علم الجبر والمقابلہ (خوارزمی کے ہاں الجبرا ایک مستقل علم کے طور پر)

علم الجبر والمقابلہ وہ فن ہے جس سے معلوم اعداد کے ذریعے ایک مساوات کی مدد سے نامعلوم عدد نکالا جاتا ہے۔ محمد بن موسیٰ خوارزمی نے اسے بغداد میں خلیفہ مامون کے دور میں ایک مختصر کتاب الکتاب المختصر فی حساب الجبر والمقابلہ میں پیش کیا، تاکہ وراثت، وصیتوں، تجارت اور زمین کی پیمائش میں لوگوں کی ضرورت پوری ہو ¹۔ انہوں نے ہر مسئلے کو تین قسم کے حدود اور چھ قسم کی مساواتوں تک پہنچایا، جن میں سے ہر ایک کا ایک قاعدہ اور ایک ہندسی ثبوت ہے ²۔ ابن خلدون انہیں اس فن میں سب سے پہلے لکھنے والا قرار دیتے ہیں ³، اور دنیا کی زبانوں میں یہ علم آج بھی ان کی کتاب کا نام رکھتا ہے ⁴۔

ابن خلدون الجبر والمقابلہ کو علم العدد کی شاخوں میں شمار کرتے ہیں: ایک فن جس سے نامعلوم عدد معلوم کی بنیاد پر نکالا جاتا ہے جب ان کے درمیان کوئی ایسی نسبت ہو جو اس کا تقاضا کرے۔ اس کے حدود عدد، «شے» یعنی جذر، اور «مال» یعنی مربع ہیں، اور ان کے درمیان مساواتیں چھ مسائل پر ختم ہوتی ہیں ³۔

خوارزمی بھی اپنی کتاب اسی طرح شروع کرتے ہیں۔ وہ کہتے ہیں کہ الجبر والمقابلہ کے حساب میں جن اعداد کی ضرورت ہوتی ہے وہ تین قسم کے ہیں: جذر، مال، اور مفرد عدد جو نہ جذر سے منسوب ہو نہ مال سے ⁵۔ اس علم کا نام دو عملوں سے بنا ہے۔ الجبر، یعنی «پورا کرنا»، کسی طرف سے منفی مقدار کو دونوں طرف اضافہ کر کے ہٹا دیتا ہے؛ اور المقابلہ، یعنی «برابر کرنا»، دونوں طرف موجود ایک جیسے حدود کو ساقط کر دیتا ہے۔ ٹی ڈی وی ان میں رد، یعنی دونوں طرف کو مال کے عدد پر تقسیم کرنا، اور اکمال، یعنی مال کو پورا مال بنانا، کا اضافہ کرتا ہے ⁶۔ کتاب کے حل شدہ مسائل میں جبر کا عمل بار بار آتا ہے: «دس شے کم» والی مقدار کو پورا کیا جاتا ہے اور دس شے دوسری طرف بڑھا دی جاتی ہیں ⁷۔

لوگ خوارزمی سے بہت پہلے مساواتیں حل کرتے تھے، اور قاہرہ ایڈیشن کے محققین اپنا مقدمہ اسی تاریخ سے شروع کرتے ہیں۔ مصری احمس پیپرس میں، جو تقریباً 1700 قبل مسیح کا ہے اور سب سے پرانی باقی ماندہ درسی کتاب ہے، ایک نامعلوم والی یک درجی مساوات موجود ہے جس کے نامعلوم کی ایک خاص علامت ہے ⁸۔ بابلیوں نے مربعوں اور مکعبوں کے جدول بنائے، اور اقلیدس کے ہاں ایسے مسائل ہیں جو دراصل دو درجی مساواتوں کے ہندسی حل ہیں ⁹۔ اسکندریہ کے ہیرون کے ہاں پہلا ایسا تحلیلی حل ملتا ہے جس پر یقین کیا جا سکتا ہے ¹⁰، اور دیوفانتوس مثبت ضریبوں والی دو درجی مساواتوں کا حل جانتے تھے، لیکن انہوں نے ان کی قسموں کو اس ترتیب سے نہیں رکھا جیسے خوارزمی نے رکھا ¹¹۔

