ابن الہیثم کا چوتھی قوت سے حجم کا طریقہ

ایسے جسم کا حجم کیسے معلوم ہو جس کی حد نہ صندوق ہو نہ اسطوانہ؟ ابن الہیثم کی ترکیب چوتھی قوتوں کے مجموعے کو ایک خم دار جسم کے بالا اور زیریں اندازوں سے جوڑتی ہے۔ زیر بحث جسم کا حجم محیط اسطوانے کا آٹھ بٹا پندرہ ہے ¹۔ یہ تمام حسابان کی ایجاد یا ہر قطع مکافی جسم کا پہلا حساب نہیں، بلکہ ایسے خاص مسئلے کی توسیع ہے جس میں چوتھی قوت درکار ہوتی ہے۔ باریک تہیں شکل جیسی دکھائی دیں، اتنا کافی نہیں؛ ان کے ساتھ ثبوت بھی چاہیے ²۔

یہ حساب اور دلیل کی ترکیب ہے، محفوظ مشین نہیں۔ چوتھی قوت میں عدد کو چار مرتبہ بطور عامل لیتے ہیں؛ دو کی چوتھی قوت سولہ ہے۔ مسلسل اعداد کی چوتھی قوتوں کا مجموعہ، ان اعداد کے مجموعے کی چوتھی قوت سے مختلف ہے ³۔ ہندسی سوال میں پہلے یہ سمجھنا ہوتا ہے کہ رداس کا مربع چوتھی قوت کیوں پیدا کرتا ہے، پھر تہوں کو لامتناہی گننے کے بجائے مجموعے کا حساب کرنا ہوتا ہے ⁴۔

یہ عام پیالہ نما جسم نہیں جو قطع مکافی کو اسی کے محور کے گرد گھمانے سے بنتا ہے۔ یہاں محورِ گردش قطع کے محور پر عمودی ہے اور متعین خطے کی حد سے گزرتا ہے ⁵۔ لہٰذا8/15 ہر مکافی پیالے یا گنبد کا تناسب نہیں۔ ساتھ کی تقابلی تصویر پرانا محوری جسم دکھاتی ہے، نیا گنبد نہیں۔

مساحت اور حجم کے سوالات ابن الہیثم سے بہت پہلے موجود تھے۔ کاٹز ارشمیدس کے مجموعۂ مربعات اور آریابھٹ کی مجموعۂ مکعبات کی ترکیب کا ذکر کرتے ہیں؛ بعد کے ثبوت میں ان کا استعمال انہیں نئی ایجاد نہیں بنا دیتا ⁶۔ بہت سے ہندسی نتائج جدید علامتی ضابطے کے بجائے معلوم جسم کی نسبت کے طور پر بیان ہوتے تھے ⁷۔

بریسود ارشمیدس کے محوری جسم، جس کا حجم متعلقہ اسطوانے کا نصف تھا، اور عربی علمی ماحول میں ثابت بن قرہ و ابو سہل کوہی کے سابق کام الگ بیان کرتے ہیں ⁸۔ سابق عالم ثابت اس کہانی میں موجود رہتے ہیں؛ براؤزر کے صانع کے انتخاب کی شرط سابقین کو حذف نہیں کرتی۔ سابق کام ترقی کو ختم نہیں کرتا، اور ترقی سابقین کو محض حاشیہ بھی نہیں بناتی۔

کاٹز مجموعوں کی تحقیق کو گیارہویں صدی کے مصر میں رکھتے اور بصرہ سے آنے والے عالم کا مصری قیام بیان کرتے ہیں۔ ٹی ڈی وی سوانح اور وفات کی روایات کے اختلافات بتاتی ہے ^{9 10}۔ قاہرہ یہاں سوانحی سیاق ہے، رسالہ لکھنے کے کسی کمرے کا ثبوت نہیں۔ وسیع صدی کا اندراج سرگرمی کا زمانہ ہے، ایجاد یا تصنیف کی قطعی تاریخ نہیں۔

یہاں پڑھے گئے ریاضیاتی ماخذ جدید علمی تشریحات ہیں۔ کسی ترجمے یا تدوین کا فہرست میں مقام دیکھنا اصل رسالہ پڑھنا نہیں۔ حساب کی تفصیل کاٹز اور بریسود سے لی گئی؛ نہ عربی مخطوطے کی آزاد مقابلہ خوانی، نہ ان کے تمام حوالوں کی قراءت کا دعویٰ ہے ¹¹۔

