کروی مثلث حل کرنے کے ابو الوفا کے طریقے

کرے پر حساب کرنے والا ماہر فلکیات کاغذ کے سیدھے مثلث پر اکتفا نہیں کر سکتا؛ اس شکل کی حدیں عظیم دائروں کی قوس ہیں اور مسئلہ ان قوسوں اور ان کے ملنے کے زاویوں کا تعلق ہے۔ یہاں ابو الوفا البوزجانی کا حصہ ان تعلقات کو آسان بنانا، عمومی کروی قانون جیب کا برہان اور قائم کروی مثلث کے طریقے ہیں، تمام مثلثات کی ایجاد نہیں ²۔1892 کی فرانسیسی اشاعت میں برہان کے ساتھ اولینیت کا صریح اختلاف بھی ہے؛ ہماری کہانی دونوں محفوظ رکھتی ہے ³۔

یہاں کروی مثلث کی تین حدیں عظیم دائروں کی قوس ہیں؛ عظیم دائرے کا مستوی کرے کے مرکز سے گزرتا ہے۔ ضلع کو قوس کے مرکزی زاویے سے ناپتے ہیں، کرے کے اندر سیدھے وتر کی لمبائی سے نہیں؛ راس کا زاویہ وہاں ملنے والی دو قوسوں کی سمتوں کے درمیان ہے۔ ترجمہ شدہ برہان کی نسبتیں سمجھنے کے لیے یہ فرق بنیادی ہے؛ اسی لیے مستوی قانون جیب کی عام ضلع لمبائیاں جوں کی توں کرے پر نہیں رکھ سکتے ³۔

یہ طریقہ پیتل کا آلہ یا نئی رصدگاہ نہیں بلکہ تعلقات، برہان اور حساب کی ترتیب ہے جو مناسب معلومات سے نامعلوم مقدار دیتی ہے۔ یوشکیویچ چھ مقداروں کی پیچیدہ ترکیب کی جگہ آسان طریقے بتاتے؛ موسوعہ قائم مثلث کے جیب و ظل کے قواعد بیان کرتا ہے ^{2 4}۔ ہر تعلق کو الگ ایجاد کہہ کر گنتی نہیں بڑھاتے؛ یہ اندراج ایک متعین منہجی حصے کی نمائندگی کرتا ہے۔

ابو الوفا سے پہلے آسمان حساب سے خالی نہ تھا۔ ترجمہ شدہ دیباچے میں مصنف موروثی کام اور یونانی روایت کے نام بتا کر طریقے آسان کرنے، برہان اور مثالیں بڑھانے کا ارادہ سمجھاتے ہیں ⁵۔ علمی سوانح مینیلاؤس کی چھ مقداروں والی شکل سے کروی مسائل حل کرنے کا بوجھ واضح کرتی ہے۔ یہی پس منظر آسان تعلقات کی اہمیت سمجھاتا ہے، کوئی مخالف نہیں جسے مٹا کر مطلق ابتدا بنائی جائے ²۔

حل کے طریقے بہتر کرنے کو ہر مثلثاتی تفاعل پہلی مرتبہ متعارف کرانے سے بھی نہ ملائیں۔ موسوعۃ الاسلامیہ ظل، ظل تمام، قاطع اور قاطع تمام کے آغاز کی نسبت ابو الوفا سے رد کرتی ہے کیونکہ حبش الحاسب پہلے انہیں استعمال کر چکے تھے ⁴۔ آیدن بھی حبش کے پہلے جدول بتاتے ہیں، اگرچہ مراجع کی تعریف اور مخصوص اولین استعمال کی عبارت مختلف ہے ⁶۔ سابقہ کام بعد کی بہتری ختم نہیں کرتا، مگر اس بہتری کا درست نام بدلتا ہے۔

ابو الوفا بوزجان میں پیدا ہوئے، عراق آئے اور بغداد میں رہے؛ آیدن348/959 کی منتقلی، خاندان کے اساتذہ اور معاصر علماء کے روابط بتاتے ہیں ⁶۔ بریٹانیکا رصدی کام اور البیرونی کے ساتھ رصدی تعاون بیان کرتی ہے؛ یوں حساب آسمان، مقام اور وقت کے سوالوں کے ماحول میں نظر آتا ہے، تنہا سوانح میں نہیں ⁷۔ یہ خبریں برہان لکھنے کی میز یا تکمیل کا دن نہیں بتاتیں۔

