة {cite:karaji-mactutor Biography}. كذلك بقي حل المعادلات محدوداً: يورد العرض نقد كروسلي الذي يميز مسائل الدرجة الثانية وما يمكن رده إليها من حل عام للدرجات الأعلى {cite:karaji-mactutor Biography}.\n\nوتتيح القوى فهماً آخر لتوسيع حاصل مجموع: تعرض السيرة حساب المكعب في «الفخري»، والمكعب والقوة الرابعة لمقادير مناسبة في «البديع»، ثم تنقل عن السموأل وصف إنشاء معاملات التوسيع {cite:karaji-mactutor Biography}. هذا تلقي لاحق له قيمته، لكنه ليس ادعاء بأن كل النص المنقول قرئ هنا في أصل للكرجي {cite:karaji-mactutor Biography}. الصورة الملونة تستخدم حدوداً سالبة ورموزاً حديثة؛ وظيفتها إيضاح توزيع الضرب فقط، لا إثبات أنه استعمل هذه الكتابة أو كل اصطلاحات المعاملات الحديثة {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "تقدم شهادة السموأل مثالاً مسمى على قراءة عمل الكرجي ومتابعته، لا خريطة كاملة لانتقاله بين جميع المدارس والبلدان {cite:karaji-mactutor Biography}. وتعرض TDV كتب الرجل وطبعاتها ودراساتها، فيظهر منها أن التراث الرياضي وصل عبر نصوص وأعمال تحقيق متأخرة أيضاً {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. أما عدد من درس كل كتاب، أو سرعة وصول قاعدة بعينها إلى مدينة، فلا توفر المصادر المقروءة هنا إحصاء له. وجود نص منشور اليوم لا يساوي إثبات تدريس متصل منذ تأليفه، كما أن قراءة لاحقة موثقة لا تستلزم طريقاً مباشراً إلى كل منهج حديث."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "يمثل جبر الخوارزمي والإرث الحسابي الديوفانطي موردين مختلفين يلتقيان في هذا التطور، بحسب العرض التاريخي لماكتوتر {cite:karaji-mactutor Biography}. ليس الكرجي مجرد ناسخ لمسائل ديوفانتوس في ذلك العرض؛ فقد سعى إلى التعميم وإلى طرق أوسع تطبيقاً {cite:karaji-mactutor Biography}. وفي المقابل، احتفظ «الفخري» ببراهين هندسية كما تؤكد TDV، فلا يجعل ظهور الحساب ما قبله باطلاً أو زائلاً {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. يرسم مخطط العلاقات هذه الموارد المعرفية، ولا يدعي إعادة بناء مجلس تعليم أو إثبات لقاء شخصي بين علماء تفصلهم أزمنة."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "تربط السيرة هذا العمل بمسار السموأل اللاحق، وتستخدم شهادته لعرض بناء معاملات التوسيع خطوة بعد خطوة {cite:karaji-mactutor Biography}. كما تعرض عند الكرجي انتقالاً متدرجاً من حالة إلى التالية ثم القول بإمكان الاستمرار، لكنها تميزه صراحة من الاستقراء الرياضي بصياغته الصارمة الحديثة {cite:karaji-mactutor Biography}. ومن أمثلتها علاقته بين مجموع المكعبات ومربع مجموع الأعداد المتتابعة، وحجته المتكررة في حالة عددية {cite:karaji-mactutor Biography}. هذه نتائج ذات صلة بتنظيم الحساب؛ لا نجعلها سجلاً منفصلاً لأولوية عالمية في كل مثلث معاملات أو لكل مبرهنة ثنائية الحد."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "أقرب أثر يمكن وصفه من المصدر هو داخل الممارسة الرياضية: يصبح المقدار المجهول قابلاً لعمليات متتابعة، بدلاً من الاقتصار على انتظار قيمته العددية قبل الحساب {cite:karaji-mactutor Biography}. وتذكر TDV إلى جانب كتبه الجبرية كتاب «الكافي» وأعماله المتصلة بالمياه، وتصف ماكتوتر جانباً من بحثه في القياس والأوزان {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}. لكن تعدد الاهتمامات لا يثبت أن تاجراً بعينه أو حفار بئر استعمل قاعدة ضرب المقادير هذه. نفرق بين إمكان الشرح بتطبيق يومي وبين وجود سجل تاريخي لذلك التطبيق."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "تبرز قراءة فوبكه ورشدي راشد، كما تنقلها ماكتوتر، جعل العمليات الجبرية أقل اعتماداً على تمثيلها بالأشكال، وترى في ذلك اتجاهاً مهماً نحو استقلال الحساب الجبري {cite:karaji-mactutor Biography}. أما القراءة التي ينقلها العرض عن كروسلي فتشدد على الأمثلة العددية وحدود البرهان وبقاء نظريات إقليدس في حل المعادلات {cite:karaji-mactutor Biography}. وتؤيد TDV بقاء البرهان الهندسي في «الفخري» {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. نعرض هذه القراءات ولا نحسمها بشعار «ألغى الهندسة»: تنظيم عمليات جديدة واستمرار تبريرات قديمة أمران يمكن أن يجتمعا في العمل نفسه."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "الادعاء المحدد هو مساهمة الكرجي في توسيع الحساب على القوى والمقادير المركبة داخل الجبر، لا أنه أول إنسان ضرب مجهولاً أو صاحب كل أدوات الجبر الحديث {cite:karaji-mactutor Biography}. يوضح باب «ما بُني عليه» لماذا يصنف السجل «تحسيناً»، وتعرض منظورات البيانات اختلاف المؤرخين في مقدار استقلال هذا الحساب عن الهندسة {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. ولا نخلط بين ظهور مفهوم في عمل باقٍ وبين الأولوية المطلقة في جميع التقاليد. كذلك لا تعني عبارة فوبكه عن الحساب الجبري اختراع حساب التفاضل والتكامل الذي قد يتبادر من لفظ أوروبي حديث {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "يمكن للقارئ أن يرى الفكرة في درس نشر حاصل الضرب، لكن تشابه العملية المعاصرة لا يثبت سلسلة نقل مباشرة إلى كتاب مدرسي معين أو برنامج رمزي {cite:karaji-mactutor Biography}. اختير رسم Min666645 المنشور سنة2014 لأنه يوضح ضرب الحدود وجمع المتشابه، مع اسمه وترخيص CC BY-SA3.0 وإبقاء الصورة دون تعديل {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing; File history}. إنها نافذة تعليمية من الحاضر إلى السؤال التاريخي، لا قطعة أثرية. الحروف والأسس والألوان والحدود السالبة تخص هذا المثال الحديث، ولا تستخرج منها أحكام عن شكل مخطوط الكرجي."