الجذور والأعداد التي لا تنتهي

يطلب منك هذا الدرس أن تصف الأعداد النسبية وغير النسبية وتقارن بينها وترتبها، وأن تقدّر الجذور التربيعية وتحسبها. ويقدّم المتحف روايتين عن استخراج الجذور بالتقريب وعن مقدار غير ناطق داخل معادلة؛ أما التقدير والترتيب والحساب فعلى صفّك أن يجريها. ¹

اختر عدداً ليس مربعاً كاملاً، وابحث عن عددين صحيحين متتاليين يقع الجذر التربيعي بينهما، ثم قرّب بالمنازل العشرية. وقل كيف تعرف أن تقريبك أفضل من سابقه، وأين تضع الجذر على خط الأعداد بين الأعداد النسبية.

«المعامل» هو الكمية التي تضرب المجهول أو قوة من قواه ². ويشرح جنكيز آيدن أن كتاب أبي كامل في الجبر أدخل الكميات غير الناطقة في معاملات المعادلة أيضًا، مع إبقائها في الحلول ². ويعرض السجل مسألة من دراسة ملك دوساي الحديثة، في الصفحة 66: مجموعان في كل منهما المجهول وجذر، أحدهما جذر 3 والآخر جذر 2، يُضربان فيكون الناتج 20 ³. ويقول السجل إنه قرأ المثال في صورة صفحة الدراسة الحديثة، لا في مخطوط أبي كامل، وإن الرموز حديثة ³.

أخبار حياة أبي كامل قليلة جدًا، ولا تحفظ السجلات المقروءة هنا جملة تبيّن لماذا وسّع المعاملات ^{4 5}. وهي تُظهر من يعترف بفضله، إذ تذكر ماكتوتر اعترافه بفضل الخوارزمي في الجبر ⁴، وما يحتويه كتابه: ثلاثة أقسام في المعادلات التربيعية، وفي الجبر المطبق على الخماسي والعشاري المنتظمين، وفي المسائل غير المحددة ⁶. وتصف ماكتوتر كتابًا منفصلًا في المساحة لمساحي الحكومة، يعرض قواعد وأمثلة عددية بلا براهين ⁷.

يُنسب إلى الكاشي أحيانًا اختراع الكسور العشرية وطرائق الجذور في كتابه. وتصحح ماكتوتر النسبتين مع الإبقاء على قيمة عمل الكاشي ⁸. وتنقل مقارنة لوكي بين طريقته وحالة خاصة من طريقتي روفيني وهورنر اللاحقتين، وتصحيح راشد بأن طرائق سابقة كانت موجودة في مدرسة الكرجي، وبخاصة عند السموأل ⁹. ولذلك يصف السجل العمل بأنه تطوير حساب موروث ودمجه ⁹.

قارن لوكي طريقة الكاشي بطريقة هورنر، وأشار راشد إلى طرائق أسبق في مدرسة الكرجي. ويقول السجل إن المقارنة في البنية الرياضية شيء، وإثبات أن مؤلفًا لاحقًا قرأ نصًا سابقًا شيء آخر. ماذا يجب أن تجد قبل أن تقول إن مؤلفًا لاحقًا تعلّم من سابق، ولماذا؟

• الاستخراج العددي العام للجذور عند الكاشي: الطريقة وسوابقها وما لم يستطع السجل قراءته.
• جبر أبي كامل بمعاملات غير ناطقة: الفرق بين معامل غير ناطق وحل غير ناطق.
• الكاشي: عالم الرياضيات في سمرقند وأعماله الأخرى.
• أبو كامل شجاع بن أسلم: ما يُعرف القليل من سيرته.

اقرأ عن استخراج الجذور عند الكاشي وعن جبر أبي كامل بمعاملات غير ناطقة. اختر جذراً تربيعياً غير تام، وقرّبه، ورتّبه بين عددين نسبيين.