کاشی کا محیط دائرہ کا دقیق حساب

چھوٹی تصویر سولہ اعشاری مقام ثابت نہیں کرتی۔ غیاث الدین کاشی کی رسالۂ محیطیہ میں خدمت محتاط حساب تھی، بڑے پرکار سے دائرہ ناپنا نہیں۔ میک ٹیوٹر اسے 1424 کا بتاتا اور محیط و قطر کی نسبت کے دوگنے کو ستینی اور اعشاری صورت میں دقیق لکھنا بیان کرتا ہے۔ یہ سابق حساب کی بہتری تھی، پائی کی دریافت نہیں ¹۔

یہ اندراج ہندسے اور فلکیات کے اندر عددی طریقے کا ہے۔ پرانا دائرہ اور کثیرالاضلاع مصنف کے نام کے پیچھے غائب نہیں ہوتے، نہ اس کا نتیجہ اعشاری کسروں کی ایجاد ثابت کرتا ہے۔ ہم حدوں کو چھوٹی جدید مثال سے سمجھاتے اور تاریخی نتیجے سے الگ رکھتے ہیں۔ اصل مخطوطہ نہیں پڑھا یا حساب سطر بہ سطر نقل نہیں کیا ^{3 4}۔

عام مستوی ہندسے میں پائی محیط کو قطر سے تقسیم کرنے کی نسبت ہے۔ دوگنا پائی اکائی نصف قطر کے دائرے کا محیط ہے؛ دونوں ملانے سے جواب غلط دوگنا ہو گا۔ اوکتن کاشی کا اعشاری عدد 6.2831853071795865 دیتے ہیں، جو دوگنی نسبت کی تقریب ہے، خود پائی نہیں؛ ساتھ ستینی صورت بھی دیتے ہیں ⁵۔

یہ لامتناہی پھیلاؤ کی مکمل محدود مساوات نہیں۔ یہ تقریب ہے جس کی دقت جذر، ضرب اور تقسیم میں غلطی قابو کرنے پر منحصر ہے۔ ایرانیکا دائرے کے اندر اور گرد کثیرالاضلاع بیان کرتا ہے، جبکہ میک ٹیوٹر دو عددی نظاموں کے نتیجے پر زور دیتا ہے۔ شکل کے ہندسے اور حسابی مہارت کا ملاپ ہے؛ لمبا عدد دکھا کر معنی اور حد نہ بتانا کافی نہیں ^{4 1}۔

دائرے کے مسائل اور نسبت کی تقریب کاشی سے پرانی تھی۔ ایرانیکا رسالے کو فلکیات میں استعمال شدہ تقریبوں کی بہتری سے جوڑتا اور سابق روایت مانتا ہے۔ ہندسہ 1424 میں نئے سرے سے شروع نہیں ہوا، نہ دائرے میں کثیرالاضلاع کھینچنا ان کی خاص ایجاد ہے۔ محدود خدمت عددی محنت اور حاصل دقت کی ہے ⁶۔

میک ٹیوٹر اعشاریوں اور جذر کو بھی سابق کام میں رکھتا ہے، خصوصاً کرجی کے مکتب اور سموأل کا ذکر کرتا ہے۔ «کسریں مہارت سے استعمال کیں» کو «تمام اعشاری کسریں ایجاد کیں» نہیں بنانا چاہیے۔ بعد کے یورپی نتائج سے زمانی تقابل یہ ثابت نہیں کرتا کہ ان مؤلفین نے انہیں پڑھا۔ پہلے ہونا اور دستاویزی متنی منتقلی دو مختلف دعوے ہیں ⁷۔

ماخذ کاشان کے ماحول سے سمرقند تک کی زندگی بیان کرتے ہیں، مگر تفصیل یکساں یقینی نہیں۔ میک ٹیوٹر پیدائش تقریباً 1380 بتاتا ہے؛ ایرانیکا 1406 کے رصد پر عمر فرض کر کے تقریباً 1386 کا اندازہ زیر بحث لاتا ہے۔ دونوں سے مصنوعی یوم پیدائش نہیں بناتے، نہ مقبول تاریخ کے پیچھے تخمینے کی نوعیت چھپاتے ہیں ^{8 9}۔