ہندوستان میں آریہ بھٹ یقیناً دو درجی مساوات کا حل جانتے تھے، برہما گپت نے ساتویں صدی میں اسے حل کرنے کا قاعدہ الفاظ میں دیا، اور مہاویر نے بھی، جو خوارزمی کے ہم عصر تھے، قاعدے دیے ¹²۔ ٹی ڈی وی کے مطابق دوہرے فرضی مقام کا طریقہ، الٹی طرف سے کام کرنے کا طریقہ اور کچھ لفظی مسائل ہندی کتابوں سے اسلامی الجبرا میں آئے، اور قسطا بن لوقا نے دیوفانتوس کی «ارثماطیقی» کا عربی ترجمہ «صناعۃ الجبر» کے نام سے کیا ⁶۔

نویں صدی عیسوی کے آغاز میں مامون نے بغداد میں علما کو جمع کیا۔ قاہرہ کے محققین ابن ندیم کی الفہرست سے نقل کرتے ہیں کہ خوارزمی مامون کے خزانۂ حکمت سے وابستہ رہے، علم ہیئت کے ماہرین میں تھے، اور «سند ہند» کے نام سے مشہور دو زیجوں کے مصنف تھے ¹³۔

خوارزمی اپنے مقدمے میں اللہ کی حمد کرتے ہیں اور نبی محمد پر درود بھیجتے ہیں، پھر بتاتے ہیں کہ انہیں لکھنے پر کس چیز نے آمادہ کیا: امام مامون امیر المؤمنین علم سے محبت رکھتے، اہلِ علم کو قریب رکھتے اور جو کچھ مبہم تھا اسے واضح کرنے میں ان کی مدد کرتے، اسی سے انہیں الجبر والمقابلہ کے حساب پر ایک مختصر کتاب لکھنے کا حوصلہ ملا ¹⁴۔ انہوں نے اسے حساب کے لطیف اور اہم حصے تک محدود رکھا، اور اس تک جس کی لوگوں کو ہمیشہ ضرورت رہتی ہے: وراثت، وصیتیں، ترکے کی تقسیم، فیصلے، تجارت اور باہمی معاملات، زمین کی پیمائش، نہریں کھودنا، ہندسہ اور دوسرے امور ⁵۔ کتاب میں سنِ تصنیف درج نہیں، لیکن مامون نے 813 سے 833 عیسوی تک حکومت کی ¹³، اس لیے یہ انہی برسوں میں لکھی گئی۔

اس کا ایک نسخہ آکسفورڈ کی بوڈلین لائبریری میں محفوظ ہے، جو قاہرہ میں محرم 743 ہجری میں لکھا گیا۔ فریڈرک روزن نے اسے 1831 میں لندن میں انگریزی ترجمے کے ساتھ شائع کیا، اور 1939 کا قاہرہ ایڈیشن اسی نسخے سے تیار ہوا ¹⁵۔

ابو عبد اللہ، یا ابو جعفر، محمد بن موسیٰ خوارزمی بغداد میں مامون کے دربار کے ماہرِ فلکیات اور ریاضی دان تھے۔ قاہرہ کے محققین انہیں حساب، جغرافیہ اور فلکیات میں ماہر بتاتے ہیں اور کہتے ہیں کہ انہیں بجا طور پر علم الجبر کا بانی سمجھا جاتا ہے ¹⁶۔ اپنی کتاب کے مقدمے میں وہ ایک مسلمان کی حیثیت سے لکھتے ہیں: اللہ کی حمد کرتے ہیں، نبی اور ان سے پہلے کے انبیا پر درود بھیجتے ہیں، اور مامون کو امام امیر المؤمنین کہتے ہیں ¹⁴۔

خوارزمی پہلے تین سادہ قسمیں بیان کرتے ہیں جن میں ایک قسم دوسری کے برابر ہوتی ہے: مال جذروں کے برابر، مال عدد کے برابر، اور جذر عدد کے برابر۔ پھر تین مرکب قسمیں: مال اور جذر عدد کے برابر، مال اور عدد جذروں کے برابر، اور جذر اور عدد مال کے برابر ¹⁷۔

