طرق أبي الوفاء لحل المثلثات الكروية

حين يحسب الفلكي على كرة لا تكفيه صورة مثلث مستقيم مرسوم على ورقة؛ حدود الشكل أقواس دوائر عظمى، وتربط المسألة بين أطوال تلك الأقواس وزوايا التقائها. تطوير أبي الوفاء البوزجاني الذي نعرضه هو جعل هذه العلاقات أيسر استعمالاً، مع برهان لعلاقة الجيب العامة وطرق للمثلث القائم، لا اختراع علم المثلثات كله ². وفي النص الفرنسي المنشور سنة1892 يظهر البرهان إلى جانب تنبيه صريح إلى خلاف الأولوية، فيبقى الاثنان معاً في قصتنا ³.

المثلث الكروي هنا تحده ثلاثة أقواس من دوائر عظمى؛ والدائرة العظمى يمر مستواها بمركز الكرة. نقيس الضلع بزاوية القوس عند المركز، لا بطول خط مستقيم يخترق الكرة؛ أما زاوية الرأس فهي بين اتجاهي القوسين عند اجتماعهما. هذه تفرقة أساسية لفهم النسب التي يعرضها البرهان المترجم، وتفسر لماذا لا يصح أخذ قانون جيب المثلث المستوي وإبقاء أطواله كما هي على الكرة ³.

والطريقة ليست أداة نحاسية أو مرصداً جديداً، بل ترتيباً من العلاقات والبراهين والحساب يعين على استخراج مجهول من معطيات مناسبة. يسجل عرض يوشكيفيتش الاستعاضة عن جهاز المقادير الستة بطرق أبسط، ويسجل المرجع الموسوعي قاعدتي الجيب والظل للمثلث القائم ^{2 4}. لا نعد كل علاقة في هذه المجموعة اختراعاً مستقلاً لرفع العدد؛ السجل يمثل إسهاماً منهجياً واحداً محدد الحدود.

لم تكن السماء مجالاً بلا حساب قبل أبي الوفاء؛ في المقدمة التي ترجمها كارا يذكر المؤلف أعمالاً موروثة وأسماء من التقليد اليوناني، ثم يشرح مقصده في تيسير المسالك وإضافة براهين وأمثلة ⁵. وتوضح السيرة العلمية ثقل استعمال شكل منلاوس ذي المقادير الستة في مسائل المثلثات الكروية، وهو الخلفية التي يجعلها تبسيط العلاقات مفهومة، لا خصماً نلغي دوره لنصنع بداية مطلقة ².

كذلك لا نخلط بين تطوير طرق الحل وبين إدخال كل دالة مثلثية أول مرة. فمقالة الموسوعة الإسلامية ترفض نسبة إدخال الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام إلى أبي الوفاء لأن حبش الحاسب استعملها قبله ⁴. وتذكر آيدن جداول حبش السابقة أيضاً، وإن اختلفت عبارة المراجع في تعريف الدوال وأولوية بعض استعمالاتها ⁶. وجود سابقة لا يلغي تحسيناً لاحقاً، لكنه يغير الاسم الذي نضعه على ذلك التحسين.

ولد أبو الوفاء في بوزجان، وانتقل إلى العراق وأقام في بغداد؛ تذكر آيدن انتقاله سنة348/959 ومعلمين من أسرته واتصاله بعلماء عصره ⁶. وتعرض بريتانيكا عملاً رصدياً وتعاوناً في الرصد مع البيروني، فيظهر الحساب داخل بيئة تسأل عن السماء والموقع والزمن، لا في سيرة معزولة عن المسائل ⁷. لا تحدد هذه الأخبار الطاولة التي كتب عليها برهانه أو يوم اكتماله.

في المقدمة المترجمة يميز المؤلف بين البرهان الهندسي والبرهان بالحساب، ويحرص على المسائل العددية وعلى إصلاح الجداول؛ هذه صورة برنامج تعليمي وعلمي أوسع من شعار «اكتشف قانوناً» ⁵. تاريخ السجل هو القرن العاشر إطاراً واسعاً للنشاط، لا سنة مختلقة لتأليف هذا القسم. وتختلف أخبار الوفاة بين997 و998؛ لا نحول اختلافها إلى تاريخ دقيق للبرهان أو إلى تحويل هجري مصطنع ^{7 6}.

