{
 "id": "invention/mahani-sphere-division-cubic",
 "class": "invention",
 "slug": "mahani-sphere-division-cubic",
 "label": {
  "ar": "اختزال الماهاني قسمة الكرة إلى معادلة مكعبة",
  "en": "Al-Mahani's cubic reduction of sphere division",
  "ur": "تقسیم کرہ کی ماہانی کی مکعب تشکیل"
 },
 "summary": {
  "ar": "تحويل مسألة نسبة حجمي قطعتين من كرة إلى مكعب لم يحله صاحبه، لا حل عام لكل المكعبات {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}.",
  "en": "Reduced prescribed-volume sphere division to a cubic he did not solve, not a general cubic solution {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}.",
  "ur": "کرے کے حصوں کی مقرر حجمی نسبت کو مکعب میں بدلا، خود حل نہیں کیا؛ عمومی مکعب حل نہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "levant-iraq"
 ],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "kind": "alternate",
    "lang": "en",
    "value": "Algebraic formulation of Archimedes' prescribed-volume sphere cut"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics"
  ],
  "era": {
   "origins": "abbasid-golden",
   "first_attested": {
    "edtf": "08XX",
    "calendar": "julian",
    "precision": "century",
    "status": "historical",
    "note": "Ninth-century lifetime context, not an eclipse observation or exact surviving composition day; no guessed Hijri.",
    "sources": [
     "source/mahani-mactutor",
     "source/tdv-mahani-fazlioglu"
    ]
   },
   "status_today": "living"
  },
  "origin": {
   "place": "place/baghdad",
   "context": {
    "ar": "بيئة عمله ببغداد نحو860، لا غرفة تأليف متحققة {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}.",
    "en": "Attested Baghdad working milieu around860, not a verified composition room {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}.",
    "ur": "تقریباً860 کا بغدادی علمی ماحول، ثابت خاص کمرہ نہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/al-mahani",
    "role": "improver",
    "note": "Algebraic formulation of an inherited Archimedean problem; failure to solve retained.",
    "sources": [
     "source/mahani-mactutor",
     "source/tdv-mahani-fazlioglu"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "صياغة جبرية جديدة لمسألة موروثة، لا حل المعادلة أو اختراع تقسيم الكرة.",
    "en": "New algebraic formulation of an inherited problem, not its completed solution or invention of sphere cutting.",
    "ur": "موروثی مسئلے کی نئی جبری تشکیل، مکمل حل یا کرہ کاٹنے کی ایجاد نہیں۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "المصادر تنقل عن الخيام اختزال الماهاني وتوقفه، ثم حل الخازن بالقطوع {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}.",
    "en": "Sources report Khayyam's account of al-Mahani's reduction and impasse, then al-Khazin's conic solution {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}.",
    "ur": "ماخذ خیام سے ماہانی کی تشکیل و توقف، پھر خازن کا مخروطی حل نقل کرتے ہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}۔"
   },
   "perspectives": []
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "مسألة أرشميدس في الكرة والأسطوانة، الكتاب الثاني4",
     "en": "Archimedes' Sphere and Cylinder II.4 problem",
     "ur": "ارشمیدس کا کرہ و استوانہ دوم4 کا مسئلہ"
    },
    "note": "Prescribed ratio of segment volumes, not a new problem invented by al-Mahani.",
    "sources": [
     "source/mahani-mactutor",
     "source/dold-samplonius-mahani-dsb"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [
   {
    "invention": "invention/khayyam-geometric-cubics",
    "note": "Earlier particular cubic formulation in the history Khayyam recounts; not a personal teacher chain or identical systematic solution.",
    "sources": [
     "source/mahani-mactutor",
     "source/dold-samplonius-mahani-dsb"
    ]
   }
  ],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics"
   ],
   "changed": {
    "ar": "أصبحت مسألة مجسم معادلة جبرية مع بقاء الحل مفتوحاً {cite:mahani-mactutor cubic}.",
    "en": "A solid-geometry problem became an algebraic equation, with its solution still open {cite:mahani-mactutor cubic}.",
    "ur": "مجسم کا سوال جبری مساوات بنا، حل ابھی کھلا تھا {cite:mahani-mactutor cubic}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "يسبق حل الخازن وتنظيم الخيام، لا أول مكعب في كل تاريخ الرياضيات {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}.",
    "en": "Precedes al-Khazin's solution and Khayyam's system, not the first cubic in all mathematical history {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}.",
    "ur": "خازن کے حل و خیام کی ترتیب سے پہلے، تمام تاریخ کا پہلا مکعب نہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}۔"
   },
   "significance": 3,
   "why": "Distinct formulation step with explicit unsolved status, inherited problem and later solutions; modern normalized example independently checked."
  },
  "described_in": [
   "work/mahani-sphere-cylinder-commentary"
  ],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "مثال حديث يفرق نسبة الحجوم عن الارتفاعات والجذر الجبري عن القطعة الممكنة.",
    "en": "Modern example separates volume ratios from heights and algebraic roots from physical cuts.",
    "ur": "جدید مثال حجم و بلندی کی نسبت اور جبری جذر و ممکن قطع میں فرق کرتی ہے۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "التاريخ لا يثبت وحده انتقالاً مباشراً إلى كل خوارزمية حديثة.",
    "en": "Chronology alone does not establish direct transmission to every modern algorithm.",
    "ur": "صرف تاریخ ہر جدید طریقے تک براہ راست انتقال نہیں ثابت کرتی۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/mahani-sphere-cap-context",
   "diagram": "media/diagram-mahani-sphere-cubic"
  },
  "kids": {
   "ar": "نصف الارتفاع ليس دائماً نصف الحجم؛ الماهاني صاغ سؤالاً ولم يكمل حله.",
   "en": "Half a height need not mean half a volume; al-Mahani formulated a question without completing its solution.",
   "ur": "آدھی بلندی ہمیشہ آدھا حجم نہیں؛ ماہانی نے سوال بنایا، حل مکمل نہیں کیا۔"
  },
  "sources": [
   "source/mahani-mactutor",
   "source/tdv-mahani-fazlioglu",
   "source/dold-samplonius-mahani-dsb",
   "source/weisstein-spherical-cap",
   "source/commons-spherical-cap-pbroks"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b80",
   "source": "Actual MacTutor, TDV and complete single-page DSB reproduction; MathWorld equations and Commons rights/image. Modern cap derivation is not a transcription of al-Mahani's lost/full original reasoning."
