{
 "id": "invention/mahani-successive-quotient-ratios",
 "class": "invention",
 "slug": "mahani-successive-quotient-ratios",
 "label": {
  "ar": "نظرية الماهاني للنسب بخوارج القسمة المتتابعة",
  "en": "Al-Mahani's successive-quotient ratio theory",
  "ur": "ماہانی کا متتابع خارج قسمت سے نسبت کا نظریہ"
 },
 "summary": {
  "ar": "مقارنة نسب المقادير بتتابع خوارج القسمة، مع سوابق أقدم ورابط غير مكتمل بتعريف إقليدس {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.",
  "en": "Compared magnitude ratios through quotient sequences, with older precedents and an uncompleted link to Euclid's definition {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.",
  "ur": "مقداروں کی نسبت کا خارج قسمت کے سلسلوں سے تقابل، قدیم پیش رو اور اقلیدسی تعریف سے نامکمل ربط سمیت {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔"
 },
 "stub": false,
 "wings": [
  "ideas"
 ],
 "regions": [
  "levant-iraq"
 ],
 "periods": [],
 "tags": [],
 "aliases": [],
 "themes": [],
 "data": {
  "names": [
   {
    "kind": "alternate",
    "lang": "en",
    "value": "Anthyphairetic comparison of proportional magnitudes"
   }
  ],
  "domain": "mathematics",
  "kind": "method",
  "disciplines": [
   "mathematics"
  ],
  "era": {
   "origins": "abbasid-golden",
   "first_attested": {
    "edtf": "08XX",
    "calendar": "julian",
    "precision": "century",
    "status": "historical",
    "note": "Ninth-century lifetime horizon, not a dated autograph, eclipse observation or exact first use; no invented Hijri.",
    "sources": [
     "source/mahani-mactutor",
     "source/dold-samplonius-mahani-dsb"
    ]
   },
   "status_today": "living"
  },
  "origin": {
   "place": "place/baghdad",
   "context": {
    "ar": "بيئة عمل الماهاني، لا موضع نسخ متحقق للرسالة {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}.",
    "en": "Al-Mahani's working milieu, not a verified production site for this manuscript {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}.",
    "ur": "ماہانی کا علمی ماحول، اس نسخے کا ثابت مقام تصنیف نہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}۔"
   }
  },
  "makers": [
   {
    "person": "person/al-mahani",
    "role": "improver",
    "note": "Explicit ratio-theory use of inherited reciprocal subtraction/quotient ideas, not invention of Euclid's algorithm.",
    "sources": [
     "source/dold-samplonius-mahani-dsb",
     "source/tdv-mahani-fazlioglu"
    ]
   }
  ],
  "attribution": {
   "status": "improvement",
   "claim": {
    "ar": "صياغة صريحة في تقليد النسبة، لا أول خوارزمية إقليدية أو أول كسر مستمر.",
    "en": "Explicit formulation in ratio theory, not the first Euclidean algorithm or continued fraction.",
    "ur": "نظریۂ نسبت میں صریح تشکیل، پہلا اقلیدسی طریقہ یا مسلسل کسر نہیں۔"
   },
   "basis": {
    "ar": "دولد-سامبلونيوس تصف تعريفاً بخوارج متطابقة، وتبقي سوابقه وعدم إثبات صلته بتعريف إقليدس عند صاحبه {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.",
    "en": "Dold-Samplonius describes matching quotient sequences while retaining earlier origins and the author's missing equivalence proof {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.",
    "ur": "ڈولڈ سامپلونیوس متطابق سلسلے، قدیم اصل اور مصنف کے ہاں گم برہان ربط کو الگ رکھتی ہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔"
   },
   "perspectives": []
  },
  "precursors": [
   {
    "external": {
     "ar": "التصور السابق لأودوكسوس وعملية إقليدس وتعريف المضاعفات",
     "en": "Pre-Eudoxian conception, Euclidean process and equimultiple definition",
     "ur": "قبل از اودوکسوس تصور، اقلیدسی عمل اور مساوی مضاعفات کی تعریف"
    },
    "note": "Inherited ideas, not a claim that al-Mahani invented division or rejected Euclid's correctness.",
    "sources": [
     "source/dold-samplonius-mahani-dsb"
    ]
   }
  ],
  "dependents": [],
  "spread": [],
  "impact": {
   "fields": [
    "mathematics"
   ],
   "changed": {
    "ar": "مقارنة سلوك مقدارين في سلسلة قسمة بدلاً من الاكتفاء بعرض تركيبي للنسبة {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.",
    "en": "Compared the mutual behaviour of magnitudes through division sequences rather than only a synthetic ratio presentation {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.",
    "ur": "نسبت کے صرف ترکیبی بیان کے بجائے مقداروں کے باہمی رویے کا تقسیمی سلسلوں سے تقابل {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔"
   },
   "history": {
    "ar": "ماكتوتر تذكر تبني النيريزي مفاهيمه؛ لا لقاء شخصياً مثبتاً أو برهان تكافؤ أكمله الماهاني {cite:nayrizi-mactutor ratio}.",
    "en": "MacTutor reports al-Nayrizi adopting his concepts, not a documented personal meeting or equivalence proof completed by al-Mahani {cite:nayrizi-mactutor ratio}.",
    "ur": "میک ٹیوٹر نیریزی کا مفاہیم اپنانا بتاتا ہے، ثابت ذاتی ملاقات یا ماہانی کا مکمل برہان تکافؤ نہیں {cite:nayrizi-mactutor ratio}۔"
   },
   "significance": 3,
   "why": "Distinct Book V ratio formulation, older method acknowledged, reception and missing equivalence retained; modern rational examples separate full quotient sequences from shared prefixes."
  },
  "described_in": [
   "work/mahani-risala-fi-nisba"
  ],
  "examples": [],
  "sites": [],
  "concepts": [],
  "today": {
   "form": {
    "ar": "أمثلة نسب موجبة قابلة للقياس المشترك، لا قرار مساواة لكل مقدار غير نسبي ببادئة محدودة.",
    "en": "Positive commensurable examples, not equality decisions for all irrational magnitudes from finite prefixes.",
    "ur": "مثبت مشترک پیمائش کی مثالیں، محدود ابتدا سے ہر غیر ناطق مقدار کی برابری کا فیصلہ نہیں۔"
   },
   "descendants": {
    "ar": "لا نسب مباشر مثبت إلى كل استعمال حاسوبي حديث للقاسم المشترك.",
    "en": "No demonstrated direct ancestry for every modern computational gcd use.",
    "ur": "ہر جدید کمپیوٹری مشترک مقسوم کے استعمال کا ثابت براہ راست نسب نہیں۔"
   }
  },
  "media": {
   "image": "media/mahani-euclid-tiling-context",
   "diagram": "media/diagram-mahani-ratios"
  },
  "kids": {
   "ar": "قد تتساوى النسب وإن اختلفت الأطوال؛ تشابه أول خطوتين لا يكفي وحده.",
   "en": "Ratios may agree while lengths differ; sharing the first two steps is not enough.",
   "ur": "لمبائیاں مختلف، نسبت یکساں ہو سکتی ہے؛ پہلے دو قدم ملنا کافی نہیں۔"
  },
  "sources": [
   "source/dold-samplonius-mahani-dsb",
   "source/tdv-mahani-fazlioglu",
   "source/nayrizi-mactutor",
   "source/weisstein-euclidean-algorithm",
   "source/weisstein-simple-continued-fraction",
   "source/commons-euclid-tiling-proteins"
  ],
  "status": {
   "review": "published",
   "completeness": 3,
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code"
  },
  "provenance": {
   "layer": "own-research",
   "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
   "model": "unknown",
   "run": "inventions-p3-b81",
   "source": "Actual DSB/TDV and complete MacTutor al-Nayrizi; actual MathWorld definitions/formulas and Commons rights/static image. Modern arithmetic/notation not original manuscript or proof of historical equivalence."
