تکعیبی مساوات کے مثبت جذور کا شرف الدین کا تجزیہ

جواب نکالنے سے پہلے پوچھا جا سکتا ہے کہ مطلوب مثبت جواب ممکن بھی ہے یا نہیں۔ شرف الدین طوسی کے تکعیبی مساوات کے کام میں سوانح یہی فرق نمایاں کرتی ہیں۔ کچھ اقسام اپنی شرائط میں مثبت حل رکھتی ہیں، کچھ کا حل ضاربوں کی مقدار پر منحصر ہے۔ ایک عددی کوشش ناکام ہونے سے ناممکن ہونا ثابت نہیں ہوتا، اور مسئلے کو مساوات کہنے سے مطلوب قسم کا حل خود بخود وجود میں نہیں آتا ¹۔

یہ اندراج اسی مشروط تجزیے کا ہے، تمام الجبرا یا خیام کی ہندسی تعمیرات کو دوبارہ گننے کا نہیں۔ ایک مثال میں اعظم قدر حل کی حد متعین کرتی ہے۔ ہماری جدید علامتی توضیح آزاد حساب ہے، مخطوطے کی نقل نہیں۔ مشتق سے تعلق پر مؤرخین کی مختلف تعبیرات منسوب رہتی ہیں؛ انہیں پورے جدید تفاضلی حساب کی پہلے سے موجودگی کا فیصلہ نہیں بنایا گیا ^{2 3}۔

یہ مساوات کی اقسام کا تجزیاتی طریقہ ہے، لکڑی کا آلہ یا اعداد کی الگ جدول نہیں۔ بیان بارہ کم درجے کی اقسام، آٹھ مثبت حل والی تکعیبی اقسام اور پانچ ایسی اقسام دیتا ہے جن کا مثبت حل کبھی نہیں ہوتا۔ مثبت ضارب اور مثبت جذر اس اصطلاحی ماحول کا حصہ ہیں۔ یہ تقسیم جدید الجبرا کے ہر مختلط عددی حل کی مکمل فہرست ہونے کا دعویٰ نہیں ^{1 4}۔

میک ٹیوٹر کی مثال x³+a=bx ہے، جس میں a,b مثبت ہیں۔ جدید ترتیب سے a=bx−x³ بنتا ہے؛ سوال ہے کہ مثبت x پر دایاں اظہار مطلوب قدر تک پہنچ سکتا ہے یا نہیں۔ اس طرح امکان کا سوال تقریب حاصل کرنے سے پہلے آتا ہے۔ یہ مطبوعہ حروف اور نشان جدید طرز بیان ہیں، کیونکہ سوانح خود کہتی ہے کہ مصنف نے ریاضی کو لفظوں میں بیان کیا تھا ¹۔

تکعیبی مسائل کی پہلے سے ہندسی تاریخ تھی۔ اوزل شرف الدین کا کام خیام کی مخروطی قطوع والی تحقیق کے بعد رکھتا ہے۔ اس کا مطلب دونوں کا بالکل ایک کام کرنا یا ہر منحنی ایجاد کرنا نہیں۔ مضمون عددی تعین اور حل کی تحقیق کا الگ پہلو بتاتا ہے، ہندسی برہان بھی باقی رہتا ہے۔ الگ اندراج کی وجہ وجود اور شرط کا خاص سوال ہے، پہلے سے بیان شدہ تقاطع کو نئے نام سے دہرانا نہیں ²۔

میک ٹیوٹر اعداد کے جذور کی تقریب کے پہلے عربی علمی طریقے بھی بتاتا ہے، پھر زیادہ عمومی مساوات سے تشبیہ دیتا ہے۔ ایسی سابقہ مثال ہر تقریب کے لیے ایک واحد مخترع یا ہورنر تک ثابت سلسلہ نہیں بناتی۔ اس سے وہ علمی میدان سمجھ میں آتا ہے جس میں مخصوص اضافہ ہوا۔ اضافے کا دائرہ اور نسبت پھر بھی پڑھے ہوئے حوالے کی شرطوں کے مطابق رہتی ہے ⁵۔

