تقسیم کرہ کی ماہانی کی مکعب تشکیل

ماہانی نے ارشمیدس کا ایک سوال مجسم ہندسے سے الجبرا میں منتقل کرنا چاہا: مستوی کرے کو کہاں کاٹے تاکہ دونوں حصوں کے حجم مقرر نسبت میں ہوں؟ وہ مکعب، مربع اور عدد والی مساوات تک پہنچے، مگر اسے حل نہیں کر سکے۔ میک ٹیوٹر اور ڈولڈ سامپلونیوس خیام سے یہ خبر نقل کرتے، پھر خازن کا مخروطی قطوع سے بعد کا حل بتاتے ہیں ^{2 3}۔

یہاں درج کارنامہ تشکیل ہے، وہ حل نہیں جو نامکمل رہا، نہ کرہ کاٹنے یا تمام مکعب مساوات کی ایجاد۔ یہ خیام کے منظم ہندسی حلوں سے الگ ہے۔ سوال کی زبان بدلنے سے بعد کے محقق کے لیے راستہ بدل سکتا ہے، چاہے پیش کرنے والا خود منزل تک نہ پہنچا ہو ^{4 1}۔

مطلوب نسبت حجموں کی ہے، بلندیوں یا سطحی رقبوں کی نہیں۔ قطب کے قریب مستوی ایک چھوٹا حصہ اور بڑا باقی حصہ بناتا ہے؛ اس کا مقام مقرر نسبت سے ملنا چاہیے۔ موروثی سوال «کرہ و استوانہ» کی کتاب دوم، قضیہ4کا ہے۔ اصل سوال ماہانی سے منسوب نہیں کیا جاتا ³۔

ٹی ڈی وی جدید صورتx³+c=ax²دیتا ہے، جبکہ ڈولڈ سامپلونیوس عددی ضاربوں کے دوسرے نام لیتی ہیں۔ حروف بدلنے سے دو نئی تاریخی مساوات نہیں بن جاتیں۔ ذیل میں ہم اپنی تدریسی علامتیں چنیں گے؛ یہ دعویٰ نہیں کہ مخطوطے میں یہی مطبوعہ نشان یا ہماری منتخب مثالوں کے عدد تھے ^{1 3}۔

کرہ، سوال اور اس کا سابقہ ہندسی طریقہ ماہانی کی ایجاد نہیں تھے۔ خیام کی منقول خبر میں نمایاں کوشش اس سوال کو جبری طور پر دیکھنا ہے۔ مکعب کا آجانا تمام دنیا کا پہلا مکعب ثابت نہیں کرتا، اور اس راستے کے نامکمل رہنے کا مطلب یہ نہیں کہ پہلے ہندسے کی ہر راہ ناکام تھی ⁵۔

یہ کام ارشمیدسی سوال کو نئے علمی ماحول کی جبری زبان سے ملاتا ہے۔ ٹی ڈی وی اقلیدسی شروح، نسبت اور غیر ناطق مقداروں میں ماہانی کی دلچسپی بھی بتاتا ہے۔ ان کا ایک ساتھ ہونا مکمل سببی زنجیر نہیں، نہ یہ ثبوت کہ اقلیدس کی شرح کا ہر صفحہ اسی مساوات کے لیے لازمی قدم تھا ⁶۔

زندگی کے بارے میں معلومات کم ہیں۔ میک ٹیوٹر تقریباً820کی پیدائش دیتا ہے؛ نسبتاً مضبوط تاریخیں853سے866کے مشاہدات کی ہیں جو ابن یونس نقل کرتے ہیں۔ ٹی ڈی وی تقریباً860میں بغداد موجودگی بتاتا ہے۔ رصد کی تاریخ ایجاد کا دن نہیں، اور شہر میں کام کرنا تقسیم کرہ کی تشکیل کا خاص کمرہ ثابت نہیں کرتا ^{7 8}۔

ماخذ کرہ و استوانہ کی شرح اور لیڈن میں متعلقہ اجزا یا شرح کے شواہد بتاتے ہیں۔ نامکمل حل کی صاف خبر خیام کے ذریعے جدید محققوں تک آتی ہے۔ بعد کے مصنف کا بیان، محقق کی مخطوطے کی تفصیل، اور اصل مطالعہ جو ہم نے نہیں کیا، الگ رکھے جاتے ہیں ^{9 3}۔

میک ٹیوٹر ابو عبداللہ محمد بن عیسیٰ ماہانی کو اسلامی ریاضی دان کہتا ہے؛ ٹی ڈی وی انہیں ابتدائی اسلامی ریاضی و فلکیات کے علما میں رکھتا ہے۔ یہ انفرادی بنیاد ہے، نام یا جائے پیدائش سے اندازہ نہیں۔ الگ اعلانیہ سنی فریم، پڑھی سوانح کی فراہم کردہ نئی شخصی مسلکی سند نہیں ^{10 8}۔

