الکرجی کا دو رکنی قوتوں کے ضریب کا تکراری قاعدہ

دو مقداروں کے مجموعے کو بار بار خود اسی سے ضرب دیں تو نتیجے میں آنے والے اعداد کیسے معلوم ہوں؟ مصادر ابو بکر الکرجی سے ایک قاعدہ منسوب کرتے ہیں جو جدول کے متجاور اعداد کو جمع کرکے ضریب پیدا کرتا ہے؛ سموأل المغربی اس اصل حساب کا بیان محفوظ کرتے ہیں جو اب باقی نہیں رہا ^{1 2}۔ اس کا سیاق گیارہویں صدی کے ابتدائی بغداد کا الجبرا ہے، لیکن مخصوص گم شدہ متن کی تحریر کا دقیق وقت اور مقام یہاں ثابت نہیں ^{1 2}۔ ہم اسے ضریب بنانے کی ایک متعین بہتری کہتے ہیں، پورے الجبرا کی ایجاد یا دنیا کا پہلا حسابی مثلث نہیں ^{1 3}۔

یہاں دو رکنی عبارت سے مراد دو حصوں کا مجموعہ ہے؛ ضریب بتاتا ہے کہ ہم جنس حدیں جمع کرنے کے بعد کوئی خاص حاصل ضرب کتنی بار شامل ہوا، جس کی منقول بیان میں مربع کے لیے ایک، دو، ایک کی مثال ہے ¹۔ جدید تدریسی رموز میں ہم(a+b) لکھتے ہیں، جس کا مربعa²+2ab+b² ہے؛ یہ حروف اور اس انداز کے بالائی اسس کرجی کے مخطوطے کی نقل نہیں ¹۔ اس صفحے کی خاص بات اگلی قوت کے ضریب کی فہرست نکالنے کا طریقہ ہے، نہ کہ مرکب عبارتوں کے تمام عملیات کو دوبارہ ایک ایجاد شمار کرنا ¹۔ ساتھ کی جدید تصویر چھ صفیں دکھاتی ہے، جب کہ تاریخی شاہد ایک جدول کی تعمیر بیان کرتا ہے جسے پہلو پر رکھا ہوا مثلث سمجھ سکتے ہیں ^{4 1}۔

نامعلوم مقداروں کا حساب کرجی سے شروع نہیں ہوا: میک ٹیوٹر ان کے کام کو خوارزمی اور دوسرے عربی جبری مصنفین کی روایت میں رکھتا ہے، اور دیوفنطس کے حسابی اثر کو بھی بیان کرتا ہے ¹۔ سموأل کی سوانح ان کی پڑھی ہوئی کتابوں میں ابو کامل کو بھی شامل کرتی ہے، جن کے بعد انہوں نے اپنا کام آگے بڑھایا ⁵۔ اس عربی ترتیب سے باہر جین ریاضی کی تاریخ توافیق اور تبادلات کے قواعد، توافیق اور دو رکنی ضریب کے تعلق، اور ایک قدیم تصنیف کی دسویں صدی کی شرح میں مثلث بیان کرتی ہے ³۔ یہ پہلے یا متوازی ہندوستانی ضریب کی روایت کا ثبوت ہے، اس خاص شرح کے کرجی تک پہنچنے کی دستاویز نہیں ^{3 1}۔ ملتے جلتے خاکے اپنے آپ میں سفر یا ترجمے کی کہانی فراہم نہیں کرتے۔

میک ٹیوٹر بتاتا ہے کہ کرجی نے الفخری میں مجموعے کا مکعب، اور البدیع میں فرق کا مکعب اور مجموعے کی چوتھی قوت نکالی؛ جدول کی عمومی تعمیر سموأل کی بعد کی تحریر میں محفوظ ہے ¹۔ عادل انبوبا کا علمی سوانح کے معجم والا مقالہ ضریب کا حساب1007 کے بعد کا کام کہتا ہے، اور البدیع کی ایک طباعت کا حوالہ دیتا ہے جسے ہم نے الگ خود نہیں پڑھا ²۔ اس حوالے کو کسی مکمل محفوظ اصل کتاب کی دقیق تاریخ تحریر نہیں بنایا گیا ²۔ سموأل کرجی کے کام سے متاثر تھے مگر اس میں کمیاں بھی دیکھتے تھے اور بہتریاں تلاش کرتے تھے؛ سوانح الباہر فی الجبر کو نوجوانی کی تصنیف کہتی ہیں جس میں بعد کی مراجعتیں ممکن ہیں ^{5 2}۔ اس طرح تحفظ کی کہانی ایک بعد کے مصنف کے اپنے بڑے جبری منصوبے میں سابق مصنف کو نام سے یاد کرنے کی ہے، دونوں کی ثابت شدہ ذاتی ملاقات کی نہیں۔