تصف بريتانيكا الفرد نفسه صراحة بأنه رياضي وفلكي مسلم؛ هذا أساس الهوية، لا الاستنتاج من الاسم أو من مذهب دولة رعته ⁷. الإطار السني هنا معلن بوصفه إطار المتحف، وليس شهادة بمذهب فقهي شخصي لا تثبته السيرة. أما مساهمته الرياضية فتعينها المقدمة والبرهان، لا مجرد شهرته أو انتسابه إلى مدينة معينة ¹.

أهل السنة — الإطار المعلن: نعرض عالماً مسلماً والعمل المنسوب إليه مع الفصل بين الإطار العام وشهادة المذهب الفردي ⁷. القراءة الأكاديمية: يذكر كارا خلاف أبي الوفاء وأبي نصر ابن عراق، ويذكر ماكتوتر نسبة الطوسي لبرهان الخجندي مع بقاء سؤال الأولوية غير محسوم في عرضه ^{8 9}. لا ننقل مذهب الراعي إلى العالم، ولا نصدر حكماً متحفياً يفصل في السبق من دون الشواهد اللازمة.

في ترميزنا التعليمي الحديث نكتب الرؤوس A,B,C والأضلاع المقابلة لها a,b,c، وكل ضلع زاوية قوس لا طول وتر. عندئذ تكون علاقة الجيب الكروية sin(a)/sin(A)=sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C)؛ يقابل ذلك تناسب جيوب الزوايا وجيوب الأضلاع في النص المترجم، لا نسبة الضلع نفسه إلى جيب الزاوية كما في المستوى ³. استعمال الحروف الحديثة لا يعني أنها حروف نسخة المؤلف أو أن ترتيب رؤوسنا هو ترتيب شكل المترجم.

إذا كانت C=90°، فمن العلاقات في هذا الاصطلاح sin(a)=sin(c)sin(A) وtan(a)=tan(A)sin(b)، وكذلك cos(c)=cos(a)cos(b)؛ هي صياغة مطبعة للمثلث القائم الذي يصف المرجع جهازه الأيسر ⁴. المساواة الأولى تعطي مجهولاً حين تكون المعطيات ملائمة؛ والثانية تصل الظل بالجيب؛ والثالثة تربط الأقواس الثلاثة. ليست هذه ثلاث طرق مستقلة لا علاقة بينها، ولا تعني أن أي ثلاثة أعداد تعطينا دائماً مثلثاً وحيداً صحيحاً.

لنجرب مثالاً حديثاً صنعناه للشرح، لا أرقاماً تاريخية من كتاب أبي الوفاء: a=30° وb=45° وC=90°. من علاقة جيب التمام نحصل على c≈52.238756°، ومن الظل نحصل على A≈39.231520° وB≈63.434949°. بالتعويض تكون النسب الثلاث للجيوب نحو0.790569415، فتتفق حسابياً. هذا تحقق من المثال في الترميز السابق، لا إعادة إنشاء مستقلة لكل خطوة في البرهان المترجم ³.

لاحظ أن مجموع زوايا مثالنا أكبر من180 درجة؛ لا نرغم مثلث الكرة على قاعدة المثلث المستوي. وإذا أردنا مسافة سطحية على كرة نصف قطرها R نضرب زاوية القوس بالراديان فيR؛ قيمة الجيب وحدها ليست كيلومترات. كذلك يحتاج عكس الجيب إلى انتباه لاختيار الزاوية والسياق، فلا نحول الصيغة إلى وعد بحل فريد لكل معطيات كيفما كانت. هذه إيضاحات هندسية حديثة للعلاقات المقروءة، وليست دعوى أن المؤلف استخدم لغة الآلة الحاسبة ³.