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "الشاهد هنا نصي: تعرض TDV «الفخري» و«البديع» وغيرهما، وتذكر ما نشر ودرس من هذه المؤلفات {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. وتكشف مقدمة فوبكه عن نسخة متضررة وإصلاحات في المادة التي اعتمدها، فتذكرنا بأن الطبعة تمر بوساطة المحقق {cite:karaji-woepcke-1853 p. 3}. قرأنا من طبعة1853 الصفحتين المطبوعتين3–4 فقط؛ رقم PA1 في القارئ ليس رقم الصفحة المطبوعة. لم نقرأ هنا كامل «الفخري» أو أصل السموأل أو جميع الدراسات التي تنقلها ماكتوتر؛ تبقى تفاصيلها منسوبة إلى العرض المقروء، ولا نقدم الصورة الحديثة بدلاً من شاهد مخطوط."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "تظهر صعوبة الاسم نفسها في الكتابة عن العلم: تعرض السيرة اختلاف «الكرجي» و«الكرخي» وما يستلزمه كل تفسير، بدلاً من جعل نسبة مألوفة يقيناً بمكان الميلاد {cite:karaji-mactutor Biography}. وتضع أعماله الرياضية والهندسية مؤلفاً واحداً في أكثر من حقل، دون الحاجة إلى لقب «مخترع كل شيء» {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. في عرض متحفي كهذا، يجتمع تقدير العمل مع إظهار حدود المعرفة عنه. النصوص والأمثلة والقراءات المسماة تتيح للقارئ رؤية تطور أداة تفكير، لا مسابقة قومية تسحب مساهمات الآخرين أو تفرض حكماً نهائياً بين المؤرخين."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "تخيل كيساً لا نعرف عدد ما فيه، ونريد حساب حاصل «الكيس ومعه اثنان» في «الكيس ومعه ثلاثة». نستخدم الحرف `x` للكيس في مثالنا الحديث، ثم نعطي كل جزء فرصة أن يضرب كل جزء؛ وبعد ذلك نجمع الأجزاء من النوع نفسه. هكذا لا نضطر إلى معرفة قيمة `x` أولاً لفهم ترتيب الحساب. يشبه ذلك الفكرة العامة التي تشرحها السيرة عن إجراء الحساب على المجهولات، وليس لغزاً منقولاً من كتاب قديم {cite:karaji-mactutor Biography}. الفرق بين `x` و`x²` مهم: لا نجمعهما كأنهما الشيء نفسه. والصورة الملونة تعليمية حديثة، لا صفحة كتبها الكرجي {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- {cite:karaji-mactutor Biography; references} — عرض العمليات وحدودها وقراءات المؤرخين وشهادة السموأل؛ المراجع الأصلية المنقولة ليست مقروءة استقلالاً.\n- {cite:tdv-kereci pp. 277–278} — السيرة والنسبتان والرعاية والمؤلفات واستمرار البراهين الهندسية.\n- {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762} — التصريح باسم العالم وهويته المسلمة، لا اعتماد جميع تواريخه أو دعاواه.\n- {cite:karaji-woepcke-1853 pp. 3–4} — المقدمة التاريخية المقروءة فعلاً، لا كامل النص.\n- {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing; File history} — المنشئ والترخيص وسياق الصورة الحديثة."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
    "lang": "ar"
   },
   "updated": "2026-11-05"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "We know how to add and multiply numbers, but how do we calculate when some quantities remain unknown? [[person/al-karaji|Abu Bakr al-Karaji]] made powers and composite expressions objects of organized, number-like operations in his mathematical work at Baghdad in the early eleventh century {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. This developed [[invention/algebra|earlier algebra]]: it was neither algebra created from nothing nor invention of the letters and exponents used in our examples {cite:karaji-mactutor Biography}. Understanding the achievement also means distinguishing a useful historical procedure from a complete modern theory {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "The subject includes single terms representing an unknown quantity, its square, cube and reciprocal powers, followed by quantities composed of sums of terms {cite:karaji-mactutor Biography}. MacTutor calls these “composite quantities” and describes addition, subtraction and multiplication, while distinguishing more restricted division {cite:karaji-mactutor Biography}. “Polynomial arithmetic” is our modern explanatory name for part of this work, not a claim that the author used today's definitions or notation {cite:karaji-mactutor Biography}. His treatment also included reciprocals, so our title does not literally reproduce the boundaries of his historical classification {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "Al-Khwarizmi and later algebraists had already developed a tradition of equation solving, while Diophantus's arithmetic problems supplied another resource that al-Karaji studied and developed {cite:karaji-mactutor Biography}. MacTutor explains the new direction through the encounter between Diophantine arithmetic and Arabic algebraic concepts, not the disappearance of either inheritance {cite:karaji-mactutor Biography}. The names of roots, squares and cubes were not created from nothing; the development emphasized here is organized calculation on the unknown quantity's successive powers {cite:karaji-mactutor Biography}. Earlier equation solving and a broader arithmetic of the expressions entering equations are related but distinct achievements."