ان کی سب سے مشہور مثال ہے «ایک مال اور اس کے دس جذر انتالیس درہم کے برابر ہیں»۔ قاعدہ یہ ہے: جذروں کو آدھا کرو تو پانچ ہوئے؛ اسے اسی سے ضرب دو تو پچیس؛ اسے انتالیس میں جمع کرو تو چونسٹھ؛ اس کا جذر لو تو آٹھ؛ اس میں سے جذروں کا آدھا یعنی پانچ گھٹاؤ تو تین بچے۔ یہی مال کا جذر ہے، اور مال نو ہے ¹⁸۔ پھر وہ اس قاعدے کو ایک شکل سے ثابت کرتے ہیں: ایک مربع سطح مال ہے، اس کے پہلوؤں پر سطحیں دس جذر ہیں، اور بڑے مربع کو پورا کرنے کے لیے پانچ ضرب پانچ یعنی پچیس کا مربع بچتا ہے، تو پوری سطح چونسٹھ ہوتی ہے اور اس کا ضلع آٹھ ¹⁹۔

وہ اس صورت کا بھی ذکر کرتے ہیں جس کا کوئی حل نہیں: جب جذروں کے آدھے کا مربع مال کے ساتھ ملے ہوئے عدد سے کم ہو تو «مسئلہ مستحیل ہے»۔ محققین بتاتے ہیں کہ یہ نام ریاضی دانوں میں اٹھارہویں صدی کے آخر تک باقی رہا، جب خیالی مقداروں پر تحقیق شروع ہوئی ²⁰۔ ان کا الجبرا پورا کا پورا الفاظ میں تھا، کوئی علامت نہ تھی، اور یہ صرف مثبت جذر قبول کرتا تھا ⁶۔ وہ نظریے کو پوری کتاب کے قاعدے پر ختم کرتے ہیں: الجبر والمقابلہ سے کیا جانے والا ہر حساب لازماً چھ ابواب میں سے کسی ایک تک پہنچتا ہے ²¹۔

یہ کتاب پوری اسلامی دنیا میں پڑھی گئی، اس کی شرحیں لکھی گئیں اور اس پر مزید کام ہوا۔ الفہرست کم از کم تین ایسے لوگوں کا ذکر کرتی ہے جنہوں نے اس کی شرح لکھی ²²۔ ابن خلدون کہتے ہیں کہ اہلِ اندلس میں سے بہت سوں نے اس کی اچھی شرحیں لکھیں، اور ان میں سب سے بہتر قرشی کی شرح ہے ²³۔ رابرٹ آف چیسٹر نے اس کا لاطینی ترجمہ کیا، اور ایل سی کارپنسکی نے 1915 میں اس لاطینی ترجمے کا انگریزی ترجمہ شائع کیا ¹⁵۔

خوارزمی کا الجبرا مساواتیں حل کرنے کی ایک لمبی تاریخ پر قائم تھا: احمس پیپرس میں یک درجی مساواتیں، بابلی جدول، یونانیوں کے ہندسی اور تحلیلی حل، اور ہندیوں کے لفظی قاعدے ²⁴۔ ٹی ڈی وی بھی اس کے طریقوں اور لفظی مسائل پر ہندی اثر کا ذکر کرتا ہے ⁶۔ خوارزمی نے جو اضافہ کیا وہ ترتیب تھی: تین قسم کے حدود، چھ قسمیں، اور ہر قسم کا ایک قاعدہ اور ایک ثبوت۔

