حساب الكاشي التكراري لجيب درجة واحدة

ليس جيب درجة واحدة هو الدرجة نفسها، وليس تحسين حسابه اختراعاً للمثلثات. يرتبط عمل غياث الدين الكاشي في رسالة الوتر والجيب بتقريب قيمة صغيرة بدقة عالية، مستعملاً مسألة تكعيبية وطريقة تكرارية بحسب ماكتوتر. هذا موضوع مختلف عن حساب المحيط؛ هنا النسبة بين ضلعين، وهناك نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ¹.

نسجل تحسيناً عددياً لا أولوية مطلقة. ماكتوتر يذكر تقريباً سابقاً عند البيروني، والدراسات تختلف في خبر إتمام الرسالة ودور قاضي زاده وفي طريقة تلخيص الدقة. نعرض تلك الحدود، ثم نقدم مثالاً حديثاً يشرح معنى التكرار دون أن ندعي قراءة الخوارزمية الأصلية أو مقابلة خاناتها في مخطوط ^{1 2}.

في مثلث قائم، جيب زاوية حادة هو طول الضلع المقابل مقسوماً على طول الوتر. النسبة لا تحمل وحدة طول، وتبقى واحدة عند تكبير المثلث مع حفظ شكله. كلمة الوتر في عنوان الرسالة تذكّر أيضاً بهندسة الدائرة، لكنها لا تجعل الوتر والجيب لفظين متطابقين في كل اصطلاح تاريخي. موضوع القيمة الدقيقة موضح في وصف TDV للرسالة ³.

المطلوب ليس رسماً نقرأ منه سبعة عشر رقماً بمسطرة. إنه مقدار يستخرج بعلاقات رياضية وحساب متتابع. تذكر إيرانيكا توسعاً عشرياً من سبعة عشر رقماً، بينما تقدم المراجع الأخرى عبارات مختلفة عن الدقة؛ لا نحول ذلك إلى شهادة مستقلة لكل رقم أو إلى ادعاء أن زاوية مرصودة في السماء عُرفت بالدقة العددية نفسها ^{4 2}.

الجيوب والأوتار والجداول سابقة على الكاشي. يتيح حساب البتاني للجيوب سياقاً متحفياً أقدم، لكن وجود سجل سابق لا يثبت أن نسخة بعينها وصلت إلى يد الكاشي. وماكتوتر يذكر البيروني في تقريب المعادلة المرتبطة بتثليث الزاوية؛ فهذا مجال له تاريخ ومسائل موروثة، لا سؤال نشأ فجأة في سمرقند ¹.

والتمييز بين جدول وطريقة استخراج قيمة مهم. قد يستعمل الجدول قيمة جاهزة ليقرب قيمة أخرى بالاستيفاء، وقد يسعى الباحث إلى تحسين نقطة أساسية في الجدول نفسه. لا نعد كل استعمال للجيب اختراعاً منفصلاً. وحدتنا هنا العمل العددي الذي تنسبه الدراسات إلى رسالة معينة، لا إعادة تسمية المثلثات أو حساب البتاني أو جداول التوقيت ^{3 4}.

تضع السير الكاشي في محيط سمرقند العلمي عند أولوغ بك، مع كتب وحسابات وآلات ومناقشات. تنقل رسائله إلى أبيه تقديراته لقدرات الزملاء، وهذه أحكام صاحبها وليست ترتيباً محايداً نعتمده. لا يصبح كل من حضر المجلس مؤلفاً مشتركاً للرسالة، كما لا تنسب كل نتيجة إلى الراعي لمجرد أنه دعم المؤسسة ^{5 6}.

يسمي ماكتوتر الوتر والجيب آخر أعماله، ويقول إنه ربما بقي غير مكتمل فأتمه قاضي زاده. وتذكر إيرانيكا عنوانه في قائمة مقدمة مفتاح الحساب المؤرخ بسنة1427. وجود العنوان لا يحسم اكتمال جميع الأجزاء، ولذلك لا نخترع سنة نهائية للتأليف. حدنا المفتوح ينتهي بعام وفاة الكاشي1429 لمساهمته وحدها، لا لأي شرح لاحق ^{1 7}.

يسمي ماكتوتر الكاشي رياضياً إسلامياً بعينه؛ هذه قاعدة هويته المسلمة المسجلة، لا اسمه أو مدينته. والإطار السني الافتراضي للمتحف منفصل عن إثبات مذهب شخصي مفصل. لا نستخرج انتماءه من مذهب الراعي، ولا ندعي أن هذه السير التي قرأناها سجل كامل لتعليمه العقدي والفقهي ^{8 9}.