شخصی ریکارڈ میں مسلم شناخت کی انفرادی بنیاد محفوظ ہے: المناظر کا ان کے نام سے آغاز اور ٹی ڈی وی میں دفاعِ نبوت و کلامی مسائل کی تصانیف کا ذکر۔ نام یا میزبان ریاست کا مسلک اس شناخت کی بنیاد نہیں ^{12 10}۔ سنی سیاق عجائب گھر کا اعلان کردہ زاویہ ہے، ذاتی فقہی مسلک کی دستاویز نہیں۔ فاطمی سرپرستی خود بخود ان کا عقیدہ متعین نہیں کرتی۔

Sunni (اہلِ سنت) — اعلان کردہ سیاق: حصہ متعین نسبت کے ساتھ بیان ہو اور شناخت کے ثبوت کی حد محفوظ رہے ¹⁰۔ علمی قراءت: کاٹز مصنف کی مثال اور جدید تشکیل الگ کرتے ہیں۔ بریسود کے مطابق چوتھی قوت سے آگے جانے کا ثبوت نہیں، اگرچہ ترکیب بڑھائی جا سکتی ہے ^{13 14}۔ یہ تاریک کمرے کے تجربات سے الگ ریاضیاتی حصہ ہے، اسی تجربے کی دوسری گنتی نہیں۔

یہ جدید تدریسی علامتیں ہیں، مصنف کی اصل کتابت نہیں۔ مثبت لمبائیاں a,b لیں۔ قطع x=a(y/b)^2 اور خط x=a کے درمیان خطہ، جہاں 0≤y≤b ہو، اسی خط کے گرد گھمائیں۔ افقی قطع کا رداس r(y)=a(1−(y/b)^2) ہے؛ قاعدے پر a سے چوٹی پر صفر ہو جاتا ہے ^{5 15}۔ دوسرے محور کے گرد گردش دوسرے جسم کو جنم دیتی ہے، اسی حجم کا دوسرا منظر نہیں۔

اونچائی کو n برابر حصوں میں بانٹیں، ہر ایک کی موٹائی b/n۔ قرص کا رقبہ رداس کے مربع پر منحصر ہے۔ رداس میں y² آنے سے اس کے مربع میں y⁴ آتا ہے؛ کسی چوتھی مکانی جہت کی ضرورت نہیں ¹⁶۔ ib/n کی اونچائی پر اندرونی قرص کا حجم πa²b/n × (1−i²/n²)² ہے۔ قوس کھولنے پر 1−2i²/n²+i⁴/n⁴ بنتا ہے؛ اسی لیے مربعات اور چوتھی قوتوں، دونوں کے مجموعے درکار ہیں ¹⁵۔

جدید صورت میں ضابطہ S4(n)=n^5/5+n^4/2+n^3/3−n/30، یا مساوی طور پر n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30 ہے ¹⁷۔ مثلاً 1+16+81+256=354۔ یہ چھوٹی مثال کی پڑتال ہے، ہر مثبت صحیح عدد کے لیے ثبوت نہیں۔ ایک کامیاب مثال باقی اعداد کا احاطہ نہیں کرتی۔

محدود مجموعے کی ترتیب بدل کر استنباط سمجھ سکتے ہیں۔ Sk سے قوتوں کا مجموعہ مراد لیں۔ تب (n+1)S3(n)=S4(n)+ΣS3(j)، جہاں j ایک سے n تک ہے۔ مجموعۂ مکعبات کا ضابطہ رکھنے پر دائیں طرف 5S4/4+S3/2+S2/4 آتا ہے۔ نتیجتاً S4=4(n+1/2)S3/5−S2/5؛ پھر معلوم مربع و مکعب کے ضابطے رکھیں ^{14 13}۔ یہ قابل جانچ جدید تشکیل ہے۔ کاٹز بتاتے ہیں کہ مصنف نے n=4 کی مثال نکالی اور عمومی نتیجہ بیان کیا؛ جدید استنباط کو لفظ بہ لفظ قرون وسطیٰ کا متن نہیں کہتے۔

تبدیلی کے بعد اندرونی قرصوں کے مجموعے کو حجمِ اسطوانہ πa²b سے تقسیم کریں تو L(n)=8/15−1/(2n)−1/(30n^4) ملتا ہے۔ بیرونی مجموعہ U(n)=L(n)+1/n ہے۔ یہ تدریسی تعریفیں ہر اصل تہ کو چھوٹے اور بڑے قرص کے درمیان رکھتی ہیں۔ مجموعی فرق اسطوانے کا 1/n ہے، جسے حسب ضرورت چھوٹا کر سکتے ہیں۔ n=4 پر L=0.408203125 اور U=0.658203125، جبکہ 8/15 درمیان میں ہے ¹⁵۔