اس اندراج میں کرجی کا کردار بہتری لانے والے کا ہے: پہلے سے موجود روایت میں قوتوں کے ضریب کی تکراری تعمیر ان کے نام سے منسوب ہے، تمام توافیق اور مثلثوں کی عالمی اولیت ان کی طرف نہیں کی گئی ^{1 3}۔ عطائی آشتیانی اور سمنز انہیں نام لے کر مسلمان ریاضی دان اور انجینئر کہتے ہیں، لیکن ان کا ذاتی مذہبی مسلک ثابت نہیں کرتے ⁶۔ الگ اعلان کردہ سنی فریم متحف کا ہے؛ بویہی سرپرستی اور بغداد کا ماحول فرد کے عقیدے کی شہادت سے الگ رہتے ہیں ⁷۔ سموأل کا یہاں کردار ناقل ہے: ان کی سوانح ابتدائی الباہر کو نوجوانی میں اور قبول اسلام کو1163 میں رکھتی ہے، اس لیے کتاب کے ہر جملے کو اسلامی دور کی تصنیف یا ان کا ذاتی سنی مسلک فرض نہیں کرتے ^{5 2}۔

میک ٹیوٹر میں دیا ہوا ترجمہ ایک کے اعداد سے شروع ہوتا اور مربع کے لیے1،2،1 بناتا ہے؛ دونوں سرے ہر حصے کا مربع اور درمیان دونوں حصوں کی دو بار ضرب ظاہر کرتے ہیں ¹۔ اگلی فہرست کے لیے دونوں سروں پر ایک باقی رکھیں، ایک اور دو جمع کرکے تین، اور پھر دو اور ایک جمع کرکے دوسرا تین حاصل کریں؛ یوں1،3،3،1 بنتا ہے ¹۔ فہرست بنانے میں کسی بڑے عاملی عدد سے تقسیم یا ہر ضریب کی الگ تلاش درکار نہیں؛ متجاور اعداد کا جمع ہی شاہد کا بیان کردہ طریقہ ہے ¹۔

جدید تشکیل میں قوتn کے مقامk کا ضریبC(n,k) کہہ سکتے ہیں؛ اندرونی قاعدہC(n+1,k)=C(n,k−1)+C(n,k) اور دونوں سروں کا ضریب ایک ہوگا ¹۔ یہ اشاریہ اور علامتیں سمجھانے کا وسیلہ ہیں، مصنف کے الفاظ یا ان کے جدید صفر والی صف کا تعریف نامہ لکھنے کا ثبوت نہیں ¹۔ جب(a+b)³ کو(a+b) سے ضرب دیں تو ہر اندرونی حد دو طرف سے بنتی ہے: پچھلی ایک حد کوa سے اور اس کے پڑوسی کوb سے ضرب دے کر؛ اسی لیے دونوں کے ضریب جمع ہوتے ہیں ¹۔1،3،3،1 سے چوتھی قوت کے لیے1،4،6،4،1، پھر پانچویں کے لیے1،5،10،10،5،1 ملتا ہے، اور یہی جدید تصویر کی آخری صف ہے ^{1 4}۔

سمجھانے کے لیےa=2 اورb=3 لیں؛ یہ اعداد متحف کا انتخاب ہیں، مصنف کی تاریخی مثال نہیں: مربع4+12+9=25 اور مکعب8+36+54+27=125 دیتا ہے ¹۔ چوتھی قوت کی فہرست16+96+216+216+81=625 دیتی ہے، جو5⁴ سے ملتا ہے ¹۔ عددی جانچ ضریب کی ذمہ داری سمجھاتی ہے، لیکن اکیلی ہر قوت کے لیے قاعدہ ثابت نہیں کرتی؛ میک ٹیوٹر ابتدائی مسلسل دلیل کو ریاضیاتی استقرا کی سخت اور مکمل توضیح سے الگ کرتا ہے ¹۔ یہاں صحیح عدد کی محدود قوتیں موضوع ہیں، منفی یا کسری اس کی لا متناہی سلسلہ نہیں ^{1 8}۔