وفات تقریباً880رہتی ہے؛ ٹی ڈی وی267/880کے جوڑے پر شک ظاہر کرتا ہے۔ غیر یقینی بات کو قطعی دن نہیں بنایا جاتا۔ تین کردار الگ ہیں: ارشمیدس کا موروثی سوال، ماہانی کی جبری تشکیل، اور خازن کا بعد کا مخروطی حل۔ خازن کو میزان الحکمہ والے خازنی سے بھی خلط نہیں کرنا چاہیے ¹¹۔

یہ جدید میوزیمی شرح ہے، ہر اصل قدم کی بازیافت نہیں۔Rکرے کا نصف قطر اورhقطب سے قطع مستوی تک حصے کی بلندی ہے۔ حجمV=πh²(3R−h)/3اور پورے کرے کا حجم4πR³/3ہے۔ قطع دائرے کے نصف قطر کے لیےa²=h(2R−h)ہے۔ یہ تین جہتی حجم ہے، قرص یا گنبد کی سطح کا رقبہ نہیں ¹²۔

ابt=h/Rاورqکو پورے حجم میں حصے کا تناسب کہیں۔ اکائیاں ختم کرنے سےq=t²(3−t)/4، پھرt³+4q=3t²ملتا ہے۔ یوں ہندسے سے مکعب، مربع اور عدد آگئے۔ ممکن میدان0≤t≤2ہے؛ کناروں پر صفر حصہ یا پورا کرہ، جبکہ دو مثبت حصوں کے لیے0<q<1ہے۔ یہ ہماری جدید معمول بندی ہے، ماہانی کی عبارت کی نقل نہیں ¹³۔

ہماری آزاد مثالt=1/2سےq=5/32ملتا ہے۔ چھوٹے حصے اور باقی کرے کی نسبت5:27ہے،5:32نہیں؛ مؤخر الذکر حصے اور کل کی نسبت ہے۔ رکھنے سےt³+4q=1/8+5/8=3/4اور3t²=3/4ملتا ہے۔ اعداد تشکیل کی مطابقت جانچتے ہیں، یہ نہیں کہ ماہانی نے یہی مثال چنی یا تاریخی حل مکمل کیا۔

آدھے حجم کے لیےq=1/2سےt³−3t²+2=0، یعنی جدید تجزیے میں(t−1)(t²−2t−2)=0ہے۔ جذر1،1+√3اور1−√3ہیں، مگر ممکن حصے کے میدان میں صرف1آتا ہے۔ ہر جبری جذر ممکن قطع نہیں۔ مرکز سے آسان نصف کرنے کی مثال چننا ہر مقرر نسبت کے اصل سوال کا مکمل تاریخی حل بھی نہیں۔

جدید جانچ میںtکے لحاظ سےqکا مشتق3t(2−t)/4ہے، جو0اور2کے درمیان مثبت ہے۔ یوں حصے کی بلندی بڑھانے سے حجمی حصہ بڑھتا، اور ہر اندرونی تناسب کے لیے ایک اندرونی بلندی ملتی ہے۔ دوسرے جبری جذر مادی قطعوں کی تعداد نہیں بڑھاتے۔ یہ ہمارے جدید نمونے کی خاصیت کا برہان ہے، ماہانی کو حساب التفاضل دینے یا ان کی گم دلیل ملنے کا دعویٰ نہیں ¹³۔

خیام کا بیان دکھاتا ہے کہ کوشش الجبرا کی یاد رکھی تاریخ کا حصہ بنی، اور ماخذ خازن کے بعد کے حل کا ذکر کرتے ہیں۔ یہ علمی کاموں کی ترتیب ہے، تمام ناموں کی ذاتی ملاقات یا ایک مکمل استاد شاگرد زنجیر کا ثبوت نہیں۔ پڑھے بیانات تاریخ وار جغرافیائی قبولیت کا نقشہ نہیں دیتے ¹⁴۔

ٹی ڈی وی مختلف کتب خانوں میں شرحوں کے شواہد گنواتا ہے۔ آج نسخے کا مقام ایجاد کی جگہ یا خود بخود تاریخ والا قرون وسطیٰ کا پڑاؤ نہیں۔ اجزا یا شرح کا باقی ہونا انتقال کی ہر منزل معلوم ہونے کے برابر نہیں؛ فہرستی اندراج کو بلا شہادت متحرک تاریخی راستہ نہیں بناتے ¹⁵۔

