بناء ابن الهيثم لجواب مسألة البواقي بالمضروب

تعرض ماكتوتر عند ابن الهيثم مسألة عدد يبقى منه واحد عند قسمته على2 و3 و4 و5 و6، وينقسم على7 بلا باق. وتشرح بناءً يضرب الأعداد ثم يضيف واحداً:6!+1=721. هذه مساهمة عددية معينة، لا اختراع كل حساب للبواقي أو كل مسألة ذات شروط متعددة ¹.

يستعمل العرض ما يسمى اليوم مبرهنة ويلسون، مع خبر طريقة ثانية تعطي جميع الحلول. لا تسرد ماكتوتر تفاصيل تلك الطريقة. لذلك نفصل الجواب التاريخي المنقول عن اشتقاق المتحف الحديث301+420j، ولا نسمي721 أصغر جواب موجب؛301 أصغر منه ويحقق الشروط نفسها ^{1 2}.

الباقي ما يتبقى بعد أخذ مضاعفات صحيحة من المقسوم عليه. فقولنا إن721 يترك1 عند القسمة على6 يعني721=6×120+1، لا أن خارج القسمة1. تطلب المسألة تلبية عدة شروط معاً؛ العثور على عدد يفي بشرط واحد ليس حلاً مكتمل الفحص ¹.

والمضروب ترميز حديث مختصر لضرب الأعداد الصحيحة المتتالية:6!=1×2×3×4×5×6=720. لا تكون علامة التعجب تعجباً أدبياً، ولا علامة نقلناها من أصل ابن الهيثم. تعرض البطاقة العلاقة بلغة واضحة للقارئ اليوم، مع إبقاء أصلها المنقول وطريقة فحصها شيئين يمكن تمييزهما ³.

تصف ماكتوتر السؤال بأنه حالة خاصة مما يسمى نظرية البواقي الصينية. فلا تصح نسبة كل فكرة جمع شروط القسمة إلى ابن الهيثم. موضع هذه البطاقة بناء خاص بالمضروب في تقليد مسائل أوسع؛ وجود سابقة لا يلغي إمكان شرح مساهمة لاحقة، لكنه يمنع دعوى أن العالم بدأ وحده من الصفر ¹.

كما أن هذا السؤال مختلف من قياس الحجوم بالقوى الرابعة أو تعيين موضع انعكاس المرآة. لا نعيد حساب مساهمة واحدة بأسماء كثيرة: هنا قيود على أعداد صحيحة، لا سطح بصري أو تقسيم حجم. تعدد المجالات في سيرة عالم لا يثبت وحده انتقال طريقة بعينها بين هذه المجالات ¹.

تذكر ماكتوتر مادة Opuscula وتستعمل ترجمة في دراسة راشد، ثم تصف طريقتين. تنقل مضمون البناء الأول وتقول إن الثاني يعالج جميع الحلول من هذا النوع. قرأنا هذا العرض، لا الأصل العربي أو طبعة راشد الكاملة؛ لا ننشئ عنوان رسالة عربي تخميناً، ولا نحول اسم المجموعة الحديث إلى اسم كتاب قديم ⁴.

ولا نعرف من هذه الفقرة مجلساً أو تاريخاً أو غرفة كتب فيها الحل. يبقى أفق حياة المؤلف في أواخر القرن العاشر وأوائل الحادي عشر تقريبياً، والقاهرة سياقاً لسيرته لا موضع إنشاء مثبتاً لهذه المسألة. لا نجعل تاريخاً لكتاب المناظر تاريخاً تلقائياً لكل فكرة عددية أخرى ^{5 6}.

نحتفظ بهوية المؤلف الفردية وأساسها المسجل من افتتاح المناظر وخبر TDV، وبالإطار السني المعلن المستقل من دعوى صحة الحساب. لا نضيف له مذهباً جديداً من عمله في مصر، ولا نستنتج دينه من اسم المنهج. ليست هذه الجلسة إعادة تحقيق لكل نصوص سيرته ^{7 6}.