تقارن شاہد کی فہرستیں جانچنے کا ایک اور طریقہ ہے:1،3،3،1 دونوں طرف سے یکساں ہے، جیسے دکھائی ہوئی چوتھی اور پانچویں قوت کی صفیں ^{1 4}۔ جدید تشکیل میں دونوں حصوں کے نام بدلنے سے حدوں کا ترتیب بدلتا ہے، مجموعہ نہیں؛ اس لیے تقارن تدریسی جانچ ہے، مصنف سے کسی مزید غیر ثابت قضیے کی نسبت نہیں ¹۔ ضریب کی تعداد اس سے ایک زیادہ ہے، کیونکہ اندرونی شمولیت کے ساتھ دونوں آخری حدیں بھی باقی رہتی ہیں ⁴۔

پڑھے ہوئے مصادر میں ثابت انتقال متنی ہے: کرجی کے کام سے الباہر میں سموأل کا بیان، نہ کہ ہر مخطوطے کی تاریخ وار منزلوں کا نقشہ ^{5 2}۔ انبوبا کہتے ہیں کہ عربی الجبرا پر الباہر کے اثر کا تعین مشکل ہے، کاشی کی مفتاح الحساب پر بالواسطہ اور محدود اثر تجویز کرتے ہیں، اور کتاب کو مغرب میں بظاہر نامعلوم کہتے ہیں ²۔ یہ مؤرخ کی تعبیرات ہیں، متحف کی طرف سے ہر ممکن انتقال کے نہ ہونے کا ثبوت نہیں ²۔ سموأل کے عراق، شام اور دوسرے علاقوں کے سفر بھی اس جدول کا مصدقہ راستہ نہیں بنا دیے گئے، کیونکہ سوانح ہر سفر کو الباہر کے کسی نسخے سے نہیں جوڑتی ⁵۔

عملی بنیاد الجبرا میں حدوں کا ضرب اور ہم جنس حدوں کا جمع ہے، جسے کرجی کی سوانح مرکب مقداروں کے حساب میں بیان کرتی ہے ¹۔ ضرب ضریب کا معنی واضح کرتی ہے، جب کہ تکراری قاعدہ اگلے ضریب نکالتا ہے؛ یہ پورے جبری کارنامے کے دو بدل نام نہیں ¹۔ مفہومی خاکے میں کرجی کا عمومی حساب اور پہلے الجبرا کا سیاق، پھر خاص قاعدہ، پھر الباہر کا شاہد آتا ہے ^{1 5}۔ ہندوستانی روایت کو گھڑی ہوئی سببی زنجیر میں نہیں رکھا: وہ اوپر تاریخی موازنے میں اپنی شہادت کی واضح حد کے ساتھ ہے ³۔

سب سے قریب ثابت بعد کا استعمال سموأل کا اس بیان کو اپنے عملیات، مساوات اور مجموعوں کے وسیع بحث میں شامل کرنا ہے ⁵۔ چین کے لیے میک ٹیوٹر جیا شیان کی جدول بیان کرتا ہے جو یانگ ہوئی کی1261 کی وضاحت سے معلوم ہے؛ اس میں چھٹی قوت کی صف اور ہر مقام کے اوپر والے دونوں اعداد کا جمع شامل ہے ⁹۔ یہ ملتا جلتا کام ہے، کرجی سے لینے کا ثابت شدہ تابع نہیں ^{9 1}۔ پاسکال کی سوانح ان کے مثلث والے کام کو والیس کے ذریعے نیوٹن کی منفی اور کسری قوتوں کی توسیع سے جوڑتی ہے؛ پڑھے ہوئے حصے میں بغداد سے اس یورپی تحقیق تک کوئی راستہ نہیں ⁸۔ اسی لیے بعد کی توسیع اس اندراج کی محدود قوتوں سے الگ رہتی ہے۔