دی ہوئی شرط دو حصوں کی نسبت ہے؛ مطلوب تعلق حصے کے حجم اور مستوی کے مقام کا ہے۔ نمونہ مثالی کرہ اور مستوی مانتا ہے، بے قاعدہ پھل یا نامعلوم موٹائی کا برتن نہیں۔ جدید مثال ظاہر کرتی ہے کہ سوال بدلنے کے لیے مقدار واضح کرنا ضروری ہے، صرف گول شکل کے ساتھ مکعب لکھ دینا کافی نہیں ¹⁶۔

مقرر نسبتm:nکے لیےq=m/(m+n)ہے،m/nنہیں۔ متعلقہ بلندی پانا الجبرا کو پھر ہندسے میں لوٹاتا ہے۔ یہ منقول نسبت کی شرط کی ہماری جدید شرح ہے، ارشمیدس کا لفظی ترجمہ یا اس بیچ میں اصل متن خود پڑھنے کا دعویٰ نہیں ¹⁷۔

ماخذ کہتے ہیں کہ خازن نے مخروطی قطوع سے مساوات حل کی، اور کوشش کو ہندسے اور الجبرا کے ربط میں اہم سمجھتے ہیں۔ پہلے خاص مسئلے کا حل خیام کی بعد کی متعدد مکعب صورتوں کی تنظیم، اور جدید جذری فارمولوں سے الگ رہتا ہے۔ یہ سب اس ایک ریکارڈ کے بدل نام نہیں گنے جاتے ¹⁴۔

آج کی علامتیں حجموں کا تقابل اور مناسب جذر کا حساب ممکن کرتی ہیں۔ یہ اوزار ماہانی سے اس لیے منسوب نہیں کہ میوزیم کا سبق انہیں برتتا ہے۔ درست تعویض سے ان کی شرح سے ہر جدید مکعب حل کرنے والے کمپیوٹر پروگرام تک براہ راست انتقال بھی ثابت نہیں ہوتا ^{1 13}۔

پڑھے ماخذ ایسی کارگاہ کا اندراج نہیں دیتے جس نے ماہانی کے مطابق کرہ کاٹا، نہ بچائے مواد یا اس مساوات سے بننے والی صنعت کے اعداد ہیں۔ ثابت اثر ریاضی کے سوال کی تشکیل اور تاریخ میں ہے۔ فرضی کاریگر سے خلا نہیں بھرتے، نہ مجسم نمونے کو حقیقی اشیا کاٹنے کی عملی ہدایت بناتے ہیں ⁴۔

تاہم ایک مفید فرق سیکھا جا سکتا ہے: لمبائی، رقبہ اور حجم کی نسبتیں ایک دوسرے کی جگہ نہیں رکھی جا سکتیں۔ نصف قطر اور حصے کی بلندی دونوں دوگنی کرنے سے حجم آٹھ گنا، مگرqوہی رہتا ہے۔ یہ جدید صیغے کا نتیجہ ہے، قدیم آلے کی پیمائش یا ثابت تاریخی معاشی اثر نہیں ¹³۔

میک ٹیوٹر کے پڑھے خیام میں ماہانی کا رک جانا تشکیل کو بے قیمت نہیں بناتا۔ دوسری زبان میں سوال رکھنے سے راستے نمایاں ہو سکتے ہیں۔ مگر ہر غیر حل شدہ مساوات بڑی ایجاد نہیں بن جاتی؛ یہاں ایک خاص منقول سوال اور اس کی مخصوص بعد کی پیروی ہے ⁴۔

یہ ریکارڈ ناکامی کو کہانی کا حصہ بناتا ہے، فتح کے عنوان کے نیچے چھپا حاشیہ نہیں۔ جب ماخذ مکعب پر رکنا کہتے ہیں تو ہم یہ نہیں لکھتے کہ ماہانی نے تقسیم کرہ حل کر دی۔ حاصل نتیجے اور ابھی مطلوب نتیجے کا امتیاز اس تاریخ کو بعد کی مبالغہ آمیز نسبت سے بچاتا ہے ³۔

اہل سنت — اعلانیہ فریم: فرد کی اسلامی شناخت موثق اور ہمہ گیر اولینیت سے الگ ہے۔ علمی مطالعہ: ماخذ خیام سے ماہانی کی کوشش اور خازن کا بعد کا حل نقل کرتے ہیں۔ نسبت خاص جبری تشکیل کی ہے، ہر تہذیب کے ہر مکعب، یا تمام مخطوطے جانچ کر عجائب گھر کے حتمی فیصلے کی نہیں ^{18 1}۔

