صحیح عددی جوابوں کی ابو کامل کی منظم گنتی

جنگیز آئدن کے مطابق ابو کامل نے طرائف الحساب میں ایک جواب پر رکنے کے بجائے متعدد صحیح عددی جواب تلاش کیے۔ مسائل کو تین سے پانچ نامعلوم والی دو خطی مساوات تک لایا جا سکتا ہے۔ یہ جوابوں کی تنظیم اور گنتی کی خدمت ہے، ہر پرندوں کے معمے یا ہر عددی مساوات کی ایجاد نہیں ¹۔

یہ ان کی غیر ناطق معاملات والی الجبرا سے الگ ہے۔ یہاں تعداد صحیح عدد ہونی چاہیے کیونکہ پورے پرندے گنے جاتے ہیں، اگرچہ قیمتیں کسر ہوں۔ ہم واضح شرطوں کا جدید نمونہ جانچتے اور اس کی گنتی کو مختلف منقول تاریخی عددوں سے الگ رکھتے ہیں۔ عجائب گھر کا درست حساب اکیلا مخطوطے کی قراءت کی تصدیق نہیں کرتا ^{1 2}۔

غیر معین ہونے کا مطلب بے قید ہونا نہیں۔ نامعلوم مساوات سے زیادہ ہوں تب بھی صحیح، مثبت اور محدود تعداد کی شرطیں جوابوں کو محدود مجموعے میں رکھ سکتی ہیں۔ آئدن صحیح جوابوں کی جستجو اور محض مساوات پوری کرنے والی کسروں پر اکتفا میں فرق کرتے، طریقے کو منظم الجبرائی قرار دیتے ہیں ¹۔

پرندوں کے نمونے میں کل تعداد اور کل لاگت دونوں پوری کرنا ہوتی ہیں۔ سو پرندے خریدنا کافی نہیں اگر قیمت غلط ہو، اور پوری رقم خرچ کرنا کافی نہیں اگر پرندے کم ہوں۔ یہ بھی پہلے بتانا ہے کہ کسی قسم کی تعداد صفر ہو سکتی ہے یا ہر قسم موجود ہونی چاہیے۔ صفر کی اجازت سوال بدلتی ہے، صرف جواب کی لکھائی نہیں۔

آئدن دیوفانتس اور آریہ بھٹ سے وابستہ ہندی مسائل بیان کرتے اور نسبتی جوابوں کے مقابل تمام صحیح جواب تلاش کرنے کا فرق نمایاں کرتے ہیں۔ یہ پیش رو اس داستان کو روکتے ہیں کہ ایک شخص نے ہر غیر معین مسئلہ تنہا ایجاد کیا۔ مسئلے کو دیوفانتی کہنا بھی کسی خاص کتاب سے ہر طریقے کے براہ راست اخذ کا ثبوت نہیں ¹۔

میک ٹیوٹر سیسیانو کا استدلال نقل کرتا ہے کہ ابو کامل کے بعض طریقے اریثمطیقا کی معلوم کتابوں میں نہیں ملتے۔ یہ پڑھی ہوئی سوانح کے ذریعے مؤرخ کی رائے ہے، ہماری تمام نسخوں کی نئی مقابلہ خوانی نہیں۔ «جو معلوم ہے» اور «جو متن بچا ہے» جیسے قید والے الفاظ دعوائے اولیت کا حصہ رہتے ہیں ³۔

آئدن طرائف کو الگ درج کتاب الطیر سے ممتاز کرتے ہیں جس کے مضمون کو نامعلوم کہتے ہیں۔ کسی مثال میں پرندے ہونے یا کسی جدید خلاصے کے اس عنوان کے استعمال سے دونوں کتابیں ضم نہیں ہوتیں۔ اسی طرح ہر حسابی مسئلہ الجبرا یا پیمائش کی کتاب کا وہی حصہ نہیں؛ ہر تصنیف کا اپنا تعارف اور ثبوت چاہیے ⁴۔

میک ٹیوٹر زندگی کی معلومات کم بتاتا اور تقریباً850 سے تقریباً930 کا زمانی اندازہ دیتا ہے۔ لہٰذا نویں صدی کے اواخر اور دسویں کے اوائل کا افق سیاق ہے، ایجاد کا متعین دن نہیں۔ مصنف کا مصری ہونا ہر مسئلے کے لیے قاہرہ کا خاص بازار، کارگاہ یا مقام تحریر ثابت نہیں کرتا ⁵۔

ابو کامل کی فردی مسلم بنیاد میک ٹیوٹر کی صریح شناخت سے درج ہے؛ عجائب گھر کا سنی فریم الگ واضح ہے۔ کسی ہندی مسئلے کی مشابہت یا کتاب کا نام ان کا نیا شخصی مسلک نہیں بتاتا۔ یہ اندراج موجودہ سوانح اور سابق خدمت کو محفوظ رکھتا، اس موضوع کے لیے ان کی شناخت بدلتا نہیں ^{6 7}۔