جو اثر اعتماد سے بیان کرسکتے ہیں وہ حساب کرنے والے اور سیکھنے والے کے کام میں ہے: الگ الگ جوابات کی فہرست دینے کے بجائے متجاور اعداد جمع کرکے اگلی قوت کے ضریب بنانا اور انہیں ضرب سے جوڑنا ¹۔ میک ٹیوٹر وضاحت کو پانچویں قوت تک لے جاتا ہے، اس لیے قاری نمونہ خود آگے بڑھا سکتا ہے ¹۔ پڑھے ہوئے مصادر اس قاعدے سے کام کے گھنٹوں یا بازار کے اخراجات میں کمی نہیں ناپتے، نہ اسے ہر تاجر کا روزانہ استعمال ثابت کرتے ہیں ^{1 2}۔ حساب کے عام فوائد اس خاص طریقے سے بلا شہادت نہیں جوڑنے چاہییں، نہ بعد کے ریاضیاتی استعمال بغداد کے لوگوں کی طرف لوٹانے چاہییں۔

سموأل کی تحریر ایک گم شدہ اصل حساب کا مواد محفوظ کرتی ہے؛ تاریخی اہمیت صرف شکل کے باقی رہنے کی نہیں، اس کی نسبت اور بنانے کے بیان کے محفوظ رہنے کی بھی ہے ^{2 1}۔ میک ٹیوٹر ایک حالت سے اگلی تک متواتر دلیل کو استقرائی برہان سمجھنے کی اہم پیش رفت کہتا ہے، مگر اسے مکمل جدید اصول استقرا کے برابر نہیں کرتا ¹۔1،3،3،1 کے اعداد جاننا اور اگلی قوتیں بنانے کے طریقے کا ضرب سے تعلق سمجھانا اس لیے دو مختلف باتیں ہیں ¹۔ ہم نہیں کہتے کہ اس کے بغیر یورپ یا جدید ریاضی ترقی نہ کرتے؛ یہ خلاف واقع امکان دکھائے ہوئے مصادر سے ثابت نہیں۔

متحف کا سنی فریم: ہم واضح شہادت رکھنے والے مسلمان شریک کو پیش کرتے ہیں، سابقین اور نسبت کی حدود محفوظ رکھتے ہیں، اور کسی مذہبی مسلک سے یہ فنی فیصلہ منسوب نہیں کرتے کہ مثلث یہاں شروع ہوا ^{6 3}۔ کرجی کی ثابت مسلمان شناخت اکیلی ذاتی مسلک ثابت نہیں کرتی، اور ان کی شخصیت کے اندراج میں یہ فرق برقرار ہے ⁶۔

علمی مطالعہ: میک ٹیوٹر میں واسطے سے آیا ہوا ترجمہ سموأل کی گواہی کے ذریعے عمومی تعمیر کرجی سے منسوب کرتا ہے، جب کہ انبوبا اصل حساب کا گم ہونا بتاتے ہیں؛ اس صفحے پر اصل عربی متن یا الباہر کی طباعت کی آزاد براہ راست قراءت کا دعویٰ نہیں ^{1 2}۔ پہلے ہندوستانی شواہد دو رکنی ضریب کی پوری تاریخ کرجی کو دینے سے روکتے ہیں، جیسے پاسکال کی سوانح صاف کہتی ہے کہ پاسکال نے مثلث پہلے نہیں پڑھا تھا ^{3 8}۔ زیادہ دقیق سوال یہ نہیں کہ کون سا نام باقی سب کو مٹاتا ہے، بلکہ یہ ہے کہ کون سا شاہد کس مصنف سے کون سا طریقہ منسوب کرتا ہے۔

