ایک درجے کے جیب کا کاشی کا تکراری حساب

ایک درجے کا جیب خود زاویہ نہیں، اور اس کے حساب کی بہتری مثلثیات کی ایجاد نہیں۔ غیاث الدین کاشی کا رسالۂ وتر و جیب ایک چھوٹی قدر کو بلند دقت سے تقریب کرنے سے متعلق ہے۔ میک ٹیوٹر مکعبی مساوات اور تکراری عددی طریقہ بیان کرتا ہے۔ یہ ان کے حساب محیط سے الگ ہے: یہاں ضلعوں کی نسبت، وہاں محیط و قطر کی نسبت ہے ¹۔

ہم مطلق اولیت نہیں بلکہ بہتری درج کرتے ہیں۔ میک ٹیوٹر بیرونی کے سابق تقریبی کام کو تسلیم کرتا ہے، جبکہ تکمیل، قاضی زادہ کے کردار اور دقت کے بیانات مختلف ہیں۔ حدود محفوظ رکھ کر ایک جدید وضاحتی مثال دیتے ہیں۔ اصل خوارزم پڑھنے یا مخطوطے کے ہندسے مقابل کرنے کا دعویٰ نہیں کرتے ^{1 2}۔

قائمہ مثلث میں حاد زاویے کا جیب مقابل ضلع کی طول کو وتر کی طول سے تقسیم کرنا ہے۔ نسبت کی لمبائی کی اکائی نہیں؛ شکل برقرار رکھتے ہوئے مثلث بڑا کرنے سے نسبت نہیں بدلتی۔ عنوان کا وتر دائرے کے ہندسے کی طرف بھی اشارہ ہے، مگر ہر تاریخی اصطلاح میں وتر اور جیب ایک لفظ نہیں بن جاتے۔ TDV ایک درجے کی دقیق قدر کو اس رسالے کا موضوع بتاتا ہے ³۔

مطلوب خط کش سے سترہ ہندسے پڑھنا نہیں۔ ریاضی کے تعلق اور مسلسل حساب سے قدر نکالی جاتی ہے۔ ایرانیکا اعشاری پھیلاؤ کے سترہ ہندسے بیان کرتا ہے، دوسرے مراجع دقت کو دوسرے انداز میں سمیٹتے ہیں۔ ہم ہر ہندسے کی آزاد تصدیق نہیں دیتے، نہ کہتے ہیں کہ آسمان میں ناپا زاویہ حساب کی طرح اتنی ہی دقت رکھتا تھا ^{4 2}۔

جیوب، اوتار اور جدول کاشی سے پہلے تھے۔ عجائب گھر کا بتانی کے جدول جیوب کا حساب سابق سیاق دیتا ہے، یہ ثبوت نہیں کہ کوئی مخصوص نسخہ کاشی تک پہنچا۔ میک ٹیوٹر تثلیث زاویہ کی مکعبی کے تقریبی حل میں بیرونی کا سابق کام بتاتا ہے۔ سوال سمرقند میں اچانک پیدا نہیں ہوا، اس کی پہلے سے علمی تاریخ تھی ¹۔

جدول اور اس کی بنیادی قدر نکالنے کا طریقہ الگ چیزیں ہیں۔ ایک عمل موجود خانوں کے درمیان استیفا کر سکتا ہے، دوسرا ان قدروں کو بہتر بناتا ہے جن پر جدول قائم ہو۔ ہر استعمال کو الگ ایجاد نہیں گنتے۔ یہاں ایک مخصوص رسالے سے متعلق عددی حصہ موضوع ہے، نہ تمام مثلثیات، قدیم جیوب یا وقت کے جدول کا نیا نام ^{3 4}۔

سوانح کاشی کو الغ بیگ کے سمرقند کے علمی ماحول میں رکھتے ہیں، جہاں کتاب، حساب، آلات اور گفتگو تھے۔ والد کو لکھے خطوط میں ساتھیوں کی صلاحیت پر ان کی رائے ہے، غیر جانب دار درجہ بندی نہیں جسے عجائب گھر اپنا فیصلہ بنا لے۔ ایک مجلس میں حاضری ہر رسالے کی مشترک تصنیف نہیں، اور سرپرستی ہر نتیجے کی تصنیف نہیں بن جاتی ^{5 6}۔