آئدن ہندی مسائل کی واقفیت اور ان کے طریقوں کی واقفیت میں فرق، اور مؤخر الذکر پر اختلاف رکھتے ہیں۔ مشابہت اور ایک نامعلوم شارح کا بیان مصنف کا دستخط شدہ اقرار انتقال نہیں۔ رائے صاحب رائے کو منسوب ہے؛ محض ایک جیسے پرندوں کے منظر سے استقلال یا انحصار کا قطعی فیصلہ نہیں ہوتا ¹۔

یہ پروف ویکی کی جدید توضیح ہے، ہمارا دیکھا ہوا اصل جدول نہیں: سو پرندے سو سکوں میں، پانچ فی پرندہ قیمتیں2،1،1/2،1/3،1/4۔ مقداریںx,y,z,w,v ہوں توx+y+z+w+v=100 اور2x+y+z/2+w/3+v/4=100۔ یہ علامتیں اور تحریر جدید تدریسی انداز ہیں ⁸۔

قیمت کی مساوات کو12 سے ضرب دیں:24x+12y+6z+4w+3v=1200۔ اس میں سے تعداد کی مساوات کا بارہ گنا نکالیں تو12x=6z+8w+9v، پھرy=100−x−z−w−v ملتا ہے۔ ہمz,w,v کو کل تعداد کی حد میں گنتے، صرف صحیحx اور مثبتy قبول کرتے ہیں۔ یہ نمونے کی ہماری مستقل جانچ ہے، قدیم طریقے کے اصل سطروں کی بازتعمیر نہیں۔

خماسی(4,90,1,3,2) درست ہے: تعداد100، قیمت8+90+1/2+1+1/2=100۔ دوسری(7,83,1,3,6) بھی درست ہے۔ مگر دونوں کا اوسط(5.5,86.5,1,3,4) مساوات پوری کر کے بھی پورے پرندوں کی خرید نہیں۔ صرف الجبرائی مساوات کا درست ہونا صحیح عدد کی شرط ختم نہیں کرتا۔

ہر قسم کی موجودگی لازم ہو تو ہماری جدید گنتی2678 مثبت جواب دیتی ہے؛ صفر کی اجازت پر3727 غیر منفی جواب۔ مؤخر الذکر میں(0,100,0,0,0) شامل ہے: صرف ایک قیمت والا نوع۔ یہ ایک ہی سوال کے دو متصادم جواب نہیں، مختلف قیدوں کے دو سوال ہیں۔ کسی منقول عدد سے اتفاق بھی اکیلا اصل مخطوطے کی قراءت ثابت نہیں کرتا۔

مختصر مساوات پہلے دو قیدیں دکھاتی ہے: دوسرے اجزا جفت ہیں، اس لیےv جفت ہونا چاہیے؛3 پر باقی دیکھیں توw تین کا مضرب ہونا چاہیے۔w=3b اورv=2c لکھنے سے2x=z+4b+3c ملتا ہے، لہٰذاz+c بھی جفت ہے۔ یہ ہمارے نمونے کے اخذ کردہ قاعدے ہیں، نہ پڑھے مخطوطے کی طرف منسوب نہیں۔ تقسیم پذیری کافی بھی نہیں: کل تعداد کی حد اور مثبتy کی شرط الگ جانچنی ہوتی ہے۔

آئدن مردخائے فنتسی سے وابستہ عبرانی ترجمے کی خبر دیتے، عربی سے براہ راست ہونے کے بجائے ممکنہ ہسپانوی واسطے کی رائے بھی رکھتے ہیں۔ سوتر سے منسوب لاطینی نسخے کا بیان بھی ہے۔ یہ منسوب علمی خبریں ہیں، ہماری اصل نسخوں کے تقابل سے ثابت نئی زنجیر نہیں ⁹۔

میک ٹیوٹر ابو کامل کے کام کے کرجی اور فیبوناچی تک وسیع اثر کا ذکر کرتا ہے۔ اس عام استقبال کو یہی پانچ قیمتوں والا جدول کسی خاص راستے سے پہنچنے کا ثبوت نہیں بناتے۔ ملتا جلتا مسئلہ یا عدد اکیلا نہیں بتاتا کہ کسی قاری نے کون سا نسخہ لیا؛ محدود دعوے کے لیے محدود اور متعین ثبوت درکار ہے ¹⁰۔