أما قاضي زاده فله مسألة توثيق مستقلة: تصف سيرته في ماكتوتر طريقة مختلفة في حساب المقدار نفسه، بينما يسمي TDV عمله شرحاً ويذكر ماكتوتر الكاشي احتمال الإتمام. قد تتعلق الألفاظ بأعمال أو مراحل مختلفة، لكننا لم نقابل النصوص لحسم ذلك. لذا لا نمحو اسمه ولا نحوله تلقائياً إلى شريك متساو في كل خطوة ^{2 3 1}.

المثال التالي اشتقاق تعليمي حديث، لا نقل من الرسالة. يربط وصف ماكتوتر المسألة بتكعيبية وتكرار؛ نشرح الفكرة بلغة اليوم دون نسبة رموزنا أو ترتيب خطواتنا إلى الكاشي. لنسم جيب درجة واحدة x وجيب ثلاث درجات a. علاقة الزاوية الثلاثية هي a=3*x-4*x*x*x؛ درجة واحدة تتثلث إلى ثلاث درجات، لكن الجيب لا يتثلث خطياً ¹.

نعيد ترتيب العلاقة إلى x=(a+4*x*x*x)/3. إذا كانت قيمة a معلومة تقريبياً، نبدأ بتخمين صغير x0=a/3، ثم نعوض تخميننا في الطرف الأيمن لنحصل على تخمين جديد. عملية التكعيب تعني ضرب العدد في نفسه ثلاث مرات، لا ضربه بثلاثة. ونقسم مجموعاً محدداً على ثلاثة، لا كل زاوية أو وتر في الرسم.

في حسابنا الحديث نستخدم a≈0.05233595624294383 من دالة مثلثية برمجية. تعطينا البداية 0.017445318748 تقريباً، ثم خطوة 0.017452397806، ثم 0.017452406427. عرضنا مقرب؛ لم نقرأ هذه الأعداد في جدول تاريخي. استعمال دالة جاهزة هنا يختبر شرحاً تعليمياً فقط، ولا يعيد اكتشاف طريقة القدماء في إنتاج القيمة المدخلة.

لماذا تنفع الخطوات في هذا المثال؟ على المجال الصغير من الصفر إلى0.02 يكون معدل تغير الطرف الأيمن 4*x*x أقل من0.0016 أو مساوياً له. لذلك يكون التغير في الناتج أصغر كثيراً من تغير التخمين. ونفحص بقاء التحويل داخل المجال وتناقص الفروق في الاختبار الحديث؛ هذه حجة تخص هذا الاختيار، لا وعد بأن كل تكعيبية وكل بداية تتقارب.

وللتكعيبية جذور أخرى؛ المطلوب هو الصغير الموجب الملائم لزاوية حادة مقدارها درجة. اختيار الجذر جزء من الحل، لا زينة بعد كتابة معادلة. كما أن تكراراً سريعاً لا يصلح قيمة مدخلة خاطئة: إذا تغير a تغيرت المسألة التي نحلها. كثرة الخانات الناتجة لا تمحو خطأ التقريب الأول ولا تمنع خطأ التقريب أثناء الضرب والقسمة.

أما الدقة التاريخية فتبقى منقولة عن الدراسات، لا مثبتة بهذا المثال ذي الحساب الآلي المحدود. لا نسميه طريقة نيوتن، ولا نقول إن المؤلف استعمل البنية البرمجية نفسها، ولا نستنتج إمكان تثليث كل زاوية بمسطرة وفرجار. التقريب العددي والإجراء الهندسي الدقيق مسألتان مختلفتان، وإن اشتركا في حديث عن الزوايا ¹.

يذكر TDV شرح قاضي زاده وطبعه في طهران بالعدد1299 وترجمة روسية. ننقل ذلك كما يورده المصدر، دون تحويل تقويمي تخميني أو ادعاء فحص نسخة الطبع. وجود شرح أو ترجمة دليل على اهتمام بالنص كما تصفه الدراسة، لا إحصاء مستقل لعدد الطلاب الذين استعملوه ولا برهان على اتحاد جميع النسخ ³.

ويقول ماكتوتر إن هذه الإنجازات بقيت طويلاً غير معروفة في أوروبا ثم درست في القرنين التاسع عشر والعشرين. التشابه مع طريقة حديثة لا يثبت انتقالاً مباشراً إلى صاحبها. نحتاج لتتبع طريق تاريخي إلى نسخ وقراءات واستشهادات محددة، وليس إلى مقارنة تاريخين أو إعلان أن الأقدم لابد أنه مصدر كل لاحق ¹⁰.