شواہد پر اعتماد میں بھی فرق ہے: ٹی ڈی وی بعد کی شرح کو کوہی سے منسوب کرتا، ڈولڈ سامپلونیوس «شاید» لکھتی ہیں۔ دو بیانات جمع کر کے یقین نہیں گھڑتے۔ موروثی ریاضی کی کہانی میں غیر مسلم کا حصہ، اس براؤزر کی محدود مصنفانہ شرط کی وجہ سے حذف نہیں ہوتا ^{9 3}۔

tاور2−tکا تقابل تکمیلی حصے دیتا ہے جن کے حجمی تناسب کا مجموعہ1ہے۔t=3/2پرq=27/32اور حصہ بمقابلہ باقی27:5ہے۔ یہ اسی مستوی کو دوسری جانب سے دیکھنے کی آزاد جدید جانچ ہے، ماہانی کی دوسری تاریخی مثال کی دریافت نہیں۔ اسے جانچنے کے لیے قدیم آلہ درکار نہیں۔

تصویر میںrکرے کا نصف قطر،hحصے کی بلندی، اورaقطع دائرے کا نصف قطر ہے؛ ہماری شرح میں کرے کا نصف قطرRہے۔ تصویر کاaٹی ڈی وی کی عمومی مکعب میں اسی حرف والے عددی ضارب کے برابر نہیں۔ بنفشی حصہ اور نیلا کرہ جدید تصویر ہیں، مصنف کے مادی آلے کی شہادت نہیں ¹⁹۔

اصل مطالعے میں میک ٹیوٹر کی مکمل سوانح، احسان فضلی اوغلو کا ٹی ڈی وی مضمون و تصانیف، اور ڈولڈ سامپلونیوس کی ایک صفحے کی نقل شدہ سوانح و مراجع ہیں۔ لیڈن کا جز، ماہانی کی مکمل اصل یا راشد کا درج مطالعہ صرف فہرست میں آنے سے پڑھا ہوا نہیں ہو جاتا ^{20 9 21}۔

ٹی ڈی وی کی دوسری تصانیف میں ضائع تالیف یا فہرستی خبر بھی ہے؛ ہر عنوان مکمل باقی کتاب نہیں۔ پبروکس کی2008کی تصویر مصنف نے ملک عام میں دی؛ حقوق اور موجودہ تصویر دیکھی گئی۔ غیر ترمیم شدہ اصل مستعمل ہے، ماہانی کی شرح کا ورق نہیں ^{15 22}۔

علم کی تاریخ ایک سوال کو راہ کھولتے دکھا سکتی ہے، بغیر ایسے ہیرو کے جو ہر جواب جانتا تھا۔ یہ خبر مسئلے کی زبان اور حل کی زبان کا فرق سمجھاتی ہے۔ دلچسپی کے لیے گھڑا قول یا بغداد کا غیر ثابت ڈرامائی منظر ضروری نہیں ⁴۔

یہاں «مکعب» مساوات کی قوت ہے، کرے سے کٹے حصے کی شکل نہیں۔ «تقسیم» مستوی اور دو حجم مقرر کرنا ہے، محض کاغذ پر عددی تقسیم نہیں۔ لفظوں کی شرح قاری کو تصویر سمجھاتی ہے، بغیر جدید اصطلاح کو مصنف کا فرضی اقتباس بنانے کے۔

کرے کے مقطع کے لیے دائرہ بناؤ اور اوپر کے قریب ایک لکیر کھینچو۔ کاغذ کا چھوٹا رقبہ تین جہتی حصے کی یاد دلاتا ہے، مگر خود اس کا حجم نہیں۔ اصلی گیند یا تیز اوزار درکار نہیں۔ مختلف مقام پر لکیر بنا کر پوچھ سکتے ہو کہ صرف رنگا رقبہ نہیں بلکہ حجم کیسے بدلے گا۔

مثال میںh=R/2سے کل حجم کا5/32ملتا ہے، نصف نہیں۔ ضروری نہیں کہ ماہانی نے یہی اعداد چنے ہوں؛ انہیں ہم نے تعلیم کے لیے چنا۔ تشکیل ایک قدم، حل دوسرا تھا۔ ایجاد کا عنوان پڑھتے وقت پوچھو کہ بنانے والے نے کیا حاصل کیا اور بعد کے محقق کے لیے کیا باقی رہا ^{13 2}۔

• میک ٹیوٹر:سوانح اور خیام کی منقول خبر ²³۔
• فضلی اوغلو، ٹی ڈی وی:مساوات اور تصانیف ²⁴۔
• ڈولڈ سامپلونیوس:سوانح، شواہد اور احتیاطیں ²⁵۔
• میتھ ورلڈ:جدید صیغے، ایجاد کی تاریخ نہیں ¹²۔
• کامنز:جدید خاکہ اور حقوق ²²۔