{ "id": "invention/kashi-general-root-extraction", "class": "invention", "slug": "kashi-general-root-extraction", "label": { "ar": "الاستخراج العددي العام للجذور عند الكاشي", "en": "Al-Kashi's general numerical root extraction", "ur": "کاشی کا عمومی عددی استخراج جذر" }, "summary": { "ar": "عرض عددي للجذور العامة في مفتاح الحساب،مع سوابقه،لا اختراع كل جذر أو تكرار مسألة الجيب {cite:kashi-mactutor root-extraction}.", "en": "General numerical roots in the Key,with predecessors retained,not invention of every root or a repeated sine problem {cite:kashi-mactutor root-extraction}.", "ur": "مفتاح میں عمومی عددی جذر،پیش رو سمیت،ہر جذر کی ایجاد یا جیب کے مسئلے کا اعادہ نہیں {cite:kashi-mactutor root-extraction}۔" }, "stub": false, "wings": [ "ideas" ], "regions": [ "persia-central-asia" ], "periods": [ "period/mongol-post-mongol" ], "tags": [], "aliases": [], "themes": [], "data": { "names": [ { "kind": "alternate", "lang": "en", "value": "Nth-root calculation in Miftah al-hisab" } ], "domain": "mathematics", "kind": "method", "disciplines": [ "mathematics" ], "era": { "origins": "middle-period", "first_attested": { "edtf": "1427", "hijri": "0830", "calendar": "julian", "precision": "year", "status": "historical", "note": "Reported completion year ofMiftah,not first root extraction or algorithm's discovery day;paired1427/830 as existingworkcontext.", "sources": [ "source/kashi-mactutor", "source/tdv-kashi-okten" ] }, "status_today": "transformed" }, "origin": { "place": "place/samarqand", "context": { "ar": "سياق الكتاب التعليمي بسمرقند،لا تعيين يوم ابتكار كل خطوة {cite:kashi-mactutor Key}.", "en": "Samarkand teaching-book context,not a day of invention for each step {cite:kashi-mactutor Key}.", "ur": "سمرقندی تدریسی کتاب کا ماحول،ہر قدم کی ایجاد کا دن نہیں {cite:kashi-mactutor Key}۔" } }, "makers": [ { "person": "person/al-kashi", "role": "improver", "note": "General numerical root treatment within earlier arithmetic tradition;not firstroots/allHornerpolynomialmethod.", "sources": [ "source/kashi-mactutor", "source/iranica-kashi" ] } ], "attribution": { "status": "improvement", "claim": { "ar": "تحسين ودمج طريقة عددية لاستخراج جذور مراتب متعددة في كتاب تعليمي.", "en": "Developed and integrated numerical extraction across root orders in a teaching text.", "ur": "تدریسی کتاب میں مختلف درجوں کے عددی جذر کا مربوط طریقہ۔" }, "basis": { "ar": "ماكتوتر تنقل مقارنة لوكي وتحتفظ بتأصيل راشد في مدرسة الكرجي والسموأل {cite:kashi-mactutor root-extraction}.", "en": "MacTutor reports Luckey's comparison and Rashed's earlier al-Karaji/al-Samawal school precedents {cite:kashi-mactutor root-extraction}.", "ur": "میک ٹیوٹر لوکی کا تقابل و راشد کے کرجی و سموئل والے پیش رو محفوظ رکھتا ہے {cite:kashi-mactutor root-extraction}۔" }, "perspectives": [ { "tradition": "sunni", "id": "inherited-individual-frame", "summary": { "ar": "أساس الهوية الفردية محفوظ،والإطار السني مستقل من دعوى الأولوية {cite:kashi-mactutor biography}.", "en": "Individual Muslim basis retained;Sunni museum frame separate from priority claims {cite:kashi-mactutor biography}.", "ur": "فردی مسلم بنیاد محفوظ،سنی فریم اولینیت سے الگ {cite:kashi-mactutor biography}۔" }, "sources": [ "source/kashi-mactutor", "source/tdv-kashi-okten" ] }, { "tradition": "academic", "id": "earlier-roots-and-comparison", "summary": { "ar": "مقارنة روفيني وهورنر لاحقة،لا برهان انتقال؛والسوابق العربية محفوظة والاتصال الصيني احتمال منسوب {cite:kashi-mactutor root-extraction} {cite:iranica-kashi calculation}.", "en": "Later Ruffini/Horner comparison is not transmission proof;Arabic precedents retained and a Chinese connection is attributed possibility {cite:kashi-mactutor root-extraction} {cite:iranica-kashi calculation}.", "ur": "بعد کا روفینی و ہارنر تقابل انتقال کا ثبوت نہیں؛عربی پیش رو اور چینی ربط کا منسوب امکان محفوظ {cite:kashi-mactutor root-extraction} {cite:iranica-kashi calculation}۔" }, "sources": [ "source/kashi-mactutor", "source/iranica-kashi" ] } ] }, "precursors": [ { "external": { "ar": "طرق الجذور بمدرسة الكرجي والسموأل", "en": "Root methods in the al-Karaji/al-Samawal school", "ur": "کَرجی و سموئل کے مدرسے کے جذر طریقے" }, "note": "Reported byMacTutorfromRashed,not originalschooltextsnewlyread.", "sources": [ "source/kashi-mactutor" ] } ], "dependents": [], "spread": [], "impact": { "fields": [ "mathematics" ], "changed": { "ar": "جعل الجذور من أدوات الحساب المتعدد التطبيقات،لا الاقتصار على جذر تربيعي منفرد {cite:iranica-kashi calculation} {cite:kashi-mactutor Key}.", "en": "Integrated roots into broadly useful computation beyond one isolated square-root problem {cite:iranica-kashi calculation} {cite:kashi-mactutor Key}.", "ur": "ایک مربع جذر کے بجائے وسیع حساب میں جذر کا ربط {cite:iranica-kashi calculation} {cite:kashi-mactutor Key}۔" }, "history": { "ar": "شاهد على تطوير حساب موروث،لا اختراع الآلة الحاسبة الحديثة {cite:kashi-mactutor root-extraction}.", "en": "Development of inherited computation,not invention of modern calculators {cite:kashi-mactutor root-extraction}.", "ur": "موروثی حساب کی ترقی،جدید کیلکولیٹر کی ایجاد نہیں {cite:kashi-mactutor root-extraction}۔" }, "significance": 3, "why": "General numerical extraction is distinct from sine-specific cubic iteration and four earlier contributions;precedents/method-reading limits and modern examples explicit." }, "described_in": [ "work/miftah-al-hisab-kashi" ], "examples": [], "sites": [], "concepts": [], "today": { "form": { "ar": "شرح تعليمي بأمثلة حديثة معلنة وحصر خطأ،لا استعادة تفصيل جدول قديم.", "en": "Teaching with explicit modern examples/error bounds,not a recovered historical table.", "ur": "واضح جدید مثال و خطاحد کی تدریس،قدیم جدول کی بازیافت نہیں۔" }, "descendants": { "ar": "لا نسب مثبت لكل خوارزمية جذور أو نقل مباشر لهورنر.", "en": "No demonstrated ancestry of every root algorithm or direct transfer to Horner.", "ur": "ہر جذر طریقے کا نسب یا ہارنر کو براہ راست انتقال ثابت