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "The biography locates his principal mathematical books in [[place/baghdad|Baghdad]], and TDV connects al-Fakhri with Fakhr al-Mulk's patronage in the Buyid setting {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. This describes political patronage within the Abbasid world, not the author's personal religious school {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. Woepcke's historical introduction discusses identifying the author and patron as well as difficulties with his manuscript, also documenting nineteenth-century scholarship {cite:karaji-woepcke-1853 pp. 3–4}. We retain century-level dating: neither the1853 publication date nor a proposed lifespan supplies an exact day when the method was composed."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "Sources discuss both al-Karaji and al-Karkhi: the former points toward Karaj, the latter toward Baghdad's Karkh district; MacTutor does not treat the family's origin or exact birthplace as certain {cite:karaji-mactutor Biography}. The Muslim basis is more specific than a name: Ataie-Ashtiani and Simmons explicitly identify the named mathematician and engineer as Muslim {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}. Sunni is separately the museum's labelled default for the Abbasid/Baghdad milieu, not personal testimony or an inference from a Buyid patron; the read biographies name no contrary personal affiliation {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}. His technical role here is improver, preserving earlier contributors {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "The starting point is distinguishing successive powers of one quantity: the unknown, its square, its cube and further powers; the biography also includes their reciprocals {cite:karaji-mactutor Biography}. Multiplication needs a rule identifying the resulting power, rather than a new geometrical diagram for each operation {cite:karaji-mactutor Biography}. In modern teaching notation, `x²` multiplied by `x³` gives `x⁵`; this is our illustration, not a manuscript transcription {cite:karaji-mactutor Biography}. MacTutor stresses that he approached the exponent-product law without defining `x⁰=1`, so the complete modern formulation is not credited to him {cite:karaji-mactutor Biography}.\n\nNext come composite expressions: addition and subtraction distinguish kinds of term, while multiplication combines terms before collecting matching results {cite:karaji-mactutor Biography}. Our modern example `(x+2)(x+3)` gives `x²+3x+2x+6`, then `x²+5x+6`. Setting `x=2` provides a numerical check: four times five is twenty, as is four plus ten plus six. These are our explanatory numbers and symbols, not an example claimed to have been copied from the historical book {cite:karaji-mactutor Biography}.\n\nSubstitution can uncover an arithmetic mistake, but agreement at one value does not prove a rule for every value. We distinguish performing an operation, checking an example and justifying a general rule. MacTutor's account of historians' disagreement over al-Karaji's demonstrations is not resolved by one successful numerical example {cite:karaji-mactutor Biography}. Readers can practise with another value without converting their exercise into historical evidence about the author's text or a claim that the museum has independently checked every problem in his book.\n\nThe procedures were not equally general. MacTutor describes division of a composite quantity by a single term, not an algorithm dividing any polynomial by any other polynomial {cite:karaji-mactutor Biography}. Its account of extracting a composite expression's square root requires positive coefficients, not a solution of all modern root-extraction problems {cite:karaji-mactutor Biography}. Equation solving also had limits: the biography reports Crossley's distinction between quadratic problems, higher-degree cases reducible to them, and a general solution of higher-degree equations {cite:karaji-mactutor Biography}.