ضرب أبي الوفاء بالمتمم والدين الوسيط

في كتاب الحساب الذي يحتاج إليه الكتّاب والعمّال، يشرح أبو الوفاء البوزجاني ضرب عددين بطريقة تستعمل متمميهما إلى العشرة التالية. تظهر أهمية الإجراء حين ينتج عن إحدى خطواته مقدار يسميه ديناً، مع أن العددين المضروبين والناتج النهائي موجبة. ليست البطاقة عن اختراع الدين أو أول عدد سالب في العالم، بل عن قاعدة محددة وشاهد على قبول وسيط سالب في حساب عملي ¹.

يستشهد المؤرخ بمثال ضرب ثلاثة في خمسة: متمماهما إلى عشرة سبعة وخمسة، ومن طرح خمسة من ثلاثة يظهر دين مقداره اثنان. بعد ضرب هذا الدين في عشرة وجمع خمسة وثلاثين، نحصل على خمسة عشر. الرموز الحديثة هنا وسيلة شرح، لا صورة للحروف التي كتب بها المؤلف قاعدته اللفظية ^{1 2}.

هذا إجراء من الحساب، لا آلة ولا دفتر محفوظ نستطيع عرضه. يندرج في القسم الثاني من كتاب ذي سبع منازل، يجمع عمليات الصحيح والكسور مع حاجات القياس والضرائب والتبادل. يصف العرض التاريخي أعداداً ذات منزلة عشرات مشتركة، ثم يطبقها على حالة تكون فيها تلك المنزلة صفراً. لا نوسع الوصف إلى نظام تاريخي كامل لكل عدد موقّع ^{1 3}.

يمكن للقارئ المعاصر أن يسمي العدد المرجعي «العشرة التالية». أما المتمم فهو ما ينقص كل عامل حتى يبلغ ذلك المرجع، وليس معكوس العدد ولا مقلوبه. إذا كان العامل ثلاثة فمتممه إلى عشرة سبعة. اختيار هذه اللغة يبين العملية من دون أن يدعي أن المصطلحات والرموز الحديثة كانت مطبوعة في النسخة الأصلية ¹.

لم يبدأ الحساب بالهندسة الكروية لأبي الوفاء أو بكتابه هذا. يناقش يوشكيفيتش تقاليد كتابة الأعداد بالكلمات والعمل بالكسور، ويذكر تفسير السالب بالدين في الرياضيات الهندية. لكنه يجعل التأثر الهندي ترجيحاً؛ لا يورد في هذا الموضع وثيقة تثبت كتاباً سنسكريتياً بعينه وصل إلى يد أبي الوفاء أو سلسلة مترجمين محددة ¹.

ويعرض تفسيراً لعدم استعمال الأرقام الموضعية في الكتاب: احتياجات جمهور اعتاد الحساب اللفظي، لا معسكران متعاديان لا يعرف أحدهما علم الآخر. تذكر ماكتوتر أن المؤلف نفسه كان يعرف الأرقام الهندية، وأن أسلوب الكتاب يلائم المستعملين المقصودين. اختلاف لغة العرض لا يعني بالضرورة غياب القدرة العلمية، كما لا يثبت أن كل تاجر كان يقرأ هذا المصنف ².

تختلف المصادر المقروءة في تأريخ كتاب الحساب. تذكر مادة TDV سنة961، وتعرض ماكتوتر مجال961–976، بينما تستدل إيرانيكا بلقب الراعي لتقترح979–983. نحتفظ بالخلاف، ولذلك تتخذ بطاقة الطريقة القرن العاشر إطاراً واسعاً، لا يوماً أو سنة تركيبية نخرجها بمتوسط الأرقام. لا نحول تاريخ طبعة حديثة إلى تاريخ اكتشاف ^{3 2 4}.

كان بغداد موضعاً رئيسياً لعمل العالم في البيئة البويهية. هذا سياق سوانح، وليس وثيقة تثبت أن مثال الثلاثة والخمسة جرى في سوق معين أو عند دفع ضريبة معينة. يصلح وصف الكتاب لجمهور عملي، لكن القصة الدقيقة التي لا تقدمها المصادر تظل غير مكتوبة، ولا نعوض غيابها بحوار متخيل بين جابي الضرائب وتاجر ⁵.