ترجمہ شدہ دیباچہ ہندسی برہان اور حساب میں فرق، عددی مسائل کی اہمیت اور جدولوں کی اصلاح بتاتا ہے؛ یہ «ایک قانون دریافت کیا» سے وسیع تعلیمی و علمی منصوبہ ہے ⁵۔ اندراج کی دسویں صدی سرگرمی کا وسیع سیاق ہے، اس حصے کی گھڑی ہوئی تصنیفی تاریخ نہیں۔ وفات کی خبریں997 اور998 میں مختلف ہیں؛ ان سے برہان کا ٹھیک دن یا بناوٹی ہجری تبدیلی نہیں بناتے ^{7 6}۔

بریٹانیکا فرد کو صراحت سے مسلم ریاضی دان اور ماہر فلکیات کہتی ہے۔ شناخت کا ثبوت یہی ہے، نام یا سرپرست حکومت کے مسلک سے اخذ نہیں ⁷۔ یہاں سنی میوزیم کا اعلان کردہ سیاق ہے، ذاتی فقہی مسلک کی شہادت نہیں جو سوانح ثابت نہیں کرتی۔ ریاضیاتی حصہ دیباچے اور برہان سے متعین ہوتا ہے، محض شہرت یا کسی شہر سے نسبت سے نہیں ¹۔

Sunni (اہلِ سنت) — اعلان کردہ سیاق: مستند مسلم عالم اور ان سے منسوب کام پیش کرتے ہوئے عمومی سیاق کو ذاتی مسلکی شہادت سے الگ رکھتے ہیں ⁷۔ اکادمیاتی بیان: کارا ابو الوفا اور ابو نصر ابن عراق کی اولینیت کا اختلاف بتاتے؛ میک ٹیوٹر طوسی کی الخجندی کے برہان کی نسبت کے ساتھ اولینیت غیر یقینی رکھتا ہے ^{8 9}۔ سرپرست کا مسلک عالم کو منتقل نہیں ہوتا، اور ضروری شواہد کے بغیر میوزیم سبقت کا فیصلہ نہیں دیتا۔

ہماری جدید تدریسی علامتوں میں راسA,B,C اور ان کے مقابل اضلاعa,b,c ہیں؛ ہر ضلع قوس کا زاویہ ہے، وتر کی لمبائی نہیں۔ تب کروی قانون جیب sin(a)/sin(A)=sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C) ہے۔ یہ ترجمہ شدہ متن کے زاویوں کے جیوب اور مقابل اضلاع کے جیوب کی نسبت ہے، مستوی مثلث کی طرح خود ضلع کی جیب زاویہ سے نسبت نہیں ³۔ جدید حروف کو مصنف کے نسخے کے حروف یا اپنی راس ترتیب کو مترجم کے شکل کی ترتیب نہیں کہتے۔

اگرC=90° ہو تو اسی اصطلاح میں sin(a)=sin(c)sin(A)، tan(a)=tan(A)sin(b) اور cos(c)=cos(a)cos(b) ہیں۔ یہ موسوعے کے بیان کردہ آسان قائم مثلثی طریقے کی معیاری علامتی صورت ہے ⁴۔ پہلا تعلق مناسب معلومات پر نامعلوم دیتا، دوسرا ظل اور جیب جوڑتا، تیسرا تین قوسوں کا تعلق بتاتا ہے۔ یہ غیر متعلق تین ایجادات نہیں؛ نہ ان کا مطلب ہے کہ کوئی بھی تین عدد ہمیشہ ایک ہی درست مثلث دیں گے۔

سمجھانے کے لیے اپنی بنائی جدید مثال لیں، ابو الوفا کی کتاب کے تاریخی اعداد نہیں: a=30°، b=45°، C=90°۔ جتا کے تعلق سے c≈52.238756°، اور ظل کے تعلقات سے A≈39.231520° اورB≈63.434949° ملتے ہیں۔ اقدار رکھنے پر جیب کی تینوں نسبتیں تقریباً0.790569415 ہیں؛ یوں عددی تصدیق ہوتی ہے۔ یہ بتائی علامتوں میں اپنی مثال کی پڑتال ہے، ترجمہ شدہ برہان کے ہر قدم کی آزاد تعمیر نہیں ³۔

دیکھیں، مثال کے زاویوں کا مجموعہ180 درجے سے زیادہ ہے؛ کرے کا مثلث مستوی مثلث کے قاعدے کا پابند نہیں۔ نصف قطرR کے کرے پر سطحی فاصلہ چاہیے تو قوس کا ریڈیئن زاویہR سے ضرب دیں؛ صرف جیب کی قدر کلومیٹر نہیں ہوتی۔ جیب معکوس سے زاویہ لیتے وقت بھی انتخاب اور سیاق دیکھنا ضروری ہے؛ فارمولا ہر بے ترتیب معلومات کے واحد حل کا وعدہ نہیں۔ یہ پڑھے تعلقات کی جدید ہندسی وضاحت ہے، مصنف کے لیے کیلکولیٹر کی زبان کا دعویٰ نہیں ³۔