نہیں۔" } }, "media": { "image": "media/kashi-root-cube-context", "diagram": "media/diagram-kashi-roots" }, "kids": { "ar": "اعرف طول حرف المكعب من حجمه،ثم اسأل هل الجذر تام أم يحتاج تقريباً.", "en": "Find a cube's edge from volume,and ask whether the root is exact or approximate.", "ur": "حجم سے مکعب کا ضلع نکالیں،پھر پوچھیں جذر تام ہے یا تقریبی۔" }, "sources": [ "source/kashi-mactutor", "source/iranica-kashi", "source/tdv-kashi-okten", "source/commons-cube-mckenna" ], "status": { "review": "published", "completeness": 3, "generated_by": "Copilot SDK in VS Code" }, "provenance": { "layer": "own-research", "generated_by": "Copilot SDK in VS Code", "model": "unknown", "run": "inventions-p3-b77", "source": "ActualMacTutor/Iranicarootaccounts/TDV;originalMiftah/Luckey/Rashed/rootpaper/animationnotread. Modernintegerpower/digitexamplesindependent,notexacthistoricalalgorithmreconstruction. ActualCommonsrights/image inspected." } }, "prose": { "ar": { "sections": [ { "heading": "الموجز", "markdown": "في [[work/miftah-al-hisab-kashi|مفتاح الحساب]] يعرض [[person/al-kashi|غياث الدين الكاشي]] حساب الجذور لمراتب عامة، لا الجذر التربيعي وحده. تنقل ماكتوتر أن لوكي رأى في طريقته حالة خاصة من طرق روفيني وهورنر اللاحقة، ثم تحفظ تصحيح راشد: كانت طرائق سابقة موجودة في مدرسة الكرجي، وبخاصة عند السموأل. لذلك فموضوع البطاقة تطوير حساب موروث ودمجه، لا أول جذر عرفه الإنسان ولا أسبقية مطلقة لمؤلف منفرد {cite:kashi-mactutor root-extraction}.\n\nيختلف هذا الموضوع عن [[invention/kashi-sine-one-degree|حساب جيب درجة]] ذي المسألة التكعيبية المحددة، وعن [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب المحيط]]. هنا السؤال كيف نستخرج عدداً إذا عُرفت إحدى قواه. أمثلة المتحف التالية مكتوبة بلغة حديثة مستقلة؛ لا ننسب أرقامها أو ترتيب جدولها إلى مخطوط لم نعاينه {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-sine}." }, { "heading": "ما هو", "markdown": "استخراج الجذر يعكس رفع العدد إلى قوة. الجذر التكعيبي الموجب لثمانية هو اثنان لأن2³=8، لكن ليست كل مسألة ذات جواب صحيح تام. حين لا يكفي عدد صحيح، يلزم تحديد تقريب ومقدار ما يضمنه. هذا وصف رياضي حديث للسؤال الذي تسميه إيرانيكا استخراج الجذور العام، والتربيعي فيه حالة خاصة {cite:iranica-kashi calculation}.\n\nليس كل جذر حلاً لكل معادلة جبرية. كتابةxⁿ=A تحدد نوع المسألة، ولا تجعل طريقة حلها تلقائياً خوارزمية لكل كثير حدود. المقارنة اللاحقة بهورنر لا تمحو هذا التقييد. كما أن الاختصار لا يعني أن مصدرنا وصف كل حركة قلم أو ترتيب أعمدة أو مقدار دقة تاريخي في هذا الموضع {cite:kashi-mactutor root-extraction}." }, { "heading": "العالم قبله", "markdown": "تؤكد ماكتوتر السوابق في مدرسة [[person/al-karaji|الكرجي]] والسموأل، من خلال عرضها لأبحاث راشد. لم تُقرأ هنا تلك الأعمال الأصلية مستقلة، ولذلك لا نختلق منها صيغة أو جدولاً. وجود سابقة لا يلغي قيمة تنظيمها وتوسيع استعمالها، كما أن عرضاً قوياً في كتاب لاحق لا يبيح إلغاء كل من سبقه {cite:kashi-mactutor root-extraction}.\n\nوتذكر إيرانيكا احتمال صلة بطريقة صينية أقدم، مع تمييز مستوى دمجها في عمل الكاشي. هذا خبر احتمالي منسوب إلى الباحث، لا سلسلة سفر لمخطوط حدد المتحف مسارها. يمكن أن نقارن إجراءات من غير أن ندعي أن كل تشابه يثبت الاقتباس أو أن كل اختلاف يثبت الاختراع المستقل {cite:iranica-kashi calculation}." }, { "heading": "القصة", "markdown": "تؤرخ ماكتوتر إتمام المفتاح في2مارس1427؛ تحتفظ البطاقة بالسنة1427/830 كما في سياق الكتاب المسجل، لا بيوم اكتشاف طريقة الجذر نفسها. لا نخلط تاريخ تأليف المصنف بتاريخ ولادة كل إجراء فيه، أو بتاريخ نسخة أو طبعة حديثة. يظل الفرق مهماً لأن كتاباً تعليمياً يجمع معرفة متراكمة لا واقعة يوم واحد {cite:kashi-mactutor Key} {cite:tdv-kashi-okten work7}.\n\nيتصل الكتاب ببيئة [[place/samarqand|سمرقند]] وتعليم الدارسين الذين يحتاجون حساباً للفلك والمساحة والعمارة والمحاسبة والتجارة. هذه أغراض للكتاب في عرض المصادر، وليست شهادة أن مثالنا الحديث استعمل في دكان أو بناء بعينه. ولا نختلق حواراً بين الكاشي وطلابه ليبدو المشهد أقرب مما تسمح به الشواهد {cite:kashi-mactutor Key}." }, { "heading": "المخترع والمخترعون", "markdown": "تصف ماكتوتر الكاشي فردياً بأنه عالم رياضيات إسلامي. تحتفظ بطاقة الشخص بهذا الأساس منفصلاً من الإطار السني المعلن للمتحف؛ لا نستنتج مذهباً شخصياً جديداً من الأصل الجغرافي أو الراعي أو نجاح خوارزمية. إسهام تقني محدد لا يحتاج لقب «مخترع الحساب كله» ليكون جديراً بالفهم {cite:kashi-mactutor biography}.\n\nدوره هنا مطور في تقليد سابق. لوكي وراشد مؤرخان قرآ العمل بعد قرون، وليسَا شريكين في تأليفه؛ وروفيني وهورنر طرفا مقارنة لاحقة، لا تلميذين نثبت انتقالاً مباشراً إليهما. كذلك تبقى مساهمات الكاشي الأخرى منفصلة: لوحة الاقتران وقياس المقرنص لا تتحولان إلى خطوات خوارزمية الجذور لمجرد ورودها في سيرة الشخص نفسه {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-works}." }, { "heading": "كيف يعمل", "markdown": "نقدم الآن مثالاً تعليمياً حديثاً، لا استعادة حرفية للجدول التاريخي. نبحث عن الجذر التكعيبي الموجب لعشرة. لأن2³=8 و3³=27، يقع بين2 و3. لا تكفي عبارة «قريب من اثنين» إذا أردنا دقة معلومة؛ نقارن القوى عند حدود أضيق، ونعلن المجال بدلاً من رقم طويل بلا ضمان.\n\nتوضح هوية حديثة كيف نحسب كلفة زيادة حد:إذا كانa تقديراً وb زيادة، فإن(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³. لا يكفي الاحتفاظ بالحد الأول أو افتراض أن تضاعف الحرف يضاعف الحجم فقط. اختيار رقم عشري جديد يمكن اختباره بقوة صحيحة بعد تكبير المقياس؛ هذه وسيلة شرح مستقلة، لا نسبة رموزنا إلى المؤلف.\n\nعند ثلاث منازل،2154³=9993948264 و2155³=10007873875. نقارنهما بالعدد10000000000، وهو عشرة مضروبة في1000³. لذلك2.154≤الجذر التكعيبي لعشرة<2.155. طول المجال0.001، والتقريب المقطوع2.154 ينقص عن الجذر بأقل من ذلك؛ ليس هذا ادعاء أن الرقم نفسه مقرب إلى الأقرب أو أن خطأ التكعيب يساوي خطأ الجذر.\n\nتستند صحة الحصر إلى تزايد القوة التكعيبية على المقادير الموجبة. ونختار الفرع الموجب صراحة؛ في الجذر الزوجي لعدد موجب قد توجد إشارتان لحل المعادلة، بينما الرمز المدرسي للجذر الرئيسي يختار غير السالب. هذه فروق رياضية حديثة تمنع الخلط، ولا تدعي أنها جميعاً صيغت في فصل الكاشي بالألفاظ نفسها." }, { "heading": "الانتشار", "markdown": "تذكر TDV حضور المفتاح في التعليم العثماني، وتورد ترجمة إبراهيم كامي للمقالة الرابعة. لا ننقل هذا الخبر إلى ترجمة مثبتة لكل فصل من الجذور، ولا نساوي شهرة الكتاب بعدد مستعملي خوارزمية معينة. الكتاب يجمع موضوعات كثيرة، وانتقال جزء لا يثبت انتقال كل جزء معه {cite:tdv-kashi-okten work7}.