  }
 },
 "prose": {
  "ar": {
   "sections": [
    {
     "heading": "الموجز",
     "markdown": "تصف دولد-سامبلونيوس عند [[person/al-mahani|الماهاني]] تعريفاً للنسبة بسلوك مقدارين في عملية إيجاد المقياس المشترك: تكون نسبتان متناسبتين إذا تطابقت سلسلتا خوارج القسمة. يتعلق الإنجاز بعرض صريح في نظرية النسبة، لا باختراع القسمة أو خوارزمية إقليدس. وتبقي الباحثة سوابق أقدم للتصور، لا مولداً مفاجئاً من فراغ {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nيرتبط ذلك [[work/mahani-risala-fi-nisba|برسالة في النسبة]] وتقليد التعليق على المقالة الخامسة من إقليدس، لا [[invention/mahani-sphere-division-cubic|بمكعب قسمة الكرة]] الذي تسجله بطاقة مستقلة. ولم يثبت الماهاني في حساب الباحثة الصلة الكاملة بتعريف إقليدس؛ تنسب إنجازها اللاحق إلى ابن الهيثم. لا نجعل المثال الحديث برهاناً تاريخياً مفقوداً {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1-and-ratio} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}."
    },
    {
     "heading": "ما هو",
     "markdown": "النسبة ليست طولاً منفرداً. قد يتساوى سلوك طولين مع سلوك طولين أكبر منهما، مع اختلاف المقياس المشترك الذي يقيسهما. المقصود متابعة كم مرة يدخل الأصغر في الأكبر، ثم مقارنة الأصغر بالباقي، والاستمرار. تعرض الباحثة هذا بديلاً في وصف العلاقة، لا رفضاً لصحة مبدأ إقليدس الذي قبله هؤلاء الرياضيون {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nيسمي الدرس الحديث خوارج العملية عناصر كسر مستمر بسيط. لكن الاسم والترميز المطبوعان هنا ليسا حروفاً نقلناها من رسالة الماهاني. يبين ماثوورلد أيضاً اختلاف اصطلاحات الأقواس والفاصلة والفاصلة المنقوطة؛ لذلك نحدد اصطلاحنا قبل أن نختبر تطابق مثالين {cite:weisstein-simple-continued-fraction definition-and-notation}."
    },
    {
     "heading": "العالم قبله",
     "markdown": "تذكر دولد-سامبلونيوس تصوراً سابقاً لأودوكسوس، وتعريف إقليدس بالمضاعفات، وعملية المقارنة بالقسمة. فلا يصح عنوان يقول إن الماهاني اخترع القاسم المشترك أو كل فكرة كسر مستمر. موضعه في هذه البطاقة إعادة عرض علاقة النسبة في تقليد مسألة قديمة، لا إنشاء كل أدوات الحساب التي يستخدمها الشرح {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nوكان التعريف التركيبي في المقالة الخامسة لا يظهر، في وصف الباحثة، كيف نشأ مذهب النسب. لم ينكر الرياضيون صحته، لكنهم بحثوا لغة تكشف السلوك المتبادل للمقادير. هذا اختلاف في بناء التفسير ينبغي تمييزه من اتهام إقليدس بخطأ حسابي أو من افتراض أن الكل كانوا يستعملون مصطلحات اليوم {cite:dold-samplonius-mahani-dsb Euclid-V}."
    },
    {
     "heading": "القصة",
     "markdown": "تسرد TDV رسالة النسبة وشواهد لها، وصيغتي عنوان إضافيتين، بينما تتساءل دولد-سامبلونيوس هل النصوص الثلاثة في النسبة مختلفة. نمثل العمل المسمى، ونحتفظ بمشكلة الأوصاف؛ لا نصنع ثلاثة كتب لزيادة العدد، ولا ندمج معرفات مخطوطات على أنها نسخ متطابقة بلا مقابلة {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb works}.\n\nتقول ماكتوتر في سيرة النيريزي إنه تبنى مفاهيم طرحها الماهاني، الذي عمل في بغداد قبل وصوله على الأرجح. خبر التبني لا يثبت مجلس تدريس مشتركاً. أما القرن التاسع فهو أفق حياة الماهاني، لا توقيع تأليف متحقق؛ لا نحول تاريخ رصد فلكي إلى يوم وضع تعريف للنسبة {cite:nayrizi-mactutor ratio} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}."
    },
    {
     "heading": "المخترع والمخترعون",
     "markdown": "هوية الماهاني الإسلامية موثقة فردياً في ماكتوتر، وإطار المتحف السني معلن على نحو مستقل؛ لا يستنتج المذهب من نجاح الحساب أو اسم المدينة. تبقى تواريخه التقريبية في سيرته ولا تستبدل بيقين جديد في هذه البطاقة. ليس مطلوباً اختراع تاريخ ميلاد أو وفاة كي نفهم فكرته {cite:mahani-mactutor summary-and-dates}.\n\nتذكر دولد-سامبلونيوس صلة بثابت بن قرة وتطوراً لاحقاً عند النيريزي. يبقى ثابت في القصة رغم أن شرط المتصفح لهوية الصانع أضيق، ولا نجعل اسمه اسماً آخر للماهاني. كما لا ننسب برهان ابن الهيثم اللاحق إلى الثلاثة جميعاً؛ في الرواية درجات من التطوير لا مخترع واحد لكل خطوة {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}."
    },
    {
     "heading": "كيف يعمل",
     "markdown": "هذا مثال مستقل حديث على نسب موجبة قابلة للقياس المشترك. خذ17 و7 من الوحدة نفسها:17=2×7+3، ثم7=2×3+1، ثم3=3×1+0. خوارج القسمة2 و2 و3، وآخر باق غير صفري1. عرض ماثوورلد للعملية يوضح لماذا تحفظ الانتقالات القواسم المشتركة؛ لا ننسب المثال العددي إلى الماهاني {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-3}.\n\nإذا ضاعفنا الطولين إلى34 و14 كانت البواقي6 ثم2 ثم0، والخوارج نفسها2 و2 و3. تغير المقياس المشترك من1 إلى2، لكن34/14=17/7. لذلك لا يصح تعريف تساوي النسب بتساوي القاسم المشترك وحده. ولا يكفي أن نقول إن هناك ثلاث خطوات؛ الذي نقارنه هنا قيم الخوارج المرتبة.\n\nنكتب باصطلاح حديث[2;2,3]، أي2+1/(2+1/3)=17/7. ما بعد الفاصلة المنقوطة ليس كسوراً عشرية أو أبعاداً مستقلة، بل خطوات متداخلة. وإذا بدأ المقدار الأول أصغر جاز في المثال العددي خارج أول0؛ لا نقلب النسبة صامتين ثم نقارن سلسلتين لاتجاهين مختلفين {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}.\n\nلكن5/2=[2;2] ليست17/7=[2;2,3] رغم اشتراكهما في البداية. بالضرب التبادلي5×7=35 و2×17=34. التشابه في بادئة قصيرة لا يكفي. وكذلك نثبت طريقة إنهاء المثال النسبي عند الباقي0؛ لا نخلط بين سجل القسمة المنتهي وتمثيل بديل يمكن أن ينتهي بعنصر1 بعد تفكيك العنصر الأخير.\n\nمثلاً يمكن كتابة العدد نفسه[2;2,2,1] لأن2+1/1=3 في آخر الكسر. هذا لا يعطي قياساً مختلفاً، بل كتابة أخرى له؛ لذلك نحدد السجل المنتهي الذي تنتجه القسمة، لا أي قائمة رموز نختارها. وإذا عكسنا ترتيب الطولين صار7/17=[0;2,2,3]، وليس17/7. اختلاف الخارج الأول هنا ليس نقضاً للحديث عن السلسلة الكاملة، بل نتيجة تغيير السؤال نفسه. تبقى هذه تفاصيل تعليمية معاصرة لفهم الأمثلة الموجبة، لا شواهد جديدة على علامات الرسالة القديمة أو إثبات استقلال جميع صيغ عناوينها {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}."
