نظرية الماهاني للنسب بخوارج القسمة المتتابعة

تصف دولد-سامبلونيوس عند الماهاني تعريفاً للنسبة بسلوك مقدارين في عملية إيجاد المقياس المشترك: تكون نسبتان متناسبتين إذا تطابقت سلسلتا خوارج القسمة. يتعلق الإنجاز بعرض صريح في نظرية النسبة، لا باختراع القسمة أو خوارزمية إقليدس. وتبقي الباحثة سوابق أقدم للتصور، لا مولداً مفاجئاً من فراغ ¹.

يرتبط ذلك برسالة في النسبة وتقليد التعليق على المقالة الخامسة من إقليدس، لا بمكعب قسمة الكرة الذي تسجله بطاقة مستقلة. ولم يثبت الماهاني في حساب الباحثة الصلة الكاملة بتعريف إقليدس؛ تنسب إنجازها اللاحق إلى ابن الهيثم. لا نجعل المثال الحديث برهاناً تاريخياً مفقوداً ^{2 1}.

النسبة ليست طولاً منفرداً. قد يتساوى سلوك طولين مع سلوك طولين أكبر منهما، مع اختلاف المقياس المشترك الذي يقيسهما. المقصود متابعة كم مرة يدخل الأصغر في الأكبر، ثم مقارنة الأصغر بالباقي، والاستمرار. تعرض الباحثة هذا بديلاً في وصف العلاقة، لا رفضاً لصحة مبدأ إقليدس الذي قبله هؤلاء الرياضيون ¹.

يسمي الدرس الحديث خوارج العملية عناصر كسر مستمر بسيط. لكن الاسم والترميز المطبوعان هنا ليسا حروفاً نقلناها من رسالة الماهاني. يبين ماثوورلد أيضاً اختلاف اصطلاحات الأقواس والفاصلة والفاصلة المنقوطة؛ لذلك نحدد اصطلاحنا قبل أن نختبر تطابق مثالين ³.

تذكر دولد-سامبلونيوس تصوراً سابقاً لأودوكسوس، وتعريف إقليدس بالمضاعفات، وعملية المقارنة بالقسمة. فلا يصح عنوان يقول إن الماهاني اخترع القاسم المشترك أو كل فكرة كسر مستمر. موضعه في هذه البطاقة إعادة عرض علاقة النسبة في تقليد مسألة قديمة، لا إنشاء كل أدوات الحساب التي يستخدمها الشرح ¹.

وكان التعريف التركيبي في المقالة الخامسة لا يظهر، في وصف الباحثة، كيف نشأ مذهب النسب. لم ينكر الرياضيون صحته، لكنهم بحثوا لغة تكشف السلوك المتبادل للمقادير. هذا اختلاف في بناء التفسير ينبغي تمييزه من اتهام إقليدس بخطأ حسابي أو من افتراض أن الكل كانوا يستعملون مصطلحات اليوم ⁴.

تسرد TDV رسالة النسبة وشواهد لها، وصيغتي عنوان إضافيتين، بينما تتساءل دولد-سامبلونيوس هل النصوص الثلاثة في النسبة مختلفة. نمثل العمل المسمى، ونحتفظ بمشكلة الأوصاف؛ لا نصنع ثلاثة كتب لزيادة العدد، ولا ندمج معرفات مخطوطات على أنها نسخ متطابقة بلا مقابلة ^{5 6}.

تقول ماكتوتر في سيرة النيريزي إنه تبنى مفاهيم طرحها الماهاني، الذي عمل في بغداد قبل وصوله على الأرجح. خبر التبني لا يثبت مجلس تدريس مشتركاً. أما القرن التاسع فهو أفق حياة الماهاني، لا توقيع تأليف متحقق؛ لا نحول تاريخ رصد فلكي إلى يوم وضع تعريف للنسبة ^{7 8}.

هوية الماهاني الإسلامية موثقة فردياً في ماكتوتر، وإطار المتحف السني معلن على نحو مستقل؛ لا يستنتج المذهب من نجاح الحساب أو اسم المدينة. تبقى تواريخه التقريبية في سيرته ولا تستبدل بيقين جديد في هذه البطاقة. ليس مطلوباً اختراع تاريخ ميلاد أو وفاة كي نفهم فكرته ⁹.

