ماہانی کا متتابع خارج قسمت سے نسبت کا نظریہ

ڈولڈ سامپلونیوس کے مطابق ماہانی نے نسبت کو مقداروں کے باہمی رویے سے بیان کیا: مشترک پیمانہ نکالنے کے عمل میں خارج قسمت کے پورے سلسلے یکساں ہوں تو نسبتیں متناسب ہیں۔ یہ نظریۂ نسبت میں ایک صریح تشکیل تھی، تقسیم یا اقلیدسی طریقے کی پہلی ایجاد نہیں۔ محققہ اس تصور کے زیادہ قدیم پیش رو بھی باقی رکھتی ہیں ¹۔

یہ موضوع نسبت کے رسالے اور اقلیدس کی پانچویں کتاب کی روایت سے متعلق ہے، کرے کی تقسیم کی مکعبی مساوات سے نہیں۔ محققہ کے بیان میں ماہانی نے اپنی تعریف کا اقلیدسی تعریف سے مکمل ربط ثابت نہیں کیا؛ بعد کا کام ابن الہیثم سے منسوب ہے۔ ہماری جدید مثال اس تاریخی کمی کا خاموش متبادل نہیں ^{2 1}۔

نسبت ایک اکیلی لمبائی کا نام نہیں۔ دو بڑی لمبائیوں کا باہمی تعلق دو چھوٹی لمبائیوں جیسا ہو سکتا ہے، جبکہ ان کا مشترک پیمانہ مختلف ہو۔ پہلے دیکھتے ہیں کہ چھوٹی مقدار بڑی میں کتنی بار آتی ہے، پھر چھوٹی اور باقی مقدار کا یہی تقابل کرتے ہیں۔ تاریخی بیان اسے تعلق سمجھانے کا طریقہ بناتا ہے، اقلیدس کے بنیادی اصول کی غلطی نہیں ¹۔

جدید سبق میں ان خارج قسمت کو سادہ مسلسل کسر سے لکھ سکتے ہیں۔ یہاں استعمال ہونے والا نام اور چھپی ہوئی علامتیں ماہانی کے نسخے سے نقل نہیں کی گئیں۔ مَیتھ ورلڈ قوسین اور علامتوں کے مختلف رواج بھی بتاتا ہے؛ اس لیے دو تحریری سلسلوں کو ملانے سے پہلے اپنا رواج متعین کرنا ضروری ہے ³۔

ڈولڈ سامپلونیوس قبل از اودوکسوس تصور، اقلیدس کی مساوی مضاعفات کی تعریف اور قدیم تقابلی عمل کو بیان کرتی ہیں۔ یہ کہنا کہ ماہانی نے اعظم مشترک مقسوم یا ہر مسلسل کسر ایجاد کی، اس پس منظر کو مٹا دے گا۔ اس کارڈ میں ان کا حصہ تناسب کی ایک خاص صریح توضیح ہے، ہماری تدریس کے ہر حسابی آلے کی ابتدا نہیں ¹۔

محققہ کے بیان میں پانچویں کتاب کی ترکیبی پیش کش یہ نہیں دکھاتی تھی کہ نظریۂ نسبت کیسے بنا۔ ریاضی دان اس کی صحت مانتے تھے، مگر مقداروں کے باہمی رویے کی توضیح چاہتے تھے۔ بیان کے انداز سے عدم اطمینان اور حساب کی غلطی دریافت کرنا الگ چیزیں ہیں۔ اس سے یہ بھی ثابت نہیں ہوتا کہ پرانے مصنف آج کی ہر اصطلاح استعمال کرتے تھے ⁴۔

ٹی ڈی وی نسبت کا رسالہ، اس کے شواہد اور دو مزید عنوانی صورتیں درج کرتا ہے۔ ڈولڈ سامپلونیوس سوال اٹھاتی ہیں کہ نسبت کے بتائے گئے تین رسالے الگ بھی تھے یا نہیں۔ ہم نام زد کام کا ریکارڈ رکھتے ہیں؛ تعداد بڑھانے کے لیے تین کتابیں نہیں بناتے، نہ بغیر تقابل کے مخطوطوں کی تفصیل ایک ہی نقل قرار دیتے ہیں ^{5 6}۔