والبرهان المترجم لا يكتفي بإعلان نسبة جاهزة؛ يبدأ بمثلث حدوده أقواس دوائر عظمى، ويضيف أقواساً مرتبطة بالأقطاب ثم إسقاطات عمودية ليستخرج التناسب المطلوب ³. هذا يفرق بين التحقق من رقم واحد وبين البرهان على علاقة عامة. مثالنا العددي يساعد القارئ على اكتشاف خطأ إدخال طول ضلع مكان جيبه، لكنه لا يحل محل البناء الهندسي؛ إذا اتفقت ثلاثة أرقام في مثال واحد فلا نستنتج وحدها أن العلاقة صحيحة لكل مثلث.

من الشواهد التي نستطيع تتبعها هنا نشر كارا مقتطفات مترجمة في مجلة علمية سنة1892، ثم مناقشة الإسهام في المراجع الموسوعية والسير الحديثة ^{10 11}. هذا يثبت حضور النص في كتابة تاريخ العلم الحديث؛ لا يثبت وحده طريق كل مخطوط أو أن كل مدرسة استخدمت النسخة نفسها. لذلك لا نضع أسهماً من بغداد إلى كل مدينة تجارية لمجرد أن حساب الكرة مفيد للسفر.

وفي خلاف الأولوية نفسه أثر انتقال للأخبار: ينقل ماكتوتر نسبة الطوسي إلى الخجندي، ويعرض ادعاءات أبي الوفاء وأبي نصر ⁹. قرأنا عرض المؤرخين هنا، لا كل نصوص الادعاء الأصلية؛ يبقى فرق واضح بين شهادة مباشرة من النص المترجم وبين خبر عن حكم مؤلف آخر.

تقوم المساهمة على تقاليد دوائر وأقواس وجداول وعلى جهاز منلاوس السابق، كما يفسر عرض يوشكيفيتش والمقدمة المترجمة ^{2 5}. الصلة صلة مسائل ووسائل برهان، لا دليل أن صاحب كل اسم قديم كان معلماً شخصياً لأبي الوفاء. ونترك خبر الجداول في حدوده: يقول المترجم إن الجداول غائبة عن المخطوط الذي بين يديه، فلا ندعي أننا فحصنا جدول المؤلف كاملاً أو قرأنا دقته من ورقة لم نجدها ¹².

تصف السيرة العلمية هذه الطرق بوصفها مرحلة مهمة في المثلثات الكروية، وتفصلها عن ادعاء الأولوية المنفردة لكل نتائج المجال ². يمكننا تعليم القانون اليوم؛ لكن التشابه بين معادلتين لا يكفي وحده لإثبات سلسلة نقل تقنية إلى جهاز ملاحة بعينه. لذلك لا يضع هذا السجل تابعاً مسمى بلا مصدر أو يجعل الهاتف الحديث نتيجة مباشرة لبرهان واحد؛ الحلقة التي لا نملك شهادتها تبقى غير مرسومة.

يذكر القسم الذي يلخصه كارا مسائل تطبيقية مثل سمت القبلة وأمثلة عددية؛ هذه نافذة موثقة على فائدة العلاقات الفلكية، لا تقدير بعدد المستفيدين أو سرعة الحساب في كل بلد ¹³. نعرض السؤال الرياضي ولا نصدر حكماً دينياً عملياً. وتجعل المقدمة الفصل بين البرهان والحساب مفيداً لفهم العمل: إثبات علاقة لا يساوي بعد تنفيذ خطوات مثال بجدول ومعطيات، وإن احتاج العمل إلى الاثنين ⁵.

المغزى ليس أن تاريخ الفلك انقلب في يوم معروف، بل أن جهازاً حسابياً أمكن تبسيطه وتوسيعه؛ يحفظ يوشكيفيتش لأبي الوفاء موضعاً بين البراهين المبكرة للعلاقة العامة مع وصف طريقة الظل ². هذه صياغة أدق من سباق يسأل عن «أول إنسان عرف الجيب». وهي تتيح رؤية التراكم: مسائل موروثة، وصياغة أبسط، وبرهان قابل للعرض، ثم نقاش تاريخي فيمن سبق إلى نتيجة مشتركة.