\n\nتقول ماكتوتر إن جانباً من إنجازات الكاشي ظل غير معروف بأوروبا حتى دراسات تاريخ العلم الحديثة. لذلك لا تتحول عبارة «يشبه هورنر» إلى قصة بريد خفي أو تدريس مباشر. المقارنة في البنية الرياضية شيء، وإثبات أن مؤلفاً لاحقاً قرأ نصاً سابقاً شيء آخر يحتاج وثيقته الخاصة {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-reception}." }, { "heading": "ما بُني عليه", "markdown": "السياق الحسابي الذي تعرضه السيرة يربط الصحيح والكسور والأنظمة العددية؛ والكاشي ليس أول مستعمل للكسور العشرية. تشدد ماكتوتر على سوابق مدرسة الكرجي والسموأل أيضاً في هذا الباب. لا نجعل تكرار اسم العشري في مثالنا مناسبة لإعادة الادعاء بأنه اخترع كل كسر من هذا النوع {cite:kashi-mactutor decimals-and-roots}.\n\nأما نموذج الشرح فيبنى على الضرب والقوى والحصر. الفرق بين قيمة تامة مثل الجذر التكعيبي لثمانية وتقريب قيمة أخرى لا يختفي بزيادة عدد الأرقام المكتوبة. يمكن أن تكون النتيجة مضبوطة بمعادلة، ويمكن أن يكون المجال مضبوطاً بمقارنتين؛ ليس كل عدد طويل دقيقاً لمجرد أن منظره يوحي بذلك." }, { "heading": "ما بُني فوقه", "markdown": "تعرض المقارنة التاريخية الكاشي بوصفه حلقة تطور بين إجراءات موروثة وأوصاف لاحقة يمكن للمؤرخ مقارنتها. لا نثبت بها نسباً لكل برنامج حاسوب أو آلة حاسبة حديثة. ولا نسمّي أي تكرار عددي لطريقة حل معادلة «طريقة الكاشي» بلا فحص مجال المسألة وبنية الإجراء {cite:kashi-mactutor root-extraction}.\n\nفي التعليم الحديث يمكن فصل ثلاثة أسئلة:هل نريد جزءاً صحيحاً؟ هل نريد منازل عشرية؟ أم نريد حداً للخطأ؟ نجيب عنها في أمثلتنا ولا نضع الإجابات في فم المؤلف. كذلك لا تعني معرفة جذرn أن كل فرع حقيقي أو مركب لكل معادلة أصبح محلولاً. توضيح الحدود يجعل الإنجاز أدق لا أصغر." }, { "heading": "الأثر في الحياة", "markdown": "الفلك والمساحة والعمارة والمحاسبة والتجارة من أغراض الكتاب كما تصفها ماكتوتر. يمكن أن تظهر الجذور عند العودة من مقادير إلى أطوال، لكن المصدر المقروء لا يقدم سجلاً يقول إن مكعباً حجمه عشرة صنع في سمرقند بهذه الطريقة. المثال في المعرض تعليمي لا قياس لأثر محفوظ {cite:kashi-mactutor Key}.\n\nولا نذكر وفراً زمنياً أو نسبة أخطاء أقل بين البنائين من غير تجربة أو سند. ما نستطيع وصفه هو امتلاك أداة عددية ضمن كتاب يسعى إلى تعليم حساب متنوع. هذه صلة عملية معقولة يحددها المصدر، لا ترخيص لإسناد كل جسر أو قبة أو صفقة إلى فصل واحد من الكتاب {cite:kashi-mactutor Key} {cite:iranica-kashi calculation}." }, { "heading": "كيف غيّر التاريخ", "markdown": "تساعد القصة على تجاوز ثنائية المخترع الأول والناقل السلبي. تعرض ماكتوتر تصحيح نسبتين:أولوية الكسور وأولوية طرائق الجذور، مع الإبقاء على قيمة عمل الكاشي. كون مادة موجودة قبله لا يجعل كل تنظيم وشرح فيها خالياً من الإضافة؛ والاعتراف بالإضافة لا يستدعي حذف السابقة {cite:kashi-mactutor decimals-and-roots}.\n\nوترى إيرانيكا في الدمج والتطوير الحسابي جانباً مهماً من عمله، مع فصل ذلك عن إبداع نظري جديد في الكواكب. نفهم الفعل الذي أدى إليه الدليل:حساب وتعليم وتركيب، لا لقباً عاماً يجعل العالم صاحب كل علم. وعندما تنقل المادة رأي باحث تظل النسبة ظاهرة لا حكماً نهائياً من المتحف {cite:iranica-kashi calculation}." }, { "heading": "من اخترعه حقاً؟", "markdown": "**أهل السنة — الإطار المعلن:** أساس هوية الكاشي الفردية محفوظ، والإطار لا يحسم أولوية خوارزمية. **القراءة الأكاديمية:** مقارنة لوكي بروفيني وهورنر تقابلها تنبيهات راشد إلى سوابق الكرجي والسموأل، كما تنقلها ماكتوتر. تبقى البطاقة تحسيناً في تقليد لا شهادة ميلاد للجذر في تاريخ البشرية {cite:kashi-mactutor biography-and-root-extraction}.\n\nوالصلة الصينية المحتملة خبر منسوب في إيرانيكا، لا يقين نختاره لإغلاق السؤال. لم تفحص البطاقة نصوص الطرفين أو خطوط انتقالهما، فلا تنفي إمكان تبادل المعرفة ولا تدعي إثباته. كذلك لا تعيد اختراع مسألة الجيب التكعيبية في بطاقة ثانية، لأن نطاق الجذور العامة هنا مختلف {cite:iranica-kashi calculation} {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-sine}." }, { "heading": "اليوم", "markdown": "يمكن التحقق من مثالنا بأعداد صحيحة كبيرة بدلاً من الاعتماد على شاشة تعرض جذراً مستديراً فقط. مقارنة2154³ و2155³ بالعدد المرجعي تثبت المجال حتى إذا لم نطبع كل أرقام الجذر. وهذه دقة يمكن وصفها:المسافة أقل من جزء من ألف للقطع المذكور، لا عبارة تسويقية من قبيل «بلا خطأ».\n\nالصورة مكعب حديث لشرح أن معرفة الحجم تثير سؤال طول الحرف. لا تعرض جدول الكاشي، ولا تثبت خوارزمية تاريخية أو قياس بناء قديم. الحرفd على ثلاثة أضلاع يوضح تساويها؛ ليس قطراً لدائرة، ولا برهاناً أن الرسم يحمل مقاييس أصلية من القرن الخامس عشر {cite:commons-cube-mckenna current-image}." }, { "heading": "الشواهد الباقية", "markdown": "قُرئت أقسام الجذور والكتاب في السيرة العلمية وإيرانيكا وTDV. لم تُقرأ لهذا البحث العربية الكاملة أو دراسات لوكي وراشد المستقلة. ورقة تلخيص2000 اصطدمت بفحص أمني في الموقع والمتصفح؛ بيانات مورد كينيون2020 شوهدت، لكن الفيلم لم يُشاهد. لا يُسجل المحتوى المحجوب ضمن ما قرئ.\n\nصورة ماكينا مبنية على كود مارسيلو ريس، منشورة بكامونز2006 تحتCC BY-SA2.5. عوينت الصورة وبيانات الترخيص وخلفية بيضاء لفهم الشفافية، ويظل الملف الأصلي المنشور بلا تعديل. لا ننسخ صفحة علمية أو فيلم تعليم، ولا نستعمل تشابه الصور لتجاوز حقوقها {cite:commons-cube-mckenna description-rights}." }, { "heading": "في الثقافة", "markdown": "مفتاح الحساب عنوان يصل العلم بالإتاحة التعليمية، وتعرض السيرة وضوح الشرح وسعة المقاصد بوصفهما من قيمته. لا يلزم أن يكون كل من استفاد منه مخترعاً جديداً، ولا أن يصير كل مدرس صاحب طريقة عالمية مستقلة. يمكن تقدير أثر الصياغة من غير تضخيم العدد أو تحويل الكتاب إلى قائمة ألقاب {cite:kashi-mactutor Key}.\n\nوتتيح قصة الجذر سؤالاً عن معنى الجواب:أهو مساواة تامة، أم عدد قريب، أم مجال مضمون؟ هذه أسئلة المتحف التعليمية اليوم، وليست اقتباساً من درس قديم. الفصل بين الشاهد والشرح يمنع أن تصبح معرفتنا الحالية بديلاً صامتاً عن مادة الماضي التي نحاول فهمها." }, { "heading": "للصغار", "markdown": "إذا كان حجم مكعب8 وحدات مكعبة، فحرفه2 من وحدات الطول، لأن2×2×2=8. لا تخلط وحدة الحجم بوحدة الحرف، ولا تظن أن مضاعفة الحرف تضاعف الحجم مرة واحدة فقط. هذا تمرين حديث على معنى الجذر، لا قطعة أثرية قسناها أو تجربة نسبناها إلى الكاشي.\n\nثم اسأل عن حجم10. الجواب ليس2 بالضبط، لأن مكعب2 هو8. بين2.154 و2.155 مجال صغير يفصل الجواب عن التخمين العام. افحص القوى المكتوبة، ثم اسأل أي جزء شهد له المصدر وأي جزء شرحه المتحف اليوم؛ لا يلزم رسم جدول قديم مزيف لتصبح الفكرة مفهومة." }, { "heading": "المراجع", "markdown": "- ماكتوتر:الكتاب والجذور والسوابق {cite:kashi-mactutor Key-and-root-extraction}.