میک ٹیوٹر وتر و جیب کو آخری کام کہتا ہے، جو وفات پر ممکنہ طور پر نامکمل رہا اور قاضی زادہ نے مکمل کیا۔ ایرانیکا اس کا عنوان1427 کے مفتاح الحساب کی مقدماتی فہرست میں دیتا ہے۔ عنوان ہونا ہر حصہ مکمل ہونے کا فیصلہ نہیں۔ ہماری کھلی زمانی حد کاشی کی1429 تک کی زندگی پر ختم ہے، گھڑا ہوا سال تصنیف یا بعد کی شرح کی تاریخ نہیں ^{1 7}۔

میک ٹیوٹر کاشی کو انفرادی طور پر اسلامی ریاضی دان کہتا ہے۔ مسلم شناخت کی درج بنیاد یہ ہے، ان کا نام یا شہر نہیں۔ عجائب گھر کا الگ عمومی سنی فریم کسی ذاتی مکتب کی مفصل سند نہیں۔ سرپرست کے مسلک سے ان کی شناخت نہیں نکالتے، نہ پڑھی گئی علمی سوانح کو ان کی پوری دینی تعلیم کا ریکارڈ قرار دیتے ہیں ^{8 9}۔

قاضی زادہ کا معاملہ الگ توثیق مانگتا ہے۔ ان کی میک ٹیوٹر سوانح اسی قدر کے لیے مختلف طریقہ کہتی ہے، TDV شرح بتاتا ہے، کاشی کی سوانح ممکنہ تکمیل بیان کرتی ہے۔ ممکن ہے مختلف کام یا مرحلے مراد ہوں، مگر متون مقابل کر کے فیصلہ نہیں کیا۔ نہ ان کا کردار مٹاتے ہیں، نہ ہر قدم میں برابر شریک مصنف بنا دیتے ہیں ^{2 3 1}۔

آگے جدید اشتقاق ہے، رسالے کی نقل نہیں۔ میک ٹیوٹر تاریخی مسئلے کو مکعبی اور تکرار سے جوڑتا ہے۔ ہم آج کی علامت سے تعلق سمجھاتے ہیں، عین ترتیب کاشی سے منسوب نہیں کرتے۔ ایک درجے کا جیب x اور تین درجے کا a لیں۔ تین گنا زاویے کا تعلق a=3*x-4*x*x*x ہے۔ زاویہ تین گنا کرنے سے جیب صرف تین گنا نہیں ہوتا ¹۔

ترتیب بدل کر x=(a+4*x*x*x)/3 لکھیں۔ تقریبی مدخل a سے x0=a/3 شروع کریں، پھر موجود تخمینے کو دائیں جانب رکھ کر اگلا تخمینہ لیں۔ مکعب کا مطلب عدد کو خود سے تین مرتبہ ضرب دینا ہے، اسے تین سے ضرب دینا نہیں۔ خاص مجموعے کو تین سے بانٹتے ہیں، شکل کا ہر زاویہ یا ضلع نہیں۔

ہمارا جدید حساب سافٹ ویئر کے مثلثی تابع سے a≈0.05233595624294383 لیتا ہے۔ ابتدا تقریباً 0.017445318748، اگلا نتیجہ 0.017452397806، پھر 0.017452406427 ہے۔ دکھائے عدد گول کیے ہیں، تاریخی جدول کے پڑھے خانے نہیں۔ تیار تابع سے مثال جانچنا اس پرانے طریقے کی تعمیر نو نہیں جس سے ابتدائی قدر نکالی جاتی تھی۔

یہاں بہتری کیوں آتی ہے؟ صفر سے0.02 تک دائیں جانب کا مشتق 4*x*x زیادہ سے زیادہ0.0016 ہے۔ تخمینے کی تبدیلی کے مقابل نتیجے کی تبدیلی بہت چھوٹی ہے۔ جدید جانچ دیکھتی ہے کہ تحویل اسی مختصر وقفے میں رہتی ہے اور مسلسل فرق گھٹتے ہیں۔ یہ اسی انتخاب کی دلیل ہے، ہر مکعبی اور ہر ابتدائی اندازے کے تقارب کا وعدہ نہیں۔

