{
 "id": "invention/kashi-sine-one-degree",
 "class": "invention",
 "slug": "kashi-sine-one-degree",
 "label": {
  "ar": "حساب الكاشي التكراري لجيب درجة واحدة",
  "en": "Al-Kashi's iterative sine-one-degree computation",
  "ur": "ایک درجے کے جیب کا کاشی کا تکراری حساب"
 },
 "summary": {
  "ar": "تحسين عددي مرتبط بمعادلة تكعيبية في رسالة الوتر والجيب، لا اختراع الجيب أو تثليث بالمسطرة والفرجار {cite:kashi-mactutor final treatise}.",
  "en": "Numerical improvement associated with a cubic in the Chord and Sine, not invention of sine or straightedge-and-compass trisection {cite:kashi-mactutor final treatise}.",
  "ur": "وتر و جیب میں مکعبی مساوات سے متعلق عددی بہتری؛ جیب یا خط کش و پرکار سے تثلیث کی ایجاد نہیں {cite:kashi-mactutor final treatise}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "persia-central-asia"
 ],
 "periods": [
  "period/mongol-post-mongol"
 ],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "kind": "alternate",
    "lang": "en",
    "value": "Numerical cubic solution associated with the Chord and Sine"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "algorithm",
  "disciplines": [
   "mathematics",
   "astronomy"
  ],
  "era": {
   "origins": "middle-period",
   "first_attested": {
    "edtf": "../1429",
    "calendar": "julian",
    "precision": "year",
    "status": "historical",
    "note": "Open latest lifetime bound for al-Kashi's contribution, not fixed composition/completion date or date of later commentary. MacTutor discusses possible unfinished work; Iranica lists title in1427 Key introduction. No guessed Hijri.",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/iranica-kashi"
    ]
   },
   "status_today": "transformed"
  },
  "origin": {
   "place": "place/samarqand",
   "context": {
    "ar": "المحيط الحسابي الفلكي في سمرقند؛ المشاركة في المكان لا تثبت الاشتراك في كل طريقة {cite:qadi-zada-mactutor sine computation}.",
    "en": "Samarkand's mathematical-astronomical milieu; shared setting does not establish joint authorship of each method {cite:qadi-zada-mactutor sine computation}.",
    "ur": "سمرقند کا ریاضی و فلکی ماحول؛ مشترک مقام ہر طریقے کی مشترک تصنیف نہیں {cite:qadi-zada-mactutor sine computation}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/al-kashi",
    "role": "improver",
    "note": "Existing sourced Muslim basis and separate default Sunni frame retained. Iterative numerical contribution; uncertain later completion/commentary not joint invention certificate.",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor",
     "source/tdv-kashi-okten"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "تحسين حساب جيب درجة واحدة بطريقة عددية تكرارية.",
    "en": "Improved computation of sine one degree through numerical iteration.",
    "ur": "تکراری عددی طریقے سے ایک درجے کے جیب کے حساب میں بہتری۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "ماكتوتر يصف التكعيبية والتكرار وسلف البيروني؛ الدور اللاحق لقاضي زاده مختلف الوصف بين المراجع {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}.",
    "en": "MacTutor describes cubic, iteration and al-Biruni predecessor; later Qadi Zada role described differently across references {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}.",
    "ur": "میک ٹیوٹر مکعبی، تکرار اور بیرونی کا سابق کام بتاتا ہے؛ قاضی زادہ کا بعد کا کردار مختلف بیانات میں الگ {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}۔"
   },
   "perspectives": []
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "هندسة الأوتار والجيوب وتقريب تكعيبية تثليث الزاوية",
     "en": "Earlier chord/sine geometry and approximate angle-trisection cubics",
     "ur": "سابق وتر و جیب کا ہندسہ اور زاویے کی تثلیث کی تقریبی مکعبی"
    },
    "note": "Earlier al-Biruni approximation acknowledged by MacTutor, not a demonstrated direct manuscript chain.",
    "sources": [
     "source/kashi-mactutor"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics",
    "astronomy-instruments"
   ],
   "changed": {
    "ar": "دقة في ثابت مثلثي يمكن استعماله في الحساب؛ ليست قياساً رصدياً لكل منزلة {cite:iranica-kashi sine computation}.",
    "en": "Precision in a trigonometric value usable in computation, not observational measurement of every digit {cite:iranica-kashi sine computation}.",
    "ur": "حساب میں قابل استعمال مثلثی قدر کی دقت، ہر ہندسے کی رصدی پیمائش نہیں {cite:iranica-kashi sine computation}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "تطور في التقاء الجبر والمثلثات، مع اختلاف أخبار الشرح والإتمام والدقة {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:tdv-kashi-okten work8}.",
    "en": "Development at the meeting of algebra and trigonometry, with differing completion/commentary/precision reports {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:tdv-kashi-okten work8}.",
    "ur": "جبر و مثلثیات کے اتصال میں ترقی؛ تکمیل، شرح و دقت کے مختلف بیانات محفوظ {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:tdv-kashi-okten work8}۔"
   },
   "significance": 3,
   "why": "Distinct documented numerical improvement, not another circumference/decimal-notation record. Historical algorithm and exact digits not claimed independently verified."
  },
  "described_in": [
   "work/risala-watar-jayb-kashi"
  ],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "مثال حديث مشتق من علاقة الزاوية الثلاثية؛ لا نسخ لخوارزمية مخطوطة.",
    "en": "Modern example derived from the triple-angle relation, not transcription of a manuscript algorithm.",
    "ur": "تین گنا زاویے کے تعلق سے جدید مثال؛ مخطوطے کی نقل نہیں۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "تقابل تعليمي مع الطرق العددية، لا نسب مباشر لبرنامج حاسوبي.",
    "en": "Teaching comparison with numerical methods, not direct ancestry of software.",
    "ur": "عددی طریقوں سے تدریسی تقابل، سافٹ ویئر کا براہ راست نسب نہیں۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/taqi-modern-triangle",
   "diagram": "media/diagram-kashi-sine"
  },
  "kids": {
   "ar": "على الورق، قارن اسم زاوية بنسبة ضلعين؛ قسمة الزاوية على ثلاثة ليست قسمة جيبها على ثلاثة.",
   "en": "On paper compare an angle with a side ratio. Dividing an angle by three is not dividing its sine by three.",
   "ur": "کاغذ پر زاویہ و ضلعوں کی نسبت ملائیں۔ زاویہ تین سے بانٹنا اس کے جیب کو تین سے بانٹنا نہیں۔"
  },
  "sources": [
   "source/kashi-mactutor",
   "source/tdv-kashi-okten",
   "source/iranica-kashi",
   "source/qadi-zada-mactutor",
   "source/commons-trigonometry-triangle"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b61",
   "source": "Actual scholarly accounts; original treatise/commentary not read. Modern triple-angle/fixed-point example independently derived, not historical transcription; unchanged PD2007 triangle reinspected."