\n\nPowers also explain expanding a sum. The biography describes a cube in al-Fakhri, cubic and fourth-power expansions in al-Badi, and a construction of expansion coefficients transmitted through al-Samawal {cite:karaji-mactutor Biography}. Later testimony matters, but it does not mean every passage has been read here in al-Karaji's own text {cite:karaji-mactutor Biography}. Our coloured image uses negative terms and modern symbols solely to explain distributive multiplication: it is not evidence that he used that notation or every modern convention for coefficients {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "Al-Samawal supplies a named instance of reading and continuing al-Karaji's work, not a complete map of its passage through every school and country {cite:karaji-mactutor Biography}. TDV lists works, editions and studies, showing that the mathematical heritage also reached readers through later textual scholarship {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. The sources read here provide no census of readers or measured speed of transmission between cities. A published text available today does not establish uninterrupted teaching since its composition; one documented later reader does not establish a direct route to every modern curriculum."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "Al-Khwarizmi's algebra and Diophantine arithmetic represent different intellectual resources meeting in this development, according to MacTutor's historical account {cite:karaji-mactutor Biography}. That account does not present al-Karaji as merely copying Diophantus: it emphasizes generalization and attempts to find more widely applicable methods {cite:karaji-mactutor Biography}. Conversely, al-Fakhri retained geometrical demonstrations, as TDV confirms, rather than rendering earlier mathematical practice invalid or extinct {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. The relationship diagram summarizes these resources; it does not reconstruct a classroom or claim personal meetings between scholars of different centuries."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "The biography connects this work with al-Samawal's later development and uses his testimony to describe constructing expansion coefficients step by step {cite:karaji-mactutor Biography}. It also describes al-Karaji moving from one case to the next and stating that the procedure can continue, explicitly distinguishing this from rigorously formulated modern induction {cite:karaji-mactutor Biography}. One example concerns the sum of consecutive cubes and the square of the corresponding sum, demonstrated through a repeated argument in a numerical case {cite:karaji-mactutor Biography}. These belong to the arithmetic story, not a separate claim of worldwide priority for every coefficient triangle or binomial theorem."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The closest source-supported effect concerns mathematical practice: unknown expressions become objects of successive calculation rather than requiring their numerical value before operations begin {cite:karaji-mactutor Biography}. Alongside algebraic works, TDV discusses al-Kafi and water-related writing; MacTutor also describes geometrical measurement and weighing topics {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}. Multiple interests do not establish that a particular merchant or well-digger used this multiplication procedure. We distinguish an accessible everyday analogy from a historical record proving that application."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "As reported by MacTutor, Woepcke's and Rashed's interpretations emphasize algebraic operations becoming less dependent on geometrical representation, an important direction toward autonomous algebraic arithmetic {cite:karaji-mactutor Biography}. The account it reports from Crossley stresses numerical examples, limits of demonstration and retained Euclidean theorems in equation solving {cite:karaji-mactutor Biography}. TDV likewise notes geometrical proof in al-Fakhri {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. We present these interpretations without resolving them through “geometry was abolished”: new operational organization and older forms of justification can coexist in one body of work."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "The bounded claim concerns al-Karaji's development of arithmetic on powers and composite expressions within earlier algebra, not the first human multiplication of an unknown or authorship of every modern algebraic tool {cite:karaji-mactutor Biography}. The precursors explain the improvement classification, while the structured perspectives preserve historians' differing assessments of independence from geometry {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. Appearance in a surviving work is not automatically absolute priority across all traditions. Nor does the historical expression “algebraic calculus” mean invention of differential and integral calculus, which modern readers might associate with that word {cite:karaji-mactutor Biography}."