الغ بیگ کے علمی ماحول میں فلک اور حساب کو سرپرستی ملی۔ میک ٹیوٹر محیطیہ جولائی 1424 اور مفتاح الحساب 1427 کا بتاتا ہے؛ دونوں الگ تصانیف ہیں۔ رصدگاہ کی تعمیر کے مرحلوں کی تاریخیں بھی مطالعات میں مختلف ہیں۔ عمارت کی تاریخ ہر کتاب یا عالم کی آمد نہیں۔ اندراج صرف رسالے کا سال دیتا ہے، فرضی دن یا ہجری تبدیلی نہیں ^{10 9}۔

میک ٹیوٹر کاشی کو ذاتی طور پر اسلامی ریاضی دان کہتا ہے۔ مسلم شناخت کی درج بنیاد یہ ہے، نام یا خاندان کا وطن نہیں۔ سنی فریم الگ طور پر دستاویزی تیموری ماحول میں عجائب گھر کا عمومی فریم ہے، شخصی فقہی مکتب کی سند یا الغ بیگ کے مذہب کا قیاس نہیں۔ پڑھی علمی سوانح میں مخالف ذاتی انتساب نہیں؛ خاموشی مکمل عقیدتی سوانح نہیں ہوتی ^{11 12}۔

وہ حساب میں بہتری لانے والے ہیں۔ قاضی زادہ، الغ بیگ اور دوسرے علما اسی علمی ماحول میں تھے، مگر اس سے محیطیہ کی ہر کارروائی کی مشترک تصنیف ثابت نہیں ہوتی۔ والد کو خطوط میں ساتھیوں کی صلاحیت پر ان کی رائے ہے؛ ہم اسے ان سے منسوب رکھتے ہیں، عجائب گھر کی معروضی درجہ بندی نہیں بناتے ¹³۔

اکائی نصف قطر کا دائرہ سوچیے۔ محیط پر راسوں والا منتظم کثیرالاضلاع چھوٹا راستہ لیتا ہے؛ گرد کے مماس ضلعوں والا بڑا راستہ دیتا ہے۔ دونوں محیط آدھے کرنے سے پائی کی زیریں و بالائی حد ملتی ہے۔ یہ ایرانیکا کی کثیرالاضلاعی حدوں کا جدید بیان ہے، کاشی کی علامتیں یا برہان کی ترتیب نہیں ⁴۔

ضلعوں کی تعداد n اور اندرونی ضلع کی لمبائی s کہیں۔ ہماری زیریں حد L=n*s/2 اور بالائی U=L/sqrt(1-s*s/4) ہے۔ مسدس میں s=1، لہٰذا L=3 اور U تقریباً 3.464102 ہے۔ پہلے پائی کا لمبا اعشاری عدد درکار نہیں؛ ضلع اور نصف قطر جذر سے ظاہر ہونے والے ہندسی رشتے دیتے ہیں۔

مرکزی زاویہ آدھا کرنے پر ضلع دوگنے ہوتے ہیں۔ وضاحتی تکرار s_new=s/sqrt(2+sqrt(4-s*s)) ہے۔ بارہ ضلعوں میں زیریں حد تقریباً 3.105829 اور بالائی 3.215390 ہو جاتی ہے۔ وقفہ ابھی وسیع ہے مگر مسدس سے تنگ۔ یہ ہماری نئی جانچی ہوئی عددی مثالیں ہیں، محیطیہ سے پڑھے خانے نہیں۔

اسی عمل کو 96 ضلعوں تک لے جانے سے تقریباً 3.141032 < pi < 3.142715 ملتا ہے۔ اس سے تاریخی لمبی دقت ثابت نہیں ہوتی۔ یہ وقفہ تنگ کرنے اور قطعی جواب کہنے کا فرق سکھاتا ہے۔ ہر محدود کثیرالاضلاع کثیرالاضلاع ہی ہے؛ ساتھ دو مسدسوں کی تصویر تاریخی حساب کا پورا سلسلہ یا اس کی جسامت نہیں دکھاتی۔