\n- إيرانيكا:التركيب الحسابي والاتصال المحتمل {cite:iranica-kashi calculation}.\n- TDV:الكتاب وتأريخه وتداوله {cite:tdv-kashi-okten work7}.\n- كامونز:المكعب الحديث وحقوقه، لا مخطوط الكاشي {cite:commons-cube-mckenna description-rights}." } ], "frontmatter": { "id": "invention/kashi-general-root-extraction", "lang": "ar", "source_lang": "ar", "translators": [], "status": { "review": "published" }, "provenance": { "generated_by": "Copilot SDK in VS Code", "model": "unknown", "run": "inventions-p3-b77", "source": "ActualMacTutor/Iranicarootaccounts/TDV;notoriginalMiftah/Luckey/Rashed/blockedpaper/animation. Modernpower/digitexamplesindependent,notexacthistoricalalgorithm. Commonsimage/rightsinspected." } }, "updated": "2026-11-06" }, "en": { "sections": [ { "heading": "Summary", "markdown": "In the [[work/miftah-al-hisab-kashi|Key to Arithmetic]], [[person/al-kashi|Ghiyath al-Din al-Kashi]] treated numerical extraction of roots of general orders, not only square roots. MacTutor reports Luckey's comparison of his procedure with a special case of the later Ruffini/Horner methods. It also retains Rashed's qualification: earlier procedures existed in the school of al-Karaji, particularly al-Samawal. This is development and integration of inherited computation, not the first root known to humanity {cite:kashi-mactutor root-extraction}.\n\nThe subject differs from [[invention/kashi-sine-one-degree|the sine of one degree]], with its particular cubic problem, and from [[invention/al-kashi-pi-calculation|circumference calculation]]. Here the question is how to recover a number from one of its powers. The museum's examples are independently written modern explanations, not numbers or table layouts copied from an unexamined manuscript {cite:kashi-mactutor roots-and-sine}." }, { "heading": "What it is", "markdown": "Root extraction reverses raising a number to a power. The positive cube root of eight is two because2³=8; many other inputs do not yield a whole-number answer. Then a numerical procedure needs an approximation and some account of what that approximation guarantees. Iranica describes general root extraction with the square-root procedure as a special case {cite:iranica-kashi calculation}.\n\nThis is not automatically a solver for every algebraic equation. Writingxⁿ=A specifies a particular problem; a later comparison with Horner does not turn it into the entire general polynomial algorithm. Our secondary accounts also do not disclose every pen movement, column arrangement or historical precision setting. We distinguish a verified account of the contribution from a complete reconstruction we have not undertaken {cite:kashi-mactutor root-extraction}." }, { "heading": "The world before it", "markdown": "MacTutor explicitly acknowledges the al-Karaji school and al-Samawal through its discussion of Rashed's research. Their original works were not independently read for this entry. We therefore do not invent a table from them. Earlier existence does not erase the value of organizing or extending a procedure, but a strong later textbook cannot erase predecessors either {cite:kashi-mactutor root-extraction}.\n\nIranica also discusses a possible connection with an earlier Chinese technique, distinguishing the integration achieved in al-Kashi's work. That is an attributed possibility, not a manuscript travel route established here. Similar procedures can be compared without assuming that every resemblance proves borrowing or that every difference proves wholly independent invention {cite:iranica-kashi calculation}." }, { "heading": "The story", "markdown": "MacTutor dates completion of the Key to2March1427. The record uses1427/830 at year precision, as in the existing book context, not as the discovery date of the root algorithm. A book's completion, an individual procedure's development, a manuscript copy and a modern edition are different historical events. A teaching book can gather knowledge accumulated across generations {cite:kashi-mactutor Key} {cite:tdv-kashi-okten work7}.\n\nThe work belongs to the [[place/samarqand|Samarkand]] teaching environment and addresses calculation useful for astronomy, surveying, architecture, accounting and trade. These are purposes reported for the book, not evidence that our modern example was used in a particular workshop. We do not invent a conversation between teacher and students to make the setting appear better documented {cite:kashi-mactutor Key}." }, { "heading": "The maker(s)", "markdown": "MacTutor individually identifies al-Kashi as an Islamic mathematician. His person record retains that basis separately from the museum's declared Sunni frame; birthplace, patronage and algorithmic success do not establish an additional personal school affiliation. A specific achievement deserves explanation without the title “inventor of all arithmetic” {cite:kashi-mactutor biography}.\n\nHis role here is developer within an earlier tradition. Luckey and Rashed are later historians, not co-authors of the medieval book. Ruffini and Horner belong to a retrospective comparison, not a demonstrated direct teaching chain. The conjunction plate and muqarnas mensuration also remain separate contributions: sharing an author does not make them steps in a root-extraction algorithm {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-works}." }, { "heading": "How it works", "markdown": "Here is an independent modern teaching example, not a literal recovery of the historical table. Seek the positive cube root of ten. Since2³=8 and3³=27, it lies between two and three. “Near two” is insufficient if we want a stated accuracy. We compare powers at closer bounds and report an interval rather than an unexplained string of digits.