میک ٹیوٹر کی نیریزی کی سوانح کہتی ہے کہ انہوں نے ماہانی کے پیش کردہ تصورات اپنائے؛ ماہانی غالباً ان کی آمد سے پہلے بغداد میں کام کرتے تھے۔ یہ علمی قبولیت کی خبر ہے، ثابت ذاتی تدریسی ملاقات نہیں۔ نویں صدی زندگی کا زمانی افق ہے، مصنف کے ہاتھ کا تاریخ شدہ نسخہ نہیں۔ فلکی رصد کی تاریخ کو نسبت کی تعریف کا دن نہیں بنایا جا سکتا ^{7 8}۔

میک ٹیوٹر ماہانی کی اسلامی شناخت انفرادی طور پر بیان کرتا ہے۔ عجائب گھر کا سنی فریم الگ معلن ہے، شہر یا حساب سے اخذ کردہ شخصی مسلک نہیں۔ ان کی سوانح میں تخمینی تاریخیں تخمینی رہتی ہیں؛ ریاضی سمجھانے کے لیے نیا یقینی یوم پیدائش یا وفات گھڑنے کی ضرورت نہیں ⁹۔

ڈولڈ سامپلونیوس ثابت بن قرہ کے حوالے اور نیریزی کے ہاں بعد کی مماثل تشکیل کا ذکر کرتی ہیں۔ براؤزر کے مصنف شامل کرنے کے نسبتاً محدود اصول کے باوجود ثابت تاریخ میں موجود رہتے ہیں۔ ابن الہیثم کا بعد کا برہان بھی سب پیش روؤں کو مشترکہ طور پر نہیں دے دیا جاتا۔ یہاں کئی الگ مرحلے ہیں، ہر قدم کے لیے ایک ہی موجد نہیں ¹۔

یہ مثبت، مشترک پیمائش رکھنے والی مقداروں کی ایک آزاد جدید مثال ہے۔ ایک ہی اکائی میں 17 اور 7 لیں:17=2×7+3، پھر7=2×3+1، پھر3=3×1+0۔ ترتیب وار خارج قسمت 2،2،3 ہیں، اور آخری غیر صفر باقی 1 ہے۔ مَیتھ ورلڈ تقسیم اور باقی کا عمل اور مشترک مقسوم کا محفوظ رہنا سمجھاتا ہے؛ یہ خاص اعداد ماہانی سے منسوب نہیں ¹⁰۔

دونوں لمبائیوں کو دوگنا کر کے 34 اور 14 لیں۔ باقی 6،2،0 ہو جاتے ہیں، مگر خارج قسمت 2،2،3 ہی رہتے ہیں۔ مشترک پیمانہ 1 سے 2 ہو گیا، جبکہ34/14=17/7۔ لہٰذا یکساں نسبت کا مطلب صرف یکساں اعظم مشترک مقسوم نہیں۔ تین قدم ہونا بھی کافی نہیں؛ ہماری مثال قدموں کے مرتب خارج قسمت کا تقابل کرتی ہے۔

جدید علامت میں[2;2,3] کا مطلب2+1/(2+1/3)=17/7 ہے۔ نیم وقفے کے بعد کی چیزیں اعشاری ہندسے یا الگ لمبائیاں نہیں، ایک دوسرے کے اندر تقسیم کے قدم ہیں۔ اگر پہلی مثبت مقدار دوسری سے چھوٹی ہو تو پہلا خارج قسمت 0 ہو سکتا ہے؛ نسبت کو خاموشی سے الٹ دینا تقابل بدل دیتا ہے ¹¹۔

لیکن5/2=[2;2] اور17/7=[2;2,3] ایک نسبت نہیں، اگرچہ ابتدا ملتی ہے۔ ضرب متقاطع میں5×7=35 مگر2×17=34۔ محدود مشترک ابتدا کافی نہیں۔ مثال باقی 0 پر ختم ہوتی ہے؛ آخری عدد توڑ کر 1 پر ختم ہونے والی متبادل تحریر کو اقلیدسی عمل کے معیاری اختتامی ریکارڈ سے الگ رکھتے ہیں۔