مساوات کے دوسرے جذر بھی ہیں؛ ہمیں ایک درجے کے حاد زاویے کے مطابق چھوٹا مثبت جذر چاہیے۔ جذر منتخب کرنا حل کا حصہ ہے، آخر میں لگائی سجاوٹ نہیں۔ تیز تکرار غلط مدخل ٹھیک نہیں کرتی: a بدلے تو مسئلہ بدل جاتا ہے۔ زیادہ ہندسے ابتدائی تقریب یا ضرب و تقسیم کی گولائی کی غلطی نہیں مٹاتے۔

تاریخی دقت بدستور علمی مراجع کی خبر ہے، اس محدود مشینی مثال کا ثابت نتیجہ نہیں۔ اسے نیوٹن کا طریقہ نہیں کہتے، کاشی کو آج کی پروگرام ساخت نہیں دیتے، نہ ہر زاویے کی خط کش و پرکار سے عین تثلیث نکالتے ہیں۔ عددی تقریب اور درست ہندسی تعمیر مختلف سوال ہیں، خواہ دونوں زاویوں کی بات کریں ¹۔

TDV قاضی زادہ کی شرح، طہران کی1299 والی طباعت اور روسی ترجمہ بتاتا ہے۔ تقویمی تبدیلی کا اندازہ لگائے یا طباعت دیکھنے کا دعویٰ کیے بغیر وہی خبر دیتے ہیں۔ شرح یا ترجمہ ماخذ کے بیان کے مطابق دلچسپی دکھاتا ہے، طلبہ کی آزاد گنتی یا تمام نسخے ایک ہونے کا ثبوت نہیں۔ نسخہ، تبصرہ اور تاریخی مطالعہ الگ تہیں ہیں ³۔

میک ٹیوٹر کہتا ہے کہ یہ کامیابیاں طویل مدت یورپ میں نامعلوم رہیں اور انیسویں و بیسویں صدی میں زیر مطالعہ آئیں۔ جدید طریقے سے مشابہت براہ راست منتقلی نہیں۔ تاریخی راستے کے لیے نسخہ، مطالعہ اور حوالہ چاہیے، صرف دو تاریخیں اور یہ خیال کافی نہیں کہ پہلے مصنف نے لازماً ہر بعد والے کو دیا ہوگا ¹⁰۔

مثلثی تعلق، حساب، جبر اور مقامی قدر نتیجے کے پیچھے ہیں۔ میک ٹیوٹر بیرونی کا سابق تقریبی مکعبی کام تسلیم کرتا ہے، ایسی مخطوطاتی زنجیر نہیں جسے ہم نے جانچا ہو۔ تفاضلی استیفا سے تقابل جدول کی اصلاح اور جبری تعلق کے بار بار حل کا فرق دکھاتا ہے؛ مختلف اوزار ایک ہی خوارزم بنانا ضروری نہیں ¹۔

جدید مثال کے a کا ماخذ بھی معلوم ہونا چاہیے۔ «تین درجے کا جیب نکالیں» کہنا قدیم مصنف کا طریقہ نہیں سمجھاتا۔ سافٹ ویئر سے خلا بھر کر اسے ماضی سے منسوب نہیں کر سکتے۔ مدخل، تعلق، جذر کا انتخاب اور رکنے کا معیار چار الگ تہیں ہیں۔ ایک کا ہونا باقی تین ثابت نہیں کرتا؛ اچھی وضاحت سوالوں کو چھپانے کی بجائے نمایاں کرتی ہے۔

مراجع دقیق حساب کو سمرقند کی فلکیات میں رکھتے ہیں، مگر فلکی جدول میں مشاہدہ، نمونہ، تقویم اور حساب سب ملتے ہیں۔ دقیق جیب ہر ستارے کے محدد کو اتنے ہی اعشاری مقام تک صحیح نہیں بناتا۔ محض فلکیات میں مثلثیات کے استعمال سے کوئی مخصوص بعد کی ایجاد بطور تابع شامل نہیں کرتے ^{11 12}۔