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "A present-day lesson in expanding products illustrates the principle, but resemblance does not establish a direct transmission chain to a particular textbook or symbolic program {cite:karaji-mactutor Biography}. Min666645's2014 image was selected because it makes termwise multiplication and collection visible, with attribution, CC BY-SA3.0 and the image unchanged {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing; File history}. It is a teaching window from the present into a historical question, not an archaeological object. Letters, exponents, colours and negative terms belong to this modern example; they cannot establish the appearance of al-Karaji's manuscript."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "The witnesses are textual: TDV discusses al-Fakhri, al-Badi and other works and their editions and scholarship {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. Woepcke's introduction describes damaged manuscript material and restoration, reminding readers that an edition has editorial mediation {cite:karaji-woepcke-1853 p. 3}. We read only actual printed pp3–4 of the1853 publication; reader label PA1 is not its printed page number. Neither the complete al-Fakhri, al-Samawal's original nor all studies reported by MacTutor were independently read here. Their details remain attributed to the source actually consulted; the modern picture is not substituted for a manuscript witness."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "Even the author's name illustrates historical uncertainty: the biography discusses competing al-Karaji/al-Karkhi readings and their implications instead of converting a familiar nisba into a certain birthplace {cite:karaji-mactutor Biography}. Mathematical and engineering works place one author across several fields without requiring a title such as “inventor of everything” {cite:tdv-kereci pp. 277–278}. Appreciation and limits of knowledge can coexist in a museum account. Named texts, examples and interpretations let a visitor follow a developing intellectual tool rather than a national competition that erases predecessors or imposes a final verdict among historians."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Imagine a bag containing an unknown number of counters. We want “the bag plus two” multiplied by “the bag plus three.” Our modern example calls the unknown `x`. Each part must meet every other part; afterward we collect matching kinds. We can organize that calculation before finding the value of `x`. This illustrates the biography's general idea of arithmetic on unknown quantities; it is not a puzzle copied from an old book {cite:karaji-mactutor Biography}. `x` and `x²` are different kinds and cannot simply be collected as identical things. The coloured picture is modern teaching material, not a page written by al-Karaji {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- {cite:karaji-mactutor Biography; references} — Operations, limitations, historians' interpretations and al-Samawal's testimony; underlying references not independently read.\n- {cite:tdv-kereci pp. 277–278} — Career, nisbas, patronage, works and retained geometrical demonstrations.\n- {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762} — Explicit named Muslim classification, not adoption of every date or claim.\n- {cite:karaji-woepcke-1853 pp. 3–4} — Historical introduction actually read, not the complete primary text.\n- {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing; File history} — Creator, licence and modern-image context."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-05"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "ہم اعداد کو جمع اور ضرب دے سکتے ہیں، لیکن جب کچھ مقداریں نامعلوم ہوں تو حساب کیسے ہوگا؟ [[person/al-karaji|ابو بکر الکرجی]] نے گیارہویں صدی کے ابتدائی بغداد میں قوتوں اور مرکب عبارتوں کو اعداد جیسے منظم حسابی عملیات کا موضوع بنایا {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ یہ [[invention/algebra|پہلے سے موجود الجبرا]] کی ترقی تھی، الجبرا کی یکسر نئی پیدائش یا ہمارے موجودہ حروف اور قوت کے رموز کی ایجاد نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ کارنامے کو سمجھنے میں ایک کارآمد تاریخی طریقے اور مکمل جدید نظریے کا فرق بھی شامل ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "اس کام میں نامعلوم مقدار، اس کا مربع، مکعب اور ان کے مقلوب جیسے مفرد حدود، پھر متعدد حدود کے مجموعے سے بننے والی مقداریں شامل ہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ میک ٹیوٹر انہیں مرکب مقداریں کہتا اور ان کا جمع، تفریق اور ضرب بیان کرتا ہے، جبکہ تقسیم کو زیادہ محدود بتاتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ «کثیر رکنی حساب» اس کام کے ایک حصے کا ہمارا جدید توضیحی نام ہے، یہ دعویٰ نہیں کہ مصنف نے آج کی تعریفیں یا رموز استعمال کیے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ مقلوبات بھی زیر بحث تھے، اس لیے ہمارا عنوان ان کی تاریخی تقسیم کی تمام سرحدوں کا لفظی بدل نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "خوارزمی اور ان کے بعد کے جبریوں نے مساوات حل کرنے کی روایت قائم کی تھی، جبکہ دیوفنطس کے حسابی مسائل ایک اور ماخذ تھے جنہیں کرجی نے پڑھا اور آگے بڑھایا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ میک ٹیوٹر نئی سمت کو دیوفنطسی حساب اور عربی الجبرا کے تصورات کے ملاپ سے سمجھاتا ہے، ان میں سے کسی ورثے کے ختم ہونے سے نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ جذر، مربع اور مکعب کے نام یکسر نئے نہیں تھے؛ یہاں نمایاں ترقی نامعلوم کی یکے بعد دیگرے قوتوں پر منظم حساب ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ پہلے کسی مساوات کا حل اور اس میں آنے والی عبارتوں پر زیادہ وسیع حساب دو متعلق مگر الگ کامیابیاں ہیں۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "سوانح کرجی کی اہم ریاضیاتی کتابوں کو [[place/baghdad|بغداد]] میں رکھتی ہے، اور ٹی ڈی وی «الفخری» کو بویہی ماحول میں فخر الملک کی سرپرستی سے جوڑتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ یہ عباسی دنیا کے اندر سیاسی سرپرستی کی تفصیل ہے، مصنف کے ذاتی مذہبی مکتب کی شہادت نہیں {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ ووپکے کا تاریخی دیباچہ مصنف اور سرپرست کی شناخت اور نسخے کی مشکلات بیان کرتا ہے، یوں انیسویں صدی کی تحقیق کا بھی ریکارڈ بنتا ہے {cite:karaji-woepcke-1853 pp. 3–4}۔ ہم صدی کی سطح کی تاریخ رکھتے ہیں؛1853 کی اشاعت یا مجوزہ عمر طریقے کی تصنیف کا ٹھیک دن نہیں بتاتی۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "ماخذ «الکرجی» اور «الکرخی» دونوں نسبتیں بیان کرتے ہیں: پہلی کرج، دوسری بغداد کے کرخ کی طرف اشارہ کرتی ہے؛ میک ٹیوٹر خاندان کے اصل یا عین جائے پیدائش کو قطعی نہیں بناتا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ مسلم شناخت کی بنیاد نام سے زیادہ واضح ہے: عطائی آشتیانی اور سمنز نام لے کر انہیں مسلمان ریاضی دان اور انجینئر کہتے ہیں {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762}۔ سنی فریم الگ طور پر عباسی و بغدادی ماحول کے لیے متحف کا واضح بنیادی مفروضہ ہے، ذاتی اقرار یا بویہی سرپرست سے اخذ کردہ مسلک نہیں؛ پڑھی گئی سوانح کسی مخالف ذاتی وابستگی کا نام نہیں لیتیں {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}۔ یہاں ان کا فنی کردار بہتری لانے والے کا ہے، سابقین کا حصہ برقرار رہتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "آغاز ایک مقدار کی یکے بعد دیگرے قوتوں کو الگ پہچاننے سے ہوتا ہے: نامعلوم، مربع، مکعب اور مزید قوتیں؛ سوانح ان کے مقلوب بھی شامل کرتی ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ضرب کے لیے حاصل کی قوت متعین کرنے کا قاعدہ چاہیے، ہر بار الگ ہندسی شکل نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ جدید تدریسی رموز میں `x²` کو `x³` سے ضرب دیں تو `x⁵` بنتا ہے؛ یہ ہماری وضاحت ہے، مخطوطے کی نقل نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ میک ٹیوٹر بتاتا ہے کہ وہ قوتوں کے حاصل ضرب کے قانون کے قریب پہنچے، مگر `x⁰=1` کی تعریف نہیں دی، اس لیے مکمل جدید صورت ان سے منسوب نہیں کی جاتی {cite:karaji-mactutor Biography}۔\n\nپھر مرکب عبارتیں آتی ہیں: جمع و تفریق میں حدود کی قسم کا لحاظ اور ضرب میں حدود کو باہم ضرب دے کر ہم جنس نتائج کا مجموعہ لیا جاتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ہماری جدید مثال `(x+2)(x+3)` پہلے `x²+3x+2x+6` اور پھر `x²+5x+6` دیتی ہے۔ `x=2` رکھنے سے عددی جانچ ہوتی ہے: چار ضرب پانچ بیس ہے، اور چار جمع دس جمع چھ بھی بیس۔ یہ ہمارے توضیحی اعداد اور رموز ہیں، تاریخی کتاب سے منقول مثال کا دعویٰ نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔\n\nقیمت رکھنا حسابی غلطی پکڑ سکتا ہے، لیکن ایک قیمت پر دونوں طرف اتفاق ہر قیمت کے لیے قاعدہ ثابت نہیں کرتا۔ ہم عمل کرنے، مثال جانچنے اور عمومی قاعدے کی دلیل دینے میں فرق رکھتے ہیں۔ میک ٹیوٹر میں کرجی کے براهین پر مؤرخین کا اختلاف ایک درست عددی مثال سے حل نہیں ہوجاتا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ قاری دوسری قیمت سے مشق کرسکتا ہے، مگر مشق کو مصنف کے متن کی تاریخی شہادت یا متحف کے ہر مسئلہ الگ جانچنے کا دعویٰ نہیں بنانا چاہیے۔\n\nتمام عملیات یکساں عمومی نہ تھے۔ میک ٹیوٹر مرکب مقدار کو مفرد حد سے تقسیم کرنا بیان کرتا ہے، ہر کثیر رکنی کو ہر دوسری کثیر رکنی سے تقسیم کرنے کا طریقہ نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ مرکب عبارت کا جذر نکالنے کے بیان کردہ قاعدے میں مثبت معاملات کی شرط تھی؛ یہ تمام جدید مسائل جذر کا حل نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ مساوات کے حل کی بھی حد تھی: سوانح کراسلی کا فرق نقل کرتی ہے کہ دو درجی اور ان میں بدل سکنے والے اعلیٰ درجے کے مسائل، ہر اعلیٰ درجے کے عمومی حل کے برابر نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔\n\nقوتیں مجموعے کی توسیع بھی سمجھاتی ہیں۔ سوانح «الفخری» میں مکعب، «البدیع» میں مکعب اور چوتھی قوت کی توسیع، اور سموأل کے ذریعے منتقل معاملات کی تعمیر بیان کرتی ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ بعد کی شہادت اہم ہے مگر اس کا مطلب نہیں کہ ہر عبارت یہاں کرجی کے اپنے متن میں پڑھی گئی {cite:karaji-mactutor Biography}۔ رنگین تصویر کے منفی حدود اور جدید رموز صرف تقسیمی ضرب سمجھاتے ہیں؛ وہ تاریخی مصنف کے انہی رموز یا معاملات کے ہر جدید رواج کے استعمال کا ثبوت نہیں {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "سموأل کرجی کا کام پڑھنے اور آگے بڑھانے کی نام زد مثال ہے، ہر مدرسے اور ملک تک پہنچنے کا مکمل نقشہ نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ٹی ڈی وی کتابیں، طبعات اور مطالعات گنواتا ہے، جس سے بعد کی متنی تحقیق کے ذریعے بھی اس ورثے کا پہنچنا سامنے آتا ہے {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ یہاں پڑھے ماخذ قاریوں کی مردم شماری یا شہروں کے درمیان کسی قاعدے کے پہنچنے کی رفتار نہیں بتاتے۔ آج دستیاب مطبوعہ کتاب تصنیف سے مسلسل تدریس کا ثبوت نہیں، اور ایک ثابت بعد کا قاری ہر جدید نصاب تک براہ راست راستہ ثابت نہیں کرتا۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "میک ٹیوٹر کے تاریخی بیان میں خوارزمی کا الجبرا اور دیوفنطس کا حساب دو مختلف علمی وسائل ہیں جو اس ترقی میں ملتے ہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ یہ بیان کرجی کو محض دیوفنطس کا ناقل نہیں بناتا، بلکہ تعمیم اور زیادہ وسیع اطلاق کے طریقوں کی کوشش نمایاں کرتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ دوسری طرف، ٹی ڈی وی کے مطابق «الفخری» میں ہندسی براهین باقی تھے؛ پہلے ریاضیاتی طریقے بے معنی یا ناپید نہیں ہوئے {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ تعلقاتی خاکہ ان علمی وسائل کو دکھاتا ہے، کسی درس گاہ کی بازتعمیر یا مختلف صدیوں کے علما کی ذاتی ملاقات کا دعویٰ نہیں کرتا۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "سوانح اس کام کو سموأل کی بعد کی ترقی سے جوڑتی اور ان کی شہادت سے توسیع کے معاملات کی مرحلہ وار تعمیر بیان کرتی ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ وہ کرجی کے ایک حالت سے اگلی حالت تک جانے اور عمل جاری رہ سکنے کے بیان کو بھی پیش کرتی ہے، مگر اسے سخت جدید صورت کے ریاضیاتی استقراء سے الگ رکھتی ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ایک مثال متواتر مکعبوں کے مجموعے اور متعلقہ اعداد کے مجموعے کے مربع کا رشتہ ہے، جسے عددی حالت میں مکرر دلیل سے دکھایا گیا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ یہ حساب کی کہانی کا حصہ ہے، ہر معاملات کے مثلث یا دوحدی قضیے کی عالمی اولیت کا الگ دعویٰ نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "سب سے قریب ثابت اثر ریاضیاتی عمل کے اندر ہے: نامعلوم عبارتیں متواتر حساب کا موضوع بن جاتی ہیں، ان کی عددی قیمت معلوم ہونے کا انتظار لازم نہیں رہتا {cite:karaji-mactutor Biography}۔ جبری تصانیف کے ساتھ ٹی ڈی وی «الکافی» اور پانی سے متعلق تحریر بیان کرتا ہے؛ میک ٹیوٹر پیمائش اور وزن کے مباحث بھی بتاتا ہے {cite:tdv-kereci pp. 277–278} {cite:karaji-mactutor Biography}۔ مختلف دل چسپیاں یہ ثابت نہیں کرتیں کہ کسی مخصوص تاجر یا کنواں کھودنے والے نے یہی ضرب کا طریقہ استعمال کیا۔ روزمرہ کی آسان مثال اور اس استعمال کا تاریخی ریکارڈ الگ چیزیں ہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "میک ٹیوٹر کے مطابق ووپکے اور رشدی راشد کی تعبیرات جبری عملیات کے ہندسی تمثیل پر کم انحصار کو نمایاں اور مستقل جبری حساب کی سمت اہم قدم سمجھتی ہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ اسی سوانح میں کراسلی کی تعبیر عددی مثالوں، برہان کی حدود اور مساوات میں باقی اقلیدسی قضیوں پر زور دیتی ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ٹی ڈی وی بھی «الفخری» میں ہندسی ثبوت بتاتا ہے {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ ہم ان تعبیرات کو پیش کرتے ہیں، «ہندسہ ختم کردیا» کے نعرے سے فیصلہ نہیں کرتے؛ نئے عملی انتظام اور پرانی توجیہات ایک کام میں ساتھ رہ سکتے ہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "محدود دعویٰ پہلے الجبرا کے اندر کرجی کی قوتوں اور مرکب عبارتوں پر حساب کی ترقی کا ہے، نامعلوم کی پہلی انسانی ضرب یا ہر جدید جبری اوزار کی تصنیف کا نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ سابقین «بہتری» کی درجہ بندی سمجھاتے ہیں، جبکہ منظم تعبیرات ہندسہ سے آزادی کی مقدار پر مؤرخین کے اختلاف محفوظ رکھتی ہیں {cite:karaji-mactutor Biography} {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ کسی باقی تصنیف میں ظہور خود بخود تمام روایات پر مطلق اولیت نہیں بنتا۔ تاریخی اصطلاح «algebraic calculus» بھی تفاضلی و تکاملی حساب کی ایجاد نہیں، جس کا مفہوم آج لفظ calculus سے لیا جاسکتا ہے {cite:karaji-mactutor Biography}۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "حاصل ضرب کی توسیع کا موجودہ سبق اصول سمجھا سکتا ہے، لیکن مشابہت کسی خاص درسی کتاب یا علامتی پروگرام تک براہ راست منتقلی ثابت نہیں کرتی {cite:karaji-mactutor Biography}۔ Min666645 کی2014 کی تصویر اس لیے لی گئی کہ حدود کی ضرب اور ہم جنس جمع دکھاتی ہے؛ مصور کا نام، CC BY-SA3.0 اجازت اور غیر ترمیم شدہ تصویر ساتھ ہیں {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing; File history}۔ یہ حال سے تاریخی سوال کی طرف تدریسی کھڑکی ہے، آثار قدیمہ کی شے نہیں۔ حروف، قوتوں کے رموز، رنگ اور منفی حدود اسی جدید مثال کے ہیں؛ ان سے کرجی کے مخطوطے کی صورت ثابت نہیں ہوسکتی۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "شواہد متنی ہیں: ٹی ڈی وی «الفخری»، «البدیع» اور دوسری تصانیف، ان کی طبعات اور تحقیق بیان کرتا ہے {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ ووپکے کا دیباچہ شکستہ مخطوطاتی مواد اور اصلاح بتاتا ہے، یاد دلاتا ہے کہ ایڈیشن میں مرتب کی وساطت ہوتی ہے {cite:karaji-woepcke-1853 p. 3}۔ ہم نے1853 کی اشاعت کے اصل مطبوعہ صفحات3–4 ہی پڑھے؛ قاری کا PA1 اصل صفحہ نمبر نہیں۔ پورا «الفخری»، سموأل کا اصل یا میک ٹیوٹر کے تمام منقول مطالعات یہاں الگ نہیں پڑھے گئے۔ تفصیل پڑھے گئے ماخذ سے منسوب رہتی ہے؛ جدید تصویر مخطوطاتی شہادت کی جگہ نہیں رکھی گئی۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "مصنف کا نام بھی تاریخی غیر یقینی دکھاتا ہے: سوانح «الکرجی» اور «الکرخی» کی مختلف قرأتیں اور نتائج بیان کرتی ہے، مانوس نسبت کو قطعی جائے پیدائش نہیں بناتی {cite:karaji-mactutor Biography}۔ ریاضیاتی و انجینئرنگ تصانیف ایک مصنف کو متعدد شعبوں میں دکھاتی ہیں، «ہر شے کے موجد» کے لقب کی ضرورت کے بغیر {cite:tdv-kereci pp. 277–278}۔ متحفی بیان میں قدرشناسی اور علم کی حدود ساتھ رہ سکتی ہیں۔ نام زد متون، مثالیں اور تعبیرات قاری کو فکری اوزار کی ترقی دکھاتی ہیں، ایسی قومی دوڑ نہیں جو سابقین مٹا دے یا مؤرخین کے درمیان آخری فیصلہ نافذ کرے۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "ایک تھیلی میں نامعلوم گنتی کے دانے سوچیں۔ ہمیں «تھیلی اور دو» کو «تھیلی اور تین» سے ضرب دینا ہے۔ ہماری جدید مثال نامعلوم کو `x` کہتی ہے۔ ہر حصہ ہر دوسرے حصے سے ملتا ہے، پھر ہم جنس حصے جمع ہوتے ہیں۔ `x` کی قیمت معلوم ہونے سے پہلے بھی حساب ترتیب دے سکتے ہیں۔ یہ سوانح کے نامعلوم مقداروں پر حساب کے عمومی خیال کی وضاحت ہے، قدیم کتاب سے منقول پہیلی نہیں {cite:karaji-mactutor Biography}۔ `x` اور `x²` مختلف قسمیں ہیں، انہیں یکساں سمجھ کر جمع نہیں کیا جاسکتا۔ رنگین تصویر جدید تدریسی مواد ہے، کرجی کا لکھا ہوا صفحہ نہیں {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing}۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- {cite:karaji-mactutor Biography; references} — عملیات، حدود، مؤرخین کی تعبیرات اور سموأل کی شہادت؛ اصل منقول مراجع الگ نہیں پڑھے گئے۔\n- {cite:tdv-kereci pp. 277–278} — زندگی، نسبتیں، سرپرستی، تصانیف اور باقی ہندسی براهین۔\n- {cite:karaji-ataie-simmons-2020 p. 762} — نام زد مسلم شناخت، تمام تاریخوں یا دعووں کی منظوری نہیں۔\n- {cite:karaji-woepcke-1853 pp. 3–4} — واقعی پڑھا تاریخی دیباچہ، مکمل اصل متن نہیں۔\n- {cite:commons-polynomial-expansion Description; Licensing; File history} — مصور، اجازت اور جدید تصویر کا سیاق۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/karaji-polynomial-arithmetic",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ]
   },
   "updated": "2026-11-05"
  }
 },
 "degree": 6,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-05",
 "connections": [
  {
   "to": "person/al-karaji",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Arithmetic operations on powers and composite expressions within earlier algebra; not invention of modern notation, general polynomial division or rigorous modern induction.",
   "sources": [
    "source/karaji-ataie-simmons-2020",
    "source/karaji-mactutor",
    "source/tdv-kereci"
   ]
  },
  {
   "to": "invention/karaji-binomial-coefficient-recurrence",
   "type": "enabled",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "note": "Operational background: multiplying and collecting algebraic expressions. This record isolates the reusable coefficient recurrence rather than recounting all those operations.",
   "sources": [
    "source/karaji-mactutor"
   ]
  },
  {
   "to": "invention/algebra",
   "type": "built_on",
   "inverse": false,
   "derived": true,
   "note": "Al-Khwarizmi and subsequent Arabic algebraists supplied the algebraic setting; not a claim that al-Karaji invented algebra again.",
   "sources": [
    "source/karaji-mactutor"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "invention/karaji-binomial-coefficient-recurrence",
  "person/al-karaji",
  "invention/abu-kamil-irrational-coefficients",
  "invention/karaji-qanat-surveying",
  "person/al-khwarizmi",
  "person/al-samawal-al-maghribi",
  "person/fibonacci",
  "place/baghdad"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}