حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة

لا يمكن لخطوط قليلة في رسم صغير أن تثبت ست عشرة منزلة عشرية. إنجاز غياث الدين الكاشي في الرسالة المحيطية كان حساباً منضبطاً، لا قياس دائرة بفرجار أكبر. تؤرخ ماكتوتر الرسالة بسنة 1424، وتذكر إخراج ضعف نسبة المحيط إلى القطر في النظام الستيني ثم العشري بدقة عالية؛ إنه تحسين لحساب قديم لا اكتشاف العدد pi ¹.

نسجل طريقة عددية داخل تاريخ الهندسة والفلك. المعرفة السابقة بالدائرة والمضلع لا تختفي خلف اسم المؤلف، كما لا تتحول أرقامه إلى اختراع الكسور العشرية. وسنشرح فكرة الحدود بمثال حديث صغير، مع فصل واضح بينه وبين الأرقام التاريخية التي ترويها الدراسات؛ لم نقرأ مخطوط الرسالة أو نعيد نسخ حسابها سطراً بسطر ^{3 4}.

النسبة pi هي محيط الدائرة مقسوماً على قطرها في الهندسة المستوية المعتادة. أما 2pi فهو محيط دائرة نصف قطرها وحدة واحدة، فخلطهما يضاعف النتيجة خطأ. ينقل أوكتن للكاشي العدد العشري 6.2831853071795865، وهو قيمة تقريبية لضعف النسبة، لا قيمة pi نفسها؛ ويورد مقابله ستينياً ⁵.

ليست النتيجة مساواة نهائية لعدد غير منته. إنها تقريب بعدد معلوم من المنازل، يحتاج إلى طريقة تضبط الخطأ أثناء استخراج الجذور والضرب والقسمة. تصف إيرانيكا مضلعات داخل الدائرة وحولها لتقريب المحيط، بينما تشدد ماكتوتر على طول النتيجة في نظامين. هنا تلتقي هندسة الأشكال مع مهارة حسابية، ولا يكفي إظهار عدد طويل بلا بيان معناه وحدوده ^{4 1}.

كانت مسائل الدائرة وتقريب نسبتها قديمة قبل الكاشي. تربط إيرانيكا هدف الرسالة بالحاجة إلى تحسين التقريبات المستعملة في الحساب الفلكي، وتذكر تقاليد أقدم. لا يقدم المتحف بداية جديدة للهندسة سنة 1424، ولا يعد مجرد رسم مضلع داخل دائرة ابتكاراً خاصاً بصاحب المحيطية؛ الإضافة الموثقة هنا مستوى العمل العددي والدقة التي بلغها ⁶.

كما توضح ماكتوتر أن تاريخ الكسور العشرية والجذور يتضمن علماء سبقوه، ومنهم رجال مدرسة الكرجي والسموأل. لذا لا يصح الانتقال من «استعمل الكسور بمهارة» إلى «اخترع كل كسر عشري». ومقارنة زمن إنجازه بنتائج أوروبية لاحقة لا تثبت تلقائياً أن أصحاب تلك النتائج قرؤوه أو أخذوا عنه؛ الأسبقية الزمنية غير الاتصال النصي ⁷.

تعرض المصادر حياة بدأت في محيط كاشان وانتهت في سمرقند، لكن تفاصيلها ليست كلها متساوية اليقين. تقدر ماكتوتر الميلاد بنحو 1380، وتناقش إيرانيكا تقديراً بنحو 1386 مبنياً على افتراض عمره عند رصد 1406. لا نجمع التقديرين في يوم ميلاد مصطنع، ولا نستخدم شهرة رقم لإخفاء طبيعته التقديرية ^{8 9}.

وجد الكاشي في محيط أولوغ بك دعماً للعمل الفلكي والحسابي. تؤرخ ماكتوتر المحيطية بيوليو 1424، ومفتاح الحساب بسنة 1427؛ هما كتابان مختلفان. كما تختلف الدراسات في تواريخ مراحل إنشاء المرصد، فلا يصبح تاريخ البناء تاريخاً لكل كتاب أو وصول كل عالم. يسجل الاختراع سنة الرسالة بقدر السنة فقط، من غير اختراع يوم أو مقابل هجري ^{10 9}.

تصف ماكتوتر الكاشي شخصياً بأنه رياضي إسلامي؛ هذا هو أساس الهوية المسجل، لا اسمه أو منشأ أسرته. والإطار السني مسجل منفصلاً بوصفه إطار المتحف الافتراضي في الوسط التيموري الموثق، لا شهادة بمذهبه الشخصي ولا استنتاجاً من دين أولوغ بك. المقالات العلمية المقروءة لا تسوق انتساباً شخصياً مخالفاً؛ لا نجعل سكوتها سيرة عقدية مفصلة ^{11 12}.