تذكر دولد-سامبلونيوس صلة بثابت بن قرة وتطوراً لاحقاً عند النيريزي. يبقى ثابت في القصة رغم أن شرط المتصفح لهوية الصانع أضيق، ولا نجعل اسمه اسماً آخر للماهاني. كما لا ننسب برهان ابن الهيثم اللاحق إلى الثلاثة جميعاً؛ في الرواية درجات من التطوير لا مخترع واحد لكل خطوة ¹.

هذا مثال مستقل حديث على نسب موجبة قابلة للقياس المشترك. خذ17 و7 من الوحدة نفسها:17=2×7+3، ثم7=2×3+1، ثم3=3×1+0. خوارج القسمة2 و2 و3، وآخر باق غير صفري1. عرض ماثوورلد للعملية يوضح لماذا تحفظ الانتقالات القواسم المشتركة؛ لا ننسب المثال العددي إلى الماهاني ¹⁰.

إذا ضاعفنا الطولين إلى34 و14 كانت البواقي6 ثم2 ثم0، والخوارج نفسها2 و2 و3. تغير المقياس المشترك من1 إلى2، لكن34/14=17/7. لذلك لا يصح تعريف تساوي النسب بتساوي القاسم المشترك وحده. ولا يكفي أن نقول إن هناك ثلاث خطوات؛ الذي نقارنه هنا قيم الخوارج المرتبة.

نكتب باصطلاح حديث[2;2,3]، أي2+1/(2+1/3)=17/7. ما بعد الفاصلة المنقوطة ليس كسوراً عشرية أو أبعاداً مستقلة، بل خطوات متداخلة. وإذا بدأ المقدار الأول أصغر جاز في المثال العددي خارج أول0؛ لا نقلب النسبة صامتين ثم نقارن سلسلتين لاتجاهين مختلفين ¹¹.

لكن5/2=[2;2] ليست17/7=[2;2,3] رغم اشتراكهما في البداية. بالضرب التبادلي5×7=35 و2×17=34. التشابه في بادئة قصيرة لا يكفي. وكذلك نثبت طريقة إنهاء المثال النسبي عند الباقي0؛ لا نخلط بين سجل القسمة المنتهي وتمثيل بديل يمكن أن ينتهي بعنصر1 بعد تفكيك العنصر الأخير.

مثلاً يمكن كتابة العدد نفسه[2;2,2,1] لأن2+1/1=3 في آخر الكسر. هذا لا يعطي قياساً مختلفاً، بل كتابة أخرى له؛ لذلك نحدد السجل المنتهي الذي تنتجه القسمة، لا أي قائمة رموز نختارها. وإذا عكسنا ترتيب الطولين صار7/17=[0;2,2,3]، وليس17/7. اختلاف الخارج الأول هنا ليس نقضاً للحديث عن السلسلة الكاملة، بل نتيجة تغيير السؤال نفسه. تبقى هذه تفاصيل تعليمية معاصرة لفهم الأمثلة الموجبة، لا شواهد جديدة على علامات الرسالة القديمة أو إثبات استقلال جميع صيغ عناوينها ¹¹.

يوفر خبر النيريزي في ماكتوتر رابط تلقي محدداً للمفاهيم، لا مجرد تشابه اسمين في فهرس. لكنه لا يبرهن انتقال كل عبارة أو جميع تفاصيل النظرية. وتصف دولد-سامبلونيوس تطويراً لاحقاً مشابهاً؛ نميز الوصفين ولا نحول كلمة «تبنى» إلى عقد تلمذة مؤرخ ^{7 1}.

ولا نرسم من مواقع النسخ طريق انتشار بمدن وتواريخ مفترضة. تعدد الشواهد الذي تسرده TDV يستحق القراءة بوصفه خبر بقاء، لا خريطة رحلة للمؤلف. المكتبة الحالية قد تحفظ نصاً ولا تخبر وحدها أين قرئ في القرن التاسع أو من قرأه بعد ذلك ⁵.

