الحساب الهندي بالأرقام العشرية (كتاب الخوارزمي في الحساب وأصل كلمة «الخوارزمية»)

الحساب الهندي طريقةٌ في كتابة الأعداد وحسابها بتسعة أرقام وصفر، تأخذ فيها كل خانة قيمتها من موضعها: آحاد ثم عشرات ثم مئات ثم ألوف. ألّف فيها محمد بن موسى الخوارزمي في بغداد كتاباً هو كتاب الحساب الهندي، دخلت به الأرقام الهندية والنظام العشري إلى العالم الإسلامي ¹. ضاع أصله العربي، وبقيت ترجمة لاتينية له من القرن الثاني عشر تبدأ بعبارة «Dixit Algorizmi»، أي «قال الخوارزمي» ¹. ومنها تعلّم الغرب الحساب، فصار اسم الخوارزمي اللاتيني «Algorismus» اسماً للأرقام نفسها، ومنه جاءت كلمة «algorithm» في لغات العالم ².

هو الحساب الذي نعرفه اليوم: تُكتب الأعداد بعشرة رموز، ويُجمع بها ويُطرح ويُضرب ويُقسم كتابةً بخطوات مرتبة. يقول محققا طبعة القاهرة لكتاب الجبر والمقابلة إن «طريقة الحساب الهندية بما في ذلك استخدام الصفر» إنما وصلت إلى الغرب عن طريق كتاب الخوارزمي في الحساب ²، وتقول موسوعة TDV إن الأرقام الهندية والنظام العشري دخلا العالم الإسلامي بهذا الكتاب نفسه ¹.

ويعرّف ابن خلدون صناعة الحساب بأنها «صناعة عملية في حسبان الأعداد بالضم والتفريق»: فالضم بالإفراد هو الجمع، وبالتضعيف هو الضرب، والتفريق بالإفراد هو الطرح، وبالتجزئة إلى أجزاء متساوية هو القسمة، في الصحيح من العدد وفي الكسور والجذور ³. والحساب الهندي هو أداء هذه الأعمال الأربعة بالأرقام المكتوبة في خاناتها.

الأرقام نفسها هندية كما يدل اسمها. وكان الحساب الهندي قد دخل بغداد قبل الخوارزمي في علم الفلك: تذكر موسوعة TDV أن وفداً هندياً جاء إلى بغداد نحو سنة 154 هـ (770–771م) في عهد أبي جعفر المنصور ومعه كتاب «سدهانتا» لبراهماغوبتا، أو كتاب بالاسم نفسه منبثق عنه، وأن كلمة «السند هند» تحريف للكلمة السنسكريتية «سدهانتا» ¹. وعلى هذا الكتاب قام زيج السند هند الذي صنعه الخوارزمي نفسه بعد ذلك ¹.

عاش الخوارزمي في بغداد في عهد المأمون. ينقل محققا طبعة القاهرة عن الفهرست لـابن النديم أن أصله من خوارزم، وأنه كان منقطعاً إلى خزانة الحكمة للمأمون، وأنه من أصحاب علوم الهيئة، وأن الناس كانوا يعوّلون على زيجيه المعروفين بالسند هند ⁴. ويستدلان من الفهرست ومن مقدمة كتاب الجبر على أنه عاصر المأمون، دون أن يمكن تعيين سنة مولده ووفاته ⁵. وتضيف موسوعة TDV أن الطبري يذكره في حوادث سنة 210 هـ، وأنه كان بين المنجّمين الذين دعاهم الخليفة الواثق في مرضه سنة 232 هـ، فهو قد توفي بعد سنة 232 هـ (847م) ¹.

وفي هذه البيئة ألّف الخوارزمي كتابه في الحساب الهندي. ويذكر محققا طبعة القاهرة «كتاب الحساب» بين أربعة كتب له لم يذكرها ابن النديم ⁵. أما موسوعة TDV فتقول إن أصله العربي مفقود، وإن ترجمة لاتينية له من القرن الثاني عشر وُجدت في مكتبة كامبريدج، فنشرها ب. بونكومپاني بعنوان «Algoritmi de numero indorum» (روما 1857)، ثم نشر كورت فوغل صورة المخطوطة نفسها (آلن 1963)، ثم نشر أندريه ألار نشرة نقدية مع ترجمة فرنسية بعنوان «الحساب الهندي» (باريس 1992) ¹. وتذكر الموسوعة أيضاً كتاباً آخر له مفقوداً هو «كتاب الجمع والتفريق»، نقل منه عبد القاهر بن طاهر البغدادي في «التكملة في الحساب»، ويظهر من النقل أنه في حساب اليد ¹.