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "حاول [[person/al-mahani|الماهاني]] نقل مسألة لأرشميدس من لغة المجسمات إلى الجبر: أين يقطع مستوى كرة حتى تكون نسبة حجمي الجزأين معلومة؟ انتهى إلى معادلة فيها مكعب ومربع وعدد، لكنه لم يحلها. تنقل ماكتوتر ودولد-سامبلونيوس الخبر عن الخيام، وتذكران أن الخازن حل المعادلة لاحقاً باستعمال القطوع المخروطية {cite:mahani-mactutor cubic} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}.\n\nالإنجاز المسجل هو الصياغة، لا الحل الذي تعذر عليه، ولا اختراع تقسيم الكرة أو كل المعادلات المكعبة. وتبقى هذه البطاقة مختلفة من [[invention/khayyam-geometric-cubics|تنظيم الخيام للحلول الهندسية]]. قد يغير تحويل السؤال ما يستطيع اللاحقون بحثه، حتى حين لا يكمل صاحبه طريق الحل {cite:mahani-mactutor historical-assessment} {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "المطلوب نسبة حجوم، لا نسبة ارتفاعات ولا مساحة سطح. إذا قطع المستوى قرب قطب الكرة حصل جزء صغير وآخر كبير، وتبدل موضع القطع حتى يوافق النسبة المطلوبة. المسألة موروثة من «الكرة والأسطوانة»، الكتاب الثاني، القضية الرابعة؛ لا ينسب المتحف السؤال الأصلي إلى الماهاني {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}.\n\nتورد TDV الصيغة الحديثة x³+c=ax²، بينما تكتبها دولد-سامبلونيوس بأسماء معاملات أخرى. اختلاف الحروف لا يعني مسألتين تاريخيتين جديدتين. سنختار حروفاً خاصة للشرح ونصرح بأنها حديثة؛ لا نزعم أن في المخطوط صيغة مطبوعة بهذه العلامات أو مثالاً بالأعداد التي اخترناها {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "الكرة والقضية والبرهان الهندسي الأقدم ليست اختراعات الماهاني. ما يبرزه الخيام في الخبر المنقول هو محاولة معالجة المطلوب جبرياً. وليس مجرد وجود مكعب في الصياغة دليلاً على أنه أول إنسان عرف مكعباً، كما لا تعني صعوبة الحل أن كل طرق الهندسة السابقة كانت عاجزة {cite:mahani-mactutor Archimedes-and-Khayyam}.\n\nيمثل العمل لقاء دراسة أرشميدس بلغة جبرية جديدة في بيئته. وتعرض TDV أيضاً اهتمام الماهاني بتعليقات إقليدس والنسبة والمقادير غير النسبية. لا نجعل تزامن هذه الاهتمامات سلسلة سببية مكتملة، أو نفترض أن كل صفحة من تعليق إقليدس كانت خطوة ضرورية لهذا المكعب {cite:tdv-mahani-fazlioglu mathematics}."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "المعلومات عن حياته قليلة. تعطي ماكتوتر مولداً نحو820، بينما تركز الشواهد الأقوى على رصد بين853 و866، نقله ابن يونس. وتذكر TDV وجوده ببغداد نحو860. لا نستعمل رصداً مؤرخاً لنمنح اختزال الكرة يوم اختراع، ولا ننقل تاريخ مدينة إلى عنوان غرفة تأليف متحققة {cite:mahani-mactutor biography} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}.\n\nتذكر المصادر [[work/mahani-sphere-cylinder-commentary|شرحاً للكرة والأسطوانة]] وبقايا وشروحاً مرتبطة به في ليدن. لكن الرواية الأوضح لعدم إكمال الحل تصل عبر الخيام كما تعرضها المصادر الحديثة. نميز بين خبر مؤلف لاحق، وشاهد مخطوط يسرده باحث، وقراءة أصلية لم نجريها؛ لا نجمع الثلاثة في ادعاء معاينة واحد {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "تصف ماكتوتر أبا عبد الله محمد بن عيسى الماهاني بأنه عالم رياضيات إسلامي، وتضعه TDV في علماء الرياضيات والفلك الأوائل في الإسلام. هذا أساس فردي، لا استنتاج من الاسم أو المولد. والإطار السني المعلن مستقل من ادعاء شهادة شخصية بمذهب لم تنص عليه الحسابات المقروءة {cite:mahani-mactutor summary} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}.\n\nتظل الوفاة نحو880، مع تصريح TDV بالشك في الزوج267/880. لا نعيد نشر عدم اليقين بوصفه يوماً ثابتاً. وفي القصة ثلاثة أدوار مختلفة: أرشميدس صاحب المسألة السابقة، والماهاني صاحب التحويل، والخازن صاحب حل لاحق بالقطوع؛ لا ندمج أسماءهم أو نجعل الخازن هو الخازني صاحب الميزان {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography-and-algebra}."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "هذا شرح متحفي حديث، لا إعادة إنشاء لكل خطوات الماهاني. نرمز لنصف قطر الكرة بـR، وارتفاع القطعة من قطبها إلى مستوى القطع بـh. تعطي صيغة القطعة V=πh²(3R−h)/3، وحجم الكرة كلها4πR³/3. أما نصف قطر دائرة القطع فيحقق a²=h(2R−h). هذه صيغة حجم ثلاثي الأبعاد، لا مساحة قرص أو قبة {cite:weisstein-spherical-cap eqs2-6}.\n\nضع t=h/R، ولتكن q حصة القطعة من حجم الكرة. بإلغاء الوحدات نحصل على q=t²(3−t)/4، ثم t³+4q=3t². وهكذا ظهرت مكعبات ومربعات وعدد من سؤال هندسي. المجال0≤t≤2؛ القيم الطرفية قطعة معدومة أو كرة كاملة، بينما يتطلب جزآن موجبان0<q<1. هذه تسوية حديثة تختار متغيراً ومعاملات، لا نصاً منقولاً عن الماهاني {cite:weisstein-spherical-cap eq6}.\n\nمثالنا المستقل t=1/2 يعطي q=5/32. نسبة القطعة إلى بقية الكرة هي5:27، وليست5:32؛ الأخيرة نسبة القطعة إلى الكل. وبالتعويض t³+4q=1/8+5/8=3/4، وكذلك3t²=3/4. الأعداد تبين اتساق الصياغة، ولا تثبت أن العالم القديم اختار هذا المثال أو أكمل حل معادلته.\n\nولنصف الحجم q=1/2 تكون المعادلة t³−3t²+2=0، وتتحلل حديثاً إلى(t−1)(t²−2t−2)=0. جذورها1 و1+√3 و1−√3؛ وحده1 داخل مجال القطعة. ليس كل جذر جبري موضع قطع ممكناً. ولا يجعل اختيار مثال بسيط للفصل من المركز حل الماهاني التاريخي كاملاً لكل نسبة.\n\nفي الفحص الحديث أيضاً مشتقة الحصة بالنسبة إلىt هي3t(2−t)/4، موجبة بين0 و2. لذلك يكبر الحجم مع زيادة ارتفاع القطعة، وتوجد حصة واحدة لكل ارتفاع داخلي، وارتفاع واحد لكل حصة داخلية. لا تجعل الجذور الأخرى عدد مواضع قطع حقيقية. هذا برهان حديث لخاصية نموذجنا، لا نسبة استعمال حساب التفاضل إلى الماهاني أو ادعاء العثور على برهانه المفقود {cite:weisstein-spherical-cap eq6}."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "يوفر وصف الخيام شاهداً على أن المحاولة كانت جزءاً من ذاكرة تطور الجبر، وتذكر المصادر انتقال المسألة إلى حل الخازن. هذا تسلسل أعمال، لا إثبات لقاء شخصي بين جميع الأسماء أو مدرسة واحدة موثقة بكل تلاميذها. لا نضع تواريخ انتشار جغرافية لا تعطيها الحسابات المقروءة {cite:mahani-mactutor cubic-history}.\n\nوتسرد TDV شواهد للتعليقات في مكتبات متعددة، لكن موضع النسخة اليوم ليس مكان اختراع ولا محطة تداول مؤرخة. وبقاء شذرات أو شرح على العمل لا يعني أن كل مرحلة انتقال معروفة. لذلك لا تتحول قائمة المخطوطات تلقائياً إلى خريطة متحركة من القرون الوسطى {cite:tdv-mahani-fazlioglu works}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "المعطى نسبة بين جزأين، والعلاقة المطلوبة بين حجم القطعة وموضع المستوى. تعتمد المسألة على كرة مثالية ومستوى مثالي، لا فاكهة غير منتظمة أو وعاء مجهول السمك. المثال الحديث يبين أن تحويل السؤال يقتضي تعريف الشيء المحسوب، وليس كتابة رمز مكعب بجوار أي رسم مستدير {cite:weisstein-spherical-cap definition-and-eq6}.\n\nوللمقارنة بين نسبتين m:n نكتب q=m/(m+n)، لا m/n. ثم يعيد ارتفاع القطعة الموافق تحويل النسبة إلى موضع هندسي. هذا تفسيرنا الحديث لمعنى النسبة المنقولة، لا ترجمة حرفية لعبارة أرشميدس أو إثبات أننا فحصنا نصه الأصلي في هذه الجلسة {cite:dold-samplonius-mahani-dsb prescribed-ratio}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "تروي المصادر أن الخازن استطاع حل المعادلة بالقطوع المخروطية، ثم تعرض أهمية المحاولة في تاريخ وصل الهندسة بالجبر. يبقى حل حالة سابقة مختلفاً من تنظيم الخيام فئات مكعبة متعددة، ومختلفاً من صيغ الجذور الحديثة. لا نحسب كل هذه المراحل اسماً آخر للبطاقة نفسها {cite:mahani-mactutor cubic-history}.\n\nولغة اليوم تسمح بمقارنة أحجام الكرة واختيار الجذر المناسب بالحساب. لا ننسب أدوات التحليل هذه إلى الماهاني لمجرد أن الدرس المتحفي يستعملها. كما أن نجاح تعويضنا لا يثبت طريق انتقال مباشر من شرحه إلى كل برنامج حاسوبي حديث لحل مكعب {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra} {cite:weisstein-spherical-cap eq6}."