آج قاری غیر منفی صحیح قوتوں کے ضریب کی جدول میں قاعدہ دیکھ سکتا ہے، جس کی پہلی تنہا ایک والی صف جدید پیش کش میں صفر کی قوت ظاہر کرتی ہے ⁴۔ اس تدریسی صف اور اس کی رمزی تعریف کو سوانح میں نقل شدہ کرجی کی عبارت کی طرف نہیں کیا گیا ¹۔ جدید تصویر اور تاریخی شاہد کو الگ رکھنے سے ریاضیاتی طور پر صحیح صفوں کا موازنہ ہوسکتا ہے، بغیر عدد کی صحت کو دستاویز کی اصالت سمجھنے کے ^{4 2}۔ کسری اور منفی قوتیں پاسکال کی سوانح میں نیوٹن کے حوالے سے بیان کردہ وسیع ترقی میں آتی ہیں، گم شدہ کتاب میں ان سب نتائج کے موجود ہونے کا دعویٰ نہیں ⁸۔

اس نسبت کا بنیادی متنی شاہد الباہر ہے، جب کہ سوانح کہتی ہیں کہ کرجی کا اصل حساب گم ہے ^{5 2}۔ انبوبا کی کتابیات استنبول کے نسخے، جن میں آیا صوفیہ2718 اور اسعد افندی3155، اور احمد و راشد کی جدید طباعت درج کرتی ہے؛ ہم نے ان مخطوطوں کی تصاویر یا موجودہ فہرستیں نہیں دیکھیں ¹⁰۔ مقالہ خود طباعت کا سال ایک جگہ1972 اور دوسری جگہ1971 دیتا ہے؛ یہ اختلاف اندازے سے خاموشی میں حل نہیں کیا گیا ¹⁰۔ سامنے کی تصویر کونراد ارون کا درینی کے کام سے بنا جدید خاکہ ہے، جس کا کامنز اندراج2007 بتاتا ہے، الباہر کے کسی نسخے کا ورق نہیں ⁴۔

جدید ریاضیاتی سوانح میں «پاسکال کا مثلث» مانوس نام ہے، مگر اس کا مطلب یہ نہیں کہ پاسکال سے پہلے مثلث نامعلوم تھا؛ میک ٹیوٹر صراحت سے اس کے خلاف کہتا ہے ⁸۔ کرجی کی جدول اور جیا شیان کے کام کا موازنہ دکھاتا ہے کہ دور دراز کے الگ نام اسی مشترک حسابی ترتیب کے مختلف کام محفوظ کرسکتے ہیں ^{1 9}۔ کسی خاص فلم، ڈاک ٹکٹ یا نام زد نصابی کتاب میں اس کے دکھائی دینے کا دعویٰ یہاں نہیں، کیونکہ استعمال شدہ مصادر ایسا متعین شاہد نہیں دیتے۔

کاغذ پر1،2،1 لکھیں اور نئی صف کے دونوں سروں پر ایک رکھیں؛ درمیان میں1+2 پھر2+1 جمع کرکے1،3،3،1 بنائیں ¹۔ جدید مثال میں یہ اعداد بتاتے ہیں کہ دو حصوں کے مجموعے کو تین بار ضرب دینے کے نتائج کیسے جمع ہوتے ہیں ¹۔ حصے2 اور3 منتخب کریں تو8+36+54+27 یعنی125 بنتا ہے، جو5×5×5 کے برابر ہے ¹۔ مثال کے اعداد ہمارا تدریسی انتخاب ہیں، جب کہ جمع کا قاعدہ سموأل کرجی سے منسوب کرتے ہیں ¹۔ تصویر دیکھ کر یاد رکھیں کہ یہ چھ صفوں کا جدید خاکہ ہے، عالم یا ان کے مخطوطے کی تصویر نہیں ⁴۔ کیا آپ ہر حد کی ضرب کیے بغیر اگلی صف بنا سکتے ہیں؟

• میک ٹیوٹر: کرجی، سوانح اور سموأل کے ذریعے منقول بیان ¹۔
• میک ٹیوٹر: سموأل، الباہر اور مذہبی ترتیب ⁵۔
• انبوبا: علمی سوانح کا معجم، الجبرا اور کتابیات ^{2 10}۔
• جین ریاضی اور جیا شیان، موازنے کے شواہد، براہ راست انتقال نہیں ^{3 9}۔
• پاسکال، مثلث اور وسیع قوتیں ⁸۔
• ٹی ڈی وی کی کرجی سوانح277–278 اور محکم مطالعہ762، سیاق اور شناخت ^{7 6}۔
• تصویر کا اندراج، ماخذ اور اجازت، علمی تاریخ نہیں ⁴۔