لم يخترع الخوارزمي الأرقام الهندية، بل نقلها وعلّم الحساب بها. ففي سجل المتحف هو «ناقل» لهذه الطريقة: صاحب الكتاب الذي دخلت به العالم الإسلامي ¹، ثم الغرب في ترجمته اللاتينية ². يفتتح الخوارزمي مقدمة كتاب الجبر بحمد الله والصلاة على النبي ﷺ محمد وآله، ويسمّي المأمون «الإمام المأمون أمير المؤمنين»، ويختمها بالصلاة على جميع الأنبياء والمرسلين ⁶. وتذكر موسوعة TDV أن المؤرخ تومر استدل بهذه المقدمة على أنه كان سنياً، وتردّ ما بناه تومر على عبارة عند الطبري تسمّيه «المجوسي القطربّلي» بأنه خلط بين رجلين بسبب سقوط واو العطف بين اسميهما ¹.

في مقدمة كتاب الجبر يصف الخوارزمي بنفسه البناء العشري للأعداد. يقول إنه وجد جميع ما يحتاج إليه الناس من الحساب عدداً، ووجد الأعداد كلها مركبة من الواحد، ووجد ما يُلفظ به منها من الواحد إلى العشرة يخرج مخرج الواحد، ثم تُثنّى العشرة وتُثلّث كما فُعل بالواحد فتكون العشرون والثلاثون إلى تمام المئة، ثم تُثنّى المئة وتُثلّث إلى الألف، ثم يتردد الألف كذلك عند كل عقد إلى غاية ما يُدرك من العدد ⁷. وتصف موسوعة TDV هذا الموضع بأنه شرح مختصر لكيفية التعبير عن العدد في نظام منزلي أساسه العشرة ¹.

والأرقام الهندية تجعل هذا البناء مكتوباً: تسعة رموز للآحاد، وصفر يحفظ الخانة الفارغة، وكل رقم يأخذ قيمته من موضعه، فالرقم نفسه يكون واحداً أو عشرة أو مئة بحسب خانته. وبهذا تصير الأعمال الأربعة التي يعدّها ابن خلدون، الجمع والضرب والطرح والقسمة ³، خطوات تُكرَّر خانةً بعد خانة. وتقول موسوعة TDV إن الخوارزمي طبّق في كتاب الجبر طريقةً تشبه ما طبّقه على الحساب الهندي، فوضع العمليات في ترتيب متتابع، وإن هذه الطريقة سُمّيت فيما بعد باسمه «الخوارزمية» (algoritma)، أي تقنية الحساب المرتبة ¹.

لا نملك الأصل العربي لنتتبع نسخه في العالم الإسلامي، لكن موسوعة TDV تجعل هذا الكتاب الطريق الذي دخلت به الأرقام الهندية والنظام العشري إلى العالم الإسلامي ¹. ويقول ابن خلدون إن صناعة الحساب حادثة احتيج إليها في المعاملات، وإن الناس ألّفوا فيها كثيراً وتداولوها في الأمصار بتعليم الولدان ⁸. وفي القرن الثاني عشر تُرجم كتاب الخوارزمي إلى اللاتينية ¹، وتعلّم منه الغربيون الحساب ومن كتب بُنيت عليه ².

• الأرقام الهندية والنظام العشري المنزلي مع الصفر: دخلت العالم الإسلامي بكتاب الخوارزمي ¹، ومنه وصلت الطريقة الهندية مع الصفر إلى الغرب ².
• «سدهانتا» براهماغوبتا: جاء بها وفد هندي إلى بغداد نحو 154 هـ، وعليها قام زيج السند هند للخوارزمي ¹.

• الترجمة اللاتينية «Algoritmi de numero Indorum» من القرن الثاني عشر، ونشراتها عند بونكومپاني وفوغل وألار ¹.
• «Carmen de Algorismo» لألكسندر دي فيلا دي نحو 1220م، و**«Algorismus vulgaris»** لجون أوف هاليفاكس نحو 1250م: كلاهما مبني على كتاب محمد بن موسى في الحساب، وبقيا مرجعاً في تعليم الحساب قروناً ⁹.
• اسم الأرقام «Algorismus» في اللاتينية حتى أوائل القرن الثامن عشر، والكلمة الإسبانية «guarismo» بمعنى الرقم ².
• كلمة «algorithm» بمعنى الطريقة المرتبة في حل المسائل ².