تبقى عملية إقليدس موروثة؛ في العرض العددي الحديث إذا كانA=qB+r، فكل قاسم مشترك لـA وB يقسمr، وبالعكس كل قاسم مشترك لـB وr يقسمA. هذه خاصية للمقادير الصحيحة في المثال، وليست سطراً ترجمناه من مخطوط الماهاني أو دليلاً على أنه أول من عرفها ¹².

والتغيير في مقياس الطولين معاً يحفظ خوارج المثال النسبي، بينما يغير حجم البواقي. لا نغير وحدة طرف واحد ثم نزعم أن النسبة بقيت؛ الأمتار والسنتيمترات لا تختلط بلا تحويل متسق. هذه عناية حديثة بمعنى المثال، لا خبر عن مسطرة أثرية استعملها المؤلف.

تقول دولد-سامبلونيوس إن الماهاني والنيريزي لم يثبتا الصلة بين تعريفهما وتعريف إقليدس، وأن ابن الهيثم فعل ذلك لاحقاً. لا يجوز حذف هذا الحد لمجرد أن تطابق17/7 و34/14 سهل علينا. فحص نسبتين صحيحتين ليس برهاناً يشمل جميع المقادير التي تناولتها نظرية النسبة ¹.

والصياغة الحديثة للكسر المستمر توسع أدوات الشرح، لكنها ليست شهادة بأن الماهاني سبق كل نظرية تقارب أو كل تطبيق حاسوبي. يمكن المقارنة بين أنماط حسابية من غير إثبات نسب مباشر. لا تضيف البطاقة سلسلة من الرسالة إلى كل استعمال للقاسم المشترك في التشفير ³.

تعطي المصادر وصفاً لمشكلة رياضية وتلقيها، لا سجلاً لتجار نسبوا موازينهم إلى هذه الرسالة أو مدارس أحصت ساعات وفرتها. لا ننشئ حكاية تجارية لتعبئة القسم. الأثر المدعوم هو في لغة مقارنة المقادير وتفسير النسبة، مع حدود البرهان ظاهرة ^{1 7}.

ويستطيع قارئ اليوم تعلم أن تضاعف الأشياء لا يغير كل علاقة بينها: تضاعف الطولين يبقي النسبة، لكنه لا يبقي طول الوحدة المشتركة. هذه نتيجة مثالنا الحديث، لا قياس اقتصادي تاريخي. والفصل بين العلاقة والمقدار يحمي من عد الأشياء المتشابهة في شكلها متساوية في معناها.

تبرز الصياغة شيئاً يمكن تتبعه خطوة بخطوة بدلاً من الاكتفاء بتقرير وجود نسبة. لكن ذلك لا يجعل العرض التركيبي القديم بلا قيمة؛ تقول الباحثة صراحة إن صحته لم تنكر. تحافظ البطاقة على قيمة السؤال الجديد من غير اختلاق قطيعة كاملة مع ما قبله ¹.

وتختلف هذه المساهمة من محاولة الماهاني المكعبة غير المكتملة: هنا سؤال معنى التناسب وطرق مقارنته، وهناك سؤال تحويل حجم إلى معادلة. تشارك المؤلف لا يدمج الموضوعين، كما لا يثبت أن أحدهما سبب مباشر للآخر. لكل بطاقة عملها وحدودها، لا تكرار عنوان لتكبير المجموع ¹³.

أهل السنة — الإطار المعلن: أساس هوية الماهاني فردي، والإطار السني مستقل من دعوى الأولوية. القراءة الأكاديمية: دولد-سامبلونيوس تجعل التصور سابق الأصل وتعرض صيغته الصريحة عند الماهاني، ثم تطوراً عند النيريزي وبرهاناً لاحقاً عند ابن الهيثم. لا نمنح مؤلفاً واحداً كل القصة ^{14 1}.