    },
    {
     "heading": "الانتشار",
     "markdown": "يوفر خبر النيريزي في ماكتوتر رابط تلقي محدداً للمفاهيم، لا مجرد تشابه اسمين في فهرس. لكنه لا يبرهن انتقال كل عبارة أو جميع تفاصيل النظرية. وتصف دولد-سامبلونيوس تطويراً لاحقاً مشابهاً؛ نميز الوصفين ولا نحول كلمة «تبنى» إلى عقد تلمذة مؤرخ {cite:nayrizi-mactutor ratio} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nولا نرسم من مواقع النسخ طريق انتشار بمدن وتواريخ مفترضة. تعدد الشواهد الذي تسرده TDV يستحق القراءة بوصفه خبر بقاء، لا خريطة رحلة للمؤلف. المكتبة الحالية قد تحفظ نصاً ولا تخبر وحدها أين قرئ في القرن التاسع أو من قرأه بعد ذلك {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1}."
    },
    {
     "heading": "ما بُني عليه",
     "markdown": "تبقى عملية إقليدس موروثة؛ في العرض العددي الحديث إذا كانA=qB+r، فكل قاسم مشترك لـA وB يقسمr، وبالعكس كل قاسم مشترك لـB وr يقسمA. هذه خاصية للمقادير الصحيحة في المثال، وليست سطراً ترجمناه من مخطوط الماهاني أو دليلاً على أنه أول من عرفها {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-2}.\n\nوالتغيير في مقياس الطولين معاً يحفظ خوارج المثال النسبي، بينما يغير حجم البواقي. لا نغير وحدة طرف واحد ثم نزعم أن النسبة بقيت؛ الأمتار والسنتيمترات لا تختلط بلا تحويل متسق. هذه عناية حديثة بمعنى المثال، لا خبر عن مسطرة أثرية استعملها المؤلف."
    },
    {
     "heading": "ما بُني فوقه",
     "markdown": "تقول دولد-سامبلونيوس إن الماهاني والنيريزي لم يثبتا الصلة بين تعريفهما وتعريف إقليدس، وأن ابن الهيثم فعل ذلك لاحقاً. لا يجوز حذف هذا الحد لمجرد أن تطابق17/7 و34/14 سهل علينا. فحص نسبتين صحيحتين ليس برهاناً يشمل جميع المقادير التي تناولتها نظرية النسبة {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nوالصياغة الحديثة للكسر المستمر توسع أدوات الشرح، لكنها ليست شهادة بأن الماهاني سبق كل نظرية تقارب أو كل تطبيق حاسوبي. يمكن المقارنة بين أنماط حسابية من غير إثبات نسب مباشر. لا تضيف البطاقة سلسلة من الرسالة إلى كل استعمال للقاسم المشترك في التشفير {cite:weisstein-simple-continued-fraction definition-and-notation}."
    },
    {
     "heading": "الأثر في الحياة",
     "markdown": "تعطي المصادر وصفاً لمشكلة رياضية وتلقيها، لا سجلاً لتجار نسبوا موازينهم إلى هذه الرسالة أو مدارس أحصت ساعات وفرتها. لا ننشئ حكاية تجارية لتعبئة القسم. الأثر المدعوم هو في لغة مقارنة المقادير وتفسير النسبة، مع حدود البرهان ظاهرة {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio} {cite:nayrizi-mactutor ratio}.\n\nويستطيع قارئ اليوم تعلم أن تضاعف الأشياء لا يغير كل علاقة بينها: تضاعف الطولين يبقي النسبة، لكنه لا يبقي طول الوحدة المشتركة. هذه نتيجة مثالنا الحديث، لا قياس اقتصادي تاريخي. والفصل بين العلاقة والمقدار يحمي من عد الأشياء المتشابهة في شكلها متساوية في معناها."
    },
    {
     "heading": "كيف غيّر التاريخ",
     "markdown": "تبرز الصياغة شيئاً يمكن تتبعه خطوة بخطوة بدلاً من الاكتفاء بتقرير وجود نسبة. لكن ذلك لا يجعل العرض التركيبي القديم بلا قيمة؛ تقول الباحثة صراحة إن صحته لم تنكر. تحافظ البطاقة على قيمة السؤال الجديد من غير اختلاق قطيعة كاملة مع ما قبله {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nوتختلف هذه المساهمة من محاولة الماهاني المكعبة غير المكتملة: هنا سؤال معنى التناسب وطرق مقارنته، وهناك سؤال تحويل حجم إلى معادلة. تشارك المؤلف لا يدمج الموضوعين، كما لا يثبت أن أحدهما سبب مباشر للآخر. لكل بطاقة عملها وحدودها، لا تكرار عنوان لتكبير المجموع {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1-and-work5}."
    },
    {
     "heading": "من اخترعه حقاً؟",
     "markdown": "**أهل السنة — الإطار المعلن:** أساس هوية الماهاني فردي، والإطار السني مستقل من دعوى الأولوية. **القراءة الأكاديمية:** دولد-سامبلونيوس تجعل التصور سابق الأصل وتعرض صيغته الصريحة عند الماهاني، ثم تطوراً عند النيريزي وبرهاناً لاحقاً عند ابن الهيثم. لا نمنح مؤلفاً واحداً كل القصة {cite:mahani-mactutor summary} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nو«تحسين» هنا وصف لنسبة تطوير مسندة، لا لقب أول إنسان قسم طولاً. نحتفظ بالسابق الأقدم وبحقيقة أن النصوص نفسها لم تفحص في هذه الجلسة. خبرة الباحثة مصدر معرفة المتحف، وليست بديلاً صامتاً عن ادعاء أننا قرأنا كل شاهد وحققنا اختلاف نسخه {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}."
    },
    {
     "heading": "اليوم",
     "markdown": "للأعداد الصحيحة الموجبة بواقي تتناقص حتى الصفر، لكن عرض المقدار غير النسبي لا ينتهي بالطريقة نفسها. وقد تعطي مقادير مختلفة أول خطوات متشابهة. لذلك لا نقدم برنامجاً يقرأ خمسة خوارج ثم يعلن مساواة كل مقدارين؛ حد المثال العددي يجب أن يبقى صريحاً {cite:weisstein-euclidean-algorithm termination}.\n\nوفي الصورة مثال حديث عنوانه1071 و462، لا أعداداً قرأناها في الرسالة. داخل الإطار كتلتان برتقاليتان كبيرتان وثلاث كتل بنفسجية في الأعلى ومناطق أصغر خضراء وحمراء. لا توجد أعداد مكتوبة على الشكل؛ وصفه لا يختلق ملصقات، ولا يجعله برهان الماهاني المرسوم {cite:commons-euclid-tiling-proteins current-image}."
    },
    {
     "heading": "الشواهد الباقية",
     "markdown": "قرئت هنا سيرة دولد-سامبلونيوس المعاد نشرها وقائمة TDV، وسيرة النيريزي في ماكتوتر، وتعريفات وصيغ حديثة مختارة في ماثوورلد. لم تفحص مخطوطات النسبة أو كتب بلوي وبيكر المذكورة في الببليوغرافيا. تسرد TDV صيغ عناوين وشواهد؛ نسجل الخبر ولا نحل مسألة استقلال النصوص بالمخيلة {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}.\n\nالشكل لبروتينز، مؤرخ17أبريل2009 ومرخصCC BY-SA3.0. عوينت الصورة الثابتة وحقوقها، ومنها نسخة فحص بيضاء الخلفية خارج المستودع. ينشر الأصلSVG بلا تعديل، لا تلك النسخة ولا الرسم المتحرك من السلسلة؛ الانتماء إلى سلسلة صور لا يجعل كل صورة نسخة أصلية من رسالة قديمة {cite:commons-euclid-tiling-proteins description-rights}."