ابو کامل شجاع بن اسلم، تقریباً 925 عیسوی، خوارزمی کو واضح طور پر اپنے مآخذ میں شمار کرتے ہیں ¹⁶۔ ابن خلدون انہیں خوارزمی کے بعد دوسرے نمبر پر رکھتے ہیں ³، اور ٹی ڈی وی کے مطابق انہوں نے الجبرا کو اقلیدسی ہندسے پر قائم کیا، غیر ناطق اعداد استعمال کیے اور ہندسی مسائل کو الجبرا سے حل کیا۔ پھر کرجی نے الجبرا کو حسابی بنایا اور اسے ہندسے سے آزاد کیا، اور (x + 1) کی قوت n کے پھیلاؤ پر کام کیا۔ ان کے طریقے کے پیرو سموأل مغربی نے اعداد اور مقداروں کو حروف سے ایک تجریدی انداز میں لکھا۔ عمر خیام نے سہ درجی مساواتوں کے لیے وہی کیا جو خوارزمی نے یک درجی اور دو درجی کے لیے کیا تھا: انہیں تیرہ قسموں میں تقسیم کیا اور مخروطی قطعوں سے حل کیا ⁶۔ قاہرہ کے محققین مزید کہتے ہیں کہ خیام ابن موسیٰ سے نام لیے بغیر اقتباس کرتے ہیں ¹⁶۔ ابن خلدون تک یہ خبر پہنچی کہ مشرق کے ایک ریاضی دان نے مساواتوں کو چھ قسموں سے آگے بیس سے زیادہ تک پہنچایا، ہندسی ثبوتوں کے ساتھ ²⁵۔

یہ کتاب روزمرہ ضرورتوں کے لیے لکھی گئی تھی۔ خوارزمی کہتے ہیں کہ یہ وراثت، وصیتوں، ترکے کی تقسیم، تجارت، زمین کی پیمائش اور نہریں کھودنے کے لیے ہے ⁵۔ اسی کتاب میں ایک طویل «کتاب الوصایا» بھی ہے، جو تصویری نسخے کے صفحہ 83 سے شروع ہوتی ہے اور اس کے قاعدوں کو ترکوں اور وصیتوں کے حصوں پر لاگو کرتی ہے ²⁶۔

عددی مسائل کا حل ایک علم بن گیا، جس کے اپنے حدود، ابواب اور ثبوت تھے: ہر مسئلہ الجبر والمقابلہ سے چھ قسموں میں سے کسی ایک تک لایا جاتا ہے ²¹۔ قاہرہ کے محققین لکھتے ہیں کہ ان کی مساواتیں، جیسے «ایک مال اور دس جذر انتالیس کے برابر»، ان کے زمانے سے جدید دور کے آغاز تک الجبرا کی ہر کتاب میں دہرائی گئیں، اور ان میں سے کچھ آج بھی الجبرا کی کتابوں میں ملتی ہیں ¹⁶۔

عجائب گھر خوارزمی کے کام کو ایک بہتری کے طور پر درج کرتا ہے: انہوں نے مساوات کا حل ایجاد نہیں کیا، جو ان سے پرانا ہے، لیکن وہ پہلے معلوم مصنف ہیں جنہوں نے اسے ایک مستقل علم بنایا۔

سنی نقطۂ نظر (ابن خلدون)۔ ابن خلدون کہتے ہیں کہ اس فن میں سب سے پہلے ابو عبد اللہ خوارزمی نے لکھا، اور ان کے بعد ابو کامل شجاع بن اسلم نے۔ وہ خوارزمی کی چھ مسائل والی کتاب کو اس موضوع کی بہترین کتابوں میں شمار کرتے ہیں، اور بتاتے ہیں کہ اہلِ اندلس میں سے بہت سوں نے اس کی شرحیں لکھیں ²³۔

علمی نقطۂ نظر (ٹی ڈی وی)۔ ٹی ڈی وی مؤرخین کے عمومی اتفاق کا ذکر کرتا ہے کہ الجبرا خوارزمی کے ساتھ ایک مستقل علم بنا، اور بعد کے ریاضی دانوں جیسے سنان بن الفتح نے ان کی اولیت تسلیم کی۔ ان کے زمانے میں واحد مخالف ابو برزہ تھے، جنہوں نے یہ اعزاز اپنے دادا عبد الحمید بن واسع بن ترک کے لیے مانگا، اور ابو کامل نے سختی سے ان کا رد کیا۔ ٹی ڈی وی یہ بھی بتاتا ہے کہ بعض جدید مؤرخین کو کتاب کے پہلی ہونے میں کیوں شک ہے: یہ خود کو مختصر کہتی ہے، خوارزمی اولیت کا دعویٰ نہیں کرتے، اس کی اصطلاحات پختہ ہیں، اور اس موضوع پر ابن ترک کی ایک کتاب اور سند بن علی کی ایک گم شدہ کتاب موجود تھی ⁶۔