تصف بريتانيكا أبا الوفاء فردياً بأنه عالم مسلم في الفلك والرياضيات، وتحتفظ بطاقة الشخص بهذا الأساس منفصلاً عن الإطار السني المعلن للمتحف. لا يستنتج المذهب الشخصي من الاسم أو من مذهب الراعي البويهي. كما أن نجاح حاصل ضرب لا يثبت انتماءً عقدياً، ولا تتوقف صحة هوية الفرد على أولوية كل قاعدة نسبت إليه ⁶.

نصف دوره هنا بالمطور، لا بالمخترع الوحيد للسالب. مساهمتاه في حل المثلثات الكروية والإنشاءات بفتحة واحدة موضوعان آخران، لا أقسام مستعارة لزيادة عدد هذه البطاقة. يوشكيفيتش وماكتوتر باحثان يصفان الشاهد، لا شريكان من القرن العاشر في تنفيذه ^{7 8}.

نستعمل الآن جبراً حديثاً معلناً. ليكن العددانx وy في العقد العشري نفسه، ولتكنN العشرة التالية. نكتب المتممينu=N−x وv=N−y. يصبح حاصل الضرب:xy=N²−N(u+v)+uv، أو بالصورة المكافئةxy=(x+y−N)N+(N−x)(N−y). هذه إعادة صياغة معاصرة للقاعدة اللفظية كما نقلها المؤرخ، لا ادعاء العثور على الحروف اللاتينية في المخطوط ¹.

في المثال المنقول3×5، المرجع10، والمتممان7 و5، والتصحيح3+5−10=−2. نجمع−20 و35 فنحصل على15. لا يجوز تجاهل الإشارة والاكتفاء بجمع20 و35؛ عندئذ ينتج55، وهو ليس حاصل الضرب. لفظ الدين يحفظ معنى النقص أثناء مرور الحساب بمرحلة أقل من الصفر ¹.

وفي مثال المتحف الحديث23×27، المرجع30، والمتممان7 و3؛ التصحيح20×30، ومعه21، فيكون الناتج621. ليست هذه الأعداد منسوبة إلى مخطوط أو درس قديم، بل اختبار مستقل لهوية جبرية. وبالتوسيع تلغى الحدود الزائدة ويتبقىxy بالضبط؛ لا تقريب ولا جدول دقة، ولا يلزم أن يكون كل وسيط في الضرب الموجب موجباً.

تفيد المصادر باستمرار وجود نسخ من كتاب الحساب ودراسات حديثة لأقسامه، وتذكر إيرانيكا وTDV نشر سعيدان. هذا شاهد على إمكان قراءة المصنف في تاريخ البحث، وليس إحصاءً لمبيعاته أو برهاناً أن كل سوق في بغداد استخدم طريقة المتمم والدين. قراءة المخطوطات الأصلية كلها لم تقع في إعداد هذه البطاقة ^{4 3}.

يشير يوشكيفيتش إلى ظهور حساب الكسور في أعمال لاحقة، ومنها الكرجي. لا ننقل هذا الخبر آلياً إلى قاعدة الدين المحددة، ولا نستنتج أن كل إجراء لاحق استنسخ مثال3×5. يمكن لكتاب مؤثر أن يحمل أبواباً كثيرة، وتحتاج نسبة انتقال خوارزمية بعينها إلى دليل على تلك الخوارزمية، لا إلى تشابه أسماء الكتب فقط ¹.

يعتمد الشرح على جمع وطرح وضرب مألوفة وعلى اختيار مرجع قريب. يكشف الجبر المعاصر سبب صحة التركيب، لكنه ليس مصدراً مستقلاً يثبت منشأه التاريخي. يفرق العرض بين الشاهد المنقول والحساب الذي يتيح لقارئ اليوم التحقق منه. لا تجعلنا صحة هوية رياضية نعرف آلياً متى كتبت أو من سبق إليها ¹.