دوره محسّن للحساب. شاركه آخرون محيط العمل والرصد، وتذكر المصادر قاضي زاده وأولوغ بك والعلماء المجتمعين في سمرقند؛ لكن ذلك لا يثبت قائمة مشاركين في كل عملية داخل المحيطية. ورسائله إلى أبيه تتضمن تقييمه لقدرات زملائه؛ ننسب ذلك إليه ولا نحوله إلى ترتيب موضوعي نعلنه عن جميع العلماء ¹³.

تخيل دائرة نصف قطرها واحد. مضلع منتظم تصل رؤوسه إلى المحيط يسلك طريقاً أقصر من الدائرة، وآخر تحيط أضلاعه بها يعطي طريقاً أطول. قسمة المحيطين على اثنين تعطي حداً أدنى وحداً أعلى لـpi. هذا شرح هندسي حديث لفكرة الحدود التي تصفها إيرانيكا، لا نقل لرموز الكاشي أو ترتيب برهانه ⁴.

نسمي عدد الأضلاع n وطول الضلع الداخلي s. الحد الأدنى هو L=n*s/2، والحد الأعلى في نموذجنا هو U=L/sqrt(1-s*s/4). المسدس الداخلي يعطي s=1، فيكون L=3 وU نحو 3.464102. لا نحتاج هنا إلى معرفة رقم pi الطويل مسبقاً؛ الأضلاع وأنصاف الأقطار تنتج علاقات مثلثية وجذرية يمكن حسابها.

عند تنصيف الزاوية المركزية يتضاعف عدد الأضلاع. نستعمل في شرحنا العلاقة s_new=s/sqrt(2+sqrt(4-s*s)). للمضلع ذي اثني عشر ضلعاً يصير الحد الأدنى نحو 3.105829 والأعلى نحو 3.215390. ما زال المجال واسعاً، لكنه أضيق من مجال المسدس. هذه أرقام فحصناها حديثاً، لا خلايا قرأناها من مخطوط المحيطية.

والاستمرار إلى 96 ضلعاً يعطي في المثال نفسه تقريباً 3.141032 < pi < 3.142715. لا تكفي هذه الحدود للمنازل التاريخية الطويلة؛ فائدتها تعليم الفرق بين تضييق المجال وبين ادعاء جواب تام. كل مضلع محدود يبقى مضلعاً، والرسم المنشور الذي يظهر مسدسين لا يعرض كل خطوات حساب الكاشي أو حجمه.

الصيغة البديلة sqrt(2-sqrt(4-s*s)) مكافئة في الحساب الدقيق، لكنها تطرح عددين متقاربين حين يصغر الضلع. لذلك اخترنا الصيغة الأولى في المثال الحديث لتقليل فقد الدقة العددي. هذا تفسير معاصر لحساب الآلات، لا نسبة تلك اللغة أو بنية الحاسوب إلى عالم القرن الخامس عشر. ولا نستخدم دقة آلة محدودة لإثبات كل منزلة في رقم تاريخي طويل.

أما الستيني والعشري فنظامان لكتابة المقادير الكسرية نفسها، لا كميتان مختلفتان. يعطي أوكتن 6;16,59,28,1,34,51,46,15,50 و6.2831853071795865؛ الأجزاء بعد الفاصلة الستينية تحمل مقامات 60 وقواه. وتحويل نتيجة مقربة إلى نظام آخر أو قسمتها على اثنين لا يخلق معلومات جديدة غير موجودة في الحساب الأول ⁵.

لكن الفحص الحسابي للنص المنشور يكشف فرقاً: تحويل المتتالية الستينية كما تظهر حرفياً يعطي نحو 6.2831853071795924، لا العدد العشري المطبوع معها. نسجل عدم التطابق ولا نصحح خانة تاريخية بالتخمين؛ لم نقرأ الأصل لمعرفة هل الخلل في النقل أو الطباعة أو غيرهما. إذن خبر الدقة الطويلة من الدراسات غير التحقق من تكافؤ هذين السطرين المنشورين ⁵.

تذكر ماكتوتر أن أعمال الكاشي ظلت زمناً طويلاً غير معروفة في أوروبا، ثم تناولها مؤرخو العلم في القرنين التاسع عشر والعشرين. ويذكر أوكتن دراسة باول لوكي الألمانية للمحيطية وترجمتها المنشورة سنة 1953. هذا تاريخ دراسة ونشر، لا دليل على انتقال مباشر لكل تقنية حسابية إلى كل مؤلف أوروبي قارناه به ^{14 15}.

