تکملے اور وسطی دَین سے ابو الوفا کی ضرب

کاتبوں و عاملوں کی ضرورت کے علم حساب میں ابو الوفا البوزجانی دو اعداد کو اگلی دہائی تک پہنچانے والے تکملوں سے ضرب بتاتے ہیں۔ طریقہ خاص طور پر تب اہم ہے جب درمیان کا حاصل دَین کہلاتا ہے، حالاں کہ دونوں عامل اور آخری جواب مثبت ہیں۔ یہ دَین یا دنیا کے پہلے منفی عدد کی ایجاد نہیں، خاص قاعدہ اور عملی حساب میں منفی وسطی حاصل کی قبولیت کی شہادت ہے ¹۔

مؤرخ کی مثال تین ضرب پانچ ہے۔ دس تک تکملے سات و پانچ؛ تین میں سے پانچ گھٹانا دو کا دَین۔ اسے دس سے ضرب دے کر پینتیس ملائیں تو پندرہ ملتے ہیں۔ یہاں جدید علامتیں حساب پڑھنے کے لیے ہیں، مصنف کے لفظی بیان کی اصل تصویر یا اس کی کتاب میں ہماری علامتوں کا ثبوت نہیں ^{1 2}۔

یہ حسابی طریقہ ہے، مشین یا دکھانے کے لیے محفوظ کھاتا نہیں۔ سات منزلوں والی کتاب کے دوسرے حصے میں ہے، جس میں صحیح اعداد و کسور کے ساتھ پیمائش، محصول اور تبادلے کی ضرورتیں ہیں۔ تاریخی بیان ایک ہی دہائی والے عامل لیتا، پھر دہائی کی جگہ صفر ہونے کی حالت لگاتا ہے۔ اس سے ہر موقّع عدد کے لیے مکمل تاریخی نظام خودبخود نہیں بنتا ^{1 3}۔

آج کے قاری کے لیے مرجع اگلا مضرب دس ہے۔ تکملہ وہ مقدار ہے جو عامل کو اس مرجع تک پہنچائے، نہ اس کا منفی نہ مقلوب۔ تین کو دس کرنے کے لیے سات چاہییں۔ زبان طریقہ کھولتی ہے مگر یہ نہیں کہتی کہ جدید حروف، مساوات اور یہ تمام اصطلاحیں اصل مخطوطے میں لکھی تھیں ¹۔

حساب ابو الوفا کے فلکی کام یا اس کتاب سے شروع نہیں ہوا۔ یوشکیویچ لفظی حساب، کسور اور منفی مقدار کو دَین کہنے کی ہندی روایت بتاتا ہے۔ ہندی اثر امکان ہے، نہ مصنف کے ہاتھ میں کسی خاص سنسکرت کتاب کی ثابت موجودگی نہ مترجموں کی معلوم زنجیر۔ مماثلت، مؤرخ کی تجویز اور ثابت براہ راست انتقال الگ درجے ہیں ¹۔

بیان موضعی اعداد نہ لینے کی وجہ ایسے قاری کی ضرورت مانتا ہے جو لفظی حساب کا عادی تھا، دو دشمن مدرسوں کی باہمی لاعلمی نہیں۔ میک ٹیوٹر کہتا ہے مصنف ہندی اعداد جانتا تھا مگر کاروباری قاری کے لیے موزوں عرض چنا۔ زبان کا انتخاب علمی کمزوری لازم نہیں کرتا، نہ یہ ثابت کرتا ہے کہ ہر تاجر یہی کتاب پڑھتا تھا ²۔

پڑھے مصادر میں کتاب کی تاریخ مختلف ہے۔ ٹی ڈی وی961، میک ٹیوٹر961–976، ایرانیکا سرپرست کے لقب سے979–983 بتاتی ہے۔ اختلاف برقرار، اس لیے طریقے کا اندراج دسویں صدی کا وسیع افق لیتا ہے۔ مختلف حسابوں کی اوسط سے بنا سال یا گھڑا دن نہیں۔ جدید اشاعت کی تاریخ کو ایجاد کی تاریخ نہیں بنایا جاتا ^{3 2 4}۔