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "ليس جيب درجة واحدة هو الدرجة نفسها، وليس تحسين حسابه اختراعاً للمثلثات. يرتبط عمل [[person/al-kashi|غياث الدين الكاشي]] في [[work/risala-watar-jayb-kashi|رسالة الوتر والجيب]] بتقريب قيمة صغيرة بدقة عالية، مستعملاً مسألة تكعيبية وطريقة تكرارية بحسب ماكتوتر. هذا موضوع مختلف عن [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب المحيط]]؛ هنا النسبة بين ضلعين، وهناك نسبة محيط الدائرة إلى قطرها {cite:kashi-mactutor final treatise}.\n\nنسجل تحسيناً عددياً لا أولوية مطلقة. ماكتوتر يذكر تقريباً سابقاً عند البيروني، والدراسات تختلف في خبر إتمام الرسالة ودور قاضي زاده وفي طريقة تلخيص الدقة. نعرض تلك الحدود، ثم نقدم مثالاً حديثاً يشرح معنى التكرار دون أن ندعي قراءة الخوارزمية الأصلية أو مقابلة خاناتها في مخطوط {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "في مثلث قائم، جيب زاوية حادة هو طول الضلع المقابل مقسوماً على طول الوتر. النسبة لا تحمل وحدة طول، وتبقى واحدة عند تكبير المثلث مع حفظ شكله. كلمة الوتر في عنوان الرسالة تذكّر أيضاً بهندسة الدائرة، لكنها لا تجعل الوتر والجيب لفظين متطابقين في كل اصطلاح تاريخي. موضوع القيمة الدقيقة موضح في وصف TDV للرسالة {cite:tdv-kashi-okten work8}.\n\nالمطلوب ليس رسماً نقرأ منه سبعة عشر رقماً بمسطرة. إنه مقدار يستخرج بعلاقات رياضية وحساب متتابع. تذكر إيرانيكا توسعاً عشرياً من سبعة عشر رقماً، بينما تقدم المراجع الأخرى عبارات مختلفة عن الدقة؛ لا نحول ذلك إلى شهادة مستقلة لكل رقم أو إلى ادعاء أن زاوية مرصودة في السماء عُرفت بالدقة العددية نفسها {cite:iranica-kashi sine computation} {cite:qadi-zada-mactutor original work}."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "الجيوب والأوتار والجداول سابقة على الكاشي. يتيح [[invention/battani-sine-table-methods|حساب البتاني للجيوب]] سياقاً متحفياً أقدم، لكن وجود سجل سابق لا يثبت أن نسخة بعينها وصلت إلى يد الكاشي. وماكتوتر يذكر البيروني في تقريب المعادلة المرتبطة بتثليث الزاوية؛ فهذا مجال له تاريخ ومسائل موروثة، لا سؤال نشأ فجأة في سمرقند {cite:kashi-mactutor final treatise}.\n\nوالتمييز بين جدول وطريقة استخراج قيمة مهم. قد يستعمل الجدول قيمة جاهزة ليقرب قيمة أخرى بالاستيفاء، وقد يسعى الباحث إلى تحسين نقطة أساسية في الجدول نفسه. لا نعد كل استعمال للجيب اختراعاً منفصلاً. وحدتنا هنا العمل العددي الذي تنسبه الدراسات إلى رسالة معينة، لا إعادة تسمية المثلثات أو حساب البتاني أو جداول التوقيت {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:iranica-kashi sine computation}."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "تضع السير الكاشي في محيط [[place/samarqand|سمرقند]] العلمي عند أولوغ بك، مع كتب وحسابات وآلات ومناقشات. تنقل رسائله إلى أبيه تقديراته لقدرات الزملاء، وهذه أحكام صاحبها وليست ترتيباً محايداً نعتمده. لا يصبح كل من حضر المجلس مؤلفاً مشتركاً للرسالة، كما لا تنسب كل نتيجة إلى الراعي لمجرد أنه دعم المؤسسة {cite:kashi-mactutor Samarkand and letters} {cite:iranica-kashi Life}.\n\nيسمي ماكتوتر الوتر والجيب آخر أعماله، ويقول إنه ربما بقي غير مكتمل فأتمه قاضي زاده. وتذكر إيرانيكا عنوانه في قائمة مقدمة مفتاح الحساب المؤرخ بسنة1427. وجود العنوان لا يحسم اكتمال جميع الأجزاء، ولذلك لا نخترع سنة نهائية للتأليف. حدنا المفتوح ينتهي بعام وفاة الكاشي1429 لمساهمته وحدها، لا لأي شرح لاحق {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:iranica-kashi work list}."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "يسمي ماكتوتر الكاشي رياضياً إسلامياً بعينه؛ هذه قاعدة هويته المسلمة المسجلة، لا اسمه أو مدينته. والإطار السني الافتراضي للمتحف منفصل عن إثبات مذهب شخصي مفصل. لا نستخرج انتماءه من مذهب الراعي، ولا ندعي أن هذه السير التي قرأناها سجل كامل لتعليمه العقدي والفقهي {cite:kashi-mactutor summary} {cite:tdv-kashi-okten biography}.\n\nأما قاضي زاده فله مسألة توثيق مستقلة: تصف سيرته في ماكتوتر طريقة مختلفة في حساب المقدار نفسه، بينما يسمي TDV عمله شرحاً ويذكر ماكتوتر الكاشي احتمال الإتمام. قد تتعلق الألفاظ بأعمال أو مراحل مختلفة، لكننا لم نقابل النصوص لحسم ذلك. لذا لا نمحو اسمه ولا نحوله تلقائياً إلى شريك متساو في كل خطوة {cite:qadi-zada-mactutor original work} {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:kashi-mactutor final treatise}."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "المثال التالي اشتقاق تعليمي حديث، لا نقل من الرسالة. يربط وصف ماكتوتر المسألة بتكعيبية وتكرار؛ نشرح الفكرة بلغة اليوم دون نسبة رموزنا أو ترتيب خطواتنا إلى الكاشي. لنسم جيب درجة واحدة `x` وجيب ثلاث درجات `a`. علاقة الزاوية الثلاثية هي `a=3*x-4*x*x*x`؛ درجة واحدة تتثلث إلى ثلاث درجات، لكن الجيب لا يتثلث خطياً {cite:kashi-mactutor final treatise}.\n\nنعيد ترتيب العلاقة إلى `x=(a+4*x*x*x)/3`. إذا كانت قيمة `a` معلومة تقريبياً، نبدأ بتخمين صغير `x0=a/3`، ثم نعوض تخميننا في الطرف الأيمن لنحصل على تخمين جديد. عملية التكعيب تعني ضرب العدد في نفسه ثلاث مرات، لا ضربه بثلاثة. ونقسم مجموعاً محدداً على ثلاثة، لا كل زاوية أو وتر في الرسم.\n\nفي حسابنا الحديث نستخدم `a≈0.05233595624294383` من دالة مثلثية برمجية. تعطينا البداية `0.017445318748` تقريباً، ثم خطوة `0.017452397806`، ثم `0.017452406427`. عرضنا مقرب؛ لم نقرأ هذه الأعداد في جدول تاريخي. استعمال دالة جاهزة هنا يختبر شرحاً تعليمياً فقط، ولا يعيد اكتشاف طريقة القدماء في إنتاج القيمة المدخلة.\n\nلماذا تنفع الخطوات في هذا المثال؟ على المجال الصغير من الصفر إلى0.02 يكون معدل تغير الطرف الأيمن `4*x*x` أقل من0.0016 أو مساوياً له. لذلك يكون التغير في الناتج أصغر كثيراً من تغير التخمين. ونفحص بقاء التحويل داخل المجال وتناقص الفروق في الاختبار الحديث؛ هذه حجة تخص هذا الاختيار، لا وعد بأن كل تكعيبية وكل بداية تتقارب.\n\nوللتكعيبية جذور أخرى؛ المطلوب هو الصغير الموجب الملائم لزاوية حادة مقدارها درجة. اختيار الجذر جزء من الحل، لا زينة بعد كتابة معادلة. كما أن تكراراً سريعاً لا يصلح قيمة مدخلة خاطئة: إذا تغير `a` تغيرت المسألة التي نحلها. كثرة الخانات الناتجة لا تمحو خطأ التقريب الأول ولا تمنع خطأ التقريب أثناء الضرب والقسمة.\n\nأما الدقة التاريخية فتبقى منقولة عن الدراسات، لا مثبتة بهذا المثال ذي الحساب الآلي المحدود. لا نسميه طريقة نيوتن، ولا نقول إن المؤلف استعمل البنية البرمجية نفسها، ولا نستنتج إمكان تثليث كل زاوية بمسطرة وفرجار. التقريب العددي والإجراء الهندسي الدقيق مسألتان مختلفتان، وإن اشتركا في حديث عن الزوايا {cite:kashi-mactutor final treatise}."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "يذكر TDV شرح قاضي زاده وطبعه في طهران بالعدد1299 وترجمة روسية. ننقل ذلك كما يورده المصدر، دون تحويل تقويمي تخميني أو ادعاء فحص نسخة الطبع. وجود شرح أو ترجمة دليل على اهتمام بالنص كما تصفه الدراسة، لا إحصاء مستقل لعدد الطلاب الذين استعملوه ولا برهان على اتحاد جميع النسخ {cite:tdv-kashi-okten work8}.