مثلاً[2;2,2,1] بھی وہی عدد لکھتا ہے، کیونکہ آخری اندرونی2+1/1 کا جواب3 ہے۔ یہ دوسری پیمائش نہیں بلکہ دوسری تحریر ہے؛ اسی لیے تقسیم سے نکلنے والا اختتامی ریکارڈ مقرر کرتے ہیں، کوئی بھی علامتی فہرست نہیں۔ لمبائیوں کا ترتیب وار الٹ7/17=[0;2,2,3] دیتا ہے،17/7 نہیں۔ پہلا خارج قسمت بدلنے سے اصل سوال کا بدلنا ظاہر ہوتا ہے۔ یہ مثبت مثال کی جدید تدریسی تفصیل ہے، رسالے کی علامتوں یا منقول عنوانوں کے الگ ہونے کی نئی شہادت نہیں ¹¹۔

نیریزی کی میک ٹیوٹر سوانح ایک مخصوص قبولیت کی کڑی دیتی ہے، صرف فہرست میں ملتے جلتے دو نام نہیں۔ اس سے ہر جملے یا نظریے کی ہر جزئیات کی منتقلی ثابت نہیں۔ ڈولڈ سامپلونیوس بعد کی مماثل پیش رفت بیان کرتی ہیں؛ دونوں بیانات میں سے کوئی بھی تاریخ شدہ استاد شاگرد ملاقات کا ثبوت نہیں ^{7 1}۔

آج مخطوطے کی جگہ سے شہروں اور تاریخوں والا راستۂ گردش خود بخود نہیں نکلتا۔ ٹی ڈی وی کے شواہد متن کے باقی رہنے کی رپورٹ ہیں، مصنف کا سفرنامہ نہیں۔ کوئی موجودہ کتب خانہ متن محفوظ رکھ سکتا ہے، مگر اس سے ہر نویں صدی کے قاری کی جگہ یا بعد کے خاص استعمال کا پتا نہیں چلتا ⁵۔

اقلیدسی عمل وراثت میں ملا تھا۔ جدید صحیح عددی زبان میں اگرA=qB+r ہو، توA اورB کا ہر مشترک مقسومr کو تقسیم کرتا ہے؛ الٹ کرB اورr کا ہر مشترک مقسومA کو تقسیم کرتا ہے۔ یہ ہماری مثال کا حسابی قدم سمجھاتا ہے، ماہانی کے مخطوطے سے ترجمہ شدہ سطر یا ان کی پہلی دریافت کی دلیل نہیں ¹²۔

دونوں لمبائیوں کو ایک ساتھ بڑا کرنے سے اس ناطق مثال کے خارج قسمت محفوظ، مگر باقیوں کا حجم تبدیل ہوتا ہے۔ صرف ایک طرف اکائی بدلنا نسبت نہیں بچاتا: میٹر اور سینٹی میٹر کو مسلسل تبدیلی درکار ہے۔ یہ مثال کا جدید احتیاطی اصول ہے، مصنف کی کسی باقی ماندہ پیمائشی پٹی یا آلے کی خبر نہیں۔

ڈولڈ سامپلونیوس کے مطابق ماہانی اور نیریزی نے اپنی تعریف کا اقلیدسی تعریف سے ربط ثابت نہیں کیا، ابن الہیثم نے بعد میں کیا۔17/7 اور34/14 کا آسان تقابل یہ حد ختم نہیں کرتا۔ دو صحیح عددی مثالیں نظریۂ نسبت کی ہر قسم کی مقدار کے لیے عمومی برہان نہیں ¹۔

مسلسل کسر کی جدید علامتیں توضیح کا آلہ دیتی ہیں، یہ سند نہیں کہ ماہانی نے ہر جدید نظریۂ تقارب یا کمپیوٹری اطلاق پہلے ہی دے دیا تھا۔ طریقوں کی مماثلت براہ راست نسب ثابت نہیں کرتی۔ یہ ریکارڈ رسالے سے اعظم مشترک مقسوم کے ہر رمز نگاری استعمال تک فرضی تاریخی زنجیر نہیں بناتا ³۔

