القوى والجذور

يطلب منك هذا الدرس أن تحدّد المربعات الكاملة وتمثّلها وتحسب جذورها التربيعية، وأن تحسب الضرب المتكرر للأعداد الصحيحة الكلية وتعبّر عنه بالترميز الأسّي. يقدّم المتحف لمحتين: تسمية الكرجي للقوى المتتالية للمجهول وقاعدته في ضربها، واستخراج الكاشي للجذور؛ أما المربعات الكاملة والترميز الأسّي للأعداد وسياقات الحياة اليومية فيأتي بها صفّك. ¹

اكتب 3 × 3 × 3 × 3 بصورة قوة. ثم اسأل: أي عدد إذا ضُرب في نفسه أعطى 49؟ وكيف تتحقق من جوابك؟

انظر كيف تناول الكرجي قوى مقدار مجهول واحد. تبدأ الطريقة بتمييز مراتب المقدار الواحد: المجهول، ثم مربعه، ثم مكعبه، وهكذا؛ وتضم السيرة أيضًا مقلوبات هذه المراتب ². وضرب مرتبتين يحتاج قاعدة لتعيين المرتبة الناتجة، لا رسمًا هندسيًا جديدًا لكل حالة ². وبلغة تعليمية حديثة، ضرب x² في x³ يعطي x⁵: هذه كتابة السجل للتوضيح، وليست سطرًا من مخطوط ². وتنبّه ماكتوتر إلى أنه اقترب من هذا القانون دون أن يضع التعريف الحديث x⁰=1، فلا ننسب إليه الصياغة الحديثة الكاملة ².

لا تحفظ السجلات المقروءة هنا جملة يقول فيها الكرجي لماذا اشتغل بهذه العمليات. وهي تُظهر بيئته: تضع السيرة أهم كتبه الرياضية في بغداد، وتربط TDV كتاب «الفخري» بفخر الملك في المحيط البويهي ^{2 3}. وفي شأن الكاشي يقول السجل إن مفتاح الحساب يخاطب من يحتاجون حسابًا للفلك والمساحة والعمارة والمحاسبة والتجارة؛ وهذه أغراض للكتاب في عرض المصادر، وليست شهادة بأن ورشة بعينها استعملت مثالًا بعينه ⁴.

تبرز قراءة فوبكه وراشد، كما تنقلها ماكتوتر، جعل العمليات الجبرية أقل اعتمادًا على تمثيلها بالأشكال، وترى في ذلك اتجاهًا مهمًا نحو استقلال الحساب الجبري ². أما القراءة التي ينقلها العرض عن كروسلي فتشدد على الأمثلة العددية وحدود البرهان وبقاء نظريات إقليدس في حل المعادلات ². وتؤيد TDV بقاء البرهان الهندسي في «الفخري» ³. ويعرض السجل هذه القراءات ولا يحسمها: فتنظيم عمليات جديدة واستمرار تبريرات قديمة أمران يمكن أن يجتمعا في العمل نفسه.

قراءة ترى الجبر يقلّ اعتماده على الرسم، وأخرى تشدد على أن نظريات إقليدس بقيت في البراهين. أيّ الأمرين تعطيه وزنًا أكبر دليلًا على رياضيات من نوع جديد، قاعدة جديدة لتسمية القوى أم برهانًا ما زال يرسم شكلًا، ولماذا؟

• حساب القوى والمقادير المركبة عند الكرجي: قاعدة القوى وحدودها وقراءات المؤرخين.
• الاستخراج العددي العام للجذور عند الكاشي: جذور من مراتب عامة، مع السوابق التي يُبقيها السجل ظاهرة.
• أبو بكر الكرجي: عالم الرياضيات والمهندس، والشك في نسبته.
• مفتاح الحساب للكاشي: الكتاب التعليمي الذي جاءت منه طريقة الجذور.

اقرأ حساب الكرجي للعبارات متعددة الحدود ثم الاستخراج العددي العام للجذور عند الكاشي. اختر عدداً له جذر تربيعي صحيح وعدداً ليس له، وقل لكل منهما كيف تجد جذره أو تحصره وكيف تتحقق منه.