یہ اعداد ہماری مثال ہیں، تاریخی پیمائش نہیں۔ فرض کریں اصل حجم 8πa²b/15 سے مختلف ہو۔ احاطے کا فرق اس مفروضہ اختلاف سے چھوٹا کریں تو ہندسی احتواء سے تضاد پیدا ہوتا ہے؛ یہ استنفاد کی اس دوہری برہان بالخلف کا جدید بیان ہے جسے کاٹز واضح کرتے ہیں ¹⁵۔ صفر موٹائی کا کوئی آخری قرص نہیں، اور بہت سی تہیں کھینچنا تقارب کا ثبوت نہیں۔ اپنی مثال a=2,b=3 میں حجم 32π/5 مکعب اکائیاں ہے؛ دونوں لمبائیوں کی اکائی یکساں ہونی چاہیے۔

اس جدید تشکیل میں حصوں کی تعداد مثبت صحیح عدد، اور اونچائی و قاعدے کا رداس مثبت فرض ہیں۔ صفر اونچائی پر تقسیم کا وقفہ نہیں بچتا، صفر رداس پر جسم سمٹ جاتا ہے۔ یہ زوال پذیر صورتیں صفر سے تقسیم کر کے نہیں چھپائی جا سکتیں۔ حصے بڑھانے سے جسم کی اونچائی نہیں بڑھتی؛ قرص کی موٹائی اور تعداد بدلتی ہیں، دونوں لمبائیاں ثابت رہتی ہیں۔ قرصوں کا نمونہ تقریب بدلنے اور اصل شے بدلنے میں فرق واضح کرتا ہے ^{18 15}۔

ابعاد کی پڑتال غلط نقل شدہ ضابطہ پکڑنے کا الگ راستہ ہے۔ حجم میں لمبائی کا مکعب چاہیے؛ a²b مناسب ہے، رقبے کا عامل ab نہیں۔ اسطوانے سے نسبت بے اکائی ہے کیونکہ ایک نوع کی دو مقداریں تقسیم ہوتی ہیں۔ تمام لمبائیاں دوگنی ہوں تو حجم آٹھ گنا، مگر نسبت یکساں رہتی ہے۔ یہ دکھائے ضابطے کا تدریسی نتیجہ ہے، عالم کی کسی رپورٹ شدہ تجرباتی پیمائش کا دعویٰ نہیں ¹⁵۔

کاٹز ابن حیدر، ابن غازی اور کاشی کی بعد کی تصانیف میں چوتھی قوت کا ضابطہ ملنے کا ذکر کرتے، مگر یورپ تک انتقال کو مخطوطاتی تحقیق کا سوال رکھتے ہیں، مکمل سلسلۂ اساتذہ نہیں ¹⁹۔ بعد کی کتاب میں ضابطے کی موجودگی راستہ خود بخود ثابت نہیں کرتی۔ المناظر کے لاطینی انتقال کا ثبوت بھی ہر الگ ریاضیاتی نتیجے کے ساتھ منتقل ہونے کا ثبوت نہیں ²⁰۔

حساب میں آسان تر قوتوں کے مجموعے، دائرے کا رقبہ، اور محیط و محاط مقداریں استعمال ہوتی ہیں۔ ڈینس و ایڈنگٹن مستطیلوں اور پٹیوں سے مجموعوں کی نئی ترتیب اور عدد و ہندسے کا تعلق سمجھاتے ہیں ²¹۔ اس کے لیے یہ مفروضہ ضروری نہیں کہ ابن الہیثم نے اس جسم پر ارشمیدس کی خاص کتاب براہ راست پڑھی تھی۔ بریسود موروثی ہندسہ اور عربی علمی ماحول میں بننے والے ثبوت الگ رکھتے ہیں ⁸۔

Sunni (اہلِ سنت) — نسبت کی حد: یہ حصہ ثابت کرنے کے لیے ہر بعد کی ریاضی اسی صانع سے منسوب کرنا ضروری نہیں ¹⁰۔ علمی قراءت: کاٹز حسابی ساخت کی تعمیم سمجھاتے، مگر آج ہم جو نکال سکتے ہیں اسے عالم کے بیان سے الگ رکھتے اور یورپی راستے تحقیق کے لیے کھلے چھوڑتے ہیں ²²۔ ہمارا عمومی خاکہ کسی خاص جدید ڈیزائن پروگرام یا تاریخی گنبد تک بے دستاویز نسب نہیں بناتا۔

پڑھے گئے مقامات کسی کارگاہ میں اس نسبت سے حوض بننے، یا مال و مواد کی بچت کی مقدار کا ریکارڈ نہیں دیتے۔ مستند کامیابی ریاضیاتی ہے: خم دار حد کا اندازہ لگانے کے بجائے حساب اور احاطے سے درست حجم نکالنا ⁴۔ کاغذی تہوں کی آزمائش ممکن ہے، مگر کٹائی کی درستگی اور کاغذ کی موٹائی جدید تجربے کے مسائل ہیں، تاریخی ثبوت نہیں۔ نمونے کی تصویر اس کی عمر یا صحت کی سند نہیں۔