    },
    {
     "heading": "في الثقافة",
     "markdown": "يمكن لتاريخ الرياضيات أن يميز السؤال عن معنى العلاقة من السؤال عن حاصل القسمة وحده. يصير كاتب التعليق باحثاً حين يعيد بناء التعريف وأسبابه، لا حين يغير رمزاً مطبوعاً فحسب. هذه قراءة لطبيعة العمل الذي تصفه الباحثة، لا قول مأثور نسبناه إلى الماهاني {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nولا تحتاج الحكاية مشهداً مختلقاً لمسابقة بين علماء بغداد. يكفي أن تبقى الرسالة ذات شواهد منقولة وحدود معرفة، وأن يعرف القارئ الفرق بين قرن المؤلف وتاريخ صورة2009. اختلاف زمنين في الصفحة وسيلة شرح معلنة، لا محاولة لجعل الرسم الحديث أثراً قديماً."
    },
    {
     "heading": "للصغار",
     "markdown": "اكتب17 و7 على الورق، ثم سجل خارج القسمة والباقي في كل سطر. أعد ذلك مع34 و14. ابحث عما يتغير وما لا يتغير، لا عن عدد السطور فقط. لا تحتاج أداة أثرية لتجربة الفكرة الحسابية، ولا ينبغي أن تقول إن الماهاني نفسه كتب مثال الدرس.\n\nثم قارن5/2 و17/7: تبدآن بخطوتين متشابهتين لكنهما غير متساويتين. لا تتوقف عند أول شبه. واسأل عن العنوان الكبير: هل يقول إن العالم اخترع كل قسمة، أم يصف طريقة معينة في فهم النسب؟ المثال يساعد على السؤال، لكنه لا يحل وحده كل نظرية المقادير {cite:weisstein-euclidean-algorithm eq3} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}."
    },
    {
     "heading": "المراجع",
     "markdown": "- دولد-سامبلونيوس:نظرية النسبة وحدود البرهان {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n- TDV:العمل وشواهده {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1}.\n- ماكتوتر:تلقي النيريزي {cite:nayrizi-mactutor ratio}.\n- ماثوورلد:القسمة والترميز الحديثان {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-3} {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}.\n- كامونز:الشكل الحديث وحقوقه {cite:commons-euclid-tiling-proteins description-rights}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/mahani-successive-quotient-ratios",
    "lang": "ar",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b81",
     "source": "Actual DSB/TDV and MacTutor al-Nayrizi; selected MathWorld definitions/formulas and Commons rights/static image. Modern positive-rational examples, not original notation or recovered general equivalence proof."
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "en": {
   "sections": [
    {
     "heading": "Summary",
     "markdown": "Yvonne Dold-Samplonius describes [[person/al-mahani|al-Mahani]] defining ratio through the mutual behaviour of magnitudes in a greatest-common-measure process: two ratios are proportional when their successive quotient sequences agree. This was an explicit contribution to ratio theory, not the invention of division or the Euclidean algorithm. Her account retains much older precedents {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nThe subject belongs to his [[work/mahani-risala-fi-nisba|Treatise on Ratio]] and the tradition around Euclid's fifth book, not his separately recorded [[invention/mahani-sphere-division-cubic|sphere-division cubic]]. Dold-Samplonius says he did not establish the connection with Euclid's definition; she assigns that later achievement to Ibn al-Haytham. Our modern examples do not silently supply a missing historical proof {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1-and-ratio} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}."
    },
    {
     "heading": "What it is",
     "markdown": "A ratio is not one isolated length. Two larger lengths can have the same relationship as two smaller ones while their common measures differ. Here we repeatedly ask how many times the smaller fits into the larger, then compare the smaller with the remainder. The historical account presents this as a way to describe the relationship, not as a rejection of Euclid's underlying correctness {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nModern teaching can express the resulting quotients as a simple continued fraction. That printed name and notation are not letters copied from al-Mahani's manuscript. MathWorld also warns that authors use different bracket conventions. We must specify our convention before asking whether two written sequences match {cite:weisstein-simple-continued-fraction definition-and-notation}."
    },
    {
     "heading": "The world before it",
     "markdown": "Dold-Samplonius identifies a pre-Eudoxian conception, Euclid's equimultiple definition and the inherited comparison process. A headline saying that al-Mahani invented greatest common divisors or every continued-fraction idea would erase that background. His place here is a particular explicit account of proportionality, not the creation of every arithmetic tool used in our explanation {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nIn her account, the synthetic presentation of Book V did not reveal how ratio theory had arisen. Mathematicians accepted its correctness while looking for an account of magnitudes' mutual behaviour. Dissatisfaction with an explanation's presentation is different from discovering an arithmetic mistake. It also does not mean that medieval writers shared all our modern terminology {cite:dold-samplonius-mahani-dsb Euclid-V}."
    },
    {
     "heading": "The story",
     "markdown": "TDV lists the ratio treatise, witnesses and two additional title forms. Dold-Samplonius questions whether three reported ratio treatises were different. We represent the named work without manufacturing three books to increase the count, or merging manuscript descriptions as identical without comparison {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb works}.\n\nMacTutor's al-Nayrizi biography says that he adopted concepts proposed by al-Mahani, who probably worked in Baghdad before his arrival. That reports intellectual reception, not a documented personal teaching session. The ninth century is a lifetime horizon, not a securely dated autograph: an astronomical observation does not become the date of the ratio formulation {cite:nayrizi-mactutor ratio} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}."
    },
    {
     "heading": "The maker(s)",
     "markdown": "MacTutor individually documents al-Mahani as an Islamic mathematician. The museum's default Sunni frame is separately declared, not inferred from his city or his arithmetic. His approximate biographical dates remain approximate; a mathematical explanation does not require inventing an exact birthday or death date {cite:mahani-mactutor summary-and-dates}.\n\nDold-Samplonius notes a reference to Thabit ibn Qurra and a later similar development by al-Nayrizi. Thabit remains part of the history even though this browser applies a narrower maker-inclusion rule. Nor is Ibn al-Haytham's later equivalence result reassigned to all three predecessors. The account contains different stages, not one inventor responsible for every step {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}."
    },
    {
     "heading": "How it works",
     "markdown": "Here is an independent modern example using positive commensurable quantities. In the same unit, take17 and7. Then17=2×7+3;7=2×3+1;3=3×1+0. The ordered quotients are2,2,3, and the last nonzero remainder is1. MathWorld explains the quotient-remainder iteration and preservation of common divisors; these particular numbers are not attributed to al-Mahani {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-3}.\n\nDouble both lengths to34 and14. The remainders become6,2,0, while the quotients remain2,2,3. The common measure changes from1 to2, but34/14=17/7. Equality of ratios therefore cannot mean merely equality of greatest common divisors. Nor is having three steps enough: it is the ordered quotient values that our example compares.\n\nUsing modern notation, write[2;2,3], meaning2+1/(2+1/3)=17/7. The entries after the semicolon are not decimal digits or separate lengths. They describe nested operations. If the first positive quantity is smaller, a first quotient of0 is possible; silently reversing the ratio would change the comparison {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}.\n\nHowever,5/2=[2;2] is not17/7=[2;2,3], despite a shared beginning. Cross multiplication gives5×7=35 but2×17=34. A finite matching prefix is not enough. We also fix the Euclidean termination convention at remainder0: an alternative expression ending in1 after splitting the last entry must not be confused with the algorithm's canonical terminating record.\n\nFor example,[2;2,2,1] represents the same number because its final nested2+1/1 equals3. It is another writing, not another measured ratio. We therefore specify the terminating record produced by division, rather than any chosen symbolic list. Reversing the lengths gives7/17=[0;2,2,3], not17/7. The changed first quotient reflects a changed question. These are modern teaching details for positive examples, not evidence about the original treatise's notation or the independence of its reported title forms {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}."