TDV کی شرح والی خبر استقبال کا ایک پہلو ہے؛ قاضی زادہ کے کردار کے مختلف وصف محفوظ رہتے ہیں۔ جدید سافٹ ویئر تدریسی تقابل ہے، ثابت جانشین نہیں۔ پڑھے ہوئے ثبوت کے بغیر مشہور ناموں کا جال بنانے سے براہ راست تابع خالی چھوڑنا بہتر ہے۔ اس کا مطلب بے قدری نہیں؛ یہاں خاص نوعیت کا تعلق قائم نہیں ہوا ³۔

چھوٹی قدر روزمرہ سے دور لگ سکتی ہے، لیکن شکل ناپنے اور قابل تکرار حساب کرنے کا عملی فرق سکھاتی ہے۔ ایرانیکا زیادہ دقیق جیب کی تلاش کو فلکی ضرورت سے جوڑتا ہے، ان ہندسوں کی وجہ سے بنی گھریلو مشین سے نہیں۔ رسالے نے کتنی دولت، وقت یا سفر بچایا، اس کا ناپا عدد ہمارے پاس نہیں، اس لیے بناتے بھی نہیں ⁴۔

مدخل کا معیار طریقے کی مہارت جتنا اہم ہے۔ دکھائے ہندسے ٹھہر جانے کے بعد دہرانا تاریخی نسخے کا نیا علم نہیں۔ یہ موجودہ تعلیمی استعمال ہم تجویز کرتے ہیں، ماضی کے ثابت سماجی اثر سے الگ ہے۔ کاغذ کا حساب نظام جہاز رانی نہیں، اور بچوں کی سرگرمی سورج دیکھنے یا آلہ بنانے کی ہدایت نہیں بنتی۔

اس کام میں جبر و مثلثیات ملتے ہیں: زاویے کا سوال مساوات بنتا ہے، پھر تقریبی عمل۔ میک ٹیوٹر تکرار کے معیار اور ایرانیکا منقول دقت کو نمایاں کرتا ہے۔ ہم محدود عددی ترقی بیان کرتے ہیں، یہ نہیں کہ جدید ریاضی کی ہر شاخ یہاں شروع ہوئی، نہ سابق تقریب مٹا دیتے ہیں ^{1 4}۔

اس کے مطالعے کی تاریخ کامیابی اور بعد کی پذیرائی کا فرق بھی دکھاتی ہے۔ ایک ماحول میں متن، کہیں بعد میں تاریخ دان کا مطالعہ اور آج کا پروگرام تین کہانیاں ہیں، خودکار واحد نسب نہیں۔ یورپ کے تاخیر سے جاننے کی خبر کو ہر یورپی مصنف اور کتب خانے کی ہماری آزاد جانچ نہیں بنا سکتے ¹⁰۔

نسبت رسالے کو بیان کرنے والے علمی مراجع پر ہے، جدید نقشے اور مخطوطے کی مشابہت پر نہیں۔ بیرونی سابق تقریب کے صاحب ہیں، قاضی زادہ کے کردار مختلف طرح بیان ہوئے ہیں۔ ان کو ماننا نہ کاشی حذف کرنا ہے، نہ «ممکنہ تکمیل» کو ہر حساب میں یقینی شرکت بنا دینا ^{1 2}۔

دقت کے الفاظ بھی مختلف ہیں۔ ایرانیکا اعشاری پھیلاؤ کے سترہ ہندسے، کاشی کی سوانح پائی جیسی دقت، قاضی زادہ کی سوانح 10^-12 کی رتبت دیتی ہے۔ انہیں زبردستی ایک معنی یا اصل ہندسوں کی آزاد قرأت نہیں بناتے۔ گولائی و غلطی ناپنے کے لیے پڑھا ہوا عددی شاہد درکار ہے، مختلف پیراگراف کے اعداد کا خاموش ملاپ نہیں ^{4 1 2}۔