بغداد بویہی عہد میں ان کے کام کا اہم مرکز تھا۔ یہ سوانحی ماحول ہے، تین ضرب پانچ کی مثال کسی معلوم دکان یا اصل ٹیکس میں چلنے کی دستاویز نہیں۔ کتاب کا عملی قاری ضرور ہے، مگر غائب تفصیلی قصہ غائب ہی رہتا ہے۔ تاجر و عامل کی گھڑی گفتگو سے اسے مکمل نہیں کیا جاتا ⁵۔

بریٹانیکا فرد کو صاف مسلم ماہر فلکیات و ریاضی کہتی ہے۔ شخص کا اندراج یہ بنیاد عجائب گھر کے الگ اعلانیہ سنی فریم سے جدا محفوظ رکھتا ہے۔ نام یا بویہی سرپرست کے فرقے سے ذاتی مسلک اخذ نہیں۔ صحیح ضرب عقیدہ ثابت نہیں کرتی، نہ فرد کی شناخت ہر قاعدے کی اولینیت پر قائم ہے ⁶۔

یہاں کردار بہتر بنانے والے کا ہے، منفی اعداد کے واحد موجد کا نہیں۔ کروی مثلث کے طریقے اور ایک کھلاؤ کی تعمیرات الگ اضافے ہیں، اس اندراج کا شمار بڑھانے کے لیے ادھار باب نہیں۔ یوشکیویچ و میک ٹیوٹر جدید مؤرخ ہیں، دسویں صدی میں ساتھ حساب کرنے والے شریک نہیں ^{7 8}۔

اب واضح جدید جبر لیتے ہیں۔ عاملx وy ایک دہائی میں، اورN اگلا دس ہے۔ تکملےu=N−x اورv=N−y لکھیں۔ تبxy=N²−N(u+v)+uv، یا مساوی صورتxy=(x+y−N)N+(N−x)(N−y)۔ یہ مؤرخ کے بتائے لفظی قاعدے کی آج کی تحریر ہے، مخطوطے میں لاطینی حروف ملنے کا دعویٰ نہیں ¹۔

منقول3×5 میں مرجع10، تکملے7 و5، تصحیح3+5−10=−2 ہے۔ −20 کو35 میں ملانے سے15۔ نشان بھلا کر20 و35 جمع کریں تو55، جو حاصل ضرب نہیں۔ دَین کی زبان گھٹانے کا مطلب بچاتی ہے، اگرچہ درمیان کی مقدار صفر سے نیچے جاتی ہے ¹۔

عجائب گھر کی آزاد جدید مثال23×27 میں مرجع30، تکملے7 و3 ہیں۔ تصحیح20×30، تکملوں کی ضرب21، نتیجہ621۔ یہ اعداد کسی قدیم درس یا مخطوطے کو نہیں دیے جاتے۔ مساوات کھولیں تو زائد اجزا کٹ کر بعینہٖxy بچتا ہے۔ تقریب یا دقت کا جدول نہیں؛ مثبت ضرب کا ہر وسطی قدم مثبت ہونا ضروری نہیں۔

مصادر کتاب کے نسخے اور جدید مطالعات بتاتے، ایرانیکا و ٹی ڈی وی سعیدان کی اشاعت لکھتی ہیں۔ یہ متن کی بقا و تحقیق کی شہادت ہے، فروخت کا شمار یا بغداد کی ہر منڈی میں دَین و تکملے کا استعمال نہیں۔ اس اندراج کے لیے تمام اصل مخطوطے نہیں دیکھے گئے ^{4 3}۔

یوشکیویچ بعد کے مصنفوں، مثلاً کرجی، میں متعلقہ کسری حساب کہتا ہے۔ خبر اسی خاص دَین قاعدے پر خود نہیں لگتی، نہ ہر بعد کا طریقہ3×5 کی نقل ہوتا ہے۔ مؤثر کتاب میں کئی موضوع ہوتے ہیں۔ خاص ترکیب کا انتقال بتانے کے لیے اسی ترکیب کا ثبوت چاہیے، ملتے عنوان یا مصنف کی عام شہرت کافی نہیں ¹۔

وضاحت میں جمع، تفریق و ضرب اور قریب آسان مرجع ہے۔ جدید جبر ترکیب درست ہونے کا سبب دکھاتا ہے، اس کے آغاز کی آزاد تاریخی شہادت نہیں۔ اندراج منقول گواہی کو آج کے قاری کی جانچ سے الگ رکھتا ہے۔ صرف مساوات صحیح ہونے سے معلوم نہیں ہوتا کہ وہ کب لکھی گئی یا پہلے کس نے چلائی ¹۔