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "لا تعطي المصادر التي قرئت سجلاً لورشة قسمت كرات اعتماداً على الماهاني، أو مقدار مادة وفرته طريقته، أو اقتصاداً نشأ من المعادلة. الأثر المدعوم هو في طريقة طرح المشكلة وتاريخ الرياضيات. لا نملأ الفراغ بمشهد صانع أو تاجر متخيل، ولا نحول تمثيل المجسم إلى تعليمات قطع مادي {cite:mahani-mactutor historical-assessment}.\n\nيمكن للقارئ مع ذلك تعلم فرق عملي في التفكير: نسب الأطوال والمساحات والحجوم ليست شيئاً واحداً. وعندما يكبر نصف القطر وارتفاع القطعة معاً بالضعف، يكبر الحجم ثماني مرات وتبقى الحصةq نفسها. هذه نتيجة من الصيغة الحديثة، لا قياس استعملنا فيه أداة قديمة أو أثراً اقتصادياً مؤرخاً {cite:weisstein-spherical-cap eq6}."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "لم يجعل عجز الماهاني الصياغة بلا قيمة عند الخيام كما تقرأه ماكتوتر. وصف المشكلة بلغة أخرى قد يتيح طرقاً لم تكن ظاهرة في عرضها السابق. لكن ذلك ليس حكماً بأن كل معادلة غير محلولة اختراع عظيم؛ هنا يوجد خبر محدد عن مسألة محددة ومتابعة محددة {cite:mahani-mactutor historical-assessment}.\n\nوتجعل البطاقة الفشل العلمي جزءاً من القصة، لا حاشية نخفيها بعد عنوان انتصاري. لا نكتب «حل الماهاني تقسيم الكرة» حين تقول المصادر إنه توقف عند مكعب. وربما كان تمييز الناتج الذي تحقق من النتيجة التي بقيت مطلوبة أهم ما يحمي هذا التاريخ من المبالغة {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "**أهل السنة — الإطار المعلن:** أساس الهوية الإسلامية فردي، والإطار السني مستقل من دعوى الأولوية. **القراءة الأكاديمية:** تنقل المصادر عن الخيام محاولة الماهاني واكتمالاً لاحقاً عند الخازن. القول هنا نسبة تحويل جبري معين، لا أولوية كل مكعب عرفته حضارة أو حكم نهائي من المتحف على جميع المخطوطات {cite:mahani-mactutor summary-and-cubic} {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}.\n\nويجب أن تبقى الأصوات مختلفة أيضاً في الشواهد: تنسب TDV الشرح اللاحق إلى الكوهي، بينما تكتب دولد-سامبلونيوس «ربما». نحتفظ بهذا التحفظ، ولا نستخرج يقيناً من الجمع بين مصدرين. والخبر عن عالم غير مسلم في السوابق لا يحذف لأن بطاقة المتصفح مقيدة بهوية صانعها {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "توضح المقارنة بين t و2−t أن القطعتين المتكاملتين تعطيان حصتين مجموعهما1. ففي مثالنا الآخر t=3/2 تكون q=27/32، وتصبح النسبة27:5. هذا فحص حديث لتبديل جهة النظر إلى المستوى نفسه، لا اكتشاف مثال تاريخي ثان للماهاني. ويمكن التحقق من الحساب من غير آلة أثرية.\n\nفي الصورة r نصف قطر الكرة، وh ارتفاع القطعة، وa نصف قطر دائرة القطع؛ أما نصنا فيستعملR للكرة. لا نخلط a المصور بمعامل يحمل الحرف نفسه في صيغة TDV العامة. الشكل حديث، بلون بنفسجي للقطعة وأزرق للكرة، ولا يحمل شهادة على أدوات المؤلف {cite:commons-spherical-cap-pbroks current-image}."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "قُرئت السيرة الكاملة لماكتوتر، ومقالة إحسان فضلي أوغلو وقائمة أعمالها، والنص المعاد نشره من سيرة دولد-سامبلونيوس مع ببليوغرافيته في ملف صفحة واحدة. لم تفحص شذرة ليدن أو الأصل الكامل للماهاني، ولم يقرأ بحث راشد المدرج لمجرد وروده في المراجع {cite:mahani-mactutor bibliography} {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}.\n\nوتذكر TDV في أعمال أخرى فهارس ومراجعات ضائعة، فلا نعد كل عنوان كتاباً كاملاً باقياً. صورة القطعة لبروكس صورة2008 طرحها مؤلفها في الملك العام، وقد عوينت حقوقها وصورتها الحالية؛ يستعمل الأصل بلا تعديل. ليست ورقة من شرح الماهاني أو نسخة أثرية لقضيته {cite:tdv-mahani-fazlioglu works} {cite:commons-spherical-cap-pbroks rights}."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "يمكن لتاريخ المعرفة أن يعرض سؤالاً فتح باباً من غير أن يصنع بطلاً أجاب عن كل شيء. يفيد الخبر في فهم قيمة الاختزال والتمييز بين لغة الوصف ولغة الحل. لا تحتاج هذه الحكاية قولاً مأثوراً مختلقاً أو مشهداً درامياً من بغداد لا تعطيه المصادر {cite:mahani-mactutor historical-assessment}.\n\nوكلمة «مكعب» هنا تصف قوة في المعادلة، لا هيئة الجزء المقطوع من الكرة. أما «قسمة» الكرة فهي تحديد مستوٍ وحجمين، لا توزيع أعداد على الورق فحسب. يساعد شرح الكلمات على قراءة الصورة، من غير تحويل المصطلح الحديث إلى اقتباس مزعوم من المؤلف."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "ارسم دائرة تمثل مقطع كرة، ثم خطاً يعبرها قريباً من الأعلى. الجزء الصغير في الرسم يذكرك بقطعة ثلاثية الأبعاد، لكنه ليس حجمها نفسه. لا يلزم تقطيع كرة حقيقية أو استعمال أدوات حادة. يمكن رسم مواضع مختلفة والسؤال كيف يتغير الحجم بدلاً من قياس مساحة اللون وحدها.\n\nاختيار h=R/2 في المثال يعطي5/32 من الحجم كله، لا نصفه. والماهاني لم يختر بالضرورة هذه الأرقام؛ نحن اخترناها للتعليم. كان تحويل السؤال خطوة، وحله خطوة أخرى. تذكر عند قراءة عنوان اختراع أن تسأل دائماً: ماذا حقق صاحبه، وماذا بقي بعده {cite:weisstein-spherical-cap eq6} {cite:mahani-mactutor cubic}."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- ماكتوتر:السيرة والخبر المنقول عن الخيام {cite:mahani-mactutor biography-and-cubic}.\n- فضلي أوغلو في TDV:الصيغة والأعمال {cite:tdv-mahani-fazlioglu body}.\n- دولد-سامبلونيوس:السيرة والشواهد والتحفظات {cite:dold-samplonius-mahani-dsb body}.\n- ماثوورلد:الصيغ الحديثة لا تاريخ الاختراع {cite:weisstein-spherical-cap eqs2-6}.\n- كامونز:الشكل الحديث وحقوقه {cite:commons-spherical-cap-pbroks rights}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/mahani-sphere-division-cubic",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b80",
     "source": "Actual complete MacTutor/TDV/single-page DSB body and bibliography; MathWorld equations2–6 and Commons rights/image. Modern normalized examples are independent, not al-Mahani's original notation or recovered full derivation."
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "[[person/al-mahani|Al-Mahani]] tried to move an Archimedean problem from solid geometry into algebra: where should a plane cut a sphere so that the two resulting volumes have a prescribed ratio? He reached an equation involving a cube, a square and a number, but did not solve it. MacTutor and Dold-Samplonius report Khayyam's account and al-Khazin's later solution using conic sections {cite:mahani-mactutor cubic} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}.\n\nThe contribution recorded is formulation, not the solution he could not complete, the invention of sphere cutting, or all cubic equations. It remains distinct from [[invention/khayyam-geometric-cubics|Khayyam's systematic geometric solutions]]. Changing the language of a question can alter what later investigators can attempt, even when its proposer cannot finish the solution {cite:mahani-mactutor historical-assessment} {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "The requested ratio concerns volumes, not heights or surface areas. A plane near a pole creates a small cap and a larger remainder; its position must match the specified proportion. The inherited problem is from On the Sphere and Cylinder, book II, proposition4. The museum does not attribute the original question to al-Mahani {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}.