\n\nويقول ماكتوتر إن هذه الإنجازات بقيت طويلاً غير معروفة في أوروبا ثم درست في القرنين التاسع عشر والعشرين. التشابه مع طريقة حديثة لا يثبت انتقالاً مباشراً إلى صاحبها. نحتاج لتتبع طريق تاريخي إلى نسخ وقراءات واستشهادات محددة، وليس إلى مقارنة تاريخين أو إعلان أن الأقدم لابد أنه مصدر كل لاحق {cite:kashi-mactutor conclusion}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "وراء النتيجة معرفة بالعلاقات المثلثية والحساب والجبر وبنية القيمة المكانية. يذكر ماكتوتر مسائل تقريب التكعيبية عند البيروني؛ هذه سابقة للمسألة لا سلسلة انتقال مخطوط حققنا حلقاتها. ويمكن للقارئ مقارنة [[invention/biruni-difference-interpolation|استيفاء الفروق]] لتمييز تصحيح جدول من حل علاقة جبرية متكررة، دون مساواة جميع الأدوات في خوارزمية واحدة {cite:kashi-mactutor final treatise}.\n\nوفي المثال الحديث يحتاج `a` نفسه إلى مصدر حسابي معلوم. كتابة «احسب جيب ثلاث درجات» لا تفسر كيف حُسب عند مؤلف قديم. لذلك لا نملأ تلك الفجوة بحساب آلي ثم ننسبه إليه. الفكرة المفيدة هنا فصل المدخل، والعلاقة، واختيار الجذر، ومعيار التوقف؛ أربع طبقات لا يكفي وجود واحدة منها لإثبات البقية."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "تصور المراجع صلة الحساب الدقيق بالعمل الفلكي في سمرقند، لكن جدولاً فلكياً كاملاً يجمع قياسات ونماذج وتقاويم ومعالجة عددية. لا تجعل قيمة جيب دقيقة كل إحداثية نجمية صحيحة بالعدد نفسه من المنازل. ولا نضيف سجلاً تابعاً بعينه لمجرد أن علم الفلك يستعمل المثلثات {cite:iranica-kashi mathematics and astronomy} {cite:qadi-zada-mactutor collaborative catalogue}.\n\nالشرح المنسوب إلى قاضي زاده وجه استقبال يذكره TDV، مع بقاء اختلاف أوصاف الدور. أما تطبيقات البرامج الحديثة فمقارنة تعليمية لا نسب مثبت. ترك قائمة التوابع المباشرة فارغة أصدق من صنع شبكة تأثير بأسماء مشهورة لم نقرأ دليل اتصالها بهذه الرسالة. لا يعني الفراغ أن العمل بلا قيمة، بل أن هذا النوع من الصلة لم يوثق هنا {cite:tdv-kashi-okten work8}."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "تبدو قيمة صغيرة بعيدة عن الحياة اليومية، لكنها تشرح فرقاً عملياً بين قياس شكل وإجراء حساب قابل للتكرار. تضع إيرانيكا طلب دقة الجيب ضمن حاجات الكاشي الفلكية، لا ضمن آلة استهلاكية صنعت بسبب هذه الخانات. لا نملك قياساً لكمية مال أو وقت أو سفر وفرتها الرسالة، فلا نبتكر رقماً يجعل أثرها أكثر جاذبية {cite:iranica-kashi sine computation}.\n\nوتعلمنا قراءة العمل أن دقة المدخل مهمة بقدر براعة العملية. في مثالنا، الاستمرار بعد استقرار الخانات المعروضة لا يضيف معرفة عن شاهد تاريخي. هذه فائدة تعليمية حالية نقترحها نحن، مختلفة عن الأثر الاجتماعي الموثق. لا نبيع حساباً ورقياً بوصفه نظام ملاحة، ولا نوجه الطفل إلى قياس الشمس أو بناء أداة للرصد."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "يمثل العمل لقاء الجبر بالمثلثات: مسألة عن زاوية تتحول إلى معادلة، والمعادلة إلى عملية تقريب. يبرز ماكتوتر جودة التكرار، وتبرز إيرانيكا الدقة المبلغ عنها؛ نصف ذلك تطوراً عددياً محدداً. لم يبدل هذا حساباً فقط إلى برهان أن كل فروع الرياضيات الحديثة بدأت هنا، ولا يلغي ما جاء قبله من أعمال تقريب {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:iranica-kashi sine computation}.\n\nكما يوضح تاريخ دراسته الفرق بين الإنجاز وتلقيه اللاحق. نص ينتشر في بيئة علمية، وتاريخيون يقرؤونه في زمن آخر، وبرنامج معاصر يحسب مقداراً قريباً: هذه ثلاث قصص لا قصة واحدة تلقائية. لا نحول تأخر المعرفة الأوروبية الذي يذكره ماكتوتر إلى حكم على كل مكتبة أو كل مؤلف في أوروبا {cite:kashi-mactutor conclusion}."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "نسبة التحسين إلى الكاشي تستند إلى الدراسات التي تصف رسالة الوتر والجيب، لا إلى تشابه رسم حديث مع مخطوط. البيروني سلف في تقريب التكعيبية، وقاضي زاده صاحب دور تصفه المراجع بطرق متفاوتة. الاعتراف بهما لا يقتضي حذف اسم الكاشي ولا ترقية عبارة «ربما أتم» إلى يقين مشارك في جميع الحسابات {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}.\n\nوالدقة ليست عنواناً واحداً متفقاً عليه: إيرانيكا تقول سبعة عشر رقماً في توسع عشري؛ سيرة الكاشي تقارنها بدقة pi، وسيرة قاضي زاده تقدم ملخصاً من رتبة `10^-12`. نسجل اختلاف العبارات دون إجبارها على معنى واحد أو اعتبارها قراءة مستقلة للخانات. يلزم شاهد حسابي مقروء لتحديد التقريب والخطأ، لا دمج أعداد من فقرات مختلفة {cite:iranica-kashi sine computation} {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "يستطيع درس حديث اختبار التحويل على مجال صغير، ومقارنة قيمة قبل خطوة وبعدها، ومراقبة الباقي `3*x-4*x*x*x-a`. صغر الباقي فحص للمعادلة المدخلة، لا ضمان أن المدخل صحيح تاريخياً. ويجب تمييز تقريب العدد المعروض من القيمة الداخلية الأطول؛ وإلا بدا تخمينان متماثلين لأن الشاشة أخفت الفرق بينهما.\n\nالصورة المعاد استخدامها رسم TheOtherJesse من2007 لشرح أجزاء مثلث قائم، أطلقه صاحبه للملك العام. الحروفA وB وC والكلمات الإنجليزية حديثة، والزاوية المرسومة ليست درجة واحدة. لا يحمل الرسم أرقام الكاشي ولا صفحته، ولا يثبت مقياسه طريقة تكراره. فائدته توضيح المقابل والوتر، لا تقليد شاهد تاريخي {cite:commons-trigonometry-triangle Description licence and original history}."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "المتاح في هذا العمل هو ما قرأناه من سير ودراسات وصفية. يذكر TDV الرسالة وشرحها، وتورد إيرانيكا قائمة الأعمال، لكننا لم نقرأ الأصل أو الشرح أو دراسة ديلغان التفصيلية التي تحيل إليها سيرة قاضي زاده. لا ننقل رقماً تسلسلياً لمخطوط من ذاكرة أو نعرض ورقة مصورة على أنها شاهد لم نره {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:iranica-kashi work list} {cite:qadi-zada-mactutor references}.\n\nوالخلاف بين «إتمام» و«شرح» و«طريقة مختلفة» محفوظ في بطاقة العمل والنصوص المساندة، لا مخفي في هامش داخلي. لا نعلن فقدان الرسالة اعتماداً على ملخص بحث، ولا نزعم بقاء نسخة أصلية بخط المؤلف. تحديد ما قرأناه يتيح للقارئ تقييم طبقة الدليل دون الخلط بين عنوان معروف ومتن حققناه."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "تحيط بسمرقند صورة عالمية للعمارة والمرصد، لكن هذه القصة جزء من ثقافة الحساب والكتب أيضاً. رسائل الأب والابن، وتقدير الراعي، والمناقشة مع زملاء، كلها تظهر في السير. تبقى عبارات التفوق مدحاً منسوباً إلى قائله، ولا تتحول في صوت المتحف إلى مسابقة أمم أو إلغاء لبراعة غيره {cite:kashi-mactutor letters and patronage} {cite:iranica-kashi Life}.\n\nوقد يغري العدد الطويل بحكاية بطل يتجاوز الجميع في كل ميدان. تفرق إيرانيكا بين قوة الكاشي في الحساب والآلات وحدود ما نعرفه من عمله في النظريات الكوكبية الكونية. لا ينقص ذلك من نتيجة عددية، بل يجعل الشخصية أكثر تحديداً من شعار. ونحتفظ بمسألة التأليف المعقدة لأنها من تاريخ المعرفة نفسها، لا عيب يجب ستره {cite:iranica-kashi concluding assessment}."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "على ورقة، اكتب «زاوية» في بطاقة و«نسبة ضلعين» في أخرى. قارن ثلث عدد بجيب ثلث زاوية: هل هما السؤال نفسه؟ يمكن للبالغ عرض المثلث وتسميته، دون قياس دقة الصورة. الهدف فهم اختلاف نوعي المقدار، لا حفظ عدد طويل أو تعلم بناء آلة فلكية.\n\nثم اكتب تخميناً، وخطوة تصحيحه، وعبارة تقول من أين جاءت القيمة الأولى. لا يحتاج النشاط إلى شمس أو منظار أو أجهزة. إذا اتفقت الخانات الظاهرة فتوقف واسأل هل صار الجواب دقيقاً أم أن الورقة لا تعرض مزيداً من الخانات. الاعتراف بحدود المثال جزء من التعلم، مثل معرفة أن رسمنا ليس صفحة الكاشي."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- {cite:kashi-mactutor complete biography}\n- {cite:tdv-kashi-okten work8 and biography}\n- {cite:iranica-kashi mathematics work list and assessment}\n- {cite:qadi-zada-mactutor complete biography}\n- {cite:commons-trigonometry-triangle Description licence and original history}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/kashi-sine-one-degree",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b61",
