أنماط تُبنى بقاعدة

يطلب منك هذا الدرس أن تحدّد قواعد الأنماط وتستخدمها لمواصلة الأنماط وللتنبؤ وتبرير التنبؤات وإيجاد العناصر الناقصة. يقدّم المتحف قاعدة واحدة لبناء جدول أعداد من الصف الذي قبله؛ ولا يخدم الأنماط المتزايدة والمتناقصة والخطية ولا الرسوم البيانية ولا العبارات الجبرية، وهذه يأتي بها صفّك من مصادر أخرى. ¹

اكتب القاعدة بالكلمات أولًا، ثم في جدول قيم. تنبأ بالصفين التاليين، وتحقق من تنبؤك بتطبيق القاعدة.

تبني قاعدة الكرجي كل صف جديد من الأعداد من الصف الذي قبله. فالمصادر تصفها هكذا: المربع يعطي الواحد والاثنين والواحد ². وللحصول على القائمة التالية يبقى الواحد في الطرفين، ويجمع الواحد والاثنان ليظهر ثلاثة، ثم الاثنان والواحد ليظهر ثلاثة أخرى ². أما الصفحة التي كتبها فليست بين أيدينا: يقول السجل إن السموأل ينقل خبر حساب أصلي لم يعد باقياً ^{2 3}.

لا تحفظ السجلات جملة يقول فيها الكرجي لماذا استخرج هذه الأعداد، والمتحف لا يضع له جملة من عنده. وهي تُظهر موضع القاعدة: الجبر ببغداد في أوائل القرن الحادي عشر ^{2 3}. وتذكر ماكتوتر أنه حسب مكعب المجموع في الفخري، ومكعب الفرق والقوة الرابعة للمجموع في البديع ². وأعجب السموأل بعمله، لكنه رأى فيه نواقص وسعى إلى استكماله ^{4 3}.

يُسمّى هذا الجدول كثيراً مثلث باسكال. ويقول السجل إن التسمية لا تعني أن المثلث لم يكن معروفاً قبل باسكال، وإن ماكتوتر تقول ذلك صراحة ⁵. ويعرض تاريخ الرياضيات الجاينية مثلثاً في تعليق من القرن العاشر على عمل أقدم ⁶. وفي الصين تصف ماكتوتر جدول جيا شيان ⁷. ويعدّ السجل هذا عملاً مشابهاً، لا شيئاً ثبت أنه أُخذ من الكرجي ^{7 2}.

يفحص السجل القاعدة بأعداد مختارة، لكنه يقول إن هذا الفحص لا يثبت وحده صحة القاعدة لكل قوة ². لماذا لا يكفي مثال واحد متفق مع القاعدة، وماذا تريد أن ترى أيضاً قبل أن تثق بالقاعدة في كل صف؟

• قاعدة الكرجي لمعاملات القوى: كيف يُبنى كل صف من الصف الذي قبله، وما الذي فُقد.
• الكرجي: مؤلفاته واسمه، وما لا يُعرف عنه.
• الباهر في الجبر: الكتاب الذي حفظ هذا الحساب.
• السموأل المغربي: الكاتب اللاحق الذي نقله.

اقرأ سجل «توليد معاملات القوى الثنائية عند الكرجي». ابنِ الصفوف التالية من الجدول بجمع المتجاورين، واكتب قاعدتك في جملة واحدة.