باقی کے مسئلے کا ابن الہیثم کا ضربی حاصل سے جواب

میک ٹیوٹر ابن الہیثم کا ایسا عدد تلاش کرنا بیان کرتا ہے جسے2،3،4،5،6 سے تقسیم کرنے پر باقی1 ہو، مگر7 پر پورا تقسیم ہو۔ بیان میں مسلسل اعداد ضرب دے کر ایک جمع کرنے کی تشکیل ہے:6!+1=721۔ یہ ایک خاص عددی حصہ ہے، باقی کے ہر مسئلے یا بیک وقت ہر شرط کی پہلی ایجاد نہیں ¹۔

بیان آج ولسن کے قضیے کے نام سے معروف نتیجہ استعمال کرتا ہے، اور تمام جواب دینے والا دوسرا طریقہ بھی بتاتا ہے، مگر اس کی تفصیل نہیں دیتا۔ ہم اس خبر اور عجائب گھر کے آزاد جدید سلسلے301+420j کو الگ رکھتے ہیں۔721 سب سے چھوٹا مثبت جواب بھی نہیں؛301 چھوٹا ہے اور یہی شرطیں پوری کرتا ہے ^{1 2}۔

باقی وہ ہے جو مقسوم علیہ کے پورے مضاعفات نکالنے کے بعد بچے۔721 کو6 سے تقسیم کرنے پر1 بچنے کا مطلب721=6×120+1 ہے، خارج قسمت1 ہونا نہیں۔ مسئلہ کئی شرطیں ایک ساتھ مانگتا ہے؛ ایک شرط پوری کرنے والا عدد ابھی مکمل طور پر جانچا ہوا جواب نہیں ¹۔

عاملیہ مسلسل مثبت صحیح اعداد کی ضرب کا جدید اختصار ہے:6!=1×2×3×4×5×6=720۔ علامت تعجب یہاں ریاضیاتی علامت ہے، ابن الہیثم کے اصل متن سے نقل شدہ ادبی اظہار نہیں۔ آج کی قابل فہم زبان میں تعلق سمجھاتے ہوئے منقول تاریخی تشکیل اور اپنی جانچ کا فرق باقی رکھتے ہیں ³۔

میک ٹیوٹر اسے چینی قضیۂ باقی کی خاص صورت کہتا ہے۔ اس لیے تقسیم کی شرطیں جمع کرنے کی ہر فکر ابن الہیثم کو دینا درست نہیں۔ اس ریکارڈ کا موضوع بڑے مسائل کی روایت میں عاملیے کی ایک خاص تشکیل ہے۔ پرانی بنیاد بعد کے حصے کو بے معنی نہیں کرتی، مگر ایک شخص کے صفر سے سب شروع کرنے کی کہانی روکتی ہے ¹۔

یہ سوال چوتھی قوت سے حجم کے طریقے اور دائروی نقطۂ انعکاس سے بھی الگ ہے۔ ایک ہی حصہ کئی ناموں سے دوبارہ نہیں گنتے۔ یہاں صحیح اعداد کی قیدیں ہیں، بصری سطح یا حجمی تقسیم نہیں۔ کئی میدانوں میں کام کرنا خود کسی خاص طریقے کی ان کے درمیان براہ راست منتقلی ثابت نہیں کرتا ¹۔

میک ٹیوٹر اوپسکولا کا حوالہ دے کر راشد کی تحقیق کا ترجمہ استعمال کرتا اور دو طریقے بیان کرتا ہے۔ پہلے کی تشکیل واضح کرتا ہے، دوسرے کے متعلق کہتا ہے کہ اس قسم کے تمام جواب دیتا ہے۔ ہم نے وہ بیان پڑھا، عربی اصل یا راشد کی پوری طباعت نہیں۔ قیاس سے عربی رسالے کا عنوان نہیں بناتے، نہ جدید مجموعے کا نام قدیم کتاب کی شناخت قرار دیتے ہیں ⁴۔

اس پیراگراف میں ثابت تاریخ والی مجلس یا کمرۂ تصنیف نہیں۔ مصنف کی اواخر دسویں اور اوائل گیارہویں صدی کی زندگی وسیع زمانی افق ہے؛ قاہرہ سوانح کا ماحول ہے، اس سوال کی ثابت جگہ تصنیف نہیں۔ المناظر کی کسی تاریخ کو ہر دوسری عددی فکر کی تاریخ خود بخود نہیں بناتے ^{5 6}۔

مصنف کی پہلے سے درج فردی شناخت، المناظر کے آغاز اور ٹی ڈی وی کی بنیاد سمیت، الگ معلن سنی فریم کے ساتھ محفوظ ہے۔ مصر کی ملازمت یا درست حساب سے نیا مسلک اخذ نہیں کرتے۔ یہ نشست ان کی سوانح کے ہر متن کی نئی تنقیدی تحقیق نہیں ^{7 6}۔