\n\nA modern identity explains the effect of an increment:if a is an estimate and b an increase,(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³. Keeping just the first term does not account for the change. Doubling a cube's edge also does not merely double its volume. A new decimal digit can be tested using integer powers after scaling; this illustrates the mathematics without attributing our notation to the author.\n\nAt three decimal places,2154³=9993948264 and2155³=10007873875. Compare both with10000000000,which is ten multiplied by1000³. Consequently2.154≤the positive cube root of ten<2.155. The interval width is0.001,and the truncated lower value2.154 falls short by less than that. This is not a claim that the lower value is the nearest-rounded answer or that a cube's error equals its root's error.\n\nThe bound works because cubing increases on positive magnitudes. We explicitly select the positive branch:an even-power equation with positive input can have two real solutions, while the principal-root convention selects the nonnegative one. These modern distinctions prevent confusion; we do not claim that each was worded identically in al-Kashi's chapter." }, { "heading": "The spread", "markdown": "TDV reports the Key's use in Ottoman education and mentions Ibrahim Kami's translation of its fourth treatise. That does not independently establish a translation of every root-extraction chapter. Nor is the popularity of a large book a count of users of one specific algorithm. Transmission of one portion cannot silently become proof of transmission of every portion {cite:tdv-kashi-okten work7}.\n\nMacTutor explains that some of al-Kashi's achievements remained unknown in Europe until modern historical study. Thus “comparable to Horner” cannot become a story of hidden correspondence or direct instruction. Structural comparison and proof that a later author read a particular earlier text are distinct claims requiring distinct evidence {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-reception}." }, { "heading": "What it was built on", "markdown": "The biographical account places integer calculation, fractions and numerical systems within a broader computational world. Al-Kashi was not the first user of decimal fractions; MacTutor retains earlier al-Karaji-school and al-Samawal work in that discussion too. Decimal notation in our teaching example is not an excuse to reintroduce a sweeping invention claim {cite:kashi-mactutor decimals-and-roots}.\n\nOur explanatory model uses multiplication, powers and bounds. An exact value such as the cube root of eight remains different from an approximation to another value, however many digits are printed. An equality can establish exactness; two comparisons can establish a guaranteed interval. A long displayed number is not reliable merely because its appearance suggests precision." }, { "heading": "What was built on it", "markdown": "The historical comparison places al-Kashi within development between inherited procedures and later forms that historians can compare. It does not demonstrate ancestry for every computer program or modern calculator. Nor should any numerical iteration be named after him without checking the problem's domain and the structure of the actual procedure {cite:kashi-mactutor root-extraction}.\n\nModern teaching can separate three aims:an integer part, decimal places and an error bound. We answer those questions in our own examples rather than putting the answers into the medieval author's mouth. Knowing how to find an nth root also does not solve every real or complex branch of every equation. Clear limits make the contribution more intelligible, not less valuable." }, { "heading": "Impact on daily life", "markdown": "Astronomy, surveying, architecture, accounting and trading are purposes of the Key reported by MacTutor. Roots can arise when recovering lengths from other magnitudes, but the account read here contains no record of a ten-unit cube made in Samarkand using this procedure. Our cube is a teaching comparison, not a measurement of a surviving artefact {cite:kashi-mactutor Key}.\n\nWe report no time savings or reduction in builders' errors without evidence. What the sources support is a computational tool within a book teaching varied practical calculation. That is a meaningful connection, not permission to attribute every bridge, dome or transaction to one chapter. The book's intended range and a particular documented use must remain distinct {cite:kashi-mactutor Key} {cite:iranica-kashi calculation}." }, { "heading": "How it changed history", "markdown": "This account moves beyond the choice between solitary first inventor and passive transmitter. MacTutor qualifies two expansive priority claims—decimal fractions and root methods—while retaining al-Kashi's achievement. Earlier material does not imply that later organization or explanation adds nothing; acknowledging improvement does not require deleting earlier work {cite:kashi-mactutor decimals-and-roots}.\n\nIranica emphasizes computational integration and development while distinguishing it from novel theoretical planetary astronomy. The entry follows the evidenced action:calculation, teaching and synthesis, not a general title making one scholar the owner of every science. An attributed historian's interpretation remains visible as interpretation, not the museum's final verdict on all possible precedence {cite:iranica-kashi calculation}." }, { "heading": "Who invented it?", "markdown": "**Sunni—declared frame:**the individual Muslim basis is retained; the museum's frame does not settle algorithmic priority. **Academic account:**Luckey's Ruffini/Horner comparison is accompanied by Rashed's al-Karaji/al-Samawal precedents, as reported by MacTutor. The record therefore treats improvement within a tradition, not a birth certificate for roots in human history {cite:kashi-mactutor biography-and-root-extraction}.