المعادلات نام سے یہاں متعارف کام نامعلوم مختصر نویس کی صورت میں محفوظ بتایا جاتا ہے۔ سوانح کے مطابق حساب اور تقریب کی عددی جدول نکال دی گئی تھیں۔ اس سے بازیافت کی حد بدلتی ہے: ترتیب اور دلیل بچ سکتی ہیں جبکہ حسابی عمل کی کچھ تفصیل چلی جائے۔ ہم اس خلا میں نئے اعداد پیدا کر کے انہیں شرف الدین کی اصل جدول نہیں کہتے ^{4 6}۔

اوزل راشد کا پیرس1986 ایڈیشن اور فارس کا1998 عربی ترجمہ بتاتا ہے۔ یہ پڑھے ہوئے ماخذ کی کتابی خبریں ہیں، دونوں ایڈیشن یہاں آزاد طور پر نہیں پڑھے گئے۔ مضمون1209 میں زندہ ہونے کے دعوے کو مٹی ہوئی تاریخ غلط پڑھنے سے پیدا شدہ بھی بتاتا ہے۔ لہٰذا اسے یقینی تصنیف یا دریافت کا سال نہیں بنایا گیا۔ اندراج بارھویں صدی کا افق رکھتا ہے، ایجاد کا ثابت دن نہیں ⁷۔

شرف الدین المظفر طوسی وہ استاد ہیں جن کے دمشق اور موصل سمیت مختلف شہروں سے تعلق کا ذکر ہے، مگر زندگی کی تفصیل کم ہے۔ یہ ناصر الدین طوسی یا اپنے شاگرد کمال الدین ابن یونس نہیں۔ معروف نسبت شناخت کی تحقیق کا بدل نہیں۔ میک ٹیوٹر الجبرا کو بغداد کی بعد کی تدریس سے جوڑتا ہے، ہر قضیے کے دریافت ہونے کی جگہ اس سے ثابت نہیں ^{8 9}۔

میک ٹیوٹر فرد کو صراحت سے اسلامی ریاضی دان کہتا ہے۔ مسلمان شناخت کی بنیاد یہی ہے، نام یا سرپرست نہیں۔ سنی فریم عجائب گھر کا الگ اعلانیہ طے شدہ فریم ہے؛ ان قراءتوں سے ذاتی مسلک ثابت نہیں۔ نامعلوم مختصر نویس اور جدید شارح بھی کردار رکھتے ہیں، لیکن طریقہ منتقل یا سمجھانے سے ہر ناقل خود ریاضیاتی مصنف نہیں بن جاتا ^{10 4}۔

میک ٹیوٹر کے مطابق bx−x³ کی اعظم قدر t=√(b/3) پر آتی ہے اور2(b/3)^(3/2) ہے۔ مثال میں مثبت حل کے لیے a اس حد سے زیادہ نہیں ہونا چاہیے۔ چونکہ a مثبت ہے، جذر0 اور√b کے درمیان بھی ہو گا۔ اس ماحول میں حل نہ ہونا مطلوب مثبت جذر کی عدم موجودگی ہے، یہ کہنا نہیں کہ ہر منفی یا مختلط جذر ختم ہو گیا ¹۔

بغیر تفریق کے ایک آزاد جدید برہان یوں ہے۔ b=3t² رکھیں تو2t³−(bx−x³)=(x−t)²(x+2t)۔ x غیر منفی اور t مثبت ہو تو دایاں طرف غیر منفی ہے، صرف x=t پر صفر۔ اس سے پورے مقررہ دائرے کی حد ثابت ہوتی ہے، چند آزمودہ اعداد میں سب سے بڑی قدر نہیں۔ یہ ہمارے بیان کا الجبری برہان ہے، مخطوطے کے قدم بہ قدم برہان کی بازیافت کا دعویٰ نہیں۔

اوزل بعد کے الجبرا اور حساب کے مصنفین میں شرف الدین کے کام کے حوالے گنواتا ہے۔ اس سے متنی و ریاضیاتی روایت کی محدود خبر ملتی ہے، ہر ملک کے طلبہ یا مدرسوں کی گنتی نہیں۔ کسی مؤلف کا کتاب استعمال کرنا یہ ثابت نہیں کرتا کہ ہر خوارزم یا حذف شدہ جدول بھی اس نے اختیار کی تھی ¹¹۔