كما أن استعارة الدين تمكّن من الحديث عن كمية دون الصفر من غير كتابة إشارة ناقص على النمط المدرسي. يذكر المؤرخ التقارب مع تقاليد هندية، ولا نحول الاحتمال إلى يقين. هذا يترك مكاناً لتراكم المعرفة، ويمنع الادعاء أن كل استعمال للسالب في كل حضارة مشتق من مثال واحد ¹.

تكشف الطريقة للمعلم المعاصر الفرق بين عدّ الأشياء وبين السماح بنتيجة وسيطة سالبة في إجراء. لكن لا يقدم المصدر المقروء سلسلة موثقة تصل هذا المثال مباشرة إلى أنظمة المحاسبة الحديثة أو معالجات الحاسوب. التشابه بين المعنى التعليمي اليوم والمعنى التاريخي ليس شهادة ميلاد لكل تقنية، ولا دليلاً على أن المؤلف صاغ مجموعة الأعداد الصحيحة الحديثة ².

ولا يكفي المثال لإسناد نظرية شاملة لضرب سالب في سالب إليه. ما يظهر فيه دين يضرب في عشرة موجبة، ثم يضاف مقدار موجب. إمكان تعميم الجبر بأيدينا لا يثبت تلقائياً أن كل تعميم كان مكتوباً في ذلك الباب. نعرض المجال الذي يسنده الشاهد، ثم نضع أمثلتنا الحديثة تحت اسمها.

يعرض الكتاب الحساب للقائمين بالكتابة والعمل الإداري والتعاملات، وفيه أقسام للضرائب والمقاييس والتبادل. هذه الصلة تحدد نوع الأسئلة العملية التي يوضع الإجراء ضمنها، لكنها لا تجعل المثال وثيقة قرض حقيقي أو قيمة نقدية في خزينة. أعداد3 و5 في العرض ليست أسماء عملات من اختراعنا ^{3 2}.

والأثر التعليمي الواضح هو ألا يفسد المسار حين يحتاج إلى طرح أكبر من الأصغر. لا نثبت بمثال واحد أن الطريقة أسرع من كل ضرب آخر، أو أنها رفعت دخل الناس أو غيرت معدلات الضرائب. لم تجر هنا تجربة زمنية بين الكتبة، ولا تنسب بيانات إنتاجية إلى القرن العاشر من دون مصدر ¹.

يساعد الشاهد على قراءة تاريخ السالب بدقة أكبر من عبارة «لم يعرفه أحد» أو «اخترعه شخص واحد». يوجد استعمال عملي موصوف، وفي الوقت نفسه لا توجد في المادة المقروءة دعوى مؤسسة بالتحقيق على أولوية عالمية. عبارة المؤرخ الواسعة عن ندرة الشاهد لا تتحول في صوت المتحف إلى مسح نهائي لجميع الأدب العربي أو الهندي ¹.

ويكشف اختيار الكلام بدلاً من الأرقام أن تاريخ الحساب ليس تاريخ الرموز وحدها. قد يعرف مؤلف نظاماً رقمياً ويختار لجمهوره عرضاً آخر. هذا ما ترجحه المناقشة التاريخية في مواجهة صورة المدارس المنغلقة، ولا يعني أن كل تفاصيل استقبال الكتاب أو تعليم الحساب في كل بلد قد استعيدت ².

أهل السنة — الإطار المعلن: أساس هوية أبي الوفاء الفردية محفوظ، ولا نستنتج له مذهباً جديداً من قاعدة رياضية. القراءة الأكاديمية: ينقل يوشكيفيتش القاعدة والمثال ويرجح أثراً هندياً في لغة الدين. تُسند البطاقة إلى أبي الوفاء هذه الصياغة المشهودة، لا اختراع السالب أو الديون أو الضرب في جميع الحضارات ^{6 1}.

وتختلف مصادر تاريخ تأليف المصنف، فلا نجعل ترجيحاً وحيداً حقيقة نهائية. تشترك في ربطه بحساب عملي، بينما تضعه في تواريخ متباينة من القرن نفسه. هذا خلاف في تأريخ الكتاب لا سبب لطمس عملية الضرب المقروءة، ولا وسيلة لاختيار سنة تمنح سبقاً دعائياً على شخص آخر ^{3 4}.