ترجمہ شدہ برہان محض تیار نسبت کا اعلان نہیں: عظیم دائروں کی قوسوں والے مثلث سے شروع، قطبوں سے متعلق قوس اور پھر عمودی اسقاط متعارف کر کے تناسب نکالتا ہے ³۔ اس سے ایک عدد کی جانچ اور عمومی تعلق کے برہان میں فرق واضح ہوتا ہے۔ ہماری عددی مثال ضلع کے زاویے کو اس کے جیب کی جگہ ڈالنے کی غلطی دکھا سکتی، مگر ہندسی تعمیر کی جگہ نہیں لیتی۔ ایک مثال کے تین عدد ملنے سے اکیلے ہر مثلث کا عمومی قانون ثابت نہیں ہو جاتا۔

یہاں قابل تتبع شاہد کارا کی1892 میں علمی مجلے میں منتخب ترجمے کی اشاعت، پھر جدید موسوعوں اور علمی سوانح میں بحث ہے ^{10 11}۔ اس سے جدید تاریخ علم میں متن کی موجودگی ثابت، ہر مخطوطے کا راستہ یا ہر مدرسے میں ایک ہی نسخے کا استعمال ثابت نہیں۔ اس لیے صرف سفر میں کروی حساب مفید ہونے پر بغداد سے ہر تجارتی شہر تک تیر نہیں کھینچتے۔

خود اولینیت کی بحث میں خبروں کی منتقلی دکھائی دیتی ہے: میک ٹیوٹر طوسی کی الخجندی سے نسبت اور ابو الوفا و ابو نصر کے دعوے نقل کرتا ہے ⁹۔ یہاں مؤرخوں کا بیان پڑھا، ہر اصل دعوے کا متن نہیں۔ ترجمے کے براہ راست حصے اور دوسرے مصنف کے فیصلے کی خبر الگ شواہد ہیں۔

علمی سوانح اور ترجمہ شدہ دیباچہ دائروں، قوسوں، جدولوں اور مینیلاؤس کے پہلے طریقے کا ورثہ واضح کرتے ہیں ^{2 5}۔ تعلق مسائل اور برہانی طریقوں کا ہے، اس بات کا ثبوت نہیں کہ ہر قدیم نام ابو الوفا کا ذاتی استاد تھا۔ جدولوں کی شہادت بھی محدود رکھیں: مترجم کہتا ہے اس کے نسخے میں جدول موجود نہیں تھے۔ مصنف کے مکمل جدول دیکھنے یا غائب ورق سے ان کی صحت ناپنے کا دعویٰ نہیں کر سکتے ¹²۔

علمی سوانح ان طریقوں کو کروی مثلثات کا اہم مرحلہ کہتی ہے، تمام نتائج کی منفرد اولینیت سے الگ ²۔ آج قانون پڑھا سکتے ہیں، مگر دو ملتی مساوات بذات خود کسی مخصوص جہاز رانی آلے تک تکنیکی انتقال ثابت نہیں کرتیں۔ اس لیے اندراج بلا ماخذ تابع کا نام نہیں دیتا، نہ جدید فون کو ایک برہان کا براہ راست نتیجہ بناتا ہے۔ جس حلقے کی شہادت نہیں، اس کا تیر نقشے پر نہیں بناتے۔

کارا کے خلاصہ کردہ حصے میں سمت قبلہ اور عددی مثالوں جیسے اطلاقات ہیں؛ فلکی تعلقات کی افادیت کی مستند جھلک، ہر ملک کے مستفید افراد کی گنتی یا حسابی رفتار کا تخمینہ نہیں ¹³۔ ریاضیاتی سوال بتاتے ہیں، عملی دینی فتویٰ نہیں دیتے۔ دیباچے میں برہان و حساب کا فرق اہم ہے: تعلق ثابت کرنا جدول و معلومات سے مثال کے مراحل پورے کرنا نہیں، اگرچہ کام کو دونوں درکار ہوں ⁵۔

مطلب یہ نہیں کہ فلکیات معلوم دن میں یکسر بدل گئی، بلکہ حسابی ترکیب آسان اور وسیع ہو سکی۔ یوشکیویچ عمومی تعلق کے ابتدائی برہانوں میں ابو الوفا کو رکھتے اور ظل کا طریقہ بیان کرتے ہیں ²۔ یہ «سب سے پہلے جیب کس نے جانا» کے مقابلے سے دقیق تر ہے۔ اس میں تراکم نظر آتا ہے: موروثی مسائل، آسان صورت، دکھایا جا سکنے والا برہان، پھر مشترک نتیجے کی سبقت پر تاریخی بحث۔