مساوی عبارت sqrt(2-sqrt(4-s*s)) ضلع چھوٹا ہونے پر قریب قریب عدد منہا کرتی ہے۔ جدید مثال میں عددی دقت کے ضیاع کو گھٹانے کے لیے پہلی صورت چنی ہے۔ یہ معاصر کمپیوٹیشن کی وضاحت ہے، پندرھویں صدی کے عالم سے کمپیوٹر کی زبان یا ساخت منسوب کرنا نہیں۔ محدود دقت کی مشین ہر تاریخی ہندسہ الگ سے ثابت نہیں کرتی۔

ستینی و اعشاری صورتیں مختلف مقامی قدر سے کسر ظاہر کرتی ہیں۔ اوکتن 6;16,59,28,1,34,51,46,15,50 اور 6.2831853071795865 دیتے ہیں۔ ستینی جداکار کے بعد مقاموں کے مخرج 60 اور اس کی قوتیں ہیں۔ گول کی ہوئی مقدار کو نظام بدل کر یا آدھا کر کے لکھنے سے اصل حساب میں نہ ہونے والی معلومات پیدا نہیں ہوتیں ⁵۔

مگر چھپی ترتیب کی لفظی جانچ اختلاف دکھاتی ہے: اس کا تبدیل شدہ عدد تقریباً 6.2831853071795924 ہے، ساتھ کا اعشاری عدد نہیں۔ تاریخی ہندسہ قیاس سے درست کرنے کی بجائے اختلاف واضح کرتے ہیں۔ اصل پڑھے بغیر نقل، طباعت یا کسی اور جگہ غلطی متعین نہیں کر سکتے۔ منقول بلند دقت اور ان دو چھپی سطروں کی مطابقت الگ سوال ہیں ⁵۔

میک ٹیوٹر کاشی کے کام کا یورپ میں طویل عرصہ نامعلوم رہنا اور انیسویں و بیسویں صدی میں تاریخی مطالعہ بیان کرتا ہے۔ اوکتن پاول لوکی کی جرمن تحقیق و ترجمہ 1953 کا بتاتے ہیں۔ یہ مطالعہ اور اشاعت ہے، ہر عددی ترکیب کا ہر موازنہ شدہ یورپی عالم کو براہ راست انتقال نہیں ^{14 15}۔

محیطیہ کو مفتاح کے تدریسی استعمال سے بھی الگ رکھنا ہے۔ اوکتن بڑی کتاب کی پذیرائی اور بعض حصوں کے ترجمے بتاتے ہیں، مختصر رسالے کی یکساں گردش نہیں۔ مفتاح کی مقبولیت کا ہر نشان محیطیہ کے ہر صفحے کا ثبوت نہیں بن سکتا، نہ صرف عمومی خبر سے یقینی سفری نقشہ بنایا جا سکتا ہے ¹⁶۔

طریقے کو دائرے، مثلث، جذر اور کسری مقاموں کے حساب کی ضرورت ہے۔ سوانح کاشی کے ہندسہ و حساب کے ملاپ کے ساتھ سابق اعشاری اور جذر کے کام الگ رکھتی ہے۔ اس سے ہر قدم کے پیچھے عجائب گھر کی کوئی خاص کتاب متعین نہیں ہوتی۔ سابقہ بنیاد عمومی ماخذی وصف ہے، فرضی سببی ربط نہیں ¹⁷۔

فلکیات دقت کا شوق سمجھاتی ہے، مگر رسالہ صرف رصدی جدول نہیں۔ مثالی شکل کا حساب مادی آلے سے مختلف ہے جس پر مادہ و حرکت اثر کرتے ہیں۔ ایرانیکا بڑے آلات کے ٹیڑھے ہونے کی فکر بیان کرتا ہے: ہندسی، عددی اور مادی صحت متعلق ہیں، یکساں نہیں۔ ان میں فرق رکھنا تاریخی کام کو سمجھنے کا حصہ ہے ¹⁸۔

کاشی کی تصانیف کے مسائل الگ ہیں: خاقانی زیج سابق فلک کی تجدید، مفتاح حساب کی تعلیم، وتر و جیب الگ حساب، اور آلات دوسرے کام کرتے ہیں۔ یہ محیطیہ کے بدلتے نام نہیں۔ ایک درجے کے جیب کی دقت محیط کے جدول کی نہیں، نہ بہت سے عنوان ایک ہی خدمت کو کئی اندراج بنانے کی خودکار اجازت ہیں ^{19 20}۔