    },
    {
     "heading": "The spread",
     "markdown": "MacTutor's account of al-Nayrizi supplies a specific reception link rather than two similar names in a catalogue. It does not prove that every sentence or every detail of the theory was transmitted. Dold-Samplonius describes a later similar development; neither description establishes a dated teacher-pupil meeting {cite:nayrizi-mactutor ratio} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nPresent manuscript locations do not provide a ready-made route of circulation. TDV's witnesses are evidence reported for textual survival, not a travel diary. A modern library may preserve a text without telling us where ninth-century readers encountered it or exactly which later reader used that copy {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1}."
    },
    {
     "heading": "What it was built on",
     "markdown": "The Euclidean process is inherited. In modern integer language, ifA=qB+r, every common divisor ofA andB dividesr; conversely, every common divisor ofB andr dividesA. This explains the arithmetic step in our example. It is not a translated line from al-Mahani's manuscript or evidence that he first discovered that property {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-2}.\n\nScaling both lengths together preserves the rational example's quotients while changing remainder sizes. Changing only one unit does not preserve the ratio: metres and centimetres need consistent conversion. This is a modern safeguard for understanding the example, not a claim about a surviving ruler or measuring instrument used by the author."
    },
    {
     "heading": "What was built on it",
     "markdown": "Dold-Samplonius says that al-Mahani and al-Nayrizi did not establish the connection between their definition and Euclid's; Ibn al-Haytham did so later. The ease of checking17/7 against34/14 does not erase that limit. Two integer examples are not a proof covering every magnitude addressed by ratio theory {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nContinued-fraction notation offers a modern explanatory tool, not a certificate that al-Mahani anticipated every convergence theorem or computer application. Comparing procedures does not demonstrate a direct lineage. This record supplies no invented transmission chain from his treatise to every cryptographic use of greatest common divisors {cite:weisstein-simple-continued-fraction definition-and-notation}."
    },
    {
     "heading": "Impact on daily life",
     "markdown": "The sources describe a mathematical question and its reception, not merchants attributing their balances to this treatise or schools measuring hours saved by it. We do not invent a commercial anecdote to fill the section. The supported contribution concerns the language and explanation of proportional magnitudes, with the proof boundary visible {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio} {cite:nayrizi-mactutor ratio}.\n\nA reader today can learn that enlarging objects does not change every relationship between them. Doubling both lengths preserves their ratio but changes their common measuring length. That is a lesson from our modern example, not a historical economic estimate. Distinguishing a relationship from an absolute measure prevents superficially similar statements being treated as equivalent."
    },
    {
     "heading": "How it changed history",
     "markdown": "The formulation makes a relationship traceable through repeated operations rather than merely asserting that a ratio exists. This does not make the older synthetic account worthless: the historian explicitly says its correctness was accepted. A new explanatory question can matter without requiring a story of total rupture with the past {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nThis contribution differs from al-Mahani's unfinished cubic attempt. One concerns the meaning and comparison of proportion; the other translates a prescribed sphere-volume division into an equation. A shared author does not merge the subjects or establish that one directly caused the other. Each record has its own work and limits, not a repeated title for a larger total {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1-and-work5}."
    },
    {
     "heading": "Who invented it?",
     "markdown": "**Sunni frame, explicitly declared:** al-Mahani's individual Muslim identification and the museum's Sunni frame are separate from mathematical priority. **Academic account:** Dold-Samplonius retains older origins, describes his explicit formulation, a later development by al-Nayrizi and a subsequent proof by Ibn al-Haytham. We do not award the whole history to one person {cite:mahani-mactutor summary} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\n“Improvement” here identifies a supported development, not the first human to divide lengths. It preserves inherited ideas and the fact that original texts were not inspected in this session. The historian's scholarship is our cited evidence, not an unannounced substitute for claiming we collated every surviving witness ourselves {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}."
    },
    {
     "heading": "Today",
     "markdown": "Positive integer remainders decrease until termination, whereas an irrational magnitude comparison need not terminate in that way. Different quantities can share early steps. We therefore do not offer a procedure that reads five quotients and declares any two magnitudes equal: the scope of our commensurable numerical illustration must remain explicit {cite:weisstein-euclidean-algorithm termination}.\n\nThe image belongs to a modern1071-and462 example, not numbers read in the treatise. A black rectangle contains two large orange blocks, three violet upper blocks and smaller green and red regions. There are no visible number labels. Our description invents neither labels nor an original diagram drawn by al-Mahani {cite:commons-euclid-tiling-proteins current-image}."
    },
    {
     "heading": "Surviving examples",
     "markdown": "We read the reproduced Dold-Samplonius biography, TDV's work list, MacTutor's al-Nayrizi biography and selected modern MathWorld definitions and formulas. We did not inspect ratio manuscripts or the Plooij and Becker studies named in the bibliography. TDV reports witnesses and title forms; that report does not settle textual independence through guesswork {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}.\n\nThe image is by Proteins, dated17April2009 and licensed CC BY-SA3.0. Its static image and rights were inspected, including a white-background inspection copy kept outside git. The published asset remains the unmodified original SVG, not that inspection copy or an animation from the series. A modern series is not an ancient manuscript witness {cite:commons-euclid-tiling-proteins description-rights}."
    },
    {
     "heading": "In culture",
     "markdown": "This history distinguishes asking what a relationship means from asking only for one division result. A commentator becomes an investigator by examining a definition and its reasons, not merely by changing a printed symbol. That is an interpretation of the described work, not an invented quotation attributed to al-Mahani {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n\nThe story needs no imaginary Baghdad competition scene. A reported treatise with limits to our knowledge is enough. Readers should recognize the difference between the author's century and an image dated2009. Juxtaposing those times is an openly declared teaching device, not an attempt to age a modern illustration."
    },
    {
     "heading": "For young readers",
     "markdown": "Write17 and7 on paper, recording the quotient and remainder at each step. Repeat with34 and14. Look for what changes and what stays the same, not just how many lines you wrote. You do not need an ancient instrument to try the arithmetic, and should not call these al-Mahani's own examples.\n\nThen compare5/2 and17/7: their beginnings resemble each other, but the ratios differ. Do not stop at the first similarity. Ask what the headline claims: invention of all division, or a particular way of understanding ratios? Our example helps formulate the question without solving the entire theory of magnitudes {cite:weisstein-euclidean-algorithm eq3} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}."
    },
    {
     "heading": "References",
     "markdown": "- Dold-Samplonius: ratio theory and proof boundary {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}.\n- TDV: named work and witnesses {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1}.\n- MacTutor: al-Nayrizi reception {cite:nayrizi-mactutor ratio}.\n- MathWorld: modern arithmetic and notation {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-3} {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}.\n- Commons: modern static image and rights {cite:commons-euclid-tiling-proteins description-rights}."
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/mahani-successive-quotient-ratios",
    "lang": "en",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b81",
     "source": "Arabic-first museum prose; actual DSB/TDV and MacTutor al-Nayrizi, selected modern definitions/formulas and Commons rights/static image. No original manuscript or general equivalence-proof reading claim."