Sunni (اہلِ سنت) — دعوے کی حد: یہاں ثابت حصہ ابو الوفا کے حل کی ترتیب کی بہتری ہے، تمام مثلثات کی ملکیت نہیں۔ عالم کی مستند مسلم شناخت ہر مبرہنے کی سبقت سے الگ ہے ⁷۔ اکادمیاتی بیان: کارا423 پر ابو نصر سے اختلاف صاف بتاتے؛ میک ٹیوٹر الخجندی و طوسی کا سیاق بڑھاتا، دستیاب شہادت کو آخری فیصلہ نہیں بناتا ^{8 9}۔ میوزیم پڑھی تحقیق کے غیر طے شدہ سوال کا فیصلہ نہیں کرتا۔

قمری تغیر کی دریافت کا دعویٰ بھی اس کارڈ سے خارج ہے۔ بریٹانیکا اور موسوعہ اسے رد کرتے؛ اسے دوسری ریاضیاتی بہتری کی سوانح کی زینت نہیں بناتے ^{7 4}۔ دعوے الگ رکھنے سے مشہور غلط خبر درست خبر کی دلیل نہیں بنتی۔

جدید خاکہ کرہ،C پر قائم مثلث اور مرکزO دکھاتا؛ اضلاع قوس ہیں، ٹوٹی لکیریں چھپا حصہ سمجھاتی ہیں ¹⁴۔ مرکز کے پاس یونانی حروف مرکزی زاویے ہیں، ہماری مساوات کے راس زاویے نہیں۔ قوس سے ضلع کا مطلب سمجھ سکتے ہیں، لیکن یہ ابو الوفا کی شکل کی نقل یا ہماری مثال کے اعداد کا پیمانے والا نقشہ نہیں۔ اس کا جدید تدریسی مقصد واضح ہے۔

یہاں براہ راست متنی شاہد منتخب شائع ترجمہ، برہان، شکل اور تبصرہ ہے۔ عام مسح میں مطبوعہ423 کی تصویر دیکھی اور424 کے باقی برہان کا متن پڑھا ³۔ آزاد عربی مقابلے، مصنف کے ہاتھ کے اصل نسخے کے معائنے یا پورے مقالے کی قرأت کا دعویٰ نہیں۔ علمی سوانح باقی و مفقود کتابوں کا سیاق بڑھاتی ہیں؛ کوئی دوسری کتاب باقی ہونے سے یہاں کا ہر حساب براہ راست اسی سے پڑھا ہوا نہیں ہو جاتا ¹⁵۔

سوانح ابو الوفا کے عملی حساب، ہندسے اور فلکیات کو جمع کرتی، کاتبوں اور کاریگروں کے مسائل سمیت ¹⁶۔ وہ کتابیں ایک کتاب نہیں بن جاتیں، اور ان کی مختلف متنازع تاریخیں کروی قانون کی آسان واحد تصنیفی تاریخ نہیں دیتیں۔ استعمال کردہ خاکہ جدید عوامی ملکیت کا تعلیمی کام ہے، کومنز کے مستند تخلیق کاروں کو منسوب؛ عالم کی تاریخی تصویر یا رصدگاہ کی تعمیر نو نہیں ¹⁷۔

کاغذ پر مثلث بنائیں، پھر گیند پر اس کا تصور کریں: لکیریں قوس بن گئیں اور کاغذ کے ہر قاعدے کو ویسے منتقل نہیں کر سکتے۔ ابو الوفا نے کرے کا حساب آسان کیا، پہلے طریقوں اور دوسرے برہانی دعووں کی تاریخ میں ^{2 9}۔ اگر پوچھیں پہلا کون تھا تو متن اور اس کی حد دیکھیں، صرف پوسٹر پر نام نہیں۔ مسئلے کی لذت اور دلیل سمجھنا بے شہادت فاتح بتانے سے اہم ہے۔

• کارا دی وو، ابو الوفا کا مجسطی،1892: پڑھے منتخب413–414 اور421–425، خصوصاً423–424 کا برہان؛ پورا مقالہ پڑھنے کا دعویٰ نہیں ¹⁸۔
• یوشکیویچ، علمی سوانح، مثلثات و تصانیف؛ جامعہ کی ازسرنو مرتب نقل، اصل اشاعت کے صفحوں کی نسبت نہیں ¹⁹۔
• بریٹانیکا؛ آیدن348–349؛ میک ٹیوٹر کی ابو الوفا و الخجندی سوانح ^{7 6 20 9}۔
• موسوعۃ الاسلامیہ، جلد1،178؛ جدید خاکے و اجازت کے لیے کومنز ^{4 21}۔