     "source": "Actual MacTutor biographies, TDV and Iranica; modern cubic illustration independently derived, original treatise/commentary not read"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "The sine of one degree is not the degree itself, and improving its computation did not invent trigonometry. [[person/al-kashi|Ghiyath al-Din al-Kashi]]'s work associated with the [[work/risala-watar-jayb-kashi|Treatise on the Chord and Sine]] approximated a small value with high precision. MacTutor describes a cubic equation and an iterative numerical method. This differs from his [[invention/al-kashi-pi-calculation|circumference computation]]: here a side ratio, there circumference divided by diameter {cite:kashi-mactutor final treatise}.\n\nOur attribution is improvement, not absolute origin. MacTutor acknowledges al-Biruni's earlier approximate treatment; sources describe completion, Qadi Zada's role and precision differently. We retain those limits, then offer a modern explanatory example. We have not read the original algorithm or collated its digits against a manuscript {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "In a right triangle, the sine of an acute angle is the opposite side divided by the hypotenuse. The ratio has no unit of length and survives enlargement without changing the triangle's shape. “Chord” in the title also recalls circle geometry, but chord and sine are not interchangeable terms in every historical convention. TDV identifies the precise one-degree computation as a subject of this treatise {cite:tdv-kashi-okten work8}.\n\nThe result is not seventeen digits read from a ruler. Relations and successive arithmetic produce it. Iranica reports a decimal expansion of seventeen digits, while other accounts summarize accuracy differently. We do not turn those reports into independent certification of every digit, or claim a sky observation possessed the same precision as a computed value {cite:iranica-kashi sine computation} {cite:qadi-zada-mactutor original work}."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "Sines, chords and tables preceded al-Kashi. The museum's [[invention/battani-sine-table-methods|al-Battani sine-table computation]] provides earlier context, not proof that a particular copy reached al-Kashi. MacTutor names al-Biruni as a predecessor in approximate solutions of the angle-trisection cubic. This was an inherited problem, not a question suddenly created in Samarkand {cite:kashi-mactutor final treatise}.\n\nA table and a method for extracting a basic value are different things. One operation may interpolate between existing cells; another improves the values from which a table is constructed. We do not count every use of sine separately. This record concerns a particular numerical contribution associated with a named work, not a new label for all trigonometry, earlier sine tables or timekeeping {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:iranica-kashi sine computation}."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "The biographies place al-Kashi in [[place/samarqand|Samarkand]]'s scholarly environment under Ulugh Beg: books, calculations, instruments and discussions. Letters to his father offer his judgements of colleagues, not a neutral ranking the museum endorses. Attending the same meeting does not establish co-authorship, and supporting an institution does not give a patron authorship of every result {cite:kashi-mactutor Samarkand and letters} {cite:iranica-kashi Life}.\n\nMacTutor calls the Chord and Sine his last work, possibly unfinished at his death and completed by Qadi Zada. Iranica includes its title in the introduction's work list of the1427 Key to Arithmetic. A listed title does not settle whether every part was complete. Our open date ends at al-Kashi's1429 lifetime bound, not an invented composition year or a date for later commentary {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:iranica-kashi work list}."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "MacTutor individually identifies al-Kashi as an Islamic mathematician. This supplies the recorded Muslim basis, not his name or city. The museum's separate default Sunni frame is not detailed proof of personal school. We do not derive it from a patron's affiliation or suggest these scholarly biographies constitute a complete record of his religious education {cite:kashi-mactutor summary} {cite:tdv-kashi-okten biography}.\n\nQadi Zada presents a separate documentation question. His MacTutor biography describes a different method for the same value; TDV names a commentary; al-Kashi's biography discusses possible completion. These may concern different works or stages, but we have not collated texts to decide. Neither erase his role nor silently make him equal co-author of every step {cite:qadi-zada-mactutor original work} {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:kashi-mactutor final treatise}."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "The following is a modern derivation, not a transcription. MacTutor connects the historical problem with a cubic and iteration; we explain that connection using present-day notation without attributing our exact sequence to al-Kashi. Let `x` be sine one degree and `a` sine three degrees. The triple-angle relation gives `a=3*x-4*x*x*x`. Tripling the angle does not simply triple its sine {cite:kashi-mactutor final treatise}.