جدید ایڈیشن اور مطالعات نے کام کو تاریخ ریاضی کی نئی بحث میں لایا، جس میں مشتق کی مختلف تعبیرات بھی ہیں۔ ان مطالعات کی اصل کتابیں یہاں آزاد طور پر نہیں دیکھی گئیں؛ ان کے موقف دونوں پڑھی ہوئی سوانح کے ذریعے آتے ہیں۔ کتابیات پڑھ لینا اس میں درج ہر تصنیف پڑھنا نہیں۔ نیوٹن یا ہورنر کا جدید تشبیہ میں آنا صدیوں کے درمیان مسلسل انتقال کی دستاویز بھی نہیں ^{3 4}۔

بیان مساوات، ہندسی استدلال اور عددی تقریب کو ساتھ دکھاتا ہے۔ خیام سے تقابل خاص اضافہ واضح کرتا ہے: کن شرائط میں یہ قسم مطلوب مثبت حل رکھ سکتی ہے؟ وجود کو حساب سے الگ سمجھانا اسی اضافے کی توضیح ہے، یہ فیصلہ نہیں کہ ہر پہلے ریاضی دان نے تعمیر کے ممکن ہونے پر کبھی غور نہیں کیا ²۔

اپنی جدید مثال میں b=3 چنیں۔ پھر3x−x³ کی اعظم قدر2، x=1 پر ہے۔ a=1 حد سے نیچے، a=2 عین حد پر اور a=3 اس سے اوپر ہے۔ یہ تدریسی اعداد ہیں، تاریخی جدول کے خانے نہیں۔ مثبت x کو واضح رکھنے سے اس غلط فہمی سے بچتے ہیں کہ مثبت جذر نہ ملنے کا مطلب کسی بھی علامت کا کوئی حقیقی عدد مساوات پوری نہیں کر سکتا۔

a=1 پر ہماری مثال کے دو الگ مثبت جذور ہیں، ایک0 اور1 کے درمیان اور دوسرا1 اور√3 کے درمیان۔ جدید استدلال تسلسل اور متعلقہ مثبت حصے پر3x−x³ کے بڑھنے پھر گھٹنے سے آتا ہے۔ اس کا دعویٰ نہیں کہ شرف الدین نے بعد کی رسمی نظریۂ قدر متوسطہ استعمال کی۔ جذر کو وقفے میں گھیر کر مزید تنگ کرنا وضاحتی حساب ہے، حذف جدول کی واپس ملی ہوئی سطر نہیں۔

a=2 پر x³−3x+2=(x−1)²(x+2) بنتا ہے۔ ایک منفرد مثبت جذر1 ہے، جس کی تکرار دو ہے؛−2 منفی جذر ہے، مطلوب مثبت سوال سے باہر۔ a=3 پر مثبت جذر نہیں کیونکہ اعظم2 قدر3 تک نہیں پہنچتی، مگر منفی حقیقی جذر باقی ہے۔ الگ جذور کی گنتی اور ایک جذر کی تکرار الگ رکھنے سے حلوں کی تعداد میں بظاہر تضاد نہیں رہتا۔

یہ علم کا اضافہ ہے، پانی اٹھانے والا پمپ یا بازار میں بجتی گھڑی نہیں۔ مآخذ مساوات کی گہری تحقیق اور بعد کے ریاضی دانوں میں روایت بتاتے ہیں، کسی حد سے بدلی تجارت کا مالی دفتر نہیں۔ اس لیے برہان کو فصل بڑھنے یا جہاز کی رفتار کا بے سند دعویٰ نہیں بناتے۔ براہ راست قابل توضیح فائدہ سوال منظم کرنا اور ناممکن تلاش سے پہلے امکان جاننا ہے ¹²۔

مثلاً b=3 کے ساتھ a=3 مانگیں تو ہمیشہ نئے مثبت اندازے لگاتے رہنا مسئلہ حل نہیں کرے گا۔ رکاوٹ بالائی حد ہے، ناقص تقریب کی جدول نہیں۔ یہ جدید تعلیمی مثال ہے، بارھویں صدی کے صارف کی ڈائری کی شہادت نہیں۔ اسی طرح ممکن جذر کے مزید اعشاری مقام نکالنے سے غلط قسم یا غلط مطلوب عددی دائرہ منتخب کرنے کی خرابی درست نہیں ہوتی۔

اوزل خیام کے بعد اس کام کی اہمیت بیان کرتا اور جدید زبان میں وجود، اعظم قدر اور تقریب سے تقابل کرتا ہے۔ تقابل کو تقابل رہنا چاہیے؛ بعد کے نظریوں کے نام یہاں مصنف کی اپنی عبارت میں ملے ہوئے الفاظ نہیں۔ مختلف تعبیرات دکھاتی ہیں کہ تاریخ صرف پرانے اظہار کو آج کے مدرسے کے قاعدے سے ملانے سے زیادہ محنت مانگتی ہے ^{2 3}۔

ثابت اضافہ تمام الجبرا یا ہر کمپیوٹر کی تنہا پیش بندی سے محدود ہے۔ یہ مساوات کی روایت میں منظم تحقیق، حذف جدول والے اختصار میں حفاظت اور بعد کی ریاضیاتی روایت میں حضور ہے۔ یہ حد سوال کی قدر کم نہیں کرتی؛ اسے پہلے کے طریقوں اور بعد کی تعبیروں کے درمیان جگہ دیتی ہے، کسی جانب کے علم کو مٹائے بغیر ¹³۔

سنی عجائب گھری فریم: شرف الدین کا طریقہ اوزل اور میک ٹیوٹر کے ذریعے منسوب کرتے ہیں، اسے خیام کی سابق تعمیر اور جدید علامتی طرز سے الگ رکھتے ہیں۔ ہر اعظم مسئلے یا ہر عددی طریقے کی عالمی اولیت نہیں کہتے۔ یہ ان کا خطی اسطرلاب بھی نہیں، صرف صانع ایک ہونے سے دو الگ کام ایک شے نہیں ہو جاتے ^{14 8}۔

علمی تعبیر: میک ٹیوٹر اعظم قدر کے طریقے کی مختلف توضیحات بتاتا ہے، مشتق سے تشبیہ بھی اور مختلف راستے کی تعبیر بھی۔ اختلاف اسی حوالے کے ذریعے ہے، گویا فارس اور برگگرن کے اصل مقالے خود پڑھے گئے ہوں ایسا نہیں۔ عجائب گھر نہ پورے تفاضل کے اولین مخترع کا فیصلہ سناتا ہے، نہ مختلف زبان میں ہونے کی وجہ سے باریک تجزیے کی نفی کرتا ہے ³۔

آج کا قاری حد خود ثابت، مثالوں کا گراف اور تقریب و عین تحلیلی جواب کا تقابل کر سکتا ہے۔ یہ اس تحریر کی جدید سرگرمیاں ہیں۔ ایک مساوات مختلف ترتیب میں لکھی جا سکتی ہے، اور مثبت ضاربوں تک محدود اقسام کی تعداد، منفی ضاربوں والی تقسیم کے برابر ہونا ضروری نہیں۔ عددی دائرے کی شرط پرانے کام کو جدید الجبرا سے ملاتے وقت اہم ہے ¹۔

ساتھ کی تصویر دوسری جدید کثیر رقمی ہے، جس کے جذور−4،−1،2 اور مساوات(x+4)(x+1)(x−2)/4 ہے۔ یہ3x−x³ نہیں اور شرف الدین کی تصویر نہیں۔ تکعیبی منحنی کا سیاق دیتے ہوئے فرق بتایا گیا ہے۔ کوائف N.Mori اور ملک عام کی اجازت ریکارڈ کرتے ہیں؛ ہر تکعیبی تصویر کو قدیم، گمنام یا اسی حل شدہ مثال کا گراف نہیں کہا گیا ¹⁵۔

سوانح کا بیان کردہ متنی شاہد عددی جدولوں کے بغیر اختصار ہے۔ اوزل دوسرے کام سے تقابل کے ذریعے اختصار کی حد جاننے کی بات کرتا ہے۔ یہ علم حوالے سے ہے، ہمارے کیے ہوئے مقابلے سے نہیں۔1986 اور1998 کی طباعت کی خبر غیر پڑھے ایڈیشن کے صفحے گھڑنے یا جدید اعداد کو یہاں نہ دیکھے مخطوطے سے منسوب کرنے کی اجازت نہیں دیتی ⁴۔

ریاضیاتی طریقے کو علم ہونے کے لیے محفوظ صنعتی نوادر کی ضرورت نہیں۔ تصویر اور سلسلہ سمجھانے کے واسطے ہیں؛ تاریخی شہادت متن اور اس کی روایت ہے۔ اگر جدید گراف اصل صفحہ کہہ دیا جائے تو ثبوت کا مفہوم بدل جاتا ہے۔ اسی لیے تصویر کی نسبت اور مختلف مساوات، نیز ماخذ پڑھنے کی حدود، صفحے اور ڈیٹا دونوں میں نمایاں ہیں ^{16 4}۔

الجبرا کی تاریخ جدید ناموں تک دوڑ کا لالچ دے سکتی ہے: نیوٹن، ہورنر، مشتق، الجبری ہندسہ۔ سوانح خود یہ تقابل استعمال کرتی ہیں۔ ہماری ذمہ داری تشبیہ کو بعد کے پورے نظریے کی ملکیت نہ بنانا ہے۔ ریاضیاتی رشتہ یکساں ہو سکتا ہے مگر مصنفین کا مقصد، زبان، تدریسی ماحول اور متن کے انتقال کا ثابت راستہ یکساں ہونا لازم نہیں ¹⁷۔

علم شاگرد، مختصر نویس، شارح اور محقق سے بھی گزرا۔ ان کے کردار اور نامعلوم حصے محفوظ رکھنا تاریخ کا حصہ ہے، زائد بوجھ نہیں۔ اعلانیہ فریم مسلمان فردی شناخت اور ریاضیاتی برہان میں بھی فرق رکھتا ہے: اعظم حد ثابت کرنا مذہبی مسلک ثابت نہیں کرتا، اور جدید ترجمہ مل جانا زندگی کی ہر مختلف تاریخ خود بخود طے نہیں کر دیتا ^{18 19}۔

چھوٹے سوال سے شروع کریں: مثبت x پر3x−x³ کیا3 ہو سکتا ہے؟ ہماری جدید الجبری شناخت بتاتی ہے کہ یہ2 سے اوپر نہیں جاتا۔ جواب کے لیے ہزار اندازوں کی ضرورت نہیں۔1 مانگیں تو دو عبور ممکن،2 مانگیں تو ایک الگ مثبت مقام پر چوٹی ملتی ہے۔ یہ کاغذ کے اعداد ہیں، پیمائش کا تجربہ یا تاریخی جدول میں یہی اعداد موجود ہونے کا دعویٰ نہیں۔

بڑا سبق یہ ہے کہ ہدف ڈھونڈنے سے پہلے دیکھیں ممکن بھی ہے یا نہیں۔ مثبت اور منفی جواب سوال کی شرط سے مختلف تعلق رکھتے ہیں، ان کی کوئی اخلاقی برتری مراد نہیں۔ ساتھ کا گراف ہماری مثال سمجھ کر نقل نہ کریں؛ اس کی الگ مساوات بتائی گئی ہے۔ تصویر، تاریخی دعوے اور جدید وضاحت میں فرق ہمیں محتاط قاری بناتا ہے، صرف ایجادات کے نام جمع کرنے والا نہیں ¹⁶۔

• ¹⁷ اوکانر و رابرٹسن،مکمل سوانح،1999۔
• ²⁰ احمد اوزل،سوانح،تجزیہ و تصانیف،2012۔
• ¹⁵ مختلف جدید ملک عام گراف؛اصل مساوات ایڈیشن اور اختلاف کے مقالے خود نہیں پڑھے۔