ماخذ ریاضیاتی سوال اور اس کی قبولیت بیان کرتے ہیں، ایسے تاجروں کا ریکارڈ نہیں جو ترازو اس رسالے سے منسوب کرتے ہوں، نہ اسکولوں کے بچائے ہوئے گھنٹوں کا حساب۔ خانہ بھرنے کے لیے تجارتی قصہ نہیں گھڑتے۔ ثابت حصہ متناسب مقداروں کی زبان اور توضیح کا ہے، جس میں برہان کی حد بھی نظر آتی ہے ^{1 7}۔

آج کا قاری دیکھ سکتا ہے کہ چیزیں بڑی کرنے سے ان کا ہر تعلق نہیں بدلتا۔ دونوں لمبائیوں کو دوگنا کرنے سے نسبت وہی، مگر مشترک پیمائشی لمبائی بدل جاتی ہے۔ یہ ہماری جدید مثال کا سبق ہے، تاریخی معاشی تخمینہ نہیں۔ مطلق پیمائش اور باہمی تعلق میں فرق بظاہر مشابہ باتوں کو ایک مفہوم سمجھنے سے بچاتا ہے۔

یہ تشکیل صرف نسبت موجود ہونے کا اعلان نہیں کرتی، بلکہ اسے بار بار کے عمل میں قابل تعاقب بناتی ہے۔ اس سے پرانی ترکیبی توضیح بے قدر نہیں ہو جاتی: محققہ صاف کہتی ہیں کہ اس کی صحت تسلیم کی جاتی تھی۔ نیا توضیحی سوال اہم ہو سکتا ہے، بغیر ماضی سے مکمل قطع تعلق کی کہانی بنائے ¹۔

یہ حصہ ماہانی کی نامکمل مکعبی کوشش سے مختلف ہے۔ یہاں تناسب کا مطلب اور تقابل ہے؛ وہاں کرے کے مقرر حجمی حصے کو مساوات میں بدلنا۔ مشترک مصنف دونوں موضوع نہیں ملاتا، نہ ایک کو لازماً دوسرے کا سبب بناتا ہے۔ ہر ریکارڈ کا اپنا کام اور حد ہے، بڑی تعداد کے لیے دہرایا ہوا عنوان نہیں ¹³۔

سنی فریم، واضح طور پر معلن: ماہانی کی انفرادی مسلم شناخت اور عجائب گھر کا سنی فریم ریاضیاتی اولیت سے الگ ہیں۔ علمی بیان: ڈولڈ سامپلونیوس قدیم اصل باقی رکھتے ہوئے ان کی صریح تشکیل، نیریزی کی بعد کی پیش رفت اور ابن الہیثم کا بعد کا برہان بتاتی ہیں۔ ہم پوری تاریخ ایک شخص کو نہیں دیتے ^{14 1}۔

یہاں «بہتری» ماخذ سے ثابت تشکیل کی نسبت ہے، لمبائی تقسیم کرنے والے پہلے انسان کا لقب نہیں۔ قدیم بنیاد اور یہ حقیقت دونوں محفوظ ہیں کہ اس نشست میں اصل متن نہیں دیکھا گیا۔ محققہ کی تحقیق ہمارا حوالہ ہے، خاموش متبادل نہیں کہ ہم نے ہر نسخے کا خود تقابل کر لیا ہو ¹⁵۔

مثبت صحیح اعداد کے باقی کم ہوتے ہوئے اختتام تک پہنچتے ہیں، مگر غیر ناطق مقداروں کا تقابل اسی طرح ختم ہونا ضروری نہیں۔ الگ مقداروں کے ابتدائی قدم مل سکتے ہیں۔ اس لیے ایسا طریقہ پیش نہیں کرتے جو پانچ خارج قسمت پڑھ کر ہر دو مقداریں برابر قرار دے؛ مشترک پیمائش والی عددی مثال کی حد واضح رہنی چاہیے ¹⁶۔