\n\nRearrange this as `x=(a+4*x*x*x)/3`. With an approximate input `a`, start at `x0=a/3`, then substitute the current estimate into the right-hand side to obtain another. Cubing means multiplying a number by itself three times, not multiplying it by three. We divide the specified sum, not every angle or side in a drawing.\n\nOur modern computation takes `a≈0.05233595624294383` from a software trigonometric function. It starts near `0.017445318748`, then gives `0.017452397806`, then `0.017452406427`. Displayed values are rounded, not cells read from a historical table. Using a ready-made function tests this illustration; it does not reconstruct how an earlier mathematician obtained the input.\n\nWhy do these steps help here? Between zero and0.02 the derivative of the right-hand side, `4*x*x`, is at most0.0016. Output changes are much smaller than estimate changes. Our modern check verifies the transformation stays in this small interval and successive differences shrink. This concerns the chosen interval, not a promise that every cubic and starting guess converges.\n\nThe cubic has other roots; we want the small positive one appropriate to a one-degree acute angle. Root selection is part of solving, not decoration after writing an equation. Fast iteration cannot repair a wrong input: changing `a` changes the problem. More output digits cannot erase initial approximation or arithmetic-rounding error.\n\nHistorical precision remains reported through scholarship, not proved by this limited machine example. We do not call it Newton's method, attribute a modern program structure to al-Kashi, or infer exact straightedge-and-compass trisection of arbitrary angles. Numerical approximation and an exact geometric construction are distinct problems, even when both discuss angles {cite:kashi-mactutor final treatise}."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "TDV lists Qadi Zada's commentary, a Tehran printing numbered1299 and a Russian translation. We report that bibliographical statement without guessing a calendar conversion or claiming to have inspected the printing. A commentary or translation documents attention as described by a scholar, not a census of students or proof that all witnesses are identical {cite:tdv-kashi-okten work8}.\n\nMacTutor says these achievements remained long unknown in Europe and were studied in the nineteenth and twentieth centuries. Resemblance to a modern method does not establish direct transmission. A documented route requires copies, readings and citations, not merely two dates and an assumption that an earlier author necessarily supplied every later one {cite:kashi-mactutor conclusion}."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "Trigonometric relations, arithmetic, algebra and place value lie behind the result. MacTutor acknowledges al-Biruni's approximate cubic work, not a manuscript transmission chain we have verified. Readers can compare [[invention/biruni-difference-interpolation|difference interpolation]] to distinguish correcting a table from repeatedly solving an algebraic relation; different tools need not become one algorithm {cite:kashi-mactutor final treatise}.\n\nOur modern `a` also requires a known computational source. Saying “calculate sine three degrees” does not explain an earlier author's procedure. We cannot fill that gap with a software call and attribute it backward. Distinguishing input, relation, root selection and stopping rule reveals four layers of an explanation; having one does not prove the others."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "Sources place accurate computation within Samarkand astronomy, but an astronomical table combines observation, models, calendars and arithmetic. A precise sine does not make every star coordinate correct to the same number of places. We add no particular downstream invention merely because astronomy uses trigonometry {cite:iranica-kashi mathematics and astronomy} {cite:qadi-zada-mactutor collaborative catalogue}.\n\nTDV's commentary report provides a reception strand, with differing descriptions of Qadi Zada's role retained. Modern software is a teaching comparison, not a demonstrated descendant. Leaving direct dependents empty is more honest than constructing an influence network of famous names without read evidence. It does not mean the work lacked value; this kind of specific connection is unestablished here {cite:tdv-kashi-okten work8}."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "A small value may seem remote, yet it illustrates a practical distinction between measuring a shape and performing reproducible calculation. Iranica links the search for greater sine precision to astronomical needs, not a household machine caused by those digits. We possess no measured total of money, time or journeys saved by the treatise and invent none {cite:iranica-kashi sine computation}.\n\nInput quality matters alongside procedural skill. Continuing after the displayed digits settle supplies no new knowledge of a historical witness. That is a present educational use we propose, separate from documented social impact. Our paper calculation is not a navigation system, and the children's activity requires neither solar observation nor instrument-making."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "The work joins algebra and trigonometry: an angle problem becomes an equation, then an approximation process. MacTutor emphasizes iteration's quality and Iranica its reported accuracy. We describe a bounded numerical development, not evidence that every branch of modern mathematics began here, nor reason to erase earlier approximation {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:iranica-kashi sine computation}.\n\nIts study also separates accomplishment from later reception. A text circulating in one setting, historians studying it elsewhere and contemporary software producing a related value are three stories, not an automatic single lineage. MacTutor's account of delayed European knowledge cannot stand for an independent inspection of every European author and library {cite:kashi-mactutor conclusion}."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "Attribution rests on scholarship describing the Chord and Sine, not resemblance between a modern drawing and a manuscript. Al-Biruni is an acknowledged predecessor; Qadi Zada has differently described roles. Recognizing them neither removes al-Kashi nor promotes “possibly completed” into certain participation in every calculation {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}.