\n\nTDV writes the modern form x³+c=ax², while Dold-Samplonius uses different coefficient names. Different letters do not create different historical problems. We choose our own teaching notation below, without claiming that the manuscript contained these printed signs or the particular numbers in our examples {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "The sphere, the problem and its earlier geometrical treatment were not al-Mahani's inventions. What Khayyam highlights in the transmitted account is an attempt to address the question algebraically. The appearance of a cube does not establish the first cubic anywhere, and difficulty completing this approach does not mean every previous geometrical method had failed {cite:mahani-mactutor Archimedes-and-Khayyam}.\n\nThe work connects an Archimedean question with algebraic treatment in its new setting. TDV also describes al-Mahani's Euclidean commentaries, ratio theory and irrational magnitudes. Their coexistence is not a fully documented causal chain, nor evidence that every page of a Euclid commentary was a necessary step toward this particular equation {cite:tdv-mahani-fazlioglu mathematics}."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "Little is known about his life. MacTutor gives birth about820; more firmly dated evidence concerns observations between853 and866 reported by Ibn Yunus. TDV places him in Baghdad around860. An observation date is not a documented invention day, and a working city does not establish a particular room in which the sphere problem was formulated {cite:mahani-mactutor biography} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}.\n\nThe sources describe a [[work/mahani-sphere-cylinder-commentary|Sphere and Cylinder commentary]] and related fragments or commentary witnesses in Leiden. The clearest report of the unfinished solution comes through Khayyam as presented by modern scholars. We distinguish a later author's report, a scholar's manuscript description and an original reading we have not undertaken {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "MacTutor explicitly identifies Abu Abd Allah Muhammad ibn Isa al-Mahani as an Islamic mathematician; TDV places him among early Islamic mathematician-astronomers. This provides individual evidence, not an inference from name or birthplace. The separately declared Sunni museum frame is not a personal denominational certificate supplied by the consulted biographies {cite:mahani-mactutor summary} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}.\n\nDeath remains about880, with TDV explicitly questioning the267/880 pairing. Uncertainty is not republished as an exact day. Three roles remain distinct: Archimedes supplied the inherited problem, al-Mahani its algebraic reduction, and al-Khazin a later conic solution. Al-Khazin must not be confused with al-Khazini of the Balance of Wisdom {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography-and-algebra}."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "This is a modern museum explanation, not a reconstruction of every original step. Let R be the sphere's radius and h the cap height measured from its pole to the cutting plane. The cap volume is V=πh²(3R−h)/3; the whole sphere has volume4πR³/3. The cut-circle radius satisfies a²=h(2R−h). These are three-dimensional volumes, not disk or dome surface areas {cite:weisstein-spherical-cap eqs2-6}.\n\nSet t=h/R and let q be the cap's share of the entire sphere volume. Cancelling units gives q=t²(3−t)/4, hence t³+4q=3t². A cube, squares and a number have appeared from geometry. The physical interval is0≤t≤2: endpoints are an empty cap and a whole sphere, while two positive pieces require0<q<1. The normalization is ours, not a transcription of al-Mahani {cite:weisstein-spherical-cap eq6}.\n\nOur independent example t=1/2 gives q=5/32. The cap-to-remainder ratio is5:27, not5:32; the latter compares cap to whole. Substitution gives t³+4q=1/8+5/8=3/4, also3t²=3/4. These numbers check the formulation, not a claim that al-Mahani used them or completed the historical solution.\n\nFor half the volume, q=1/2, the modern equation becomes t³−3t²+2=0, factorized as(t−1)(t²−2t−2)=0. Its roots are1,1+√3 and1−√3. Only1 lies in the physical cap interval. Not every algebraic root represents a possible cut, and choosing an easy central-section example does not solve the original problem for every prescribed ratio.\n\nIn the modern check, the derivative of q with respect to t is3t(2−t)/4, positive between0 and2. Increasing cap height therefore increases its volume share, with one interior height for each interior share. Other polynomial roots do not multiply the physical cuts. This proves a property of our modern model, not that al-Mahani used differential calculus or that his lost reasoning has been recovered {cite:weisstein-spherical-cap eq6}."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "Khayyam's report shows the attempt becoming part of the remembered development of algebra, and the sources describe al-Khazin's subsequent solution. This is a sequence of contributions, not proof that all named scholars met or belonged to one personally documented teaching chain. The accounts read here do not supply a dated geographical adoption map {cite:mahani-mactutor cubic-history}.\n\nTDV lists commentary witnesses in several libraries. A manuscript's present location is not an invention site or an automatically dated stage of medieval circulation. Surviving fragments and commentaries do not imply that every stage of their transmission is known; a catalogue list cannot simply become an animated historical route {cite:tdv-mahani-fazlioglu works}."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The given condition is a ratio between two pieces; the required relation connects cap volume and cutting-plane position. The model assumes an ideal sphere and plane, not irregular fruit or a vessel of unknown thickness. The modern example shows why reformulation requires defining the quantity, not merely writing a cube beside something round {cite:weisstein-spherical-cap definition-and-eq6}.\n\nFor a prescribed ratio m:n, the cap share is q=m/(m+n), not m/n. Finding the corresponding height returns the algebra to geometry. This is our explanation of the reported ratio condition, not a literal translation of Archimedes or a claim that his original text was examined for this batch {cite:dold-samplonius-mahani-dsb prescribed-ratio}."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "The sources say al-Khazin solved the equation with conics, and assess the attempt's importance in connecting algebra with geometry. Solving an earlier particular case remains different from Khayyam's later organization of multiple cubic forms and from modern radical formulas. These stages are not counted as interchangeable names for one record {cite:mahani-mactutor cubic-history}.