أما اسم ويلسون فهو تسمية حديثة مستعملة لنتيجة حسابية. يسرد ماثوورلد ويلسون ووارينغ ومعرفة لايبنتس السابقة وبرهان لاغرانج؛ وتعرض ماكتوتر استعمالاً أقدم عند ابن الهيثم. نبقي الحسابين التاريخيين ظاهرين من غير اختراع طريق مباشر من نسخة إلى أخرى أو منح أحدهم كل تاريخ المسألة ^{8 1}.

لأن كل عدد من2 إلى6 عامل في720، يكون باقي720 عند قسمته على أي منها0، وباقي721 هو1. لكن هذا وحده لا يثبت شرط القسمة على7. هنا تأتي النتيجة المسماة اليوم مبرهنة ويلسون: إذا كانp أولياً، فإن(p−1)!+1 مضاعف له. في المثال721=7×103 ^{2 1}.

هذه الأعداد لا تقول إن721 أولي؛ انقسامه على7 وعلى103 يبين العكس. الشرط الأولي يخصp، لا العدد المبني. كذلك لا يجوز استبدال7 بأي عدد مركب: عند4 تكون3!+1=7، وهذا لا ينقسم على4. صحة صيغة في مجال معلوم ليست تصريحاً باستعمالها بعد إسقاط فرضها ⁹.

هذا اشتقاق حديث مستقل لجميع الأجوبة الموجبة للمثال، لا استعادة للطريقة الثانية: المضاعف المشترك الأصغر للأعداد2 إلى6 هو60، لذلكN=60k+1. وبما أن60 يبقى منه4 عند قسمته على7، نحتاج4k+1 منقسماً على7؛ فيكونk=5+7j. ينتجN=301+420j.

نأخذj عدداً صحيحاً غير سالب للأجوبة الموجبة. أولها301 ثم721 ثم1141. فمثلاً301=5×60+1=7×43، و721=12×60+1=7×103. ليست قائمة أوائل الأجوبة برهاناً وحدها على الاكتمال؛ يأتي الاكتمال هنا من تحويل الشروط إلىN=60k+1 وحل شرط7، لا من توقف البحث عند عدد أعجبنا.

وتفسر الزيادة420 تكرار الشروط: فهي منقسمة على60 وعلى7، فلا تغير أياً من البواقي المطلوبة. أما إضافة7 إلى721 فتعطي728، عدداً يظل منقسماً على7 لكنه لا يترك1 عند القسمة على6؛ يبقى منه2. وإضافة60 تحفظ الشروط الأولى، لا شرط7 تلقائياً. لذلك ليست كل زيادة تنتج جواباً آخر. هذا فحص لمعنى الفترة المشتركة في الحل الحديث، لا خبر عن قائمة أعداد وجدناها في المخطوط، ولا برهان على أن صياغتنا هي صياغة المؤلف المفقودة من العرض الثانوي. يحمي التفصيل الفرق بين المحافظة على شرط واحد والمحافظة على نظام الشروط كله.

المصادر المقروءة هنا لا تقدم خريطة نسخ تصل مباشرة من المؤلف إلى ويلسون. اسم حديث ونتيجة أقدم لا يكفيان لإثبات نقل مخطوط أو اقتباس أو ترجمة. ننسب الأخبار لأصحابها ونترك صلة انتقال غير موثقة بلا سهم مؤكد في الرسم ^{1 8}.

كما أن خبر الطريقة الثانية ليس خبراً عن اعتمادها في كل مدرسة أو سوق. لا نحول إمكان استخدام مسألة إلى إحصاء تداول تاريخي. وما يشهده القارئ اليوم من شروح حديثة هو تلقي تعليمي معاصر؛ يحتاج ربطه بدورة تدريس قديمة إلى دليل إضافي لم توفره الفقرات المقروءة.