الحساب حاجة يومية: يقول ابن خلدون إن صناعة الحساب حادثة احتيج إليها للحسبان في المعاملات، وإنها كانت تُعلَّم للولدان في الأمصار، وإن من أحسن التعليم الابتداء بها لأنها معارف واضحة وبراهين منتظمة ⁸. ويذكر من كتبها بالمغرب في عصره كتاب الحصار الصغير، وتلخيص ابن البناء المراكشي وشرحه «رفع الحجاب» ⁸. وهي حاجة يذكرها الخوارزمي نفسه حين يقول إنه ألّف كتاب الجبر لما يلزم الناس من الحساب في مواريثهم ووصاياهم وتجاراتهم ومساحة الأرضين ⁷.

يقول محققا طبعة القاهرة إن الغربيين تعلموا الحساب من ترجمة كتاب الخوارزمي اللاتينية ومن كتب بُنيت عليه، وإن كتابَي ألكسندر دي فيلا دي وجون أوف هاليفاكس بقيا مرجعاً في تعليمه قروناً ⁹، وينتهيان إلى أن الخوارزمي «وضع علم الجبر وعلمه وعلم الحساب للناس أجمعين» ¹⁰. فالأرقام التي يكتبها العالم اليوم مرّت من الهند إلى بغداد، ومن بغداد إلى أوروبا، بكتاب واحد يحمل اسمه.

يسجّل المتحف عمل الخوارزمي هنا «نقلاً» لا اختراعاً. فالأرقام والنظام العشري هنديان، وقد كان الحساب الهندي في بغداد قبله مع «سدهانتا» براهماغوبتا ¹. والجديد عند الخوارزمي كتابٌ يعلّم الحساب بهذه الأرقام، دخلت به إلى العالم الإسلامي ¹، ووصلت به إلى الغرب ²، حتى صار اسمه اسماً لها.

تُكتب الأعداد اليوم في أغلب العالم بالأرقام العشرية العشرة، ويُحسب بها بالخطوات المرتبة نفسها. وكلمة «algorithm» التي هي تحريف لاسم الخوارزمي ² صارت اسم كل خطوات مرتبة يتبعها الحاسوب. والترجمة اللاتينية لكتابه منشورة في طبعات بونكومپاني (1857) وفوغل (1963) وألار (1992) ¹.

أصل الكتاب العربي مفقود. وأقدم ما بقي منه الترجمة اللاتينية من القرن الثاني عشر في مكتبة كامبريدج ¹. والصورة في هذه الصفحة هي الصفحة الأولى من هذه المخطوطة (مكتبة جامعة كامبريدج، Ii.6.5)، مصوّرة من طبعة فوغل، وتبدأ بعبارة «DIXIT algorizmi» ¹¹.

صار اسم الخوارزمي كلمة في معاجم أغلب لغات العالم: ففي الإنجليزية «algorithm» للطريقة المرتبة في حل المسائل، واستعمل الشاعر الإنجليزي تشوسر كلمة «augrim» للدلالة على الصفر، وكانت الأرقام تسمى في اللاتينية «Algorismus» حتى أوائل القرن الثامن عشر، والإسبانية تسمي الرقم «guarismo» ². وتذكر موسوعة TDV أن المصادر اللاتينية تكتب اسمه Alkarismi وAlgoritmi وAlgorismi وAlgorism ¹.

قبل نحو ألف ومئتي سنة كتب عالم في بغداد اسمه الخوارزمي كتاباً يعلّم الناس الحساب بتسعة أرقام جاءت من الهند، ومعها الصفر. بهذه الأرقام يكفي أن تغيّر مكان الرقم لتتغير قيمته: فالواحد قد يكون واحداً أو عشرة أو مئة! تُرجم كتابه إلى اللاتينية، فتعلّم منه الناس في أوروبا الحساب، وصار اسمه كلمة نستعملها اليوم: «algorithm»، أي الخطوات المرتبة التي يتبعها الحاسوب ^{1 2}.

• إحسان فضل أوغلو، «HÂRİZMÎ, Muhammed b. Mûsâ»، موسوعة TDV الإسلامية، المجلد 16 (إسطنبول 1997)، ص 224–227، النسخة الإلكترونية. ¹
• محمد بن موسى الخوارزمي، كتاب الجبر والمقابلة، تحقيق علي مصطفى مشرفة ومحمد مرسي أحمد، القاهرة 1939: مقدمة المحققين، ص 22–26 من المسح؛ مقدمة المؤلف، ص 29–30 من المسح. ¹²
• عبد الرحمن بن خلدون، المقدمة، ص 494–495، فصل «علم الحساب». ¹³
• ويكيميديا كومنز، «Dixit algorizmi.png»، ملك عام، مكتبة جامعة كامبريدج Ii.6.5. ¹¹