\n\nToday's notation allows comparisons of volumes and computational selection of the appropriate root. Those tools are not attributed to al-Mahani merely because a museum lesson uses them. Successful substitution also does not establish a direct transmission route from his commentary to every modern computer program for cubic equations {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra} {cite:weisstein-spherical-cap eq6}."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The readings provide no workshop register of sphere cutting based on al-Mahani, material savings attributed to the method, or an industry created by the equation. The supported impact concerns mathematical formulation and history. We do not fill the gap with a fictional craftsperson, or turn the solid-geometry model into instructions for physically cutting objects {cite:mahani-mactutor historical-assessment}.\n\nA useful distinction can nevertheless be learned: length, area and volume ratios are not interchangeable. Doubling both radius and cap height multiplies volume by eight while preserving q. That is a consequence of the modern formula, not a measurement made with an old instrument or a historically documented economic effect {cite:weisstein-spherical-cap eq6}."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "As MacTutor reads Khayyam, al-Mahani's inability to finish did not make formulation worthless. Expressing a problem in another language can expose approaches not apparent before. That does not make every unsolved equation a great invention: this case has a particular reported question and a particular later continuation {cite:mahani-mactutor historical-assessment}.\n\nThe record makes failure part of the story rather than a footnote beneath a triumphal title. We do not write that al-Mahani solved sphere division when the sources say he stopped at a cubic. Distinguishing the result attained from the result still sought protects this history from exaggerated retrospective credit {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "**Sunni — declared frame:** the individual Islamic identity is documented, separate from a universal-priority claim. **Academic account:** the sources report Khayyam's description of al-Mahani's attempt and al-Khazin's later solution. The attribution concerns a particular algebraic reduction, not every cubic known in every civilization or a museum verdict after examining all manuscripts {cite:mahani-mactutor summary-and-cubic} {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}.\n\nThe sources also retain different confidence about witnesses: TDV attributes a later commentary to al-Quhi, while Dold-Samplonius writes “probably.” We preserve that qualification rather than manufacture certainty by combining accounts. A non-Muslim contributor to the inherited mathematical story is not omitted because this browser's maker criterion is narrower {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "Comparing t with2−t gives complementary caps whose volume shares sum to1. For t=3/2, q=27/32 and the cap-to-remainder ratio is27:5. This independently checked modern example reverses the viewpoint on the same cutting plane; it is not the discovery of a second historical example used by al-Mahani.\n\nIn the illustration, r is sphere radius, h cap height and a cut-circle radius; our explanation uses R for sphere radius. The picture's a is not the coefficient carrying that letter in TDV's general cubic. A violet cap and blue sphere are modern illustration, not evidence about the author's physical apparatus {cite:commons-spherical-cap-pbroks current-image}."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "The actual readings are MacTutor's complete biography, İhsan Fazlıoğlu's TDV body and work list, and Dold-Samplonius's reproduced biography with bibliography in a single-page PDF. No Leiden fragment, complete al-Mahani original or listed Rashed study was inspected merely because it appeared in references {cite:mahani-mactutor bibliography} {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}.\n\nTDV's other work entries include lost revisions and catalogue notices; not every title represents a complete surviving book. Pbroks13's2008 illustration was released into the public domain, and its rights and current image were inspected. The unchanged original is used; it is not a page from al-Mahani's commentary {cite:tdv-mahani-fazlioglu works} {cite:commons-spherical-cap-pbroks rights}."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "A history of knowledge can show a question opening a path without creating a hero who answered everything. The report helps distinguish the language of a problem from the language of its solution. No invented maxim or undocumented dramatic Baghdad scene is needed to make the distinction interesting {cite:mahani-mactutor historical-assessment}.\n\n“Cubic” here describes a power in an equation, not the shape of the piece cut from a sphere. “Division” means specifying a plane and two volumes, not just numerical division on paper. Explaining these terms helps a reader interpret the picture without converting modern terminology into a supposed quotation from the author."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Draw a circle standing for a cross-section of a sphere and a line near its top. The small area on paper suggests a three-dimensional cap, but is not itself that cap's volume. No real ball or sharp cutting tool is needed. You can draw different plane positions and ask how volume changes rather than measuring coloured area alone.\n\nChoosing h=R/2 in our example gives5/32 of the entire volume, not half. Al-Mahani did not necessarily choose these numbers; we chose them to teach the question. Formulation was one step, solution another. When reading an invention title, ask what its maker achieved and what remained for later investigators {cite:weisstein-spherical-cap eq6} {cite:mahani-mactutor cubic}."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- MacTutor: biography and Khayyam's reported account {cite:mahani-mactutor biography-and-cubic}.\n- Fazlıoğlu, TDV: equation and works {cite:tdv-mahani-fazlioglu body}.\n- Dold-Samplonius: biography, witnesses and qualifications {cite:dold-samplonius-mahani-dsb body}.\n- MathWorld: modern formulas, not invention history {cite:weisstein-spherical-cap eqs2-6}.\n- Commons: modern illustration and rights {cite:commons-spherical-cap-pbroks rights}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/mahani-sphere-division-cubic",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b80",
     "source": "Arabic-first prose from actual MacTutor, TDV and complete single-page DSB; MathWorld equations2–6 and Commons rights/image. Modern normalized examples are independent, not al-Mahani's original notation or recovered full derivation."