أهل السنة — حد الدعوى: الإسهام الذي نثبته تحسين منظومة الحل عند أبي الوفاء، لا ملكية جميع المثلثات؛ هوية العالم المسلمة مثبتة منفصلة من أولوية كل مبرهنة ⁷. القراءة الأكاديمية: عبارة كارا في423 تنص على الخلاف بينه وبين أبي نصر؛ ويضيف ماكتوتر سياق الخجندي والطوسي، دون أن يجعل الدليل المتاح حكماً نهائياً ^{8 9}. لا ننسب إلى المتحف نتيجة لم يحسمها البحث المقروء.

ونستبعد من هذه البطاقة كذلك دعوى اكتشاف التغاير القمري؛ ترفضها بريتانيكا ومقالة الموسوعة الإسلامية، ولا نستخدمها زينة لسيرة تحسين رياضي مختلف ^{7 4}. فصل الدعاوى يمنع أن تصبح شهرة خبر خاطئ سنداً لخبر صحيح.

يعرض الرسم الحديث كرة ومثلثاً قائماً عندC ومركزاً اسمهO؛ الأضلاع أقواس، والخطوط المتقطعة تساعد على تخيل الجزء الخفي ¹⁴. الحروف اليونانية قرب المركز تخص الزوايا المركزية في الرسم، فلا نخلطها بزوايا الرؤوس في معادلاتنا. يمكنك مقارنة شكل القوس بمعنى الضلع، لكن الرسم ليس نسخة من شكل أبي الوفاء ولا قياساً مرسوماً لأرقام مثالنا؛ إنه وسيلة شرح مصرح بحداثتها.

شاهدنا المباشر هنا ترجمة منتقاة منشورة مع برهان ورسم ومناقشة؛ قوبلت صورة الصفحة423 في المسح العام، وقرئت تتمة البرهان424 من نص النسخة ³. لا ندعي مقابلة عربية مستقلة، أو فحص أصل بخط المؤلف، أو قراءة المقال كله من أوله إلى آخره. والسير العلمية توسع سياق المؤلفات الباقية والمفقودة؛ وجود كتاب آخر باق لا يجعل كل دعوى حسابية فينا مأخوذة مباشرة منه ¹⁵.

تجمع السير أعمال أبي الوفاء في الحساب العملي والهندسة والفلك، ومنها مسائل تخدم الكتاب والحرفيين ¹⁶. لا تندمج تلك الكتب في كتاب واحد، ولا نختار تاريخاً واحداً مختلفاً عليه لنؤرخ به القانون الكروي. والرسم المرخص الذي نستعمله نتاج تعليمي حديث في الملك العام، ينسب إلى سلسلة صانعيه في كومنز؛ لا صورة تاريخية للعالم أو إعادة بناء لمرصده ¹⁷.

ارسم مثلثاً على ورقة ثم تخيله على كرة: الخطوط صارت أقواساً، ولا تستطيع نقل كل قواعد الورقة كما هي. ساعد أبو الوفاء في تبسيط الحساب على الكرة ضمن عمل سبقه وشاركه آخرون في قصة البرهان ^{2 9}. وإذا سألت من كان الأول، ابحث عن النص وحدود ما يقول، لا عن اسم على ملصق. في قصتنا متعة المسألة ومعرفة الدليل أهم من إعلان فائز بلا شهادة.

• كارا دي فو، مجسطي أبي الوفاء،1892: المقاطع المقروءة413–414 و421–425، خاصة البرهان423–424؛ لا ادعاء قراءة المقال كاملاً ¹⁸.
• يوشكيفيتش، السيرة العلمية، قسم المثلثات والأعمال؛ نسخة الجامعة المعاد تنسيقها بلا إحالة إلى صفحات الطبعة الأصلية ¹⁹.
• بريتانيكا؛ آيدن348–349؛ ماكتوتر لأبي الوفاء والخجندي ^{7 6 20 9}.
• الموسوعة الإسلامية،ج1 ص178؛ كومنز للرسم الحديث وترخيصه ^{4 21}.