ولسن اس حسابی نتیجے سے جڑا جدید نام ہے۔ مَیتھ ورلڈ ولسن، وارنگ، لائبنتس کی پہلے کی معرفت اور لاگرانژ کا برہان بتاتا ہے؛ میک ٹیوٹر ابن الہیثم کا پرانا استعمال۔ دونوں تاریخی بیانات محفوظ ہیں، بغیر نسخے سے نسخے تک فرضی براہ راست راستہ یا پوری تاریخ ایک شخص کو دینے کے ^{8 1}۔

2 سے6 تک ہر صحیح عدد720 کا عامل ہے۔ ان میں سے ہر ایک سے720 کی تقسیم کا باقی0 اور721 کا1 ہے۔ مگر صرف اس سے7 کی شرط ثابت نہیں ہوتی۔ آج ولسن کا قضیہ کہلاتا نتیجہ کہتا ہے: اولیp کے لیے(p−1)!+1،p پر پورا تقسیم ہوتا ہے۔ یہاں721=7×103 ^{2 1}۔

اس کا مطلب721 اولی ہونا نہیں؛ اس کے عامل7 اور103 الٹ دکھاتے ہیں۔ اولیت کی شرطp پر ہے، بنائے ہوئے جواب پر نہیں۔7 کی جگہ خاموشی سے کوئی مرکب نہیں رکھ سکتے:4 کے لیے3!+1 کا جواب7 ہے، جو4 پر پورا تقسیم نہیں ہوتا۔ کسی فرض کے تحت درست صیغہ اس فرض کو ہٹانے کے بعد لازماً درست نہیں ⁹۔

یہ تمام مثبت جوابوں کا آزاد جدید اخذ ہے، تاریخی دوسرے طریقے کی بازیافت نہیں۔2 سے6 تک اقل مشترک مضرب60 ہے، اس لیےN=60k+1۔ چونکہ60 کو7 سے تقسیم کرنے پر4 بچتا ہے،4k+1 کا7 پر پورا تقسیم ہونا چاہیے۔ نتیجہk=5+7j اورN=301+420j ہے۔

مثبت جوابوں کے لیےj غیر منفی صحیح عدد لیتے ہیں۔ پہلے جواب301،721،1141 ہیں۔ مثلاً301=5×60+1=7×43 اور721=12×60+1=7×103۔ چند جواب درج کرنا اکیلے تکمیل کا برہان نہیں۔ یہاں تکمیل شرطوں کوN=60k+1 میں بدلنے اور7 کی شرط حل کرنے سے آتی ہے، پسندیدہ عدد پر تلاش روکنے سے نہیں۔

420 کا اضافہ تکرار سمجھاتا ہے: وہ60 اور7 دونوں پر پورا تقسیم ہو کر ہر مطلوب باقی محفوظ رکھتا ہے۔721 میں صرف7 ملانے سے728 آتا ہے، جو7 پر تقسیم تو ہوتا ہے مگر6 سے تقسیم میں1 کے بجائے2 چھوڑتا ہے۔60 ملانا پہلی شرطیں بچاتا ہے،7 کی شرط لازماً نہیں۔ لہٰذا کوئی بھی اضافہ نیا جواب نہیں دیتا۔ یہ ہمارے جدید حل کی مشترک مدت کی جانچ ہے، نسخے سے ملی فہرست یا تاریخی دوسرے طریقے کی عین عبارت ہونے کا برہان نہیں۔ ایک شرط بچانا اور سارا نظام بچانا الگ ہیں۔

یہاں پڑھے ماخذ مصنف سے ولسن تک براہ راست مخطوطے کا راستہ نہیں دیتے۔ جدید نام اور پرانا نتیجہ نقل، ترجمہ یا اقتباس ثابت نہیں کرتے۔ خبریں اپنے ماخذ سے منسوب رہتی ہیں؛ غیر ثابت کڑی خاکے میں یقینی تیر نہیں بن جاتی ^{1 8}۔

دوسرے طریقے کی خبر ہر مدرسے یا بازار میں اس کے رائج ہونے کی خبر بھی نہیں۔ ممکن اطلاق تاریخی پھیلاؤ کا عدد نہیں۔ آج کی توضیح معاصر تدریس ہے؛ اسے کسی خاص پرانے نصاب سے جوڑنے کے لیے ایسا مزید ثبوت چاہیے جو یہاں پڑھے پیراگراف نہیں دیتے۔