دَین کی تمثیل ہمارے درسی منفی نشان کے بغیر صفر سے نیچے کی مقدار بیان کرتی ہے۔ مؤرخ ہندی عمل سے ربط تجویز کرتا ہے، یہاں وہ تجویز رہتی ہے۔ علم کے تراکم کی جگہ بچتی ہے، مگر ہر تہذیب میں منفی کا ہر استعمال ایک مثال سے نکلا نہیں کہا جاتا ¹۔

آج کے معلم کو طریقہ چیزیں گننے اور حساب میں وسطی منفی حاصل قبول کرنے کا فرق دکھاتا ہے۔ پڑھی تحقیق اس مثال سے آج کے حسابی نظام یا کمپیوٹر تک دستاویزی زنجیر نہیں دیتی۔ موجودہ تعلیمی مماثلت ہر ٹیکنالوجی کا پیدائشی ثبوت نہیں، نہ یہ کہ مصنف نے صحیح اعداد کی جدید مجرد ساخت بنا دی تھی ²۔

مثال دو منفی اعداد کی ضرب کا جامع نظریہ بھی خود ثابت نہیں کرتی۔ دَین مثبت دس سے ضرب، پھر مثبت مقدار سے ملتا ہے۔ ہماری جبری تعمیمیں خودبخود اصل باب کے سارے بیانات نہیں بنتیں۔ جہاں شہادت پہنچتی ہے وہاں حد رکھتے، اپنی مثالوں کو واضح جدید نام دیتے ہیں۔

کتاب کاتب، عامل اور تجارت کے حساب کے لیے ہے، محصول، پیمائش و تبادلے کے باب رکھتی ہے۔ ماحول عملی سوال بتاتا ہے مگر مثال کو قرض کا حقیقی معاہدہ یا خزانے کی ثابت رقم نہیں بناتا۔ تین و پانچ کے لیے گھڑے سکے، دکاندار یا معاملے کی تاریخ مقرر نہیں کی جاتی ^{3 2}۔

واضح تعلیمی اثر یہ ہے کہ جب اصل سے زیادہ گھٹانا پڑے تو حساب کا راستہ محفوظ رہے۔ ایک مثال ہر متبادل سے تیز، آمدنی بڑھانے والی یا ٹیکس بدلنے والی ترکیب ثابت نہیں کرتی۔ قدیم کاتبوں کا وقتی مقابلہ یہاں نہیں ہوا، بغیر ماخذ دسویں صدی کی پیداوار کے اعداد نہیں دیتے ¹۔

شہادت منفی مقدار کی تاریخ کو «کوئی نہیں جانتا تھا» اور «ایک شخص نے سب بنایا» سے دقیق کرتی ہے۔ عملی استعمال موجود، مگر عالمی اولینیت ثابت نہیں۔ مؤرخ کا مثال کی ندرت کا وسیع جملہ عجائب گھر کی طرف سے تمام عربی یا ہندی ادب کا قطعی سروے نہیں بنتا ¹۔

لفظوں کا انتخاب یہ بھی دکھاتا ہے کہ حساب کی تاریخ صرف نشانوں کی نہیں۔ مصنف ایک نظام سمجھ کر قاری کے لیے دوسرا عرض چن سکتا ہے۔ بحث بند حریف مدرسوں کی تصویر کے خلاف ہے، مگر ہر خطے کی تدریس یا اس کتاب کی قبولیت کی ہر تفصیل واپس ملنے کا دعویٰ نہیں ²۔

سنی فریم: فرد کی مستند مسلم بنیاد محفوظ، قاعدے سے نیا ذاتی مسلک اخذ نہیں۔ علمی بیان: یوشکیویچ قاعدہ و مثال دیتا، دَین کی زبان میں ممکنہ ہندی اثر کہتا ہے۔ ابو الوفا کو یہی مشہود صورت دی جاتی ہے، انسانی تاریخ میں تمام منفی، قرض یا ضرب کی ایجاد نہیں ^{6 1}۔

کتاب کی مختلف تاریخیں بھی ظاہر رہتی ہیں؛ ایک ترجیح کو بے سوال آخری حقیقت نہیں بناتے۔ مصادر عملی کتاب پر متفق، ایک صدی کے مختلف وقت بتاتے ہیں۔ یہ اختلاف ضرب کی منقول شہادت محو نہیں کرتا، نہ ایسا سال چننے دیتا ہے جو زیادہ شاندار اولینیت دکھائے ^{3 4}۔