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "[[person/al-mahani|ماہانی]] نے ارشمیدس کا ایک سوال مجسم ہندسے سے الجبرا میں منتقل کرنا چاہا: مستوی کرے کو کہاں کاٹے تاکہ دونوں حصوں کے حجم مقرر نسبت میں ہوں؟ وہ مکعب، مربع اور عدد والی مساوات تک پہنچے، مگر اسے حل نہیں کر سکے۔ میک ٹیوٹر اور ڈولڈ سامپلونیوس خیام سے یہ خبر نقل کرتے، پھر خازن کا مخروطی قطوع سے بعد کا حل بتاتے ہیں {cite:mahani-mactutor cubic} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}۔\n\nیہاں درج کارنامہ تشکیل ہے، وہ حل نہیں جو نامکمل رہا، نہ کرہ کاٹنے یا تمام مکعب مساوات کی ایجاد۔ یہ [[invention/khayyam-geometric-cubics|خیام کے منظم ہندسی حلوں]] سے الگ ہے۔ سوال کی زبان بدلنے سے بعد کے محقق کے لیے راستہ بدل سکتا ہے، چاہے پیش کرنے والا خود منزل تک نہ پہنچا ہو {cite:mahani-mactutor historical-assessment} {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "مطلوب نسبت حجموں کی ہے، بلندیوں یا سطحی رقبوں کی نہیں۔ قطب کے قریب مستوی ایک چھوٹا حصہ اور بڑا باقی حصہ بناتا ہے؛ اس کا مقام مقرر نسبت سے ملنا چاہیے۔ موروثی سوال «کرہ و استوانہ» کی کتاب دوم، قضیہ4کا ہے۔ اصل سوال ماہانی سے منسوب نہیں کیا جاتا {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}۔\n\nٹی ڈی وی جدید صورتx³+c=ax²دیتا ہے، جبکہ ڈولڈ سامپلونیوس عددی ضاربوں کے دوسرے نام لیتی ہیں۔ حروف بدلنے سے دو نئی تاریخی مساوات نہیں بن جاتیں۔ ذیل میں ہم اپنی تدریسی علامتیں چنیں گے؛ یہ دعویٰ نہیں کہ مخطوطے میں یہی مطبوعہ نشان یا ہماری منتخب مثالوں کے عدد تھے {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "کرہ، سوال اور اس کا سابقہ ہندسی طریقہ ماہانی کی ایجاد نہیں تھے۔ خیام کی منقول خبر میں نمایاں کوشش اس سوال کو جبری طور پر دیکھنا ہے۔ مکعب کا آجانا تمام دنیا کا پہلا مکعب ثابت نہیں کرتا، اور اس راستے کے نامکمل رہنے کا مطلب یہ نہیں کہ پہلے ہندسے کی ہر راہ ناکام تھی {cite:mahani-mactutor Archimedes-and-Khayyam}۔\n\nیہ کام ارشمیدسی سوال کو نئے علمی ماحول کی جبری زبان سے ملاتا ہے۔ ٹی ڈی وی اقلیدسی شروح، نسبت اور غیر ناطق مقداروں میں ماہانی کی دلچسپی بھی بتاتا ہے۔ ان کا ایک ساتھ ہونا مکمل سببی زنجیر نہیں، نہ یہ ثبوت کہ اقلیدس کی شرح کا ہر صفحہ اسی مساوات کے لیے لازمی قدم تھا {cite:tdv-mahani-fazlioglu mathematics}۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "زندگی کے بارے میں معلومات کم ہیں۔ میک ٹیوٹر تقریباً820کی پیدائش دیتا ہے؛ نسبتاً مضبوط تاریخیں853سے866کے مشاہدات کی ہیں جو ابن یونس نقل کرتے ہیں۔ ٹی ڈی وی تقریباً860میں بغداد موجودگی بتاتا ہے۔ رصد کی تاریخ ایجاد کا دن نہیں، اور شہر میں کام کرنا تقسیم کرہ کی تشکیل کا خاص کمرہ ثابت نہیں کرتا {cite:mahani-mactutor biography} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}۔\n\nماخذ [[work/mahani-sphere-cylinder-commentary|کرہ و استوانہ کی شرح]] اور لیڈن میں متعلقہ اجزا یا شرح کے شواہد بتاتے ہیں۔ نامکمل حل کی صاف خبر خیام کے ذریعے جدید محققوں تک آتی ہے۔ بعد کے مصنف کا بیان، محقق کی مخطوطے کی تفصیل، اور اصل مطالعہ جو ہم نے نہیں کیا، الگ رکھے جاتے ہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "میک ٹیوٹر ابو عبداللہ محمد بن عیسیٰ ماہانی کو اسلامی ریاضی دان کہتا ہے؛ ٹی ڈی وی انہیں ابتدائی اسلامی ریاضی و فلکیات کے علما میں رکھتا ہے۔ یہ انفرادی بنیاد ہے، نام یا جائے پیدائش سے اندازہ نہیں۔ الگ اعلانیہ سنی فریم، پڑھی سوانح کی فراہم کردہ نئی شخصی مسلکی سند نہیں {cite:mahani-mactutor summary} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}۔\n\nوفات تقریباً880رہتی ہے؛ ٹی ڈی وی267/880کے جوڑے پر شک ظاہر کرتا ہے۔ غیر یقینی بات کو قطعی دن نہیں بنایا جاتا۔ تین کردار الگ ہیں: ارشمیدس کا موروثی سوال، ماہانی کی جبری تشکیل، اور خازن کا بعد کا مخروطی حل۔ خازن کو میزان الحکمہ والے خازنی سے بھی خلط نہیں کرنا چاہیے {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography-and-algebra}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "یہ جدید میوزیمی شرح ہے، ہر اصل قدم کی بازیافت نہیں۔Rکرے کا نصف قطر اورhقطب سے قطع مستوی تک حصے کی بلندی ہے۔ حجمV=πh²(3R−h)/3اور پورے کرے کا حجم4πR³/3ہے۔ قطع دائرے کے نصف قطر کے لیےa²=h(2R−h)ہے۔ یہ تین جہتی حجم ہے، قرص یا گنبد کی سطح کا رقبہ نہیں {cite:weisstein-spherical-cap eqs2-6}۔\n\nابt=h/Rاورqکو پورے حجم میں حصے کا تناسب کہیں۔ اکائیاں ختم کرنے سےq=t²(3−t)/4، پھرt³+4q=3t²ملتا ہے۔ یوں ہندسے سے مکعب، مربع اور عدد آگئے۔ ممکن میدان0≤t≤2ہے؛ کناروں پر صفر حصہ یا پورا کرہ، جبکہ دو مثبت حصوں کے لیے0<q<1ہے۔ یہ ہماری جدید معمول بندی ہے، ماہانی کی عبارت کی نقل نہیں {cite:weisstein-spherical-cap eq6}۔\n\nہماری آزاد مثالt=1/2سےq=5/32ملتا ہے۔ چھوٹے حصے اور باقی کرے کی نسبت5:27ہے،5:32نہیں؛ مؤخر الذکر حصے اور کل کی نسبت ہے۔ رکھنے سےt³+4q=1/8+5/8=3/4اور3t²=3/4ملتا ہے۔ اعداد تشکیل کی مطابقت جانچتے ہیں، یہ نہیں کہ ماہانی نے یہی مثال چنی یا تاریخی حل مکمل کیا۔\n\nآدھے حجم کے لیےq=1/2سےt³−3t²+2=0، یعنی جدید تجزیے میں(t−1)(t²−2t−2)=0ہے۔ جذر1،1+√3اور1−√3ہیں، مگر ممکن حصے کے میدان میں صرف1آتا ہے۔ ہر جبری جذر ممکن قطع نہیں۔ مرکز سے آسان نصف کرنے کی مثال چننا ہر مقرر نسبت کے اصل سوال کا مکمل تاریخی حل بھی نہیں۔\n\nجدید جانچ میںtکے لحاظ سےqکا مشتق3t(2−t)/4ہے، جو0اور2کے درمیان مثبت ہے۔ یوں حصے کی بلندی بڑھانے سے حجمی حصہ بڑھتا، اور ہر اندرونی تناسب کے لیے ایک اندرونی بلندی ملتی ہے۔ دوسرے جبری جذر مادی قطعوں کی تعداد نہیں بڑھاتے۔ یہ ہمارے جدید نمونے کی خاصیت کا برہان ہے، ماہانی کو حساب التفاضل دینے یا ان کی گم دلیل ملنے کا دعویٰ نہیں {cite:weisstein-spherical-cap eq6}۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "خیام کا بیان دکھاتا ہے کہ کوشش الجبرا کی یاد رکھی تاریخ کا حصہ بنی، اور ماخذ خازن کے بعد کے حل کا ذکر کرتے ہیں۔ یہ علمی کاموں کی ترتیب ہے، تمام ناموں کی ذاتی ملاقات یا ایک مکمل استاد شاگرد زنجیر کا ثبوت نہیں۔ پڑھے بیانات تاریخ وار جغرافیائی قبولیت کا نقشہ نہیں دیتے {cite:mahani-mactutor cubic-history}۔\n\nٹی ڈی وی مختلف کتب خانوں میں شرحوں کے شواہد گنواتا ہے۔ آج نسخے کا مقام ایجاد کی جگہ یا خود بخود تاریخ والا قرون وسطیٰ کا پڑاؤ نہیں۔ اجزا یا شرح کا باقی ہونا انتقال کی ہر منزل معلوم ہونے کے برابر نہیں؛ فہرستی اندراج کو بلا شہادت متحرک تاریخی راستہ نہیں بناتے {cite:tdv-mahani-fazlioglu works}۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "دی ہوئی شرط دو حصوں کی نسبت ہے؛ مطلوب تعلق حصے کے حجم اور مستوی کے مقام کا ہے۔ نمونہ مثالی کرہ اور مستوی مانتا ہے، بے قاعدہ پھل یا نامعلوم موٹائی کا برتن نہیں۔ جدید مثال ظاہر کرتی ہے کہ سوال بدلنے کے لیے مقدار واضح کرنا ضروری ہے، صرف گول شکل کے ساتھ مکعب لکھ دینا کافی نہیں {cite:weisstein-spherical-cap definition-and-eq6}۔\n\nمقرر نسبتm:nکے لیےq=m/(m+n)ہے،m/nنہیں۔ متعلقہ بلندی پانا الجبرا کو پھر ہندسے میں لوٹاتا ہے۔ یہ منقول نسبت کی شرط کی ہماری جدید شرح ہے، ارشمیدس کا لفظی ترجمہ یا اس بیچ میں اصل متن خود پڑھنے کا دعویٰ نہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb prescribed-ratio}۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "ماخذ کہتے ہیں کہ خازن نے مخروطی قطوع سے مساوات حل کی، اور کوشش کو ہندسے اور الجبرا کے ربط میں اہم سمجھتے ہیں۔ پہلے خاص مسئلے کا حل خیام کی بعد کی متعدد مکعب صورتوں کی تنظیم، اور جدید جذری فارمولوں سے الگ رہتا ہے۔ یہ سب اس ایک ریکارڈ کے بدل نام نہیں گنے جاتے {cite:mahani-mactutor cubic-history}۔\n\nآج کی علامتیں حجموں کا تقابل اور مناسب جذر کا حساب ممکن کرتی ہیں۔ یہ اوزار ماہانی سے اس لیے منسوب نہیں کہ میوزیم کا سبق انہیں برتتا ہے۔ درست تعویض سے ان کی شرح سے ہر جدید مکعب حل کرنے والے کمپیوٹر پروگرام تک براہ راست انتقال بھی ثابت نہیں ہوتا {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra} {cite:weisstein-spherical-cap eq6}۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "پڑھے ماخذ ایسی کارگاہ کا اندراج نہیں دیتے جس نے ماہانی کے مطابق کرہ کاٹا، نہ بچائے مواد یا اس مساوات سے بننے والی صنعت کے اعداد ہیں۔ ثابت اثر ریاضی کے سوال کی تشکیل اور تاریخ میں ہے۔ فرضی کاریگر سے خلا نہیں بھرتے، نہ مجسم نمونے کو حقیقی اشیا کاٹنے کی عملی ہدایت بناتے ہیں {cite:mahani-mactutor historical-assessment}۔\n\nتاہم ایک مفید فرق سیکھا جا سکتا ہے: لمبائی، رقبہ اور حجم کی نسبتیں ایک دوسرے کی جگہ نہیں رکھی جا سکتیں۔ نصف قطر اور حصے کی بلندی دونوں دوگنی کرنے سے حجم آٹھ گنا، مگرqوہی رہتا ہے۔ یہ جدید صیغے کا نتیجہ ہے، قدیم آلے کی پیمائش یا ثابت تاریخی معاشی اثر نہیں {cite:weisstein-spherical-cap eq6}۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "میک ٹیوٹر کے پڑھے خیام میں ماہانی کا رک جانا تشکیل کو بے قیمت نہیں بناتا۔ دوسری زبان میں سوال رکھنے سے راستے نمایاں ہو سکتے ہیں۔ مگر ہر غیر حل شدہ مساوات بڑی ایجاد نہیں بن جاتی؛ یہاں ایک خاص منقول سوال اور اس کی مخصوص بعد کی پیروی ہے {cite:mahani-mactutor historical-assessment}۔\n\nیہ ریکارڈ ناکامی کو کہانی کا حصہ بناتا ہے، فتح کے عنوان کے نیچے چھپا حاشیہ نہیں۔ جب ماخذ مکعب پر رکنا کہتے ہیں تو ہم یہ نہیں لکھتے کہ ماہانی نے تقسیم کرہ حل کر دی۔ حاصل نتیجے اور ابھی مطلوب نتیجے کا امتیاز اس تاریخ کو بعد کی مبالغہ آمیز نسبت سے بچاتا ہے {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "**اہل سنت — اعلانیہ فریم:** فرد کی اسلامی شناخت موثق اور ہمہ گیر اولینیت سے الگ ہے۔ **علمی مطالعہ:** ماخذ خیام سے ماہانی کی کوشش اور خازن کا بعد کا حل نقل کرتے ہیں۔ نسبت خاص جبری تشکیل کی ہے، ہر تہذیب کے ہر مکعب، یا تمام مخطوطے جانچ کر عجائب گھر کے حتمی فیصلے کی نہیں {cite:mahani-mactutor summary-and-cubic} {cite:tdv-mahani-fazlioglu algebra}۔\n\nشواہد پر اعتماد میں بھی فرق ہے: ٹی ڈی وی بعد کی شرح کو کوہی سے منسوب کرتا، ڈولڈ سامپلونیوس «شاید» لکھتی ہیں۔ دو بیانات جمع کر کے یقین نہیں گھڑتے۔ موروثی ریاضی کی کہانی میں غیر مسلم کا حصہ، اس براؤزر کی محدود مصنفانہ شرط کی وجہ سے حذف نہیں ہوتا {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb cubic}۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "tاور2−tکا تقابل تکمیلی حصے دیتا ہے جن کے حجمی تناسب کا مجموعہ1ہے۔t=3/2پرq=27/32اور حصہ بمقابلہ باقی27:5ہے۔ یہ اسی مستوی کو دوسری جانب سے دیکھنے کی آزاد جدید جانچ ہے، ماہانی کی دوسری تاریخی مثال کی دریافت نہیں۔ اسے جانچنے کے لیے قدیم آلہ درکار نہیں۔\n\nتصویر میںrکرے کا نصف قطر،hحصے کی بلندی، اورaقطع دائرے کا نصف قطر ہے؛ ہماری شرح میں کرے کا نصف قطرRہے۔ تصویر کاaٹی ڈی وی کی عمومی مکعب میں اسی حرف والے عددی ضارب کے برابر نہیں۔ بنفشی حصہ اور نیلا کرہ جدید تصویر ہیں، مصنف کے مادی آلے کی شہادت نہیں {cite:commons-spherical-cap-pbroks current-image}۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "اصل مطالعے میں میک ٹیوٹر کی مکمل سوانح، احسان فضلی اوغلو کا ٹی ڈی وی مضمون و تصانیف، اور ڈولڈ سامپلونیوس کی ایک صفحے کی نقل شدہ سوانح و مراجع ہیں۔ لیڈن کا جز، ماہانی کی مکمل اصل یا راشد کا درج مطالعہ صرف فہرست میں آنے سے پڑھا ہوا نہیں ہو جاتا {cite:mahani-mactutor bibliography} {cite:tdv-mahani-fazlioglu work5} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}۔\n\nٹی ڈی وی کی دوسری تصانیف میں ضائع تالیف یا فہرستی خبر بھی ہے؛ ہر عنوان مکمل باقی کتاب نہیں۔ پبروکس کی2008کی تصویر مصنف نے ملک عام میں دی؛ حقوق اور موجودہ تصویر دیکھی گئی۔ غیر ترمیم شدہ اصل مستعمل ہے، ماہانی کی شرح کا ورق نہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu works} {cite:commons-spherical-cap-pbroks rights}۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "علم کی تاریخ ایک سوال کو راہ کھولتے دکھا سکتی ہے، بغیر ایسے ہیرو کے جو ہر جواب جانتا تھا۔ یہ خبر مسئلے کی زبان اور حل کی زبان کا فرق سمجھاتی ہے۔ دلچسپی کے لیے گھڑا قول یا بغداد کا غیر ثابت ڈرامائی منظر ضروری نہیں {cite:mahani-mactutor historical-assessment}۔\n\nیہاں «مکعب» مساوات کی قوت ہے، کرے سے کٹے حصے کی شکل نہیں۔ «تقسیم» مستوی اور دو حجم مقرر کرنا ہے، محض کاغذ پر عددی تقسیم نہیں۔ لفظوں کی شرح قاری کو تصویر سمجھاتی ہے، بغیر جدید اصطلاح کو مصنف کا فرضی اقتباس بنانے کے۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "کرے کے مقطع کے لیے دائرہ بناؤ اور اوپر کے قریب ایک لکیر کھینچو۔ کاغذ کا چھوٹا رقبہ تین جہتی حصے کی یاد دلاتا ہے، مگر خود اس کا حجم نہیں۔ اصلی گیند یا تیز اوزار درکار نہیں۔ مختلف مقام پر لکیر بنا کر پوچھ سکتے ہو کہ صرف رنگا رقبہ نہیں بلکہ حجم کیسے بدلے گا۔\n\nمثال میںh=R/2سے کل حجم کا5/32ملتا ہے، نصف نہیں۔ ضروری نہیں کہ ماہانی نے یہی اعداد چنے ہوں؛ انہیں ہم نے تعلیم کے لیے چنا۔ تشکیل ایک قدم، حل دوسرا تھا۔ ایجاد کا عنوان پڑھتے وقت پوچھو کہ بنانے والے نے کیا حاصل کیا اور بعد کے محقق کے لیے کیا باقی رہا {cite:weisstein-spherical-cap eq6} {cite:mahani-mactutor cubic}۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- میک ٹیوٹر:سوانح اور خیام کی منقول خبر {cite:mahani-mactutor biography-and-cubic}۔\n- فضلی اوغلو، ٹی ڈی وی:مساوات اور تصانیف {cite:tdv-mahani-fazlioglu body}۔\n- ڈولڈ سامپلونیوس:سوانح، شواہد اور احتیاطیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb body}۔\n- میتھ ورلڈ:جدید صیغے، ایجاد کی تاریخ نہیں {cite:weisstein-spherical-cap eqs2-6}۔\n- کامنز:جدید خاکہ اور حقوق {cite:commons-spherical-cap-pbroks rights}۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/mahani-sphere-division-cubic",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b80",
     "source": "Arabic-first prose from actual MacTutor, TDV and complete single-page DSB; MathWorld equations2–6 and Commons rights/image. Modern normalized examples are independent, not al-Mahani's original notation or recovered full derivation."
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  }
 },
 "degree": 6,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-06",
 "connections": [
  {
   "to": "person/al-mahani",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Algebraic formulation, not a completed cubic solution.",
   "sources": [
    "source/mahani-mactutor",
    "source/tdv-mahani-fazlioglu"
   ]
  },
  {
   "to": "invention/khayyam-geometric-cubics",
   "type": "enabled",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "note": "Earlier particular cubic formulation in the history Khayyam recounts; not a personal teacher chain or identical systematic solution.",
   "sources": [
    "source/mahani-mactutor",
    "source/dold-samplonius-mahani-dsb"
   ]
  },
  {
   "to": "work/mahani-sphere-cylinder-commentary",
   "type": "described_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "sources": [
    "source/mahani-mactutor",
    "source/tdv-mahani-fazlioglu",
    "source/dold-samplonius-mahani-dsb",
    "source/weisstein-spherical-cap",
    "source/commons-spherical-cap-pbroks"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "invention/mahani-successive-quotient-ratios",
  "invention/sharaf-tusi-positive-cubic-roots",
  "person/umar-khayyam",
  "place/baghdad",
  "place/mahan",
  "invention/khayyam-geometric-cubics",
  "person/al-mahani",
  "work/mahani-sphere-cylinder-commentary"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}