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  },
  "ur": {
   "sections": [
    {
     "heading": "خلاصہ",
     "markdown": "ڈولڈ سامپلونیوس کے مطابق [[person/al-mahani|ماہانی]] نے نسبت کو مقداروں کے باہمی رویے سے بیان کیا: مشترک پیمانہ نکالنے کے عمل میں خارج قسمت کے پورے سلسلے یکساں ہوں تو نسبتیں متناسب ہیں۔ یہ نظریۂ نسبت میں ایک صریح تشکیل تھی، تقسیم یا اقلیدسی طریقے کی پہلی ایجاد نہیں۔ محققہ اس تصور کے زیادہ قدیم پیش رو بھی باقی رکھتی ہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n\nیہ موضوع [[work/mahani-risala-fi-nisba|نسبت کے رسالے]] اور اقلیدس کی پانچویں کتاب کی روایت سے متعلق ہے، [[invention/mahani-sphere-division-cubic|کرے کی تقسیم کی مکعبی مساوات]] سے نہیں۔ محققہ کے بیان میں ماہانی نے اپنی تعریف کا اقلیدسی تعریف سے مکمل ربط ثابت نہیں کیا؛ بعد کا کام ابن الہیثم سے منسوب ہے۔ ہماری جدید مثال اس تاریخی کمی کا خاموش متبادل نہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1-and-ratio} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیا ہے",
     "markdown": "نسبت ایک اکیلی لمبائی کا نام نہیں۔ دو بڑی لمبائیوں کا باہمی تعلق دو چھوٹی لمبائیوں جیسا ہو سکتا ہے، جبکہ ان کا مشترک پیمانہ مختلف ہو۔ پہلے دیکھتے ہیں کہ چھوٹی مقدار بڑی میں کتنی بار آتی ہے، پھر چھوٹی اور باقی مقدار کا یہی تقابل کرتے ہیں۔ تاریخی بیان اسے تعلق سمجھانے کا طریقہ بناتا ہے، اقلیدس کے بنیادی اصول کی غلطی نہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n\nجدید سبق میں ان خارج قسمت کو سادہ مسلسل کسر سے لکھ سکتے ہیں۔ یہاں استعمال ہونے والا نام اور چھپی ہوئی علامتیں ماہانی کے نسخے سے نقل نہیں کی گئیں۔ مَیتھ ورلڈ قوسین اور علامتوں کے مختلف رواج بھی بتاتا ہے؛ اس لیے دو تحریری سلسلوں کو ملانے سے پہلے اپنا رواج متعین کرنا ضروری ہے {cite:weisstein-simple-continued-fraction definition-and-notation}۔"
    },
    {
     "heading": "اس سے پہلے کی دنیا",
     "markdown": "ڈولڈ سامپلونیوس قبل از اودوکسوس تصور، اقلیدس کی مساوی مضاعفات کی تعریف اور قدیم تقابلی عمل کو بیان کرتی ہیں۔ یہ کہنا کہ ماہانی نے اعظم مشترک مقسوم یا ہر مسلسل کسر ایجاد کی، اس پس منظر کو مٹا دے گا۔ اس کارڈ میں ان کا حصہ تناسب کی ایک خاص صریح توضیح ہے، ہماری تدریس کے ہر حسابی آلے کی ابتدا نہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n\nمحققہ کے بیان میں پانچویں کتاب کی ترکیبی پیش کش یہ نہیں دکھاتی تھی کہ نظریۂ نسبت کیسے بنا۔ ریاضی دان اس کی صحت مانتے تھے، مگر مقداروں کے باہمی رویے کی توضیح چاہتے تھے۔ بیان کے انداز سے عدم اطمینان اور حساب کی غلطی دریافت کرنا الگ چیزیں ہیں۔ اس سے یہ بھی ثابت نہیں ہوتا کہ پرانے مصنف آج کی ہر اصطلاح استعمال کرتے تھے {cite:dold-samplonius-mahani-dsb Euclid-V}۔"
    },
    {
     "heading": "کہانی",
     "markdown": "ٹی ڈی وی نسبت کا رسالہ، اس کے شواہد اور دو مزید عنوانی صورتیں درج کرتا ہے۔ ڈولڈ سامپلونیوس سوال اٹھاتی ہیں کہ نسبت کے بتائے گئے تین رسالے الگ بھی تھے یا نہیں۔ ہم نام زد کام کا ریکارڈ رکھتے ہیں؛ تعداد بڑھانے کے لیے تین کتابیں نہیں بناتے، نہ بغیر تقابل کے مخطوطوں کی تفصیل ایک ہی نقل قرار دیتے ہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb works}۔\n\nمیک ٹیوٹر کی نیریزی کی سوانح کہتی ہے کہ انہوں نے ماہانی کے پیش کردہ تصورات اپنائے؛ ماہانی غالباً ان کی آمد سے پہلے بغداد میں کام کرتے تھے۔ یہ علمی قبولیت کی خبر ہے، ثابت ذاتی تدریسی ملاقات نہیں۔ نویں صدی زندگی کا زمانی افق ہے، مصنف کے ہاتھ کا تاریخ شدہ نسخہ نہیں۔ فلکی رصد کی تاریخ کو نسبت کی تعریف کا دن نہیں بنایا جا سکتا {cite:nayrizi-mactutor ratio} {cite:tdv-mahani-fazlioglu biography}۔"
    },
    {
     "heading": "بنانے والے",
     "markdown": "میک ٹیوٹر ماہانی کی اسلامی شناخت انفرادی طور پر بیان کرتا ہے۔ عجائب گھر کا سنی فریم الگ معلن ہے، شہر یا حساب سے اخذ کردہ شخصی مسلک نہیں۔ ان کی سوانح میں تخمینی تاریخیں تخمینی رہتی ہیں؛ ریاضی سمجھانے کے لیے نیا یقینی یوم پیدائش یا وفات گھڑنے کی ضرورت نہیں {cite:mahani-mactutor summary-and-dates}۔\n\nڈولڈ سامپلونیوس ثابت بن قرہ کے حوالے اور نیریزی کے ہاں بعد کی مماثل تشکیل کا ذکر کرتی ہیں۔ براؤزر کے مصنف شامل کرنے کے نسبتاً محدود اصول کے باوجود ثابت تاریخ میں موجود رہتے ہیں۔ ابن الہیثم کا بعد کا برہان بھی سب پیش روؤں کو مشترکہ طور پر نہیں دے دیا جاتا۔ یہاں کئی الگ مرحلے ہیں، ہر قدم کے لیے ایک ہی موجد نہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔"
    },
    {
     "heading": "یہ کیسے کام کرتا ہے",
     "markdown": "یہ مثبت، مشترک پیمائش رکھنے والی مقداروں کی ایک آزاد جدید مثال ہے۔ ایک ہی اکائی میں 17 اور 7 لیں:17=2×7+3، پھر7=2×3+1، پھر3=3×1+0۔ ترتیب وار خارج قسمت 2،2،3 ہیں، اور آخری غیر صفر باقی 1 ہے۔ مَیتھ ورلڈ تقسیم اور باقی کا عمل اور مشترک مقسوم کا محفوظ رہنا سمجھاتا ہے؛ یہ خاص اعداد ماہانی سے منسوب نہیں {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-3}۔\n\nدونوں لمبائیوں کو دوگنا کر کے 34 اور 14 لیں۔ باقی 6،2،0 ہو جاتے ہیں، مگر خارج قسمت 2،2،3 ہی رہتے ہیں۔ مشترک پیمانہ 1 سے 2 ہو گیا، جبکہ34/14=17/7۔ لہٰذا یکساں نسبت کا مطلب صرف یکساں اعظم مشترک مقسوم نہیں۔ تین قدم ہونا بھی کافی نہیں؛ ہماری مثال قدموں کے مرتب خارج قسمت کا تقابل کرتی ہے۔\n\nجدید علامت میں[2;2,3] کا مطلب2+1/(2+1/3)=17/7 ہے۔ نیم وقفے کے بعد کی چیزیں اعشاری ہندسے یا الگ لمبائیاں نہیں، ایک دوسرے کے اندر تقسیم کے قدم ہیں۔ اگر پہلی مثبت مقدار دوسری سے چھوٹی ہو تو پہلا خارج قسمت 0 ہو سکتا ہے؛ نسبت کو خاموشی سے الٹ دینا تقابل بدل دیتا ہے {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}۔\n\nلیکن5/2=[2;2] اور17/7=[2;2,3] ایک نسبت نہیں، اگرچہ ابتدا ملتی ہے۔ ضرب متقاطع میں5×7=35 مگر2×17=34۔ محدود مشترک ابتدا کافی نہیں۔ مثال باقی 0 پر ختم ہوتی ہے؛ آخری عدد توڑ کر 1 پر ختم ہونے والی متبادل تحریر کو اقلیدسی عمل کے معیاری اختتامی ریکارڈ سے الگ رکھتے ہیں۔\n\nمثلاً[2;2,2,1] بھی وہی عدد لکھتا ہے، کیونکہ آخری اندرونی2+1/1 کا جواب3 ہے۔ یہ دوسری پیمائش نہیں بلکہ دوسری تحریر ہے؛ اسی لیے تقسیم سے نکلنے والا اختتامی ریکارڈ مقرر کرتے ہیں، کوئی بھی علامتی فہرست نہیں۔ لمبائیوں کا ترتیب وار الٹ7/17=[0;2,2,3] دیتا ہے،17/7 نہیں۔ پہلا خارج قسمت بدلنے سے اصل سوال کا بدلنا ظاہر ہوتا ہے۔ یہ مثبت مثال کی جدید تدریسی تفصیل ہے، رسالے کی علامتوں یا منقول عنوانوں کے الگ ہونے کی نئی شہادت نہیں {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}۔"
    },
    {
     "heading": "پھیلاؤ",
     "markdown": "نیریزی کی میک ٹیوٹر سوانح ایک مخصوص قبولیت کی کڑی دیتی ہے، صرف فہرست میں ملتے جلتے دو نام نہیں۔ اس سے ہر جملے یا نظریے کی ہر جزئیات کی منتقلی ثابت نہیں۔ ڈولڈ سامپلونیوس بعد کی مماثل پیش رفت بیان کرتی ہیں؛ دونوں بیانات میں سے کوئی بھی تاریخ شدہ استاد شاگرد ملاقات کا ثبوت نہیں {cite:nayrizi-mactutor ratio} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n\nآج مخطوطے کی جگہ سے شہروں اور تاریخوں والا راستۂ گردش خود بخود نہیں نکلتا۔ ٹی ڈی وی کے شواہد متن کے باقی رہنے کی رپورٹ ہیں، مصنف کا سفرنامہ نہیں۔ کوئی موجودہ کتب خانہ متن محفوظ رکھ سکتا ہے، مگر اس سے ہر نویں صدی کے قاری کی جگہ یا بعد کے خاص استعمال کا پتا نہیں چلتا {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1}۔"
    },
    {
     "heading": "اس کی بنیاد کیا تھی",
     "markdown": "اقلیدسی عمل وراثت میں ملا تھا۔ جدید صحیح عددی زبان میں اگرA=qB+r ہو، توA اورB کا ہر مشترک مقسومr کو تقسیم کرتا ہے؛ الٹ کرB اورr کا ہر مشترک مقسومA کو تقسیم کرتا ہے۔ یہ ہماری مثال کا حسابی قدم سمجھاتا ہے، ماہانی کے مخطوطے سے ترجمہ شدہ سطر یا ان کی پہلی دریافت کی دلیل نہیں {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-2}۔\n\nدونوں لمبائیوں کو ایک ساتھ بڑا کرنے سے اس ناطق مثال کے خارج قسمت محفوظ، مگر باقیوں کا حجم تبدیل ہوتا ہے۔ صرف ایک طرف اکائی بدلنا نسبت نہیں بچاتا: میٹر اور سینٹی میٹر کو مسلسل تبدیلی درکار ہے۔ یہ مثال کا جدید احتیاطی اصول ہے، مصنف کی کسی باقی ماندہ پیمائشی پٹی یا آلے کی خبر نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "اس پر کیا بنایا گیا",
     "markdown": "ڈولڈ سامپلونیوس کے مطابق ماہانی اور نیریزی نے اپنی تعریف کا اقلیدسی تعریف سے ربط ثابت نہیں کیا، ابن الہیثم نے بعد میں کیا۔17/7 اور34/14 کا آسان تقابل یہ حد ختم نہیں کرتا۔ دو صحیح عددی مثالیں نظریۂ نسبت کی ہر قسم کی مقدار کے لیے عمومی برہان نہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n\nمسلسل کسر کی جدید علامتیں توضیح کا آلہ دیتی ہیں، یہ سند نہیں کہ ماہانی نے ہر جدید نظریۂ تقارب یا کمپیوٹری اطلاق پہلے ہی دے دیا تھا۔ طریقوں کی مماثلت براہ راست نسب ثابت نہیں کرتی۔ یہ ریکارڈ رسالے سے اعظم مشترک مقسوم کے ہر رمز نگاری استعمال تک فرضی تاریخی زنجیر نہیں بناتا {cite:weisstein-simple-continued-fraction definition-and-notation}۔"
    },
    {
     "heading": "روزمرہ زندگی پر اثر",
     "markdown": "ماخذ ریاضیاتی سوال اور اس کی قبولیت بیان کرتے ہیں، ایسے تاجروں کا ریکارڈ نہیں جو ترازو اس رسالے سے منسوب کرتے ہوں، نہ اسکولوں کے بچائے ہوئے گھنٹوں کا حساب۔ خانہ بھرنے کے لیے تجارتی قصہ نہیں گھڑتے۔ ثابت حصہ متناسب مقداروں کی زبان اور توضیح کا ہے، جس میں برہان کی حد بھی نظر آتی ہے {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio} {cite:nayrizi-mactutor ratio}۔\n\nآج کا قاری دیکھ سکتا ہے کہ چیزیں بڑی کرنے سے ان کا ہر تعلق نہیں بدلتا۔ دونوں لمبائیوں کو دوگنا کرنے سے نسبت وہی، مگر مشترک پیمائشی لمبائی بدل جاتی ہے۔ یہ ہماری جدید مثال کا سبق ہے، تاریخی معاشی تخمینہ نہیں۔ مطلق پیمائش اور باہمی تعلق میں فرق بظاہر مشابہ باتوں کو ایک مفہوم سمجھنے سے بچاتا ہے۔"
    },
    {
     "heading": "اس نے تاریخ کو کیسے بدلا",
     "markdown": "یہ تشکیل صرف نسبت موجود ہونے کا اعلان نہیں کرتی، بلکہ اسے بار بار کے عمل میں قابل تعاقب بناتی ہے۔ اس سے پرانی ترکیبی توضیح بے قدر نہیں ہو جاتی: محققہ صاف کہتی ہیں کہ اس کی صحت تسلیم کی جاتی تھی۔ نیا توضیحی سوال اہم ہو سکتا ہے، بغیر ماضی سے مکمل قطع تعلق کی کہانی بنائے {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n\nیہ حصہ ماہانی کی نامکمل مکعبی کوشش سے مختلف ہے۔ یہاں تناسب کا مطلب اور تقابل ہے؛ وہاں کرے کے مقرر حجمی حصے کو مساوات میں بدلنا۔ مشترک مصنف دونوں موضوع نہیں ملاتا، نہ ایک کو لازماً دوسرے کا سبب بناتا ہے۔ ہر ریکارڈ کا اپنا کام اور حد ہے، بڑی تعداد کے لیے دہرایا ہوا عنوان نہیں {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1-and-work5}۔"
    },
    {
     "heading": "اسے حقیقتاً کس نے ایجاد کیا؟",
     "markdown": "**سنی فریم، واضح طور پر معلن:** ماہانی کی انفرادی مسلم شناخت اور عجائب گھر کا سنی فریم ریاضیاتی اولیت سے الگ ہیں۔ **علمی بیان:** ڈولڈ سامپلونیوس قدیم اصل باقی رکھتے ہوئے ان کی صریح تشکیل، نیریزی کی بعد کی پیش رفت اور ابن الہیثم کا بعد کا برہان بتاتی ہیں۔ ہم پوری تاریخ ایک شخص کو نہیں دیتے {cite:mahani-mactutor summary} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n\nیہاں «بہتری» ماخذ سے ثابت تشکیل کی نسبت ہے، لمبائی تقسیم کرنے والے پہلے انسان کا لقب نہیں۔ قدیم بنیاد اور یہ حقیقت دونوں محفوظ ہیں کہ اس نشست میں اصل متن نہیں دیکھا گیا۔ محققہ کی تحقیق ہمارا حوالہ ہے، خاموش متبادل نہیں کہ ہم نے ہر نسخے کا خود تقابل کر لیا ہو {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}۔"