الركيزة المباشرة ضرب الأعداد وإضافة واحد، مع شرط مخصوص للمقسوم عليه الأخير. لو حذفنا الشرط الأخير لبقيت أجوبة من صورة60k+1، لا عدد واحد. وجود عوامل مكررة في720 يجعله مضاعفاً صالحاً، لكنه ليس أصغر مضاعف مشترك؛ حاصل ضرب كل الأعداد ليس دائماً أكثر الطرق اختصاراً ¹.

ونستخدم المضاعف الأصغر60 في الشرح الحديث لأنه يجمع الشروط2 إلى6 في عبارة واحدة. لا تكون تلك المقسومات أولية اثنين اثنين:2 و4 و6 بينها قواسم مشتركة. لذلك لا نطبق صيغة لحالة المقسومات المتباينة صامتين؛ نحدد طبيعة المثال قبل استعمال أي اسم عام لنظرية البواقي.

يتيح ماثوورلد اليوم صياغة المبرهنة شرطاً لازماً وكافياً للأولية عندp>1. لكن عرضنا للحساب الحديث ليس إعلاناً أننا وجدنا برهان الشرطين كاملاً في أصل ابن الهيثم. استعمال نتيجة، وإثباتها، وتقديم اختبار عملي سريع بها دعاوى مختلفة لا تندمج من تلقاء نفسها ^{3 1}.

ويمكن حساب حاصل الضرب خطوة بخطوة مع الاحتفاظ بالباقي فقط لتجنب كتابة أعداد كبيرة في الدرس. هذه وسيلة حديثة لفحص الأمثلة، لا خوارزمية حاسوبية نسبناها للمؤلف. لا نقيم من الشكل الحسابي وحده سلسلة مباشرة إلى كل استعمال برمجي أو تشفيري معاصر.

لا تسجل الفقرات المقروءة ساعات وفرها تجار أو عقوداً طبقت هذا المثال. الأثر المدعوم جزء من بحث عددي في تركيب الشروط وإمكان تعدد الحلول. لا نضيف حكاية تجارية كي يبدو الحساب أداة يومية أثرية، ولا ننقص قيمة السؤال لأنه لا يحمل قياس ربح مالي ¹.

وللقارئ اليوم درس واضح: الجواب الصحيح ليس بالضرورة الأصغر، ولا الواحد هو جميع الأجوبة. قد تعطي طريقة بناء نتيجة كبيرة سهلة التحقق، بينما تعطي إعادة صياغة الشروط وصفاً أوجز للعائلة كلها. هذه مقارنة تعليمية من301 و721، لا شهادة على هدف اقتصادي شخصي لابن الهيثم.

تجعل المسألة أحد جوانب المؤلف غير البصرية مرئياً: معالجة أعداد لها قيود متزامنة، لا صورة نمطية لعالم لا يعمل إلا في المرآة والعين. لكن شهرة المناظر لا تثبت أولويته في كل موضوع. النسبة هنا إلى بناء عددي خاص، على قدر ما تصفه الفقرة التاريخية ¹.

كما يميز السؤال بين البناء والفحص والاستيفاء. يمكن بناء721، ثم فحص كل شرط، ثم التساؤل عن وجود أصغر منه وعن جميع الأجوبة. هذه مهام مختلفة، وذكر طريقة ثانية في العرض التاريخي يبين أن القصة لا تقف عند إنتاج العدد الأول. لا نملأ التفاصيل الغائبة ببرهان حديث ثم نخفي صاحبه ⁴.

الإطار السني المعلن: أساس هوية ابن الهيثم الفردي محفوظ من السجل، لا من استنتاج عقيدة من الحساب. القراءة الأكاديمية: ماكتوتر تصف البناء والاستعمال القديم، وماثوورلد يسرد تسمية المبرهنة وتاريخاً أوروبياً لاحقاً. لا نحكم أن هذا يثبت طريق انتقال مباشر أو أن الاسم الحديث يحصر كل تاريخ الفكرة ^{6 1 8}.