مساوات پھیلا کر یا منتخب اعداد سے جانچ سکتے ہیں۔ عجائب گھر کے23×27 سے621، ماخذ کے3×5 سے15۔ نام الگ: ایک جدید توضیحی مثال، دوسری تحقیق سے منقول تاریخی مثال۔ صرف مساوات درست ہونے سے آج کی تدریسی صورت اصل تاریخی شہادت نہیں بن جاتی۔

تصویر جدید خط اعداد ہے، سرخ منفی اور نیلے مثبت۔ ابو الوفا کا نقشہ یا ان کی کتاب کا محفوظ بندوبست نہیں۔ آج کی زبان سے تقابل ہے۔ اس خط پر−2 دیکھنا ثابت نہیں کرتا کہ مصنف نے منفی مقدار اسی ہندسی تمثیل میں سوچی تھی ⁹۔

یوشکیویچ کا حسابی بیان پڑھا، جامعہ کے پی ڈی ایف کا صفحہ2 دیکھا: قاعدہ و3×5 واضح ہیں۔ فائل جدید ترتیب ہے، حوالہ اسی صفحے کا، کسی گھڑے اصل مطبوعہ لغت صفحے کا نہیں۔ دوسری جگہ بعض کسری و جیبی شکلیں غائب یا خراب، ان سے دوسرا اضافہ نہیں بنایا ¹⁰۔

مصادر سعیدان1971 اور مخصوص تحقیقات بتاتے ہیں، جو یہاں آزاد نہیں پڑھی گئیں۔ نئی عربی تحقیق یا تمام نسخوں کا معائنہ نہیں کہا جاتا۔ خط اعداد ہاکونامنٹا2012، میخائل ریازانوف2021 کی منفی نشان کی تصحیح کے ساتھCC0 ہے۔ اصل بے تبدیلی، دیکھی علمی صفحے کی تصویر نمائش میں دوبارہ شائع نہیں ^{4 11}۔

دَین کی زبان روزانہ معاملے اور مجرد حساب کو ملاتی ہے، مگر اندراج قرض کا مذہبی حکم یا مالی مشورہ نہیں بناتا۔ تاریخی ریاضیاتی استعمال بیان ہے۔ ایک پیرا سے تمام قارئین کے معنی یا اداروں میں حقیقی استعمال کی پوری وسعت معلوم نہیں ہوتی ¹۔

یہ مشہور فلکی عالم کو دوسرے عملی مضمون میں دیکھنے کی دعوت بھی ہے۔ ہر قصے میں رصدگاہ یا فلکی کرہ لازم نہیں۔ تحقیق حساب، ہندسہ و فلک بتاتی، ہر باب اپنا ثبوت چاہتا ہے۔ تنوع محفوظ رکھنا نابغے کے لقب یا سارے شعبے کے موجد میں ہر چیز سمیٹنے سے زیادہ درست ہے ¹²۔

3×5 لکھیں، ساتھ35−20۔ دونوں15۔ قاعدے میں دس سے ضرب سے پہلے−2 کی منزل آتی، مگر آخری حاصل منفی نہیں۔ ایک قدم اور پورے طریقے کے جواب میں فرق رکھیں؛ اعداد مانوس دکھانے کے لیے نشان نہ مٹائیں۔ منقول مثال ہمیں خود حساب دیکھنے دیتی ہے ¹۔

پھر عجائب گھر کا23×27، مرجع30 اور تکملے7 و3 آزمائیں۔ بتائیں600 میں21 کیوں ملتے ہیں۔ کاغذ کا حساب ہے، مخطوطے کا دوبارہ قدیم درس نہیں۔ کون سا حصہ ماخذ دیتا، کون سا عجائب گھر آج سمجھاتا ہے؟ صحیح جواب فہم کی ابتدا ہو سکتا ہے، تحقیق کی آخری منزل نہیں۔

• یوشکیویچ، حسابی بیان و دیکھی پی ڈی ایف2 ¹۔
• میک ٹیوٹر، قارئین و لفظی حساب ²۔
• ٹی ڈی وی و ایرانیکا، کتاب و مختلف تاریخیں ^{3 4}۔
• فرد کی شناخت:بریٹانیکا؛ جدید تصویر و حقوق:کامنز ^{6 11}۔