وراء النتيجة معرفة بالعلاقات المثلثية والحساب والجبر وبنية القيمة المكانية. يذكر ماكتوتر مسائل تقريب التكعيبية عند البيروني؛ هذه سابقة للمسألة لا سلسلة انتقال مخطوط حققنا حلقاتها. ويمكن للقارئ مقارنة استيفاء الفروق لتمييز تصحيح جدول من حل علاقة جبرية متكررة، دون مساواة جميع الأدوات في خوارزمية واحدة ¹.

وفي المثال الحديث يحتاج a نفسه إلى مصدر حسابي معلوم. كتابة «احسب جيب ثلاث درجات» لا تفسر كيف حُسب عند مؤلف قديم. لذلك لا نملأ تلك الفجوة بحساب آلي ثم ننسبه إليه. الفكرة المفيدة هنا فصل المدخل، والعلاقة، واختيار الجذر، ومعيار التوقف؛ أربع طبقات لا يكفي وجود واحدة منها لإثبات البقية.

تصور المراجع صلة الحساب الدقيق بالعمل الفلكي في سمرقند، لكن جدولاً فلكياً كاملاً يجمع قياسات ونماذج وتقاويم ومعالجة عددية. لا تجعل قيمة جيب دقيقة كل إحداثية نجمية صحيحة بالعدد نفسه من المنازل. ولا نضيف سجلاً تابعاً بعينه لمجرد أن علم الفلك يستعمل المثلثات ^{11 12}.

الشرح المنسوب إلى قاضي زاده وجه استقبال يذكره TDV، مع بقاء اختلاف أوصاف الدور. أما تطبيقات البرامج الحديثة فمقارنة تعليمية لا نسب مثبت. ترك قائمة التوابع المباشرة فارغة أصدق من صنع شبكة تأثير بأسماء مشهورة لم نقرأ دليل اتصالها بهذه الرسالة. لا يعني الفراغ أن العمل بلا قيمة، بل أن هذا النوع من الصلة لم يوثق هنا ³.

تبدو قيمة صغيرة بعيدة عن الحياة اليومية، لكنها تشرح فرقاً عملياً بين قياس شكل وإجراء حساب قابل للتكرار. تضع إيرانيكا طلب دقة الجيب ضمن حاجات الكاشي الفلكية، لا ضمن آلة استهلاكية صنعت بسبب هذه الخانات. لا نملك قياساً لكمية مال أو وقت أو سفر وفرتها الرسالة، فلا نبتكر رقماً يجعل أثرها أكثر جاذبية ⁴.

وتعلمنا قراءة العمل أن دقة المدخل مهمة بقدر براعة العملية. في مثالنا، الاستمرار بعد استقرار الخانات المعروضة لا يضيف معرفة عن شاهد تاريخي. هذه فائدة تعليمية حالية نقترحها نحن، مختلفة عن الأثر الاجتماعي الموثق. لا نبيع حساباً ورقياً بوصفه نظام ملاحة، ولا نوجه الطفل إلى قياس الشمس أو بناء أداة للرصد.

يمثل العمل لقاء الجبر بالمثلثات: مسألة عن زاوية تتحول إلى معادلة، والمعادلة إلى عملية تقريب. يبرز ماكتوتر جودة التكرار، وتبرز إيرانيكا الدقة المبلغ عنها؛ نصف ذلك تطوراً عددياً محدداً. لم يبدل هذا حساباً فقط إلى برهان أن كل فروع الرياضيات الحديثة بدأت هنا، ولا يلغي ما جاء قبله من أعمال تقريب ^{1 4}.

كما يوضح تاريخ دراسته الفرق بين الإنجاز وتلقيه اللاحق. نص ينتشر في بيئة علمية، وتاريخيون يقرؤونه في زمن آخر، وبرنامج معاصر يحسب مقداراً قريباً: هذه ثلاث قصص لا قصة واحدة تلقائية. لا نحول تأخر المعرفة الأوروبية الذي يذكره ماكتوتر إلى حكم على كل مكتبة أو كل مؤلف في أوروبا ¹⁰.

نسبة التحسين إلى الكاشي تستند إلى الدراسات التي تصف رسالة الوتر والجيب، لا إلى تشابه رسم حديث مع مخطوط. البيروني سلف في تقريب التكعيبية، وقاضي زاده صاحب دور تصفه المراجع بطرق متفاوتة. الاعتراف بهما لا يقتضي حذف اسم الكاشي ولا ترقية عبارة «ربما أتم» إلى يقين مشارك في جميع الحسابات ^{1 2}.