یہاں محدود خدمت درج ہے جس کا بعد میں مطالعہ اور تقابل ہو سکتا ہے۔ پائی نکالنے والا ہر جدید پروگرام اس کا وارث نہیں۔ مشترک ریاضیاتی ہدف خاص طریقے کی وراثت ثابت نہیں کرتا۔ پرانی ہندسی کارروائی بھی محض آج زیادہ دقیق معلوم عدد دینے سے لامتناہی سلسلہ یا جدید خوارزم نہیں بن جاتی۔

میک ٹیوٹر مفتاح کے مقاصد میں فلک، مساحت، عمارت، حساب داری اور تجارت دیتا ہے۔ یہ حساب کا عملی علمی ماحول ہے، مگر محیطیہ کے اثر کی پیمائش نہیں۔ ہمارے پاس یہ ریکارڈ نہیں کہ بالخصوص سولھویں اعشاری مقام سے کتنی عمارتیں یا معاملات بدلے۔ کتابوں کی نسبت الگ رکھنا غیر ثابت روزمرہ نتائج سے بچاتا ہے ²¹۔

ماخذی اثر بہتر حسابی صلاحیت اور دو نظاموں میں دقیق نتیجہ ہے۔ زیادہ ہندسے ہر روزمرہ کام کی ضرورت نہیں، نہ اس وقت کے آلات اتنی دقت سے دنیا ناپتے تھے۔ تعلیم «حساب ہو سکتا ہے» اور «ناپا جا سکتا ہے» میں فرق کر سکتی ہے، بچت یا مستفید افراد کی غیر ماخذی گنتی بنائے بغیر ⁵۔

سوانح اسے قرون وسطیٰ کا نمایاں عددی کام بتاتی ہے؛ میک ٹیوٹر پہلے و بعد کے نتائج سے دقت ملاتا ہے۔ اسے تاریخی بیان رکھتے ہیں، ہمارا ہر تہذیب اور گم متن کی تلاش کا آزاد سرٹیفکیٹ نہیں۔ یہ خدمت پہلے کے یونانی، چینی یا اسلامی حساب حذف کرنے کی محتاج نہیں؛ اہمیت کا مطلب تاریخ کا ازسرنو آغاز نہیں ¹۔

ستینی و اعشاری نتیجہ ایک کام میں دو حسابی اوزاروں کا انتقال دکھاتا ہے۔ میک ٹیوٹر صرف جبری جذر نہیں بلکہ پائی جیسے اعداد کے لیے اعشاری کسروں پر زور دیتا ہے۔ یہ عددی عمل کی ترقی ہے، جدید اعشاری نقطہ، ہر حقیقی عدد کا تصور یا خاص یورپی عالم تک براہ راست راستے کی ایجاد نہیں ²²۔

کاشی اس رسالے سے منسوب حساب کے مؤلف ہیں، دائرے یا ہر تقریب کے نہیں۔ نسبت بہتری کی ہے، مطلق ابتدا کی نہیں۔ میک ٹیوٹر سابقین کی روشنی میں اعشاری اور جذر کی اولیت محدود کرتا ہے۔ صرف سرخی دلچسپ بنانے کے لیے زیادہ بڑے دعوے یہاں نہیں لاتے؛ انہی کی اپنی مضبوط خدمت بیان کرنا کافی ہے ²³۔

عدد کی اکائی بھی ضروری ہے: 6.2831853071795865 دوگنے پائی کی تقریب ہے۔ اعشاری مقام ستینی مقام نہیں۔ گول نتیجہ آدھا کرنے سے ظاہری اضافی ہندسہ مل سکتا ہے، نئی صحت نہیں۔ تقریب، قطع اور تدویر مختلف کارروائیاں ہیں؛ «سولہ مقام» دہرانے یا اچھا نقش دکھانے سے کوئی کارروائی آزادانہ ثابت نہیں ہوتی ⁵۔

چھوٹی مثال حد، جمع ہوتی غلطی اور زیادہ مستحکم عبارت سکھاتی ہے۔ یہ جدید تدریسی اوزار ہیں، پہلے مخطوطے کی دستاویزی تعمیر نو نہیں۔ عین تاریخی طریقہ بتانے کو خاص نسخہ یا اشاعت پڑھنا اور علامتیں شناخت کرنا ہو گا، آج کے پروگراموں سے خلا بھرنا نہیں۔ جدید وضاحت کو اسی نام سے بتانے پر اس کی تعلیمی قدر باقی رہتی ہے۔