    },
    {
     "heading": "آج",
     "markdown": "مثبت صحیح اعداد کے باقی کم ہوتے ہوئے اختتام تک پہنچتے ہیں، مگر غیر ناطق مقداروں کا تقابل اسی طرح ختم ہونا ضروری نہیں۔ الگ مقداروں کے ابتدائی قدم مل سکتے ہیں۔ اس لیے ایسا طریقہ پیش نہیں کرتے جو پانچ خارج قسمت پڑھ کر ہر دو مقداریں برابر قرار دے؛ مشترک پیمائش والی عددی مثال کی حد واضح رہنی چاہیے {cite:weisstein-euclidean-algorithm termination}۔\n\nتصویر جدید1071 اور462 کی مثال کی ہے، رسالے میں پڑھے ہوئے اعداد کی نہیں۔ سیاہ مستطیل کے اندر دو بڑے نارنجی، اوپر تین بنفشی حصے، اور چھوٹے سبز اور سرخ علاقے ہیں۔ شکل پر کوئی عددی لیبل نظر نہیں آتا۔ بیان نہ لیبل گھڑتا ہے، نہ اسے ماہانی کا اپنے ہاتھ کا خاکہ بناتا ہے {cite:commons-euclid-tiling-proteins current-image}۔"
    },
    {
     "heading": "باقی ماندہ شواہد",
     "markdown": "ڈولڈ سامپلونیوس کی دوبارہ شائع شدہ سوانح، ٹی ڈی وی کی فہرست، نیریزی کی میک ٹیوٹر سوانح، اور مَیتھ ورلڈ کی منتخب جدید تعریفیں اور صیغے پڑھے گئے۔ اصل نسبت کے نسخے اور کتابیات میں مذکور پلوی اور بیکر کی تحقیق نہیں پڑھی گئی۔ عنوانوں اور شواہد کی رپورٹ سے متون کا استقلال اندازے سے طے نہیں کرتے {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb bibliography}۔\n\nتصویر پروٹینز کی ہے،17 اپریل2009 کی تاریخ اورCC BY-SA3.0 اجازت کے ساتھ۔ ثابت تصویر اور حقوق دیکھے گئے، سفید پس منظر کی معائنہ نقل بھی گٹ سے باہر رکھی گئی۔ شائع شدہ اثاثہ اصل غیر تبدیل شدہSVG ہے، نہ معائنہ نقل، نہ سلسلے کی متحرک تصویر۔ جدید تصویری سلسلہ قدیم مخطوطے کا شاهد نہیں بن جاتا {cite:commons-euclid-tiling-proteins description-rights}۔"
    },
    {
     "heading": "ثقافت میں",
     "markdown": "یہ تاریخ تعلق کا مطلب پوچھنے اور صرف تقسیم کا ایک جواب نکالنے میں فرق دکھاتی ہے۔ شارح تعریف اور اس کے اسباب پر سوال کرے تو محقق ہوتا ہے، صرف چھپی علامت بدلنے سے نہیں۔ یہ بیان کردہ کام کی ایک توضیح ہے، ماہانی سے منسوب گھڑا ہوا قول نہیں {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n\nکہانی کو بغداد میں خیالی مقابلے کا منظر نہیں چاہیے۔ باقی علم کی حدود کے ساتھ ایک منقول رسالہ کافی ہے۔ قاری مصنف کی صدی اور2009 کی تصویر کا فرق پہچانے۔ صفحے پر ان زمانوں کا ساتھ ہونا معلن تدریسی تدبیر ہے، جدید خاکے کو قدیم بنانے کی کوشش نہیں۔"
    },
    {
     "heading": "بچوں کے لیے",
     "markdown": "کاغذ پر17 اور7 لکھو، ہر قدم کا خارج قسمت اور باقی درج کرو۔ پھر34 اور14 سے دہراؤ۔ صرف سطروں کی تعداد نہیں، یہ دیکھو کہ کیا بدلا اور کیا نہیں۔ حساب آزمانے کو قدیم آلہ ضروری نہیں؛ یہ بھی نہ کہو کہ یہی ماہانی کی اپنی مثالیں ہیں۔\n\nاب5/2 اور17/7 کا تقابل کرو: ابتدا ملتی ہے مگر نسبتیں مختلف ہیں۔ پہلے مشابہ قدم پر نہ رکو۔ عنوان سے پوچھو کہ کیا اس میں ہر تقسیم کی ایجاد ہے یا نسبت سمجھنے کا خاص طریقہ؟ مثال سوال بہتر بناتی ہے، مقداروں کے پورے نظریے کا جواب اکیلے نہیں دیتی {cite:weisstein-euclidean-algorithm eq3} {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔"
    },
    {
     "heading": "مراجع",
     "markdown": "- ڈولڈ سامپلونیوس: نسبت اور برہان کی حد {cite:dold-samplonius-mahani-dsb ratio}۔\n- ٹی ڈی وی: نام زد رسالہ اور شواہد {cite:tdv-mahani-fazlioglu work1}۔\n- میک ٹیوٹر: نیریزی کی قبولیت {cite:nayrizi-mactutor ratio}۔\n- مَیتھ ورلڈ: جدید تقسیم اور علامتیں {cite:weisstein-euclidean-algorithm eqs1-3} {cite:weisstein-simple-continued-fraction eqs1-3}۔\n- کامنز: جدید ثابت تصویر اور حقوق {cite:commons-euclid-tiling-proteins description-rights}۔"
    }
   ],
   "frontmatter": {
    "id": "invention/mahani-successive-quotient-ratios",
    "lang": "ur",
    "source_lang": "ar",
    "translators": [
     "Copilot SDK in VS Code"
    ],
    "status": {
     "review": "published"
    },
    "provenance": {
     "generated_by": "Copilot SDK in VS Code",
     "model": "unknown",
     "run": "inventions-p3-b81",
     "source": "Arabic-first museum prose; actual DSB/TDV and MacTutor al-Nayrizi, selected modern definitions/formulas and Commons rights/static image. No original manuscript or general equivalence-proof reading claim."
    }
   },
   "updated": "2026-11-06"
  }
 },
 "degree": 4,
 "contemporaries": [],
 "updated": "2026-11-06",
 "connections": [
  {
   "to": "person/al-mahani",
   "type": "improved_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "role": "improver",
   "note": "Explicit inherited quotient-sequence account of ratio, not invention of Euclid's algorithm or completed equivalence proof.",
   "sources": [
    "source/dold-samplonius-mahani-dsb",
    "source/tdv-mahani-fazlioglu"
   ]
  },
  {
   "to": "work/mahani-risala-fi-nisba",
   "type": "described_by",
   "inverse": true,
   "derived": true,
   "sources": [
    "source/dold-samplonius-mahani-dsb",
    "source/tdv-mahani-fazlioglu",
    "source/nayrizi-mactutor",
    "source/weisstein-euclidean-algorithm",
    "source/weisstein-simple-continued-fraction",
    "source/commons-euclid-tiling-proteins"
   ]
  }
 ],
 "related": [
  "invention/mahani-sphere-division-cubic",
  "place/baghdad",
  "place/mahan",
  "person/al-mahani",
  "work/mahani-risala-fi-nisba"
 ],
 "license": {
  "prose": "CC BY-SA 4.0",
  "data": "CC0 1.0"
 }
}