وصف المساهمة بالتحسين هنا يحمي الحد: ليست أول بواقي صينية أو أول مضروب أو كل حساب التطابقات. لا نزعم قراءة الأصل أو فصل جميع مسائل الأولوية. ما نستطيع عرضه هو بناء معين وحدوده، مع تعريف حديث يساعد القارئ على فحصه.

في الصورة ساعتان رماديتان مرقمتان0 و3 و6 و9، مع+4h بينهما. ينتقل العقرب من9 إلى1 لأن9+4=13 وباقيه1 بمعيار12. هذا تشبيه حديث للحساب الدوري، لا ساعة لابن الهيثم أو صورة من مخطوطه. والصورة ليست هي مسألة7: معيار12 مركب ¹⁰.

ولا تعني المساواة الدورية أن13=1 بين الأعداد الصحيحة العادية؛ تعني أنهما يتركان الباقي نفسه عند القسمة على12. يختلف التعامل مع بواقي القسمة عن محو الفرق العددي. يفيد الشكل في فهم المصطلح، لا في برهنة كل خاصية أولية يحتاجها بناء المضروب ¹¹.

قرأنا الفقرات المعينة في ماكتوتر والتعريف والصيغة الأولى والتاريخ في ماثوورلد. لم نقرأ أصل Opuscula أو طبعة راشد كاملة، ولا نعين من هذه التسمية وحدها معرف مخطوط عربي. عدم إنشاء عمل جديد هنا حفظ للأمانة، لا ادعاء أن المؤلف لم يكتب شيئاً في المسألة ⁴.

وعوينت صورة كامونز وحقوقها: سبندلد صاحب الرفع الأصلي في19أكتوبر2006، والنسخة الحالية ذات تصحيح محاذاة النص من2008، بترخيصCC BY-SA3.0. ينشر الأصل الحاليSVG بلا تعديل. تاريخ رفع الصورة لا يؤرخ الرياضيات القديمة أو يثبت وجود ساعة أثرية بهذا الشكل ¹².

قد تفضل حكاية الاختراع اسماً واحداً ولقطة انتصار وعدداً نهائياً. لكن المسألة أغنى حين يبقى التمييز بين جواب خاص ووصف عام، وبين اسم المبرهنة وتاريخ استعمالها. هذا ليس حكماً على أصحاب الأسماء، بل طريقة المتحف في إظهار ما تقوله الشواهد وما لا تقوله ^{1 8}.

ولا يحتاج الشرح رسماً متخيلاً للمؤلف أو مجلساً روائياً. يكفي أن تقرأ الشروط وتعيد فحصها، ثم تلاحظ أن الصورة ذات الساعتين من زمن آخر. المقارنة المعلنة تساعد الفهم من غير تحويل قطعة تعليمية حديثة إلى أثر يوهم بتوثيق لا نملكه.

اكتب721، واقسمه على2 و3 و4 و5 و6، ثم على7. سجل الباقي لا خارج القسمة وحده. كرر مع301. سيبين الفحص أن العدد الأصغر يحقق الشروط أيضاً؛ لا تتوقف عند أول جواب صحيح أو تسمه أصغر جواب بلا بحث أو دليل.

ثم جرب7 الذي نتج من3!+1: هل ينقسم على4؟ لا. اسأل أي شرط اختلف من مثال7 الأولي. وليس المطلوب أن تتصور أن الساعة الحديثة كانت في يد المؤلف؛ إنها تشبيه للباقي فقط. الخبر التاريخي والحساب الذي تجربه اليوم يلتقيان من غير أن يصيرا الشيء نفسه ^{2 1}.

• ماكتوتر:مسألة البواقي والبناء المنقول ¹.
• ماثوورلد:التعريف والتاريخ وشرط الأولية ¹³.
• TDV:سياق المؤلف، لا موضع إنشاء متحقق ⁶.
• كامونز:الصورة الحديثة وحقوقها ¹².