فوری اجزا اعداد کی ضرب، ایک کا اضافہ اور آخری مقسوم علیہ کی خاص شرط ہیں۔ آخری شرط ہٹا دیں تو60k+1 کے جواب رہتے ہیں، ایک منفرد عدد نہیں۔ بار بار آنے والے عوامل720 کو مناسب مشترک مضرب بناتے ہیں، مگر سب سے چھوٹا نہیں۔ ہر چیز ضرب دینا ہمیشہ مختصر ترین تشکیل نہیں ¹۔

جدید توضیح میں60 اس لیے لیتے ہیں کہ2 سے6 کی شرطیں ایک عبارت میں جمع ہو جائیں۔ یہ مقسوم علیہ باہم جوڑا وار غیر مشترک نہیں:2،4،6 میں مشترک عوامل ہیں۔ اس لیے ایسی حالت کا صیغہ خاموشی سے استعمال نہیں کرتے جو صرف باہم غیر مشترک پیمانوں کے لیے ہو۔ اصل مسئلے کی ساخت سمجھنا نظریے کا بڑا نام لینے سے زیادہ ضروری ہے۔

مَیتھ ورلڈ جدید قضیے کوp>1 کے لیے اولیت کی لازم اور کافی شرط بتاتا ہے۔ یہ کہنا نہیں کہ ہمیں ابن الہیثم کے اصل متن میں دونوں سمتوں کا مکمل برہان مل گیا۔ نتیجہ استعمال کرنا، اسے ثابت کرنا اور اس سے تیز عملی امتحان بنانا الگ دعوے ہیں ^{3 1}۔

درس میں ہر قدم ضرب دیتے ہوئے صرف موجودہ باقی محفوظ رکھا جا سکتا ہے، تاکہ بہت بڑے اعداد نہ لکھنے پڑیں۔ یہ مثالیں جانچنے کا جدید طریقہ ہے، قرون وسطیٰ کے مصنف سے منسوب کمپیوٹری طریقہ نہیں۔ مشابہ حساب ہر موجودہ پروگرام یا رمز نگاری اطلاق تک براہ راست نسب ثابت نہیں کرتا۔

پڑھے پیراگراف نہ تاجروں کے بچائے ہوئے وقت، نہ اس مثال پر مبنی معاہدے درج کرتے ہیں۔ ثابت حصہ بیک وقت عددی شرطوں اور متعدد حلوں کی تحقیق ہے۔ اسے قدیم روزمرہ آلہ دکھانے کے لیے تجارتی قصہ نہیں گھڑتے؛ کسی سوال کو بیان کے لائق ہونے کے لیے مالی فائدے کا پیمانہ ضروری نہیں ¹۔

آج کے قاری کے لیے صاف سبق ہے: درست جواب لازماً چھوٹا ترین نہیں، اور ایک جواب سب جواب نہیں۔ تشکیل کا طریقہ بڑا مگر آسانی سے قابل جانچ عدد دے سکتا ہے، جبکہ شرطیں دوبارہ لکھنا پوری جماعت کا مختصر بیان دے۔ یہ301 اور721 سے تدریسی سبق ہے، مصنف کے ذاتی معاشی مقصد کی شہادت نہیں۔

مسئلہ مصنف کی غیر بصری ریاضی بھی دکھاتا ہے: بیک وقت قیدوں والے صحیح اعداد، صرف آئینے اور آنکھیں نہیں۔ مگر المناظر کی شہرت ہر دوسرے میدان میں اولیت ثابت نہیں کرتی۔ نسبت اسی خاص تشکیل تک محدود ہے جسے تاریخی بیان پیش کرتا ہے ¹۔

یہ تشکیل، تصدیق اور تکمیل الگ بھی کرتی ہے۔721 بنایا جا سکتا ہے، ہر شرط جانچی جا سکتی ہے، پھر چھوٹے جواب اور پوری جماعت پوچھی جا سکتی ہے۔ یہ الگ کام ہیں۔ دوسرے طریقے کا ذکر بتاتا ہے کہ تاریخی قصہ پہلا عدد پیدا کرنے پر نہیں رکتا۔ غائب تفصیل کو جدید برہان سے بھر کر اس بدلاؤ کو چھپاتے نہیں ⁴۔

معلن سنی فریم: ابن الہیثم کی موجود فردی شناخت کی بنیاد محفوظ ہے، حساب سے اخذ نہیں۔ علمی بیان: میک ٹیوٹر پرانی تشکیل اور استعمال، مَیتھ ورلڈ قضیے کا نام اور بعد کی یورپی تاریخ بتاتا ہے۔ دونوں سے ہمارا براہ راست راستۂ انتقال ثابت نہیں، نہ جدید نام پوری فکر کی تاریخ کی حد بن جاتا ہے ^{6 1 8}۔

