الديون والأعداد دون الصفر

يطلب منك هذا الدرس أن تقرأ الأعداد الصحيحة وتمثّلها، ومنها على خطوط الأعداد الأفقية والرأسية. يقدّم المتحف مثالًا واحدًا لمؤرخ يظهر فيه مقدار يسمى دينًا خطوةً وسيطة في عملية ضرب؛ أما عملية الضرب نفسها فليست لهذا الصف، وخصائص العمليات من شأن صفّك. ¹

فكّر في حال تدين فيها بشيء، أو مستوى دون نقطة البداية. علّمه على خط أعداد رأسