الضروب الستة (أنواع المعادلات عند الخوارزمي)

الضروب الستة هي الأنواع التي قسّم إليها الخوارزمي كل ما يحتاج إليه في حساب الجبر والمقابلة، في أول كتابه الجبر والمقابلة. ³ وهي مبنية على ثلاثة أنواع من الأعداد: الجذر، وهو كل شيء مضروب في نفسه من الواحد فما فوقه أو من الكسور فما دونه؛ والمال، وهو ما يجتمع من ضرب الجذر في نفسه؛ والعدد المفرد، وهو كل ملفوظ به من العدد بلا نسبة إلى جذر ولا إلى مال. ¹

• أموال تعدل جذوراً: مثاله «مال يعدل خمسة أجذاره»، فالجذر خمسة والمال خمسة وعشرون. ¹
• أموال تعدل عدداً: مثاله «خمسة أموال تعدل ثمانين»، فالمال الواحد خمس الثمانين وهو ستة عشر. ²
• جذور تعدل عدداً: مثاله «أربعة أجذار تعدل عشرين»، فالجذر خمسة والمال خمسة وعشرون. ²

ويقرر في كل ضرب أن ما زاد على مال واحد أو نقص عنه يُردّ إلى مال واحد، ويُفعل بما يعادله مثل ذلك. ¹

• أموال وجذور تعدل عدداً: مثاله «مال وعشرة أجذاره يعدل تسعة وثلاثين درهماً»، وبابه أن تنصّف الأجذار وتربّع النصف وتزيده على العدد وتأخذ جذر المجموع وتنقص منه نصف الأجذار، فيخرج الجذر ثلاثة والمال تسعة. ^{2 4}
• أموال وعدد تعدل جذوراً: مثاله «مال وأحد وعشرون يعدل عشرة أجذاره»، ويخرج له جوابان: الجذر ثلاثة والمال تسعة، أو الجذر سبعة والمال تسعة وأربعون؛ ويقول إن هذا الباب وحده «يعمل بالزيادة والنقصان جميعاً». ⁵ وإذا كان مربع نصف الأجذار أقل من العدد فالمسألة «مستحيلة»، وإذا ساواه فالجذر مثل نصف الأجذار. ⁶
• جذور وعدد تعدل أموالاً: مثاله «ثلاثة أجذار وأربعة من العدد تعدل مالاً»، فالجذر أربعة والمال ستة عشر. ⁶

يقول الخوارزمي إن الضروب الثلاثة الأولى لا تُنصّف فيها الأجذار، وإنه جعل لكل باب من الأبواب الثلاثة الباقية «صورة يستدل منها على العلة». ⁶ ففي مسألة المال والعشرة الأجذار يرسم المال سطحاً مربعاً مجهول الضلع، ويقسم العشرة الأجذار أربعة سطوح يضعها على أضلاعه، ثم يكمل الزوايا الأربع بمربعات صغيرة مجموعها خمسة وعشرون، فيصير السطح الأعظم أربعة وستين وضلعه ثمانية. ⁷ ويؤكد أن كل ما يعمل به من الجبر والمقابلة «لا بد أن يخرجك إلى أحد الأبواب الستة». ⁸ ثم يضع ست مسائل نموذجية، واحدة لكل ضرب، في «باب المسائل الست». ⁹

يكتب محققا طبعة القاهرة سنة 1939 هذه الضروب بالرموز الحديثة، ويشرحان أن الخوارزمي قسّم معادلات الدرجة الثانية إلى ثلاثة أنواع مقترنة لأن بحثه مقصور على الأعداد الموجبة. ^{3 2} ويريان أن الحالة التي سمّاها «مستحيلة» بقي اسمها هذا عند الرياضيين إلى أواخر القرن الثامن عشر، حين بدأ البحث في الكميات التخيلية. ⁶