ويجب فصل تلقي المحيطية من استعمال مفتاح الحساب كتاباً للتدريس. يخبرنا أوكتن عن أثر الكتاب التعليمي وترجمات بعضه، لكنه ليس الرسالة القصيرة في المحيط. لا نستعير كل شاهد على انتشار الكتاب الأكبر لإثبات انتشار مطابق لكل صفحة من الرسالة، ولا نضع مساراً جغرافياً يقينياً حيث لا تملك المصادر إلا خبراً عاماً ¹⁶.

تتطلب الطريقة علاقات الدائرة والمثلث والجذر، ونظاماً للتعامل مع منازل الكسور. تؤكد الدراسات قدرة الكاشي على الجمع بين الهندسة والحساب، وتفرق ماكتوتر بين إنجازه وبين سوابقه في الكسور والجذور. لا يساوي هذا إثبات أنه استمد كل خطوة من كتاب معين محفوظ في المتحف، ولذلك تبقى أسلاف السجل وصفاً عاماً مسنداً لا روابط سببية متخيلة ¹⁷.

ويساعد السياق الفلكي على فهم اهتمامه بالدقة، لكن لا يجب اختزال الرسالة إلى جدول رصد. الناتج الحسابي عن شكل مثالي غير قياس جسم حقيقي بأداة تتأثر بالمواد والحركة. تروي إيرانيكا اهتمامه بتشوه الآلات الكبيرة، بما يبين أن الدقة الهندسية والعددية والمادية مسائل متصلة لكنها غير متطابقة ¹⁸.

تضم مؤلفات الكاشي مسائل متعددة: الزيج الخاقاني وتحديث حسابات أقدم، ومفتاح الحساب، ورسالة الوتر والجيب، وآلات فلكية. لا نعد هذه عناوين مترادفة للمحيطية. كما لا ننسب دقة جيب الدرجة الواحدة إلى جدول المحيط، ولا نجعل مجرد وجود مسائل كثيرة لدى عالم واحد إذناً بتكثير سجل الاختراع الواحد بلا مساهمات مستقلة ^{19 20}.

ما توثقه هذه الصفحة هو إنجاز محدود يمكن أن يدرس ويقارن لاحقاً. لا نضيف له قائمة أحفاد من كل برنامج حديث يحسب pi؛ فالتشابه في الهدف الرياضي لا يثبت وراثة الطريقة. وبالمثل لا تصبح طريقة هندسية قديمة سلسلة لا نهائية أو خوارزمية حديثة لأنها تنتج عدداً نعرفه اليوم بدقة أكبر.

كان مفتاح الحساب موجهاً إلى تعلم الحساب في مجالات متعددة، من الفلك والمساحة إلى العمارة والتجارة، بحسب ماكتوتر. هذا يوضح بيئة علمية تهتم باستعمال الحساب، لكننا لا ننقل كل استخدام لذلك الكتاب إلى المحيطية بوصفه نتيجة مقاسة. الصفحة لا تملك سجلاً يقول كم مبنى أو معاملة تغير بسبب المنزلة السادسة عشرة تحديداً ²¹.

الأثر الذي نستطيع وصفه هو رفع إمكانات الحساب وبيان التعبير عن نتيجة دقيقة في نظامين. لا يعني كثرة المنازل أن كل مسألة يومية تحتاجها، أو أن أدوات العصر كانت تقيس العالم بدقة كل رقم مطبوع. وللتعليم قيمة في تمييز «يمكن حسابه» من «يمكن قياسه»، من غير اختراع نسب توفير أو أعداد مستفيدين لا تقدمها المصادر ⁵.

تصف الدراسات المحيطية إنجازاً بارزاً في الحساب الوسيط، وتذكر ماكتوتر مقارنة مستوى الدقة بما قبلها وبنتائج لاحقة. نحفظ المقارنة بوصفها عرضاً تاريخياً، لا شهادة مستقلة أننا فتشنا كل حضارات العالم وكل نص مفقود. أهمية الإنجاز الموثق لا تحتاج إلى حذف الحسابات اليونانية أو الصينية أو الإسلامية السابقة ¹.

ويكشف تسجيل النتيجة ستينياً وعشرياً انتقالاً بين أداتين حسابيتين في عمل واحد. تتحدث ماكتوتر عن استعمال الكسور العشرية لأعداد مثل pi لا لمقاربة جذور جبرية وحدها. هذه نقطة في تاريخ الممارسة العددية، تختلف عن دعوى اختراع الفاصلة الحديثة أو كل مفهوم العدد الحقيقي أو انتقال مباشر إلى عالم أوروبي بعينه ²².

الكاشي صاحب الحساب المنسوب إلى المحيطية، لا صاحب الدائرة أو كل تقريب لنسبتها. لذلك حالة النسبة في السجل «تحسين»، لا «أصل أول» مطلق. وتنبه ماكتوتر إلى أن بعض دعاوى الأولوية في الكسور واستخراج الجذور تتجاوز ما تسمح به معرفة السابقين. لا ننقل تلك الدعاوى إلى هذه الصفحة لمجرد أنها تجعل العنوان أكثر إثارة ²³.