یہ طریقہ حجم و تکامل کی ایسی تاریخ دکھاتا ہے جو مختلف مسائل اور زمانوں میں پھیلی ہے، ایک لمحۂ ایجاد نہیں۔ بریسود مربع و مکعب کے ہندسے سے آگے بڑھنے کی مشکل سے ان تصورات کو سمجھاتے ہیں جو تیز نصابی ضابطوں سے پہلے تھے ²³۔ عدد اور شکل ایک دوسرے کو مقید کرتے ہیں: مجموعے کا ضابطہ تبھی کافی ہے جب قرص صحیح جسم گھیرتے ہوں، اور صرف تصویر کافی نہیں جب تک ان کا مجموعہ نہ نکالیں۔ یہی ربط اسے محض عددی لطیفے سے آگے لے جاتا ہے۔

نسبت چوتھی قوت سے مخصوص حجم کی ترکیب کی توسیع ہے، جمع، پہلے گنبد یا حسابان کے بنیادی قضیے کی ایجاد نہیں ²⁴۔ Sunni (اہلِ سنت): اعلان کردہ سیاق علمی تقدم کی دلیل نہیں ¹⁰۔ علمی قراءت: پڑھی ہوئی تشریح کی تائید تک بات رکھتے اور مصنف و جدید تشکیل کو الگ کرتے ہیں۔ اصل عربی رسالہ آزادانہ نہ پڑھنا ماخذ کی حد ہے، حافظے سے خالی جگہ بھرنے کی اجازت نہیں ²⁵۔

مثال محدود مجموعے اور درست حجم، اور عددی پڑتال و ثبوت کا فرق سمجھاتی ہے۔ سٹیون بالتکاتئی ساندووال کا جدید مشارکت بالمثل خاکہ قطر اور اونچائی کے ساتھ عام محوری پیالہ دکھاتا ہے؛ یہ پہلے مسئلے کا تقابل ہے،8/15 گنبد کی تصویر نہیں ²⁶۔ ذہن میں محورِ گردش بدلنے سے اصل جسم بدلتا ہے، صرف کیمرے کا زاویہ نہیں۔

ہمارا پڑھا شاہد جدید مقالہ، خصوصاً167–168 کی تصاویر، اور بریسود کی تشریح ہے؛ مصنف کا خود نوشتہ مخطوطہ نہیں ^{4 2}۔ کاٹز راشد کی مجسم مکافی کی تحقیق کا حوالہ دیتے ہیں؛ اسے تحقیقی راستہ سمجھتے ہیں، اَن پڑھے صفحات کی سند نہیں ²⁷۔ مرخص خاکہ نہ تاریخی آلہ ہے نہ نیا ملنے والا قرون وسطیٰ کا ورق۔

مثال ریاضی کو ناموں، سوالوں اور واسطوں سے بیان کرنے میں مدد دیتی ہے، یہ اعلان کرنے میں نہیں کہ ایک تہذیب نے سب کچھ بنایا۔ ان علمی بیانات میں یونانی، ہندوستانی اور عربی میں کام کرنے والے اہل علم کے مسائل اور زمانے مختلف ہیں ^{23 1}۔ ہر دکھائی دینے والے گنبد پر ابن الہیثم کی حسابی مہر نہیں؛ ظاہری مماثلت منحنی خط یا معمار کے استعمال کردہ ضابطے کی سند نہیں۔

قرصوں کا ایسا مینار سوچیں جو اوپر جاتے ہوئے تنگ ہوتا جائے۔ چھوٹا مینار خم دار جسم کے اندر اور بڑا اس کے باہر رہے۔ تہیں باریک کرنے سے دونوں کا فرق کم ہوتا ہے۔ یہ ابن الہیثم کے حساب کی حدبندی سمجھنے کا راستہ ہے ¹⁵۔ پہلے پوچھیں: کون سا خطہ، کس لکیر کے گرد گھومتا ہے؟ پھر اعداد آزمائیں، مگر چار کامیاب تہیں ہر تعداد کے لیے خود بخود ثبوت نہیں۔

• کاٹز1995، منتخب163–168،174 پڑھے؛167–168 کی تصاویر دیکھی گئیں۔ پورا مقالہ یا اصل عربی رسالہ نہیں ²⁸۔
• بریسود1 کے1–4 اور3 کے1–3، اصل مضامین، پلیٹ فارم کے خودکار خلاصے نہیں ^{23 29}۔
• ڈینس و ایڈنگٹن، انفرادی شناخت کی سابق بنیاد، اور جدید تصویر ^{30 12 10 31}۔