بنیاد خطی مساوات، صحیح مقداریں اور ممکنہ کسری قیمتیں ہیں۔ آدھا سکہ آدھے پرندے کا تقاضا نہیں: گنے جانے والے پرندوں کی تعداد صحیح ہونی چاہیے، قیمت کے ہر معامل کا صحیح ہونا ضروری نہیں۔ آئدن پرندوں کے ساتھ دوسرے اشیا اور اشخاص کو متبادل معدود بتاتے اور مسائل کی رائج روایت بیان کرتے ہیں ¹۔

وہ نامعلوم کے لفظی نام، مثلاً شے، دینار، فلس اور خاتم، اور عموماً الفاظ میں عدد لکھنے کا ذکر کرتے، جدول اور بعض ہندسوں کو مستثنیٰ رکھتے ہیں۔ ہم اس سے جدیدx,y کے تاریخی استعمال یا ہر مالی لفظ کے لازماً حقیقی سکے ہونے کا دعویٰ نہیں بناتے؛ یہاں لفظ نامعلوم کا نام بھی ہو سکتا ہے ¹¹۔

جدید قاری دیکھ سکتا ہے کہ کئی نامعلوم والی دو مساوات پر حد، صحت عدد اور مثبت ہونے کی شرطیں کیسے اثر کرتی ہیں۔ اس موازنے کا مطلب پوری جدید خطی پروگرامنگ ابو کامل کی ایجاد قرار دینا نہیں۔ موجودہ آلہ حساب کی جانچ کرتا ہے، ہر اصلاحی پروگرام کا براہ راست تاریخی نسب نہیں دکھاتا۔

ہماری جانچ دو الگ تعداد نکالنے والے طریقوں سے ہوتی اور لاگت کو12 سے ضرب دے کر اعشاری تقریب سے بچاتی ہے۔ صرف2678 چھاپ دینا کافی نہیں؛ ہر خماسی دونوں شرطیں پوری کرے، ایک بار آئے اور آزاد طریقے سے نکالے مکمل مجموعے سے ملے۔ یہ جدید جانچ کے معیار ہیں، مصنف کے کمپیوٹر یا ہماری علامتوں کے استعمال کا دعویٰ نہیں۔

خریداری کا منظر قیدیں سمجھانا آسان کرتا ہے، مگر پڑھے ہوئے ذرائع ان قیمتوں کا واقعی بازار یا طریقے سے ناپا ہوا تجارتی منافع نہیں بتاتے۔ تصویر تجارت کی تاریخی دستاویز نہیں۔ آئدن کے متبادل معدود مسئلے کی ریاضیاتی ساخت کو کہانی کی جنس سے الگ کرنے میں مدد دیتے ہیں ¹۔

تدریسی فرق سادہ ہے: ایک جواب ملنا سب جواب ملنے سے الگ ہے۔ طالب علم ایک درست خرید جانچ کر پوچھ سکتا ہے کہ اس مثال سے کیا باقی رہا۔ یہ سوال کی ساخت سے ملنے والا سبق ہے، قدیم مدرسوں کی فرضی تعداد یا تجارت میں وقت بچنے کا غیر ماخذی حساب نہیں۔

آئدن اس کام کی اہمیت متعدد صحیح جوابوں والے مسائل کے منظم مطالعے میں دیکھتے، ایک جواب پر قناعت سے فرق کرتے ہیں۔ میک ٹیوٹر کے ذریعے سیسیانو کی بحث ان طریقوں کو قابل مطالعہ بناتی ہے، بغیر اس دعوے کے کہ ہر مسئلہ اور خیال یہیں شروع ہوا۔ خدمت اور اس کی حدیں دونوں بیان کا حصہ ہیں ^{1 3}۔

یہ غیر ناطق معاملات تک الجبرا کی توسیع سے بھی الگ ہے: وہاں مساوات میں قبول مقداروں کی نوعیت، یہاں قابل قبول جوابوں کا مجموعہ زیر بحث ہے۔ قیمتوں میں کسر آنے سے یہ سابق جذر والی مثال کا نیا نام نہیں بنتا۔ الگ سوال اور الگ کتاب مستقل اندراج کا جواز دیتے ہیں ¹²۔

واضح سنی فریم: موجودہ ماخذی فردی مسلم بنیاد اولیت کے فیصلے سے الگ رہتی ہے۔ علمی مطالعہ: آئدن پیش رو اور ہندی طریقوں پر انحصار کا اختلاف رکھتے ہیں؛ میک ٹیوٹر معلوم متون سے مشروط سیسیانو کی رائے دیتا ہے۔ عجائب گھر مطلق عالمی اولیت یا ہر طریقے کا ثابت براہ راست راستہ طے نہیں کرتا ^{13 1}۔