تصویر جدید1071 اور462 کی مثال کی ہے، رسالے میں پڑھے ہوئے اعداد کی نہیں۔ سیاہ مستطیل کے اندر دو بڑے نارنجی، اوپر تین بنفشی حصے، اور چھوٹے سبز اور سرخ علاقے ہیں۔ شکل پر کوئی عددی لیبل نظر نہیں آتا۔ بیان نہ لیبل گھڑتا ہے، نہ اسے ماہانی کا اپنے ہاتھ کا خاکہ بناتا ہے ¹⁷۔

ڈولڈ سامپلونیوس کی دوبارہ شائع شدہ سوانح، ٹی ڈی وی کی فہرست، نیریزی کی میک ٹیوٹر سوانح، اور مَیتھ ورلڈ کی منتخب جدید تعریفیں اور صیغے پڑھے گئے۔ اصل نسبت کے نسخے اور کتابیات میں مذکور پلوی اور بیکر کی تحقیق نہیں پڑھی گئی۔ عنوانوں اور شواہد کی رپورٹ سے متون کا استقلال اندازے سے طے نہیں کرتے ^{5 15}۔

تصویر پروٹینز کی ہے،17 اپریل2009 کی تاریخ اورCC BY-SA3.0 اجازت کے ساتھ۔ ثابت تصویر اور حقوق دیکھے گئے، سفید پس منظر کی معائنہ نقل بھی گٹ سے باہر رکھی گئی۔ شائع شدہ اثاثہ اصل غیر تبدیل شدہSVG ہے، نہ معائنہ نقل، نہ سلسلے کی متحرک تصویر۔ جدید تصویری سلسلہ قدیم مخطوطے کا شاهد نہیں بن جاتا ¹⁸۔

یہ تاریخ تعلق کا مطلب پوچھنے اور صرف تقسیم کا ایک جواب نکالنے میں فرق دکھاتی ہے۔ شارح تعریف اور اس کے اسباب پر سوال کرے تو محقق ہوتا ہے، صرف چھپی علامت بدلنے سے نہیں۔ یہ بیان کردہ کام کی ایک توضیح ہے، ماہانی سے منسوب گھڑا ہوا قول نہیں ¹۔

کہانی کو بغداد میں خیالی مقابلے کا منظر نہیں چاہیے۔ باقی علم کی حدود کے ساتھ ایک منقول رسالہ کافی ہے۔ قاری مصنف کی صدی اور2009 کی تصویر کا فرق پہچانے۔ صفحے پر ان زمانوں کا ساتھ ہونا معلن تدریسی تدبیر ہے، جدید خاکے کو قدیم بنانے کی کوشش نہیں۔

کاغذ پر17 اور7 لکھو، ہر قدم کا خارج قسمت اور باقی درج کرو۔ پھر34 اور14 سے دہراؤ۔ صرف سطروں کی تعداد نہیں، یہ دیکھو کہ کیا بدلا اور کیا نہیں۔ حساب آزمانے کو قدیم آلہ ضروری نہیں؛ یہ بھی نہ کہو کہ یہی ماہانی کی اپنی مثالیں ہیں۔

اب5/2 اور17/7 کا تقابل کرو: ابتدا ملتی ہے مگر نسبتیں مختلف ہیں۔ پہلے مشابہ قدم پر نہ رکو۔ عنوان سے پوچھو کہ کیا اس میں ہر تقسیم کی ایجاد ہے یا نسبت سمجھنے کا خاص طریقہ؟ مثال سوال بہتر بناتی ہے، مقداروں کے پورے نظریے کا جواب اکیلے نہیں دیتی ^{19 1}۔

• ڈولڈ سامپلونیوس: نسبت اور برہان کی حد ¹۔
• ٹی ڈی وی: نام زد رسالہ اور شواہد ⁵۔
• میک ٹیوٹر: نیریزی کی قبولیت ⁷۔
• مَیتھ ورلڈ: جدید تقسیم اور علامتیں ^{10 11}۔
• کامنز: جدید ثابت تصویر اور حقوق ¹⁸۔