جدید سبق چھوٹے وقفے کو جانچ سکتا ہے، مسلسل تخمینے ملا سکتا ہے اور باقی 3*x-4*x*x*x-a دیکھ سکتا ہے۔ چھوٹا باقی مدخل والی مساوات جانچتا ہے، مدخل کی تاریخی صحت نہیں۔ گول دکھائی قدر اور اندر کی لمبی قدر الگ کریں، ورنہ دو تخمینے صرف اس لیے برابر دکھیں گے کہ پردہ فرق چھپا دیتا ہے۔

دوبارہ استعمال شدہ تصویر TheOtherJesse کا2007 کا قائمہ مثلث ہے، جسے خالق نے ملک عام کیا۔ A،B،C اور انگریزی نام جدید ہیں؛ دکھایا زاویہ ایک درجہ نہیں۔ نہ کاشی کے اعداد یا صفحہ اس میں ہے، نہ اس کا پیمانہ ان کا طریقہ ثابت کرتا ہے۔ یہ مقابل و وتر سمجھاتا ہے، تاریخی نسخہ نہیں ¹³۔

یہاں شہادت وہ علمی بیانات ہیں جو واقعی پڑھے۔ TDV رسالہ و شرح اور ایرانیکا فہرست دیتے ہیں۔ اصل، شرح یا قاضی زادہ کی سوانح میں مذکور دلیغان کا فنی مطالعہ نہیں پڑھا۔ یاد سے مخطوطے کا نمبر یا ان دیکھی تصویر معائنہ شدہ شہادت بنا کر پیش نہیں کرتے ^{3 7 14}۔

تکمیل، شرح اور مختلف طریقے کے وصف کام کے ریکارڈ اور معاون نثر میں کھلے ہیں۔ تلاش کے خلاصے سے رسالہ گم شدہ نہیں کہتے، نہ مصنف کے ہاتھ کا نسخہ محفوظ ہونے کا دعویٰ کرتے ہیں۔ کیا پڑھا واضح کرنا قاری کو دلیل کی تہہ جانچنے دیتا ہے؛ عنوان جاننا متن قائم کرنے سے الگ ہے۔

سمرقند عمارت و رصدگاہ یاد دلاتا ہے، مگر یہاں حساب اور کتاب کی کہانی بھی ہے۔ باپ بیٹے کے خطوط، سرپرستی اور ساتھیوں کی گفتگو سوانح میں ملتے ہیں۔ تعریف اپنے قائل سے منسوب رہتی ہے، قوموں کی مسابقت یا عجائب گھر کا ہر میدان میں سب سے برتر ہونے کا فیصلہ نہیں بنتی ^{15 6}۔

لمبے عدد سے ہر میدان فتح کرنے والے ہیرو کی کہانی بنانا آسان ہے۔ ایرانیکا حساب و آلات کی مہارت اور کونی سیاروی نظریے میں کم ثابت کام الگ کرتا ہے۔ اس سے عددی نتیجہ چھوٹا نہیں ہوتا، تاریخی شخص نعرے سے زیادہ متعین ہوتا ہے۔ پیچیدہ تصنیفی سوال علم کی تاریخ کا حصہ ہے، چھپانے والا نقص نہیں ¹⁶۔

ایک کارڈ پر «زاویہ»، دوسرے پر «ضلعوں کی نسبت» لکھیں۔ عدد کا تہائی اور زاویے کے تہائی کا جیب کیا ایک سوال ہے؟ بڑا شخص نقشے کی صحت ناپے بغیر مثلث کے حصے بتا سکتا ہے۔ مقصد مقدار کی قسم کا فرق سمجھنا ہے، لمبا جواب یاد کرنا یا فلکی آلہ بنانا نہیں۔

پھر تخمینہ، اصلاح اور ابتدائی قدر کا ماخذ لکھیں۔ سورج، دوربین یا خاص سامان نہیں چاہیے۔ جب دکھائے ہندسے ملیں تو پوچھیں کیا جواب عین ہوگیا یا کاغذ چھوٹا فرق دکھانا چھوڑ گیا۔ مثال کی حد پہچاننا بھی سیکھنا ہے، جیسے پہچاننا کہ ہمارا نقش کاشی کا صفحہ نہیں۔ واضح سوال لمبے مگر بے بنیاد عدد سے بہتر ہے۔

• ¹⁷
• ¹⁸
• ¹⁹
• ²⁰
• ¹³