اوروتسیگ کی 2009 کی تصویر دو دائرے اور اندرونی و بیرونی مسدس دکھاتی ہے۔ کامنز اسے عوامی ملکیت کی جدید سادہ ہندسی صورت بتاتا ہے، سمرقند کی تصویر نہیں۔ اس میں لاکھوں ضلع یا کاشی کے اعداد نہیں۔ تصویر اور شہادت الگ رکھنے سے قاری اتنا ہی سیکھتا ہے جتنا نقش واقعی دکھاتا ہے ²⁴۔

اوکتن لوکی کی اشاعت و جرمن ترجمہ اور مخطوطات میں محفوظ دوسرے کام بتاتے ہیں۔ ہم نے اصل محیطیہ یا جرمن اشاعت نہیں پڑھی، نہ نتیجے کو دیکھے ہوئے صفحے کی نقل کہتے ہیں۔ آخر کے مراجع وہ ہیں جن کا واقعی مطالعہ ہوا؛ انہی سے عددی نتیجہ دونوں نظاموں کا فرق رکھ کر بیان ہوا ہے ²⁵۔

والد کو خطوط علمی زندگی کی دوسری جھلک ہیں۔ ایرانیکا قدر، خودستائی اور مسابقت بیان کرتا ہے؛ یہ ساتھیوں کی صلاحیت کی غیر جانب دار فہرست یا حساب کی کتاب کا بدل نہیں۔ دوسری کتاب کی کتابت محیطیہ کی تصنیف نہیں بتاتی، اور صرف محفوظ عنوان سے ایک مشترک نسخہ ثابت نہیں ہوتا ²⁶۔

لمبے عدد توجہ کھینچتے ہیں مگر کاشی کی کہانی ہندسے یاد کرنے کا مقابلہ نہیں۔ ماخذ ایک والد کو خط لکھنے، حمایت تلاش کرنے اور ساتھیوں و دربار میں کام کرنے والا عالم دکھاتے ہیں۔ الغ بیگ کی تعریف کہنے والے کی رائے ہے، عجائب گھر کا فیصلہ نہیں کہ کاشی کی ہر بات سب سے بہتر تھی ^{27 9}۔

ایرانیکا حساب و آلے کی مہارت اور کونی سیاروی نظریے میں معلوم خدمت کی حد الگ کرتا ہے۔ یہ حساب کو کم کرنا نہیں؛ فلک کے کئی شعبے ہیں اور ایک میں شہرت سب کی ہر کامیابی ثابت نہیں کرتی۔ تاریخی عالم مشہور عدد سے بڑا، مگر ہر چیز کا ذمہ دار بے عیب ہیرو نہیں۔ حدیں بیان کرنے سے انسانی کام زیادہ واضح ہوتا ہے ²⁸۔

دائرے اور مسدس دیکھیں۔ کس کے کونے محیط پر اور کس کے ضلع باہر سے مماس ہیں؟ کاغذ پر چھوٹا اور بڑا راستہ بنائیں اور درمیان «جواب یہاں ہے» لکھیں۔ یہ حدوں کا کام ہے، چھوٹی تصویر سے سولہ اعشاری مقام ناپنا یا عین کاشی کا کام دہرانا نہیں۔ اصل مقصد جواب کے گرد حد سمجھنا ہے۔

کیا زیادہ ہندسے لکھنے سے جواب درست ہوتا ہے؟ چھوٹا تخمینہ لکھ کر اس کی حد کہیں، غیر ثابت عدد نہ بڑھائیں۔ آلہ بنانا یا آسمان دیکھنا ضروری نہیں؛ کاغذ اور سوال کافی ہیں۔ معمولی ٹیڑھا نقش یہ بھی دکھاتا ہے کہ سمجھانے والی تصویر اور ثابت کرنے والا ریاضیاتی رشتہ مختلف چیزیں ہیں۔ دونوں کو اپنا درست کام کرنے دیں۔

• ²⁹
• ³⁰
• ³¹
• ³²