\n\nIranica's possible Chinese connection remains attributed possibility. This entry has not compared original texts on both sides or traced their routes. It neither rules out exchange nor pretends to prove it. It also does not count the sine-related cubic problem a second time:general extraction is a separately bounded subject {cite:iranica-kashi calculation} {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-sine}." }, { "heading": "Today", "markdown": "Our example can be checked with large integer powers instead of relying solely on a calculator's rounded root display. Comparing2154³ and2155³ with the reference integer proves an interval without printing every root digit. Its guarantee is describable:the lower truncation differs by less than one thousandth, not the promotional phrase “without error.”\n\nThe image is a modern cube showing why volume can raise a question about edge length. It is not al-Kashi's table and proves neither his algorithm nor a medieval building's measurement. Three labelsd identify equal edges, not a circle's diameter or original fifteenth-century dimensions {cite:commons-cube-mckenna current-image}." }, { "heading": "Surviving examples", "markdown": "The biographical, Iranica and TDV passages on roots and the Key were read. The full Arabic book and Luckey's or Rashed's independent studies were not read for this research. A2000summary paper was blocked by a security check in both retrieval and browser; Kenyon's2020resource metadata was seen, but the animation was not watched. Blocked content is not counted as reading.\n\nThe image by HMcKenna is based on Marcelo Reis's code, published on Commons in2006underCC BY-SA2.5. We inspected its rights and actual preview, including a white-background inspection composite to interpret transparency. The published original SVG remains unmodified. We neither reproduce a scholarly page nor treat an inaccessible teaching video as freely reusable media {cite:commons-cube-mckenna description-rights}." }, { "heading": "In culture", "markdown": "The title Key to Arithmetic links knowledge with teaching access. MacTutor treats clarity and breadth of purpose as part of the book's value. Not every beneficiary needs to be a new inventor, and not every teacher needs a separate worldwide-priority title. Exposition can matter without inflating totals or turning a book into a collection of trophies {cite:kashi-mactutor Key}.\n\nThe root story invites a question about answers:an exact equality, a nearby number or a guaranteed range? Those are the museum's teaching questions today, not quotations from a recovered medieval lesson. Separating evidence from explanation prevents current mathematical knowledge from silently replacing the past we are trying to understand." }, { "heading": "For young readers", "markdown": "If a cube has volume eight cubic units, its edge is two length units because2×2×2=8. Do not mix the volume unit with the edge unit, or assume doubling an edge doubles volume only once. This is a modern exercise about roots, not an artefact we measured or an experiment attributed to al-Kashi.\n\nNow ask about volume ten. Its edge is not exactly two, since two cubed is eight. The interval between2.154and2.155narrows the answer beyond a broad guess. Check the printed powers, then ask which part a historical source supports and which part the museum explains today. Understanding does not require a fabricated medieval table." }, { "heading": "References", "markdown": "- MacTutor:Key,roots and predecessors {cite:kashi-mactutor Key-and-root-extraction}.\n- Iranica:computational synthesis and possible connection {cite:iranica-kashi calculation}.\n- TDV:book dating and circulation {cite:tdv-kashi-okten work7}.\n- Commons:modern cube/rights,not a manuscript image {cite:commons-cube-mckenna description-rights}." } ], "frontmatter": { "id": "invention/kashi-general-root-extraction", "lang": "en", "source_lang": "ar", "translators": [ "Copilot SDK in VS Code" ], "status": { "review": "published" }, "provenance": { "generated_by": "Copilot SDK in VS Code", "model": "unknown", "run": "inventions-p3-b77", "source": "TranslationofArabic;actualMacTutor/Iranicarootaccounts/TDV,notoriginalbook/Luckey/Rashed/blockedpaper/unwatchedanimation. Modernexamplesindependent;Commonsrights/imageinspected." } }, "updated": "2026-11-06" }, "ur": { "sections": [ { "heading": "خلاصہ", "markdown": "[[work/miftah-al-hisab-kashi|مفتاح الحساب]] میں [[person/al-kashi|غیاث الدین کاشی]] مختلف درجوں کے عددی جذر بیان کرتے ہیں، صرف مربع جذر نہیں۔ میک ٹیوٹر لوکی کا یہ تقابل نقل کرتا ہے کہ ان کا طریقہ بعد کے روفینی اور ہارنر طریقوں کی ایک خاص صورت تھا۔ ساتھ ہی راشد کی تصحیح محفوظ ہے:کَرجی کے مدرسے، بالخصوص سموئل، میں پہلے طریقے موجود تھے۔ یہاں موروثی حساب کی ترقی و ترکیب موضوع ہے، انسانیت کا پہلا جذر نہیں {cite:kashi-mactutor root-extraction}۔\n\nیہ [[invention/kashi-sine-one-degree|ایک درجے کے جیب]] کے مخصوص تکعبی مسئلے اور [[invention/al-kashi-pi-calculation|محیط کے حساب]] سے الگ ہے۔ سوال یہ ہے کہ کسی عدد کی قوت معلوم ہو تو خود عدد کیسے نکالا جائے۔ نیچے عجائب گھر کی مثالیں جدید آزاد شرح ہیں؛ ان کے اعداد یا جدول کی ترتیب کسی غیر معائنہ شدہ مخطوطے کی نقل نہیں {cite:kashi-mactutor roots-and-sine}۔" }, { "heading": "یہ کیا ہے", "markdown": "جذر نکالنا قوت اٹھانے کا الٹ سوال ہے۔ آٹھ کا مثبت مکعب جذر دو ہے، کیونکہ2³=8۔ مگر ہر سوال کا جواب صحیح عدد نہیں نکلتا۔ تب تقریب اور اس کی ضمانت کی وضاحت درکار ہوتی ہے۔ ایرانیکا عمومی استخراج جذر کو بیان کرتا ہے، جس میں مربع جذر خاص صورت ہے؛ ہماری اصطلاحات اسی سوال کی جدید توضیح ہیں {cite:iranica-kashi calculation}۔\n\nیہ ہر جبری مساوات حل کرنے کا خودکار دعویٰ نہیں۔xⁿ=A لکھنے سے مسئلہ متعین ہوتا ہے، پورے کثیر رقمی الگورتھم کی ایجاد ثابت نہیں ہوتی۔ ہارنر سے بعد کا تقابل یہ حد ختم نہیں کرتا۔ پڑھے ہوئے ثانوی مآخذ ہر قلمی حرکت، کالم کی ترتیب یا اصل دقت کا مفصل نسخہ بھی نہیں دیتے۔ تاریخی نسبت اور مکمل بازیافت الگ ہیں {cite:kashi-mactutor root-extraction}۔" }, { "heading": "اس سے پہلے کی دنیا", "markdown": "میک ٹیوٹر، راشد کی تحقیق بیان کرتے ہوئے، [[person/al-karaji|کَرجی]] کے مدرسے اور سموئل کے پیش رو کام کو صراحت سے محفوظ رکھتا ہے۔ یہاں ان کی اصل کتابیں الگ نہیں پڑھی گئیں؛ ان سے جدول گھڑنا درست نہیں۔ پہلے طریقے کا وجود بعد کی ترتیب و توسیع کی اہمیت نہیں مٹاتا، مگر بعد کی عمدہ کتاب بھی پہلے والوں کو حذف نہیں کرسکتی {cite:kashi-mactutor root-extraction}۔\n\nایرانیکا پہلے چینی طریقے سے ممکنہ تعلق بھی ذکر کرتا ہے، ساتھ کاشی کے کام میں انضمام کو الگ پہلو سمجھتا ہے۔ یہ محقق سے منسوب امکان ہے، مخطوطے کے سفر کی ثابت شدہ راہ نہیں۔ مماثلت کا تقابل کیا جاسکتا ہے، مگر ہر مشابہت اقتباس اور ہر فرق مکمل آزاد ایجاد ثابت نہیں کرتا {cite:iranica-kashi calculation}۔" }, { "heading": "کہانی", "markdown": "میک ٹیوٹر مفتاح کی تکمیل2مارچ1427بتاتا ہے۔ ریکارڈ موجود کتابی سیاق کے مطابق1427/830کو سال کی دقت پر رکھتا ہے، جذر طریقے کی دریافت کے دن کے طور پر نہیں۔ تصنیف کی تکمیل، کسی عمل کی نشوونما، مخطوطے کی نقل اور نئی اشاعت مختلف واقعات ہیں۔ تعلیمی کتاب کئی نسلوں کی معلومات جمع کرسکتی ہے {cite:kashi-mactutor Key} {cite:tdv-kashi-okten work7}۔\n\nکتاب [[place/samarqand|سمرقند]] کے تدریسی ماحول اور فلکیات، مساحت، عمارت، محاسبہ اور تجارت میں حساب کی ضرورت سے مربوط ہے۔ یہ مآخذ کے بتائے کتابی مقاصد ہیں، ہماری جدید مثال کے کسی خاص کارخانے میں استعمال کا ثبوت نہیں۔ ہم استاد و شاگرد کا مکالمہ گھڑ کر ماحول کو شواہد سے زیادہ روشن ظاہر نہیں کرتے {cite:kashi-mactutor Key}۔" }, { "heading": "بنانے والے", "markdown": "میک ٹیوٹر کاشی کو فرداً اسلامی ریاضی دان کہتا ہے۔ شخصی کارڈ یہ بنیاد عجائب گھر کے معلن سنی فریم سے الگ محفوظ رکھتا ہے۔ مقام پیدائش، سرپرست یا حساب کی کامیابی سے نیا شخصی مسلک ثابت نہیں ہوتا۔ ایک محدود فنی کارنامہ سمجھنے کے لیے اسے پوری ریاضی کی ایجاد قرار دینا ضروری نہیں {cite:kashi-mactutor biography}۔\n\nیہاں ان کا کردار پہلے سے موجود روایت میں ترقی دینے والے کا ہے۔ لوکی اور راشد بعد کے مؤرخ ہیں، قدیم کتاب کے شریک مصنف نہیں۔ روفینی و ہارنر بعد کے تقابل میں آتے ہیں، ثابت شدہ براہ راست تدریسی سلسلے میں نہیں۔ اقتران کی تختی اور مقرنس کی پیمائش بھی الگ کارنامے ہیں؛ ایک مصنف ہونے سے وہ جذر کے قدم نہیں بن جاتے {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-works}۔" }, { "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے", "markdown": "اب ایک آزاد جدید تدریسی مثال دیکھیں، تاریخی جدول کی لفظی بازیافت نہیں۔ دس کا مثبت مکعب جذر مطلوب ہے۔ چونکہ2³=8اور3³=27، جواب دو اور تین کے درمیان ہے۔ اگر معلوم دقت چاہیے تو صرف «دو کے قریب» کافی نہیں۔ قریب تر حدوں پر قوتیں مقابل کرکے ایک مجال بتاتے ہیں، بے ضمانت طویل عدد نہیں۔\n\nجدید شناخت بتاتی ہے کہ اضافے کی قیمت کیا ہے:اگرaتخمینہ اورbاضافہ ہو تو(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³۔ صرف پہلا جز رکھنا تبدیلی کا پورا حساب نہیں۔ ضلع دوگنا ہونے سے حجم محض دوگنا نہیں ہوتا۔ نئی اعشاری ہندسے کی جانچ پیمانہ بڑھا کر صحیح عددی قوتوں سے ہوسکتی ہے؛ یہ شرح ہے، مصنف کی علامتوں کا دعویٰ نہیں۔\n\nتین اعشاری مقامات پر2154³=9993948264اور2155³=10007873875۔ دونوں کو10000000000سے مقابل کریں، جو دس ضرب1000³ہے۔ پس2.154≤دس کا مثبت مکعب جذر<2.155۔ مجال کی چوڑائی0.001ہے، اور کٹی ہوئی زیریں قیمت2.154اصل جذر سے اس سے کم فاصلے پر ہے۔ یہ قریب ترین گول جواب یا مکعب و جذر کی برابر خطا کا دعویٰ نہیں۔\n\nحصر درست ہے کیونکہ مثبت مقداروں پر تکعب بڑھتا جاتا ہے۔ مثبت شاخ صراحت سے منتخب ہے:مثبت عدد کی جفت قوت کی مساوات کے دو حقیقی حل ہوسکتے ہیں، جبکہ مرکزی جذر غیر منفی قدر لیتا ہے۔ یہ جدید فرق الجھن روکتے ہیں؛ ہم نہیں کہتے کہ کاشی کے باب میں ہر بات انہی لفظوں میں لکھی تھی۔" }, { "heading": "پھیلاؤ", "markdown": "TDVمفتاح کے عثمانی تعلیم میں استعمال اور ابراہیم کامی کی چوتھی مقالے کی ترجمانی بتاتا ہے۔ اس خبر سے ہر استخراج جذر باب کا ترجمہ خود بخود ثابت نہیں ہوتا۔ بڑی کتاب کی شہرت ایک خاص طریقے کے استعمال کرنے والوں کی گنتی بھی نہیں۔ ایک حصہ منتقل ہونے سے تمام حصوں کا انتقال ثابت نہیں کیا جاسکتا {cite:tdv-kashi-okten work7}۔\n\nمیک ٹیوٹر بیان کرتا ہے کہ کاشی کے بعض کارنامے جدید تاریخی تحقیق تک یورپ میں معلوم نہ تھے۔ لہذا «ہارنر سے مشابہ» کو خفیہ خط و کتابت یا براہ راست تعلیم کی کہانی نہیں بنانا چاہیے۔ ساختی تقابل اور بعد کے مصنف کے پہلے متن کو پڑھنے کا ثبوت الگ دعوے ہیں، جن کے الگ شواہد چاہییں {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-reception}۔" }, { "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی", "markdown": "سوانحی بیان صحیح اعداد، کسور اور عددی نظام کو وسیع حسابی ماحول میں رکھتا ہے۔ کاشی اعشاری کسور کے پہلے صارف نہیں تھے؛ میک ٹیوٹر یہاں بھی کرجی کے مدرسے اور سموئل کے پہلے کام کو محفوظ رکھتا ہے۔ ہماری مثال کے اعشار پوری اعشاری روایت کی ایجاد کا بڑا دعویٰ واپس لانے کی وجہ نہیں {cite:kashi-mactutor decimals-and-roots}۔\n\nہماری شرح ضرب، قوت اور حد پر قائم ہے۔ آٹھ کے مکعب جذر جیسی تام قدر دوسری مقدار کے تقریب سے مختلف رہے گی، چاہے کتنے ہندسے چھاپ دیں۔ مساوات تام جواب ثابت کرسکتی ہے؛ دو مقابلے ضمانت والی مجال ثابت کرسکتے ہیں۔ لمبا عدد صرف ظاہری دقت کی وجہ سے قابل اعتماد نہیں ہوجاتا؛ ضمانت کی نوعیت بھی واضح ہونی چاہیے۔" }, { "heading": "اس پر کیا بنایا گیا", "markdown": "تاریخی تقابل کاشی کو موروثی طریقوں اور بعد کی ایسی صورتوں کے درمیان رکھتا ہے جن کا مؤرخ تقابل کرسکتے ہیں۔ اس سے ہر کمپیوٹر پروگرام یا کیلکولیٹر کا نسب ثابت نہیں ہوتا۔ مسئلے کے دائرے اور عمل کی ساخت جانچے بغیر کسی بھی عددی تکرار کو کاشی کا طریقہ بھی نہیں کہنا چاہیے {cite:kashi-mactutor root-extraction}۔\n\nجدید تعلیم میں تین مقاصد الگ کیے جاسکتے ہیں:صحیح حصہ، اعشاری مقامات، اور خطا کی حد۔ ہماری مثالیں ان سوالوں کے جواب دیتی ہیں، قدیم مصنف کے منہ میں جواب نہیں ڈالتیں۔ ایکnدرجے کا جذر نکالنا ہر مساوات کی تمام حقیقی و مختلط شاخیں حل کرنا بھی نہیں۔ واضح حدود کارنامے کو چھوٹا نہیں، قابل فہم بناتی ہیں۔" }, { "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر", "markdown": "فلکیات، مساحت، عمارت، محاسبہ اور تجارت میک ٹیوٹر کے بتائے کتابی مقاصد ہیں۔ مقدار سے لمبائی واپس نکالتے وقت جذر کا سوال آسکتا ہے، مگر پڑھے بیان میں ایسا ریکارڈ نہیں کہ سمرقند میں دس حجم کا مکعب اسی طریقے سے بنا۔ ہمارا مکعب تعلیمی تقابل ہے، محفوظ شے کی پیمائش نہیں {cite:kashi-mactutor Key}۔\n\nثبوت کے بغیر وقت بچنے یا معماروں کی غلطیاں کم ہونے کی شرح نہیں بتاتے۔ مآخذ مختلف عملی حساب سکھانے والی کتاب میں ایک عددی آلہ دکھاتے ہیں۔ یہ بامعنی عملی تعلق ہے، ہر پل، گنبد یا سودے کو ایک باب سے منسوب کرنے کا اجازت نامہ نہیں۔ کتاب کے مقصود دائرے اور خاص ثابت استعمال میں فرق قائم رہتا ہے {cite:kashi-mactutor Key} {cite:iranica-kashi calculation}۔" }, { "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا", "markdown": "یہ داستان اکیلے پہلے موجد اور بے عمل ناقل کی دو انتہاؤں سے آگے جاتی ہے۔ میک ٹیوٹر اعشاری کسور اور جذر طریقوں کی دو بڑی اولینیتی نسبتیں محدود کرتا ہے، پھر بھی کاشی کا کام اہم رکھتا ہے۔ پہلے مواد کی موجودگی کا مطلب نہیں کہ بعد کی ترتیب و شرح بے اضافہ ہے؛ بہتری تسلیم کرنے کے لیے پیش رو مٹانا لازم نہیں {cite:kashi-mactutor decimals-and-roots}۔\n\nایرانیکا عددی انضمام و ترقی کو اہم سمجھتا ہے، اسے سیاروی نظریے میں نئی نظریاتی ایجاد سے الگ رکھتا ہے۔ کارڈ ثابت فعل کے ساتھ چلتا ہے:حساب، تعلیم اور ترکیب، ایسا عمومی لقب نہیں جو ہر علم ایک عالم کی ملکیت بنادے۔ مؤرخ کی منسوب تعبیر تعبیر ہی رہتی ہے، تمام ممکنہ اولینیت پر عجائب گھر کا آخری فیصلہ نہیں {cite:iranica-kashi calculation}۔" }, { "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟", "markdown": "**اہل سنت—معلن فریم:**فردی مسلم بنیاد محفوظ ہے؛ فریم الگورتھم کی اولینیت طے نہیں کرتا۔ **علمی بیان:**لوکی کا روفینی و ہارنر تقابل، میک ٹیوٹر کی نقل میں، راشد کے کرجی و سموئل والے پیش رو کے ساتھ آتا ہے۔ اس لیے ریکارڈ روایت کے اندر بہتری ہے، انسانی تاریخ میں جذر کا پیدائشی سرٹیفکیٹ نہیں {cite:kashi-mactutor biography-and-root-extraction}۔\n\nایرانیکا کا چینی ربط منسوب امکان رہتا ہے۔ دونوں طرف کے اصل متون اور ان کے سفر کا اس کارڈ نے تقابل نہیں کیا؛ تبادلہ ناممکن نہیں کہتا، ثابت بھی نہیں بتاتا۔ جیب کا مخصوص تکعبی مسئلہ دوبارہ گننے کی کوشش بھی نہیں:عمومی استخراج یہاں الگ محدود موضوع ہے، محض تعداد بڑھانے کا نیا نام نہیں {cite:iranica-kashi calculation} {cite:kashi-mactutor root-extraction-and-sine}۔" }, { "heading": "آج", "markdown": "ہماری مثال بڑے صحیح عددی قوتوں سے جانچی جاسکتی ہے، صرف کیلکولیٹر کے گول جذر پر انحصار نہیں۔2154³اور2155³کا مرجع صحیح عدد سے تقابل، تمام ہندسے چھاپے بغیر مجال ثابت کرتا ہے۔ ضمانت بیان ہوسکتی ہے:زیریں قطع ایک ہزارویں سے کم مختلف ہے، یہ اشتہاری «بے خطا» جواب نہیں۔\n\nتصویر جدید مکعب ہے، حجم سے ضلع کے سوال کو سمجھاتی ہے۔ یہ کاشی کا جدول، ان کے الگورتھم کا ثبوت یا قدیم عمارت کی پیمائش نہیں۔ تینdمساوی کناروں کی علامت ہیں، دائرے کا قطر نہیں؛ نہ تصویر پندرھویں صدی کی اصل ابعاد ظاہر کرتی ہے۔ بصری مثال اور تاریخی شہادت کی سرحد قائم ہے {cite:commons-cube-mckenna current-image}۔" }, { "heading": "باقی ماندہ شواہد", "markdown": "سوانح، ایرانیکا اورTDVمیں جذر و مفتاح کے متعلق حصے پڑھے گئے۔ پوری عربی کتاب اور لوکی و راشد کی الگ تحقیقات اس کام میں نہیں پڑھی گئیں۔2000کا خلاصہ مقالہ براؤزر اور بازیافت دونوں میں حفاظتی جانچ سے رکا؛ کینیون2020وسیلے کے کوائف دیکھے، فلم نہیں دیکھی۔ بند مواد کو مطالعہ نہیں گنتے۔\n\nایچ مکینا کی تصویر مارسِلو ریس کے کوڈ پر مبنی، کامنز پر2006میںCC BY-SA2.5کے تحت شائع ہے۔ حقوق اور اصل منظر دیکھے، شفافیت سمجھنے کو سفید پس منظر کی معائنہ نقل بھی بنائی۔ شائع شدہ اصلSVGبلا ترمیم ہے۔ علمی صفحہ یا ناقابل رسائی فلم نقل نہیں کرتے؛ تصویر کا مشابہ ہونا حقوق ختم نہیں کرتا {cite:commons-cube-mckenna description-rights}۔" }, { "heading": "ثقافت میں", "markdown": "مفتاح الحساب کا عنوان علم کو تدریسی رسائی سے جوڑتا ہے۔ میک ٹیوٹر وضاحت و مقاصد کی وسعت کو کتاب کی قدر کا حصہ بتاتا ہے۔ ہر فائدہ لینے والے کو نیا موجد یا ہر مدرس کو عالمی اولینیت کا الگ تمغہ نہیں چاہیے۔ بیان کی اہمیت تسلیم ہوسکتی ہے، تعداد پھلائے یا کتاب کو القاب کا صندوق بنائے بغیر {cite:kashi-mactutor Key}۔\n\nجذر کا قصہ جواب کی نوعیت پر سوال کھولتا ہے:تام مساوات، قریب عدد، یا ضمانت والی حد؟ یہ آج عجائب گھر کے تعلیمی سوال ہیں، بازیافت شدہ قدیم سبق کے اقتباس نہیں۔ شہادت و شرح کی علیحدگی آج کے ریاضی علم کو چپکے سے اس ماضی کا متبادل بننے سے روکتی ہے جسے ہم سمجھنا چاہتے ہیں۔" }, { "heading": "بچوں کے لیے", "markdown": "مکعب کا حجم آٹھ مکعب اکائی ہو تو ضلع دو طول اکائی ہے، کیونکہ2×2×2=8۔ حجم کی اکائی کو ضلع کی اکائی نہ سمجھیں؛ ضلع دوگنا ہونے سے حجم صرف ایک بار دوگنا نہیں ہوتا۔ یہ جذر کی جدید مشق ہے، ہماری ناپی ہوئی قدیم چیز یا کاشی سے منسوب تجربہ نہیں۔\n\nاب دس حجم پوچھیں۔ ضلع پورا دو نہیں، کیونکہ دو کا مکعب آٹھ ہے۔2.154اور2.155کے درمیان حد جواب کو عام اندازے سے زیادہ محدود کرتی ہے۔ قوتیں جانچیں، پھر پوچھیں تاریخی ماخذ کس حصے کو ثابت کرتا ہے اور عجائب گھر آج کون سا حصہ سمجھاتا ہے۔ سمجھنے کے لیے جعلی قدیم جدول بنانا ضروری نہیں۔" }, { "heading": "مراجع", "markdown": "- میک ٹیوٹر:کتاب، جذر اور پیش رو {cite:kashi-mactutor Key-and-root-extraction}۔\n- ایرانیکا:عددی ترکیب اور ممکنہ ربط {cite:iranica-kashi calculation}۔\n- TDV:کتاب کی تاریخ و گردش {cite:tdv-kashi-okten work7}۔\n- کامنز:جدید مکعب و حقوق، مخطوطہ نہیں {cite:commons-cube-mckenna description-rights}۔" } ], "frontmatter": { "id": "invention/kashi-general-root-extraction", "lang": "ur", "source_lang": "ar", "translators": [ "Copilot SDK in VS Code" ], "status": { "review": "published" }, "provenance": { "generated_by": "Copilot SDK in VS Code", "model": "unknown", "run": "inventions-p3-b77", "source": "TranslationofArabic;actualMacTutor/Iranicarootaccounts/TDV,notoriginalbook/Luckey/Rashed/blockedpaper/unwatchedanimation. Modernexamplesindependent;Commonsrights/imageinspected." } }, "updated": "2026-11-06" } }, "degree": 4, "contemporaries": [], "updated": "2026-11-06", "connections": [ { "to": "person/al-kashi", "type": "improved_by", "inverse": true, "derived": true, "role": "improver", "note": "General numerical roots in the Key,with al-Karaji/al-Samawal precedents;not duplicate sine cubic or proof of transfer to Horner.", "sources": [ "source/iranica-kashi", "source/kashi-mactutor" ] }, { "to": "work/miftah-al-hisab-kashi", "type": "described_by", "inverse": true, "derived": true, "sources": [ "source/kashi-mactutor", "source/iranica-kashi", "source/tdv-kashi-okten", "source/commons-cube-mckenna" ] } ], "related": [ "invention/kashi-muqarnas-mensuration", "invention/al-kashi-pi-calculation", "invention/kashi-conjunction-plate", "invention/kashi-sine-one-degree", "place/samarqand", "person/al-kashi", "work/miftah-al-hisab-kashi" ], "license": { "prose": "CC BY-SA 4.0", "data": "CC0 1.0" } }