تاریخی جوابوں کی تعداد بھی آسان آن لائن عدد چن کر طے نہیں ہوتی۔ پروف ویکی2696 لکھتا اور جدید بیانات میں2676،2678،2698 کے اختلاف گنواتا ہے۔ ہماری متعین شرطوں کی گنتی ایک نمونہ سمجھاتی، ہر ناسخ کی تحریر یا ہر نسخے کے اختلاف کا سبب نہیں بتاتی ¹⁴۔

2678 اور3727 کا موازنہ بظاہر چھوٹی شرط کا اثر دکھاتا ہے: کیا کوئی قسم غائب ہو سکتی ہے؟ دو پروگراموں کا مقابلہ تب درست نہیں جب یہ قاعدہ بدل جائے۔ خماسی اقسام کی مقداریں گنتی ہے، قطار میں انفرادی پرندوں کی ترتیب نہیں؛ ایک نوع کے دو پرندے بدلنے سے نظام کا نیا حل نہیں بنتا۔

سیاقی تصویر ایک جدید سرمئی کبوتر کو بائیں رخ دکھاتی ہے، نارنجی سرخ آنکھ، چونچ کے اوپر سفید ابھار اور گردن کے رنگ بدلتے پر نمایاں ہیں۔ یہ سو پرندے یا ہر قدیم نام کی حیاتیاتی شناخت کا ثبوت نہیں۔ مثال سے مناسبت جدید تصویر کو مصنف کی زندگی کا محفوظ واقعہ نہیں بناتی ¹⁵۔

ہم نے میک ٹیوٹر اور آئدن پڑھے، اصل مخطوطے، سعیدان کی1986 کی طباعت یا سیسیانو کی پوری تحقیق نہیں۔ آئدن ایک مقام پر ایک محفوظ مخطوطہ، بعد میں لائڈن اور پیرس کے شواہد بتاتے ہیں۔ یہ منقول تناؤ محفوظ ہے؛ ہم نے نہ کیے ہوئے تقابل سے مخطوطوں کی حتمی فہرست نہیں بنائی ¹⁶۔

دوری کی تصویر28مارچ2008، سانتا باربرا کی اورCC BY-SA3.0US کے تحت ہے؛ اصلJPG بغیر تبدیلی استعمال ہوتا ہے۔ اصل تصویر اور حقوق دیکھے گئے، امریکی اجازت نامہ غیر معلن عمومی نسخے سے نہیں بدلا۔ تصویر کے حقوق اور موضوع کتاب کی تصدیق یا اس کے جواب گننے سے الگ سوال ہیں ¹⁷۔

دلچسپ معما وجود حل اور تکمیل جوابوں کے درمیان گہرا فرق دکھا سکتا ہے۔ پرندوں کا منظر اکیلا اقوام کے درمیان علمی انتقال ثابت نہیں کرتا۔ اسی لیے علمی مشابہت اور اختلاف کی بحث محفوظ ہے، ایک جیسی جنس کو ایک ہی طریقہ قرار دینے والی آسان داستان اس کی جگہ نہیں لیتی ¹۔

وضاحت کو فرضی دربار یا مصنف کو تمام جدید گنتی کا بانی بنانے والے لقب کی ضرورت نہیں۔ قاری شرطوں پر واپس آ کر دیکھ سکتا ہے کہ کچھ خماسیاں کیوں منظور اور دوسری کیوں نامنظور ہیں۔ تصویر فہم کی رفیق ہے، مصنف کی صورت یا اصل صفحہ دیکھنے کی گھڑی ہوئی شہادت نہیں۔

خماسی(4,90,1,3,2) دو مرتبہ جانچیں: ایک بار تعداد، دوسری بار قیمت۔ پھر پوچھیں کیا کسی قسم کی غیر موجودگی جائز ہے؟ اگر نہیں تو(0,100,0,0,0) تعداد اور لاگت درست ہونے کے باوجود ممنوع ہے۔ تلاش شروع ہونے سے پہلے کھیل کی شرطیں لکھیں اور دوسرا نتیجہ آنے پر انہیں نہ بدلیں۔

جواب آسان بنانے کے لیے پرندہ آدھا نہ کریں۔ سکے کی مقدار کسر ہو سکتی ہے مگر یہاں پرندوں کی تعداد صحیح چاہیے۔ دوسرا جواب ڈھونڈیں، پھر سب جوابوں کا سوال کریں۔ یہ آئدن کے بیان کردہ مسئلے سے متاثر جدید مشق ہے، ابو کامل کے منہ میں ڈالا ہوا اصل جدول نہیں ^{1 8}۔

• آئدن:تصنیف، صحیح جواب اور نسخے ¹۔
• میک ٹیوٹر:سوانح اور منقول سیسیانو استدلال ³۔
• پروف ویکی:جدید قیمتیں اور مختلف گنتیاں ²۔
• کامنز:دوری کی تصویر اور حقوق ¹⁷۔