قانون الاستكمال عند البيروني

الاستكمال طريقة لاستخراج قيمة دالة بين قيمتين معلومتين في الجدول، وقد استنبطها البيروني في المقالة الثالثة من القانون المسعودي لتحسين استعمال جداول الجيوب. ^{1 2}

يشرح المحقق أن الطريقة الشائعة كانت تفرض أن الزيادة في الجيب تتناسب مع الزيادة في الزاوية داخل الفترة الواحدة؛ والواقع أن فترات الزوايا إذا تساوت لم تتساو فروق الجيوب، فالطريقة الشائعة غير صحيحة. ²

سلك البيروني مسلكين: الأول تصغير الفترات بين قيم الزوايا، فحسب جداول الجيوب لكل ربع درجة بدل الدرجة الكاملة، وكان يتمنى أن يحسبها لكل دقيقة لولا طول العمل؛ ويصف المحقق جداوله بأنها صحيحة إلى الرقم السابع أو الثامن العشري. ² والثاني تحسين طريقة الاستعمال: فلاحظ أن التغير في الزاوية تصحبه تغيرات تدريجية في فروق الجيوب لا في الجيوب نفسها، فجعل نسبة الجزء من الفترة إلى الفترة مساوية لنسبة فرق الجيوب المناسب إلى فرق الفرقين، فخرجت قيمة أدق. ²

يرى المحقق أن البيروني توصل بذلك إلى قوانين الاستكمال في صورتها المبسطة التي نسبت إلى نيوتن وجريجوري بعده بستمائة عام، وأن طريقته في قياس فروق الزوايا كانت حجر الأساس لطريقة التوليد التي استخدماها. ^{3 1} ويذكر أيضًا أن البيروني أول من اتخذ الوحدة قيمة لنصف القطر في جداول الجيوب، فصارت الأطوال نسبًا. ⁴