والدقة ليست عنواناً واحداً متفقاً عليه: إيرانيكا تقول سبعة عشر رقماً في توسع عشري؛ سيرة الكاشي تقارنها بدقة pi، وسيرة قاضي زاده تقدم ملخصاً من رتبة 10^-12. نسجل اختلاف العبارات دون إجبارها على معنى واحد أو اعتبارها قراءة مستقلة للخانات. يلزم شاهد حسابي مقروء لتحديد التقريب والخطأ، لا دمج أعداد من فقرات مختلفة ^{4 1 2}.

يستطيع درس حديث اختبار التحويل على مجال صغير، ومقارنة قيمة قبل خطوة وبعدها، ومراقبة الباقي 3*x-4*x*x*x-a. صغر الباقي فحص للمعادلة المدخلة، لا ضمان أن المدخل صحيح تاريخياً. ويجب تمييز تقريب العدد المعروض من القيمة الداخلية الأطول؛ وإلا بدا تخمينان متماثلين لأن الشاشة أخفت الفرق بينهما.

الصورة المعاد استخدامها رسم TheOtherJesse من2007 لشرح أجزاء مثلث قائم، أطلقه صاحبه للملك العام. الحروفA وB وC والكلمات الإنجليزية حديثة، والزاوية المرسومة ليست درجة واحدة. لا يحمل الرسم أرقام الكاشي ولا صفحته، ولا يثبت مقياسه طريقة تكراره. فائدته توضيح المقابل والوتر، لا تقليد شاهد تاريخي ¹³.

المتاح في هذا العمل هو ما قرأناه من سير ودراسات وصفية. يذكر TDV الرسالة وشرحها، وتورد إيرانيكا قائمة الأعمال، لكننا لم نقرأ الأصل أو الشرح أو دراسة ديلغان التفصيلية التي تحيل إليها سيرة قاضي زاده. لا ننقل رقماً تسلسلياً لمخطوط من ذاكرة أو نعرض ورقة مصورة على أنها شاهد لم نره ^{3 7 14}.

والخلاف بين «إتمام» و«شرح» و«طريقة مختلفة» محفوظ في بطاقة العمل والنصوص المساندة، لا مخفي في هامش داخلي. لا نعلن فقدان الرسالة اعتماداً على ملخص بحث، ولا نزعم بقاء نسخة أصلية بخط المؤلف. تحديد ما قرأناه يتيح للقارئ تقييم طبقة الدليل دون الخلط بين عنوان معروف ومتن حققناه.

تحيط بسمرقند صورة عالمية للعمارة والمرصد، لكن هذه القصة جزء من ثقافة الحساب والكتب أيضاً. رسائل الأب والابن، وتقدير الراعي، والمناقشة مع زملاء، كلها تظهر في السير. تبقى عبارات التفوق مدحاً منسوباً إلى قائله، ولا تتحول في صوت المتحف إلى مسابقة أمم أو إلغاء لبراعة غيره ^{15 6}.

وقد يغري العدد الطويل بحكاية بطل يتجاوز الجميع في كل ميدان. تفرق إيرانيكا بين قوة الكاشي في الحساب والآلات وحدود ما نعرفه من عمله في النظريات الكوكبية الكونية. لا ينقص ذلك من نتيجة عددية، بل يجعل الشخصية أكثر تحديداً من شعار. ونحتفظ بمسألة التأليف المعقدة لأنها من تاريخ المعرفة نفسها، لا عيب يجب ستره ¹⁶.

على ورقة، اكتب «زاوية» في بطاقة و«نسبة ضلعين» في أخرى. قارن ثلث عدد بجيب ثلث زاوية: هل هما السؤال نفسه؟ يمكن للبالغ عرض المثلث وتسميته، دون قياس دقة الصورة. الهدف فهم اختلاف نوعي المقدار، لا حفظ عدد طويل أو تعلم بناء آلة فلكية.

ثم اكتب تخميناً، وخطوة تصحيحه، وعبارة تقول من أين جاءت القيمة الأولى. لا يحتاج النشاط إلى شمس أو منظار أو أجهزة. إذا اتفقت الخانات الظاهرة فتوقف واسأل هل صار الجواب دقيقاً أم أن الورقة لا تعرض مزيداً من الخانات. الاعتراف بحدود المثال جزء من التعلم، مثل معرفة أن رسمنا ليس صفحة الكاشي.

• ¹⁷
• ¹⁸
• ¹⁹
• ²⁰
• ¹³