يمكن اليوم فحص الهوية بالتوزيع الجبري أو بأعداد مختارة. مثال المتحف23×27 يؤدي621، ومثال المصدر3×5 يؤدي15. نذكر الحسابين بوضوح مختلف: الأول شرح حديث، والثاني شاهد منقول عبر دراسة حديثة. لا ينتقل التاريخ من خانة المثال إلى خانة الأصل لمجرد أن المساواة صحيحة.

الصورة خط أعداد حديث، الأحمر فيه للقيم السالبة والأزرق للموجبة. لا يمثل الخط رسماً لأبي الوفاء أو ترتيباً محفوظاً من كتابه؛ ويساعد على بيان لغة معاصرة سنستخدمها في الشرح. إن النظر إلى−2 على الخط لا يثبت أن المؤلف نفسه تصوّر السالب بهذه الصورة الهندسية ⁹.

قُرئ عرض يوشكيفيتش، وعوينت صورة الصفحة الثانية من ملفه الجامعي، وفيها القاعدة ومثال3×5 بوضوح. الملف إعادة تنسيق حديثة، لذلك تحيل البطاقة إلى صفحةPDF لا إلى رقم صفحة أصلي مختلق في قاموس مطبوع. بعض صيغ الكسور والجيب فيه مفقودة أو مضطربة؛ لم نعتمدها لبناء مساهمة أخرى ¹⁰.

وتسجل المصادر طبعة سعيدان1971 وأبحاثاً متخصصة لم تُقرأ مستقلة هنا. لا يُدّعى تحقيق عربي أو فحص كل نسخة. صورة خط الأعداد من هاكونامنتا2012، مع تصحيح علامة الناقص لميخائيل ريازانوف2021، تحتCC0؛ يظل الأصل بلا تعديل، ولا تنشر صفحة المصدر المصورة ضمن المعرض ^{4 11}.

تبدو كلمة الدين جسراً بين لغة التعامل وبين عملية مجردة، لكن البطاقة لا تحولها إلى موقف ديني من القروض أو إلى حكم مالي. هي وصف تاريخي لاستعمال لفظ في الحساب. لا نعرف من هذه الفقرة وحدها كل المعاني التي حملها المصطلح عند القراء، ولا حجم تطبيقه الفعلي في المؤسسات ¹.

وهي أيضاً فرصة لرؤية عالم اشتهر بالفلك في موضوع عملي مختلف. ليس علينا أن نضع مرصداً أو كرة سماوية في كل حكاية عنه. يضم نتاجه الذي تعرضه الدراسات الحساب والهندسة والفلك، وكل باب يحتاج دليله الخاص؛ حفظ التنوع أدق من اختزال كل شيء في لقب عبقري أو مخترع شامل ¹².

اكتب3×5، ثم ضع بجانبه35−20. الطرفان يساويان15. في شرح الطريقة تظهر خطوة−2 قبل ضربها في عشرة؛ وجودها لا يجعل حاصل الضرب سالباً. لا تخلط بين نتيجة خطوة وبين نتيجة العمل كله، ولا تمح الإشارة لتبدو الأرقام مألوفة. المثال المنقول يتيح لنا فحص ذلك بأنفسنا ¹.

ثم جرب مثال المتحف23×27 بالمتممين7 و3 إلى30، واقرأ لماذا نجمع21 مع600. هذه لعبة حساب على الورق، لا إعادة تمثيل لصفحة قديمة. اسأل دائماً: أي جزء ينقله المصدر، وأي جزء شرحه المتحف اليوم؟ بهذا يصبح الناتج الصحيح بداية للفهم، لا نهاية للسؤال.

• يوشكيفيتش، عرض الحساب، وصفحةPDF2 المعاينة ¹.
• ماكتوتر، الكتاب والجمهور والحساب اللفظي ².
• TDV وإيرانيكا، المصنف وخلاف تاريخه ^{3 4}.
• بريتانيكا لهوية الفرد، وكامونز للصورة الحديثة وحقوقها ^{6 11}.