دونوں نقطۂ نظر اس پر متفق ہیں کہ ان کی کتاب وہ قدیم ترین باقی ماندہ تصنیف ہے جو الجبرا کو ایک مستقل علم کے طور پر پیش کرتی ہے۔

الجبرا آج ریاضی کی ایک بنیادی شاخ ہے جو اسکولوں میں پڑھائی جاتی ہے، اور یہ مساواتیں علامتوں میں لکھتا ہے۔ خوارزمی کا الجبرا پورا کا پورا الفاظ میں تھا اور صرف مثبت جذر قبول کرتا تھا؛ بعد میں سموأل نے اعداد اور مقداروں کو حروف سے لکھنا شروع کیا ⁶۔ دنیا کی تمام زبانوں میں اس علم کا نام عربی لفظ «الجبر» سے نکلا ہے جسے خوارزمی نے اپنی کتاب کا نام بنایا، اور خود ان کے نام سے لاطینی «الگوریزمس» اور انگریزی «الگورتھم» بنے ⁴۔

یہ کتاب آکسفورڈ کی بوڈلین لائبریری کے ایک مخطوطے میں محفوظ ہے، جو قاہرہ میں محرم 743 ہجری میں نقل کیا گیا ¹⁵۔ اس صفحے کی تصویر بوڈلین لائبریری میں اس کتاب کے ایک مخطوطے کے دو صفحے دکھاتی ہے، جن میں اس کے ثبوت سرخ روشنائی سے مربعوں کی صورت میں بنے ہیں ²⁷۔

خوارزمی کا نام اور ان کی کتاب کا نام دنیا کی زبانوں میں داخل ہوئے۔ مسلمانوں میں ابن خلدون انہیں الجبرا پر سب سے پہلے لکھنے والا کہتے ہیں، اور زکریا قزوینی لکھتے ہیں کہ انہوں نے سب سے پہلے علم الجبر مسلمانوں تک پہنچایا۔ انگریزی میں ان کا نام «الگورتھم» بنا، یعنی مسائل حل کرنے کا مقررہ طریقہ، اور شاعر چاسر نے صفر کے لیے «آگرم» کا لفظ استعمال کیا۔ اٹھارہویں صدی کے آغاز تک لاطینی میں اعداد کو «الگوریزمس» کہا جاتا تھا، اور ہسپانوی میں ہندسے کے لیے لفظ «گواریزمو» ہے۔ ان کی کتاب کا نام «الجبرا» بن گیا ⁴۔

تقریباً بارہ سو سال پہلے بغداد کے ایک عالم خوارزمی نے ایک کتاب لکھی جو لوگوں کو سکھاتی تھی کہ وہ نامعلوم عدد کیسے معلوم کریں، تاکہ وہ وراثت تقسیم کر سکیں، زمین ناپ سکیں اور تجارت کا حساب کر سکیں۔ انہوں نے مسائل کو چھ قسموں میں ترتیب دیا اور ہر قسم کو مربعوں کی شکلوں سے سمجھایا۔ ان کی کتاب کے نام «الجبر» سے لفظ «الجبرا» بنا جو دنیا بھر کے طالب علم سیکھتے ہیں ^{28 4}۔

• محمد بن موسیٰ خوارزمی، کتاب الجبر والمقابلہ، تحقیق علی مصطفیٰ مشرفہ و محمد مرسی احمد، قاہرہ 1939: محققین کا مقدمہ، تصویری صفحات 13–26؛ مصنف کا مقدمہ اور متن، تصویری صفحات 29–43 اور 51–53۔ ²⁹
• عبد الرحمٰن بن خلدون، المقدمہ، ص 495–496، فصل «الجبر والمقابلہ»۔ ²³
• احسان فضل اوغلو، «CEBİR»، ٹی ڈی وی اسلامی انسائیکلوپیڈیا، جلد 7 (1993)، ص 195–201، آن لائن ایڈیشن۔ ⁶
• ویکی میڈیا کامنز، «Bodleian MS. Huntington 214 roll332 frame36.jpg»، پبلک ڈومین، بوڈلین لائبریریز۔ ²⁷