كما ينبغي ضبط وحدة الرقم: القيمة 6.2831853071795865 تخص 2pi، لا pi، وعدد المنازل العشرية غير عدد الخانات الستينية. وقسمة القيمة المقربة قد تظهر رقماً إضافياً شكلياً بلا دقة جديدة. التمييز بين التقريب والقطع والتدوير جزء من قراءة العدد، ولا تثبته صورة رسم جميل أو تكرار عبارة «ست عشرة منزلة» وحدها ⁵.

يمكن استعمال المثال الصغير لفهم الحدود وتراكم الأخطاء واختيار صيغة أكثر استقراراً. وتبقى هذه أدوات شرح حديث، لا إعادة إنشاء موثقة لخوارزمية المحيطية من أول مخطوط. إذا احتجنا إلى وصف دقيق لكل خطوة تاريخية فعلينا قراءة شاهد أو طبعة وتحديد رموزه، لا ملء الفجوة بما نعرفه من برامج اليوم.

الصورة من رسم أوروستيغ سنة 2009: دائرتان مع مسدس داخلي وآخر خارجي. هي عمل هندسي حديث في الملك العام بحسب بيانات الملف، لا لوحة سمرقندية. توضح فكرتين بصريتين منفصلتين ولا تعرض مضلعات بملايين الأضلاع، ولا تحمل أرقام الكاشي. فصل الصورة عن الشاهد التاريخي يساعد القارئ على استعمالها دون أن يقرأ فيها أكثر مما تحتويه ²⁴.

يسمي أوكتن طبعة لوكي وترجمته الألمانية ودراسات أخرى، ويصف عدداً من أعمال الكاشي الباقية في مخطوطات. لم نقرأ المحيطية الأصلية أو طبعتها الألمانية هنا، ولا نقدم رقماً محفوظاً بوصفه نسخاً من صفحة شاهدناها. المراجع المحددة في نهاية الصفحة هي ما قرأناه فعلاً، والنتيجة العددية منقولة عنها مع التمييز بين النظامين ²⁵.

أما الرسائل إلى أبيه فهي نافذة مختلفة على الحياة العلمية. تناقش إيرانيكا قيمتها وحدود المديح الذاتي والمنافسة، فلا نجعلها سجلاً محايداً لجميع قدرات الزملاء أو بديلاً عن قراءة كتاب الحساب. ولا نحول تاريخ مخطوط كتاب آخر إلى تاريخ تأليف المحيطية؛ بقاء عنوان للمؤلف لا يكفي لإثبات وحدة الشاهد ²⁶.

تجذب الأرقام الطويلة الانتباه، لكن قصة الكاشي لا تختزل في مسابقة حفظ منازل. تعرض المصادر عالماً يكتب إلى أبيه ويبحث عن دعم ويعمل بين زملاء وفي بلاط. يرد تقدير أولوغ بك له في الأخبار والكتب؛ ننسبه إلى صاحبه ولا نجعله حكماً من المتحف بأن كل رأي للكاشي كان الأفضل بلا استثناء ^{27 9}.

وتفرق إيرانيكا بين براعته في الحساب والآلات وبين حدود ما نعرفه عن إسهامه في النظريات الكونية للكواكب. هذا ليس انتقاصاً من الحساب؛ بل تذكير بأن علوم الفلك متعددة، وأن شهرة شخص في بعضها لا تثبت تلقائياً كل إنجاز ممكن في جميعها. العالم التاريخي أوسع من رقم شهير وأضيق من بطل منسوب إليه كل شيء ²⁸.

انظر إلى الدائرتين والمسدسين. في أي رسم تقع الرؤوس على المحيط، وفي أيهما تلامس الأضلاع الدائرة من الخارج؟ ارسم على الورق مساراً أقصر وآخر أطول، واكتب بينهما «الجواب هنا». هذه لعبة فهم للحدود، لا نشاطاً يقيس ست عشرة منزلة من ورقة صغيرة ولا تجربة ننسبها حرفياً إلى الكاشي.

ثم اسأل: هل زيادة عدد الأرقام المكتوبة تجعل الجواب صحيحاً؟ اكتب تقديراً قصيراً وقل ما تعرفه عن حدوده بدلاً من إضافة أرقام لا تملك دليلاً عليها. لا حاجة إلى بناء أداة أو النظر إلى السماء؛ تكفي الورقة والسؤال. وإذا اختلف رسمك عن الدائرة قليلاً فهذا يبين الفرق بين الرسم الذي يشرح والعلاقة الحسابية التي تثبت.

• ²⁹
• ³⁰
• ³¹
• ³²