یہاں «بہتری» نسبت کی حد محفوظ کرتی ہے: پہلا چینی قضیۂ باقی، پہلا عاملیہ یا ہر تطابقی حساب نہیں۔ اصل متن پڑھنے یا اولیت کے ہر سوال کا آخری فیصلہ کرنے کا دعویٰ نہیں۔ ہم خاص تشکیل، حدود اور قاری کو جانچ میں مدد دینے والا جدید بیان پیش کرتے ہیں۔

تصویر میں دو سرمئی گھڑیاں0،3،6،9 کے لیبل اور درمیان+4h کے ساتھ ہیں۔ سوئی9 سے1 پر آتی ہے:9+4=13، جس کا12 کے پیمانے پر باقی1 ہے۔ یہ دوری حساب کی جدید تشبیہ ہے، ابن الہیثم کی گھڑی یا مخطوطے کی تصویر نہیں۔ نہ یہ خود اولی7 کا مسئلہ ہے:12 مرکب ہے ¹⁰۔

تطابق کا مطلب عام صحیح اعداد میں13=1 نہیں۔ مطلب یہ ہے کہ12 سے تقسیم میں دونوں کا باقی یکساں ہے۔ باقیوں کا حساب عددی فرق مٹانا نہیں۔ تصویر لفظ سمجھاتی ہے، عاملیے کی تشکیل کے لیے ہر اولی عددی خاصیت ثابت نہیں کرتی ¹¹۔

میک ٹیوٹر کے متعین پیراگراف اور مَیتھ ورلڈ کی تعریف، پہلا صیغہ اور تاریخی پیراگراف پڑھے۔ اصل اوپسکولا یا راشد کی پوری طباعت نہیں پڑھی، نہ اسی نام سے عربی مخطوطے کی شناخت نکالتے ہیں۔ نیا کام درج نہ کرنا اسی حد کی حفاظت ہے، یہ کہنا نہیں کہ مصنف نے مسئلے پر کچھ لکھا ہی نہیں ⁴۔

کامنز کی اصل تصویر اور حقوق دیکھے گئے۔ سپنڈلڈ نے19 اکتوبر2006 کو اصل اپ لوڈ کیا؛ موجودہ صورت میں2008 کی عبارت کی سیدھ کی اصلاح ہے،CC BY-SA3.0 کے تحت۔ موجودہ اصلSVG بلا تبدیلی شائع ہوتا ہے۔ اپ لوڈ کی تاریخ قدیم ریاضی یا اسی صورت کی تاریخی گھڑی کا ثبوت نہیں ¹²۔

ایجاد کی کہانی ایک نام، کامیابی کا منظر اور آخری عدد پسند کر سکتی ہے۔ مگر خاص جواب اور عمومی بیان، اور قضیے کے نام اور پرانے استعمال میں فرق رہے تو سوال زیادہ بھرپور ہے۔ یہ نام زد ریاضی دانوں کے خلاف فیصلہ نہیں؛ عجائب گھر کا شواہد کی صلاحیت اور حد دکھانے کا طریقہ ہے ^{1 8}۔

توضیح کو نہ خیالی تصویر، نہ افسانوی تدریسی مجلس چاہیے۔ شرطیں پڑھیں، دوبارہ جانچیں، اور پہچانیں کہ دو گھڑیوں کی تصویر دوسرے زمانے کی ہے۔ معلن تقابل جدید تدریسی اثاثے کو قدیم منظر کا ثبوت بنائے بغیر سکھاتا ہے۔

721 لکھ کر2،3،4،5،6 اور پھر7 سے تقسیم کرو۔ صرف خارج قسمت نہیں، باقی درج کرو۔301 کے ساتھ دہراؤ۔ چھوٹا عدد بھی شرطیں پوری کرتا ہے۔ پہلے درست جواب پر نہ رکو، نہ تلاش یا دلیل کے بغیر اسے چھوٹا ترین کہو۔

اب3!+1 سے ملا7 آزماؤ: کیا4 پر پورا تقسیم ہوتا ہے؟ نہیں۔ پوچھو کہ اصل اولی7 کی مثال سے کون سا فرض بدل گیا۔ جدید گھڑی مصنف کے ہاتھ میں ہونا ضروری نہیں، وہ باقی کی تشبیہ ہے۔ تاریخی شہادت اور آج کا حساب ملتے ہیں، ایک چیز نہیں بن جاتے ^{2 1}۔

• میک ٹیوٹر: منقول باقی کا مسئلہ اور تشکیل ¹۔
• مَیتھ ورلڈ: صیغہ، تاریخ اور شرط اولیت ¹³۔
• ٹی ڈی وی: مصنف کا ماحول، ثابت مقام تصنیف نہیں ⁶۔
• کامنز: جدید تصویر اور حقوق ¹²۔