\n\nAccuracy reports also differ. Iranica says seventeen digits in a decimal expansion; al-Kashi's biography compares sine accuracy with pi, while Qadi Zada's biography gives a summary of order `10^-12`. We preserve those formulations rather than force agreement or call them independent readings of historical digits. A read numerical witness is needed to evaluate rounding and error {cite:iranica-kashi sine computation} {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "A modern lesson can test a small interval, compare successive estimates and inspect residual `3*x-4*x*x*x-a`. A small residual checks the input equation, not the input's historical correctness. Distinguish a rounded display from a longer internal value, otherwise two estimates may look identical simply because a screen hides their difference.\n\nThe reused image is TheOtherJesse's2007 right-triangle diagram, released to the public domain. LettersA,B,C and English side labels are modern; the drawn angle is not one degree. It contains neither al-Kashi's figures nor his page, and its scale does not establish his procedure. It explains opposite side and hypotenuse, not a historical witness {cite:commons-trigonometry-triangle Description licence and original history}."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "Our evidence is the scholarly accounts actually read. TDV identifies treatise and commentary, and Iranica supplies a work list. We have not read original text, commentary or Dilgan's technical study cited by Qadi Zada's biography. No remembered shelfmark or unseen photographed page is presented as inspected evidence {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:iranica-kashi work list} {cite:qadi-zada-mactutor references}.\n\nCompletion, commentary and different-method descriptions remain visible in the work record and supporting prose. We do not pronounce the treatise lost from a search summary or claim an author's autograph survives. Stating what we read allows evaluation of the evidentiary layer: knowing a title differs from having established its text."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "Samarkand evokes architecture and an observatory, but this is also a story of calculation and books. Father-and-son letters, patronage and discussions with colleagues appear in the biographies. Praise remains attributed speech, not a national competition or the museum declaring that one scholar surpassed everyone in every field {cite:kashi-mactutor letters and patronage} {cite:iranica-kashi Life}.\n\nLong numbers tempt heroic stories. Iranica distinguishes computational and instrument skill from less-established contributions to cosmological planetary theory. That does not diminish a numerical result; it makes a historical person more specific than a slogan. The complex authorship question belongs to knowledge's history, not a defect to conceal {cite:iranica-kashi concluding assessment}."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Write “angle” on one paper card and “ratio of sides” on another. Is a third of a number the same question as the sine of a third of an angle? An adult can identify triangle parts without measuring the picture's accuracy. The point is distinguishing kinds of quantity, not memorizing a long answer.\n\nThen write an estimate, a correction and where the starting value came from. No sun, telescope or special equipment is needed. When displayed digits agree, ask whether the answer became exact or the paper merely stopped showing smaller differences. Recognizing an example's limits is part of learning, like recognizing that our drawing is not al-Kashi's page."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- {cite:kashi-mactutor complete biography}\n- {cite:tdv-kashi-okten work8 and biography}\n- {cite:iranica-kashi mathematics work list and assessment}\n- {cite:qadi-zada-mactutor complete biography}\n- {cite:commons-trigonometry-triangle Description licence and original history}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/kashi-sine-one-degree",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b61",
     "source": "Arabic translation from actual scholarly accounts; modern cubic illustration, not original algorithm transcription"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "ایک درجے کا جیب خود زاویہ نہیں، اور اس کے حساب کی بہتری مثلثیات کی ایجاد نہیں۔ [[person/al-kashi|غیاث الدین کاشی]] کا [[work/risala-watar-jayb-kashi|رسالۂ وتر و جیب]] ایک چھوٹی قدر کو بلند دقت سے تقریب کرنے سے متعلق ہے۔ میک ٹیوٹر مکعبی مساوات اور تکراری عددی طریقہ بیان کرتا ہے۔ یہ ان کے [[invention/al-kashi-pi-calculation|حساب محیط]] سے الگ ہے: یہاں ضلعوں کی نسبت، وہاں محیط و قطر کی نسبت ہے {cite:kashi-mactutor final treatise}۔\n\nہم مطلق اولیت نہیں بلکہ بہتری درج کرتے ہیں۔ میک ٹیوٹر بیرونی کے سابق تقریبی کام کو تسلیم کرتا ہے، جبکہ تکمیل، قاضی زادہ کے کردار اور دقت کے بیانات مختلف ہیں۔ حدود محفوظ رکھ کر ایک جدید وضاحتی مثال دیتے ہیں۔ اصل خوارزم پڑھنے یا مخطوطے کے ہندسے مقابل کرنے کا دعویٰ نہیں کرتے {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "قائمہ مثلث میں حاد زاویے کا جیب مقابل ضلع کی طول کو وتر کی طول سے تقسیم کرنا ہے۔ نسبت کی لمبائی کی اکائی نہیں؛ شکل برقرار رکھتے ہوئے مثلث بڑا کرنے سے نسبت نہیں بدلتی۔ عنوان کا وتر دائرے کے ہندسے کی طرف بھی اشارہ ہے، مگر ہر تاریخی اصطلاح میں وتر اور جیب ایک لفظ نہیں بن جاتے۔ TDV ایک درجے کی دقیق قدر کو اس رسالے کا موضوع بتاتا ہے {cite:tdv-kashi-okten work8}۔\n\nمطلوب خط کش سے سترہ ہندسے پڑھنا نہیں۔ ریاضی کے تعلق اور مسلسل حساب سے قدر نکالی جاتی ہے۔ ایرانیکا اعشاری پھیلاؤ کے سترہ ہندسے بیان کرتا ہے، دوسرے مراجع دقت کو دوسرے انداز میں سمیٹتے ہیں۔ ہم ہر ہندسے کی آزاد تصدیق نہیں دیتے، نہ کہتے ہیں کہ آسمان میں ناپا زاویہ حساب کی طرح اتنی ہی دقت رکھتا تھا {cite:iranica-kashi sine computation} {cite:qadi-zada-mactutor original work}۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "جیوب، اوتار اور جدول کاشی سے پہلے تھے۔ عجائب گھر کا [[invention/battani-sine-table-methods|بتانی کے جدول جیوب کا حساب]] سابق سیاق دیتا ہے، یہ ثبوت نہیں کہ کوئی مخصوص نسخہ کاشی تک پہنچا۔ میک ٹیوٹر تثلیث زاویہ کی مکعبی کے تقریبی حل میں بیرونی کا سابق کام بتاتا ہے۔ سوال سمرقند میں اچانک پیدا نہیں ہوا، اس کی پہلے سے علمی تاریخ تھی {cite:kashi-mactutor final treatise}۔\n\nجدول اور اس کی بنیادی قدر نکالنے کا طریقہ الگ چیزیں ہیں۔ ایک عمل موجود خانوں کے درمیان استیفا کر سکتا ہے، دوسرا ان قدروں کو بہتر بناتا ہے جن پر جدول قائم ہو۔ ہر استعمال کو الگ ایجاد نہیں گنتے۔ یہاں ایک مخصوص رسالے سے متعلق عددی حصہ موضوع ہے، نہ تمام مثلثیات، قدیم جیوب یا وقت کے جدول کا نیا نام {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:iranica-kashi sine computation}۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "سوانح کاشی کو الغ بیگ کے [[place/samarqand|سمرقند]] کے علمی ماحول میں رکھتے ہیں، جہاں کتاب، حساب، آلات اور گفتگو تھے۔ والد کو لکھے خطوط میں ساتھیوں کی صلاحیت پر ان کی رائے ہے، غیر جانب دار درجہ بندی نہیں جسے عجائب گھر اپنا فیصلہ بنا لے۔ ایک مجلس میں حاضری ہر رسالے کی مشترک تصنیف نہیں، اور سرپرستی ہر نتیجے کی تصنیف نہیں بن جاتی {cite:kashi-mactutor Samarkand and letters} {cite:iranica-kashi Life}۔\n\nمیک ٹیوٹر وتر و جیب کو آخری کام کہتا ہے، جو وفات پر ممکنہ طور پر نامکمل رہا اور قاضی زادہ نے مکمل کیا۔ ایرانیکا اس کا عنوان1427 کے مفتاح الحساب کی مقدماتی فہرست میں دیتا ہے۔ عنوان ہونا ہر حصہ مکمل ہونے کا فیصلہ نہیں۔ ہماری کھلی زمانی حد کاشی کی1429 تک کی زندگی پر ختم ہے، گھڑا ہوا سال تصنیف یا بعد کی شرح کی تاریخ نہیں {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:iranica-kashi work list}۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "میک ٹیوٹر کاشی کو انفرادی طور پر اسلامی ریاضی دان کہتا ہے۔ مسلم شناخت کی درج بنیاد یہ ہے، ان کا نام یا شہر نہیں۔ عجائب گھر کا الگ عمومی سنی فریم کسی ذاتی مکتب کی مفصل سند نہیں۔ سرپرست کے مسلک سے ان کی شناخت نہیں نکالتے، نہ پڑھی گئی علمی سوانح کو ان کی پوری دینی تعلیم کا ریکارڈ قرار دیتے ہیں {cite:kashi-mactutor summary} {cite:tdv-kashi-okten biography}۔\n\nقاضی زادہ کا معاملہ الگ توثیق مانگتا ہے۔ ان کی میک ٹیوٹر سوانح اسی قدر کے لیے مختلف طریقہ کہتی ہے، TDV شرح بتاتا ہے، کاشی کی سوانح ممکنہ تکمیل بیان کرتی ہے۔ ممکن ہے مختلف کام یا مرحلے مراد ہوں، مگر متون مقابل کر کے فیصلہ نہیں کیا۔ نہ ان کا کردار مٹاتے ہیں، نہ ہر قدم میں برابر شریک مصنف بنا دیتے ہیں {cite:qadi-zada-mactutor original work} {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:kashi-mactutor final treatise}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "آگے جدید اشتقاق ہے، رسالے کی نقل نہیں۔ میک ٹیوٹر تاریخی مسئلے کو مکعبی اور تکرار سے جوڑتا ہے۔ ہم آج کی علامت سے تعلق سمجھاتے ہیں، عین ترتیب کاشی سے منسوب نہیں کرتے۔ ایک درجے کا جیب `x` اور تین درجے کا `a` لیں۔ تین گنا زاویے کا تعلق `a=3*x-4*x*x*x` ہے۔ زاویہ تین گنا کرنے سے جیب صرف تین گنا نہیں ہوتا {cite:kashi-mactutor final treatise}۔\n\nترتیب بدل کر `x=(a+4*x*x*x)/3` لکھیں۔ تقریبی مدخل `a` سے `x0=a/3` شروع کریں، پھر موجود تخمینے کو دائیں جانب رکھ کر اگلا تخمینہ لیں۔ مکعب کا مطلب عدد کو خود سے تین مرتبہ ضرب دینا ہے، اسے تین سے ضرب دینا نہیں۔ خاص مجموعے کو تین سے بانٹتے ہیں، شکل کا ہر زاویہ یا ضلع نہیں۔\n\nہمارا جدید حساب سافٹ ویئر کے مثلثی تابع سے `a≈0.05233595624294383` لیتا ہے۔ ابتدا تقریباً `0.017445318748`، اگلا نتیجہ `0.017452397806`، پھر `0.017452406427` ہے۔ دکھائے عدد گول کیے ہیں، تاریخی جدول کے پڑھے خانے نہیں۔ تیار تابع سے مثال جانچنا اس پرانے طریقے کی تعمیر نو نہیں جس سے ابتدائی قدر نکالی جاتی تھی۔\n\nیہاں بہتری کیوں آتی ہے؟ صفر سے0.02 تک دائیں جانب کا مشتق `4*x*x` زیادہ سے زیادہ0.0016 ہے۔ تخمینے کی تبدیلی کے مقابل نتیجے کی تبدیلی بہت چھوٹی ہے۔ جدید جانچ دیکھتی ہے کہ تحویل اسی مختصر وقفے میں رہتی ہے اور مسلسل فرق گھٹتے ہیں۔ یہ اسی انتخاب کی دلیل ہے، ہر مکعبی اور ہر ابتدائی اندازے کے تقارب کا وعدہ نہیں۔\n\nمساوات کے دوسرے جذر بھی ہیں؛ ہمیں ایک درجے کے حاد زاویے کے مطابق چھوٹا مثبت جذر چاہیے۔ جذر منتخب کرنا حل کا حصہ ہے، آخر میں لگائی سجاوٹ نہیں۔ تیز تکرار غلط مدخل ٹھیک نہیں کرتی: `a` بدلے تو مسئلہ بدل جاتا ہے۔ زیادہ ہندسے ابتدائی تقریب یا ضرب و تقسیم کی گولائی کی غلطی نہیں مٹاتے۔\n\nتاریخی دقت بدستور علمی مراجع کی خبر ہے، اس محدود مشینی مثال کا ثابت نتیجہ نہیں۔ اسے نیوٹن کا طریقہ نہیں کہتے، کاشی کو آج کی پروگرام ساخت نہیں دیتے، نہ ہر زاویے کی خط کش و پرکار سے عین تثلیث نکالتے ہیں۔ عددی تقریب اور درست ہندسی تعمیر مختلف سوال ہیں، خواہ دونوں زاویوں کی بات کریں {cite:kashi-mactutor final treatise}۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "TDV قاضی زادہ کی شرح، طہران کی1299 والی طباعت اور روسی ترجمہ بتاتا ہے۔ تقویمی تبدیلی کا اندازہ لگائے یا طباعت دیکھنے کا دعویٰ کیے بغیر وہی خبر دیتے ہیں۔ شرح یا ترجمہ ماخذ کے بیان کے مطابق دلچسپی دکھاتا ہے، طلبہ کی آزاد گنتی یا تمام نسخے ایک ہونے کا ثبوت نہیں۔ نسخہ، تبصرہ اور تاریخی مطالعہ الگ تہیں ہیں {cite:tdv-kashi-okten work8}۔\n\nمیک ٹیوٹر کہتا ہے کہ یہ کامیابیاں طویل مدت یورپ میں نامعلوم رہیں اور انیسویں و بیسویں صدی میں زیر مطالعہ آئیں۔ جدید طریقے سے مشابہت براہ راست منتقلی نہیں۔ تاریخی راستے کے لیے نسخہ، مطالعہ اور حوالہ چاہیے، صرف دو تاریخیں اور یہ خیال کافی نہیں کہ پہلے مصنف نے لازماً ہر بعد والے کو دیا ہوگا {cite:kashi-mactutor conclusion}۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "مثلثی تعلق، حساب، جبر اور مقامی قدر نتیجے کے پیچھے ہیں۔ میک ٹیوٹر بیرونی کا سابق تقریبی مکعبی کام تسلیم کرتا ہے، ایسی مخطوطاتی زنجیر نہیں جسے ہم نے جانچا ہو۔ [[invention/biruni-difference-interpolation|تفاضلی استیفا]] سے تقابل جدول کی اصلاح اور جبری تعلق کے بار بار حل کا فرق دکھاتا ہے؛ مختلف اوزار ایک ہی خوارزم بنانا ضروری نہیں {cite:kashi-mactutor final treatise}۔\n\nجدید مثال کے `a` کا ماخذ بھی معلوم ہونا چاہیے۔ «تین درجے کا جیب نکالیں» کہنا قدیم مصنف کا طریقہ نہیں سمجھاتا۔ سافٹ ویئر سے خلا بھر کر اسے ماضی سے منسوب نہیں کر سکتے۔ مدخل، تعلق، جذر کا انتخاب اور رکنے کا معیار چار الگ تہیں ہیں۔ ایک کا ہونا باقی تین ثابت نہیں کرتا؛ اچھی وضاحت سوالوں کو چھپانے کی بجائے نمایاں کرتی ہے۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "مراجع دقیق حساب کو سمرقند کی فلکیات میں رکھتے ہیں، مگر فلکی جدول میں مشاہدہ، نمونہ، تقویم اور حساب سب ملتے ہیں۔ دقیق جیب ہر ستارے کے محدد کو اتنے ہی اعشاری مقام تک صحیح نہیں بناتا۔ محض فلکیات میں مثلثیات کے استعمال سے کوئی مخصوص بعد کی ایجاد بطور تابع شامل نہیں کرتے {cite:iranica-kashi mathematics and astronomy} {cite:qadi-zada-mactutor collaborative catalogue}۔\n\nTDV کی شرح والی خبر استقبال کا ایک پہلو ہے؛ قاضی زادہ کے کردار کے مختلف وصف محفوظ رہتے ہیں۔ جدید سافٹ ویئر تدریسی تقابل ہے، ثابت جانشین نہیں۔ پڑھے ہوئے ثبوت کے بغیر مشہور ناموں کا جال بنانے سے براہ راست تابع خالی چھوڑنا بہتر ہے۔ اس کا مطلب بے قدری نہیں؛ یہاں خاص نوعیت کا تعلق قائم نہیں ہوا {cite:tdv-kashi-okten work8}۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "چھوٹی قدر روزمرہ سے دور لگ سکتی ہے، لیکن شکل ناپنے اور قابل تکرار حساب کرنے کا عملی فرق سکھاتی ہے۔ ایرانیکا زیادہ دقیق جیب کی تلاش کو فلکی ضرورت سے جوڑتا ہے، ان ہندسوں کی وجہ سے بنی گھریلو مشین سے نہیں۔ رسالے نے کتنی دولت، وقت یا سفر بچایا، اس کا ناپا عدد ہمارے پاس نہیں، اس لیے بناتے بھی نہیں {cite:iranica-kashi sine computation}۔\n\nمدخل کا معیار طریقے کی مہارت جتنا اہم ہے۔ دکھائے ہندسے ٹھہر جانے کے بعد دہرانا تاریخی نسخے کا نیا علم نہیں۔ یہ موجودہ تعلیمی استعمال ہم تجویز کرتے ہیں، ماضی کے ثابت سماجی اثر سے الگ ہے۔ کاغذ کا حساب نظام جہاز رانی نہیں، اور بچوں کی سرگرمی سورج دیکھنے یا آلہ بنانے کی ہدایت نہیں بنتی۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "اس کام میں جبر و مثلثیات ملتے ہیں: زاویے کا سوال مساوات بنتا ہے، پھر تقریبی عمل۔ میک ٹیوٹر تکرار کے معیار اور ایرانیکا منقول دقت کو نمایاں کرتا ہے۔ ہم محدود عددی ترقی بیان کرتے ہیں، یہ نہیں کہ جدید ریاضی کی ہر شاخ یہاں شروع ہوئی، نہ سابق تقریب مٹا دیتے ہیں {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:iranica-kashi sine computation}۔\n\nاس کے مطالعے کی تاریخ کامیابی اور بعد کی پذیرائی کا فرق بھی دکھاتی ہے۔ ایک ماحول میں متن، کہیں بعد میں تاریخ دان کا مطالعہ اور آج کا پروگرام تین کہانیاں ہیں، خودکار واحد نسب نہیں۔ یورپ کے تاخیر سے جاننے کی خبر کو ہر یورپی مصنف اور کتب خانے کی ہماری آزاد جانچ نہیں بنا سکتے {cite:kashi-mactutor conclusion}۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "نسبت رسالے کو بیان کرنے والے علمی مراجع پر ہے، جدید نقشے اور مخطوطے کی مشابہت پر نہیں۔ بیرونی سابق تقریب کے صاحب ہیں، قاضی زادہ کے کردار مختلف طرح بیان ہوئے ہیں۔ ان کو ماننا نہ کاشی حذف کرنا ہے، نہ «ممکنہ تکمیل» کو ہر حساب میں یقینی شرکت بنا دینا {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}۔\n\nدقت کے الفاظ بھی مختلف ہیں۔ ایرانیکا اعشاری پھیلاؤ کے سترہ ہندسے، کاشی کی سوانح پائی جیسی دقت، قاضی زادہ کی سوانح `10^-12` کی رتبت دیتی ہے۔ انہیں زبردستی ایک معنی یا اصل ہندسوں کی آزاد قرأت نہیں بناتے۔ گولائی و غلطی ناپنے کے لیے پڑھا ہوا عددی شاہد درکار ہے، مختلف پیراگراف کے اعداد کا خاموش ملاپ نہیں {cite:iranica-kashi sine computation} {cite:kashi-mactutor final treatise} {cite:qadi-zada-mactutor original work}۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "جدید سبق چھوٹے وقفے کو جانچ سکتا ہے، مسلسل تخمینے ملا سکتا ہے اور باقی `3*x-4*x*x*x-a` دیکھ سکتا ہے۔ چھوٹا باقی مدخل والی مساوات جانچتا ہے، مدخل کی تاریخی صحت نہیں۔ گول دکھائی قدر اور اندر کی لمبی قدر الگ کریں، ورنہ دو تخمینے صرف اس لیے برابر دکھیں گے کہ پردہ فرق چھپا دیتا ہے۔\n\nدوبارہ استعمال شدہ تصویر TheOtherJesse کا2007 کا قائمہ مثلث ہے، جسے خالق نے ملک عام کیا۔ A،B،C اور انگریزی نام جدید ہیں؛ دکھایا زاویہ ایک درجہ نہیں۔ نہ کاشی کے اعداد یا صفحہ اس میں ہے، نہ اس کا پیمانہ ان کا طریقہ ثابت کرتا ہے۔ یہ مقابل و وتر سمجھاتا ہے، تاریخی نسخہ نہیں {cite:commons-trigonometry-triangle Description licence and original history}۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "یہاں شہادت وہ علمی بیانات ہیں جو واقعی پڑھے۔ TDV رسالہ و شرح اور ایرانیکا فہرست دیتے ہیں۔ اصل، شرح یا قاضی زادہ کی سوانح میں مذکور دلیغان کا فنی مطالعہ نہیں پڑھا۔ یاد سے مخطوطے کا نمبر یا ان دیکھی تصویر معائنہ شدہ شہادت بنا کر پیش نہیں کرتے {cite:tdv-kashi-okten work8} {cite:iranica-kashi work list} {cite:qadi-zada-mactutor references}۔\n\nتکمیل، شرح اور مختلف طریقے کے وصف کام کے ریکارڈ اور معاون نثر میں کھلے ہیں۔ تلاش کے خلاصے سے رسالہ گم شدہ نہیں کہتے، نہ مصنف کے ہاتھ کا نسخہ محفوظ ہونے کا دعویٰ کرتے ہیں۔ کیا پڑھا واضح کرنا قاری کو دلیل کی تہہ جانچنے دیتا ہے؛ عنوان جاننا متن قائم کرنے سے الگ ہے۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "سمرقند عمارت و رصدگاہ یاد دلاتا ہے، مگر یہاں حساب اور کتاب کی کہانی بھی ہے۔ باپ بیٹے کے خطوط، سرپرستی اور ساتھیوں کی گفتگو سوانح میں ملتے ہیں۔ تعریف اپنے قائل سے منسوب رہتی ہے، قوموں کی مسابقت یا عجائب گھر کا ہر میدان میں سب سے برتر ہونے کا فیصلہ نہیں بنتی {cite:kashi-mactutor letters and patronage} {cite:iranica-kashi Life}۔\n\nلمبے عدد سے ہر میدان فتح کرنے والے ہیرو کی کہانی بنانا آسان ہے۔ ایرانیکا حساب و آلات کی مہارت اور کونی سیاروی نظریے میں کم ثابت کام الگ کرتا ہے۔ اس سے عددی نتیجہ چھوٹا نہیں ہوتا، تاریخی شخص نعرے سے زیادہ متعین ہوتا ہے۔ پیچیدہ تصنیفی سوال علم کی تاریخ کا حصہ ہے، چھپانے والا نقص نہیں {cite:iranica-kashi concluding assessment}۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "ایک کارڈ پر «زاویہ»، دوسرے پر «ضلعوں کی نسبت» لکھیں۔ عدد کا تہائی اور زاویے کے تہائی کا جیب کیا ایک سوال ہے؟ بڑا شخص نقشے کی صحت ناپے بغیر مثلث کے حصے بتا سکتا ہے۔ مقصد مقدار کی قسم کا فرق سمجھنا ہے، لمبا جواب یاد کرنا یا فلکی آلہ بنانا نہیں۔\n\nپھر تخمینہ، اصلاح اور ابتدائی قدر کا ماخذ لکھیں۔ سورج، دوربین یا خاص سامان نہیں چاہیے۔ جب دکھائے ہندسے ملیں تو پوچھیں کیا جواب عین ہوگیا یا کاغذ چھوٹا فرق دکھانا چھوڑ گیا۔ مثال کی حد پہچاننا بھی سیکھنا ہے، جیسے پہچاننا کہ ہمارا نقش کاشی کا صفحہ نہیں۔ واضح سوال لمبے مگر بے بنیاد عدد سے بہتر ہے۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- {cite:kashi-mactutor complete biography}\n- {cite:tdv-kashi-okten work8 and biography}\n- {cite:iranica-kashi mathematics work list and assessment}\n- {cite:qadi-zada-mactutor complete biography}\n- {cite:commons-trigonometry-triangle Description licence and original history}"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/kashi-sine-one-degree",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b61",
     "source": "Arabic translation from actual scholarly accounts; independently derived modern cubic illustration, original algorithm not read"
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  }
 },
 "degree": 4,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-06",
 "connections": [
  {
   "to": "person/al-kashi",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Iterative numerical sine-one-degree computation; original/completion/commentary accounts distinguished, modern example not a historical reconstruction.",
   "sources": [
    "source/iranica-kashi",
    "source/kashi-mactutor",
    "source/qadi-zada-mactutor",
    "source/tdv-kashi-okten"
   ]
  },
  {
   "to": "work/risala-watar-jayb-kashi",
   "type": "described_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "sources": [
    "source/kashi-mactutor",
    "source/tdv-kashi-okten",
    "source/iranica-kashi",
    "source/qadi-zada-mactutor",
    "source/commons-trigonometry-triangle"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "invention/al-kashi-pi-calculation",
  "invention/kashi-conjunction-plate",
  "invention/kashi-general-root-extraction",
  "invention/kashi-muqarnas-mensuration",
  "place/samarqand",
  "person/al-kashi",
  "work/risala-watar-jayb-kashi"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}