و«تحسين» هنا وصف لنسبة تطوير مسندة، لا لقب أول إنسان قسم طولاً. نحتفظ بالسابق الأقدم وبحقيقة أن النصوص نفسها لم تفحص في هذه الجلسة. خبرة الباحثة مصدر معرفة المتحف، وليست بديلاً صامتاً عن ادعاء أننا قرأنا كل شاهد وحققنا اختلاف نسخه ¹⁵.

للأعداد الصحيحة الموجبة بواقي تتناقص حتى الصفر، لكن عرض المقدار غير النسبي لا ينتهي بالطريقة نفسها. وقد تعطي مقادير مختلفة أول خطوات متشابهة. لذلك لا نقدم برنامجاً يقرأ خمسة خوارج ثم يعلن مساواة كل مقدارين؛ حد المثال العددي يجب أن يبقى صريحاً ¹⁶.

وفي الصورة مثال حديث عنوانه1071 و462، لا أعداداً قرأناها في الرسالة. داخل الإطار كتلتان برتقاليتان كبيرتان وثلاث كتل بنفسجية في الأعلى ومناطق أصغر خضراء وحمراء. لا توجد أعداد مكتوبة على الشكل؛ وصفه لا يختلق ملصقات، ولا يجعله برهان الماهاني المرسوم ¹⁷.

قرئت هنا سيرة دولد-سامبلونيوس المعاد نشرها وقائمة TDV، وسيرة النيريزي في ماكتوتر، وتعريفات وصيغ حديثة مختارة في ماثوورلد. لم تفحص مخطوطات النسبة أو كتب بلوي وبيكر المذكورة في الببليوغرافيا. تسرد TDV صيغ عناوين وشواهد؛ نسجل الخبر ولا نحل مسألة استقلال النصوص بالمخيلة ^{5 15}.

الشكل لبروتينز، مؤرخ17أبريل2009 ومرخصCC BY-SA3.0. عوينت الصورة الثابتة وحقوقها، ومنها نسخة فحص بيضاء الخلفية خارج المستودع. ينشر الأصلSVG بلا تعديل، لا تلك النسخة ولا الرسم المتحرك من السلسلة؛ الانتماء إلى سلسلة صور لا يجعل كل صورة نسخة أصلية من رسالة قديمة ¹⁸.

يمكن لتاريخ الرياضيات أن يميز السؤال عن معنى العلاقة من السؤال عن حاصل القسمة وحده. يصير كاتب التعليق باحثاً حين يعيد بناء التعريف وأسبابه، لا حين يغير رمزاً مطبوعاً فحسب. هذه قراءة لطبيعة العمل الذي تصفه الباحثة، لا قول مأثور نسبناه إلى الماهاني ¹.

ولا تحتاج الحكاية مشهداً مختلقاً لمسابقة بين علماء بغداد. يكفي أن تبقى الرسالة ذات شواهد منقولة وحدود معرفة، وأن يعرف القارئ الفرق بين قرن المؤلف وتاريخ صورة2009. اختلاف زمنين في الصفحة وسيلة شرح معلنة، لا محاولة لجعل الرسم الحديث أثراً قديماً.

اكتب17 و7 على الورق، ثم سجل خارج القسمة والباقي في كل سطر. أعد ذلك مع34 و14. ابحث عما يتغير وما لا يتغير، لا عن عدد السطور فقط. لا تحتاج أداة أثرية لتجربة الفكرة الحسابية، ولا ينبغي أن تقول إن الماهاني نفسه كتب مثال الدرس.

ثم قارن5/2 و17/7: تبدآن بخطوتين متشابهتين لكنهما غير متساويتين. لا تتوقف عند أول شبه. واسأل عن العنوان الكبير: هل يقول إن العالم اخترع كل قسمة، أم يصف طريقة معينة في فهم النسب؟ المثال يساعد على السؤال، لكنه لا يحل وحده كل نظرية المقادير ^{19 1}.

• دولد-سامبلونيوس:نظرية النسبة وحدود البرهان ¹.
• TDV:العمل وشواهده ⁵.
• ماكتوتر:تلقي النيريزي ⁷.
• ماثوورلد:القسمة والترميز الحديثان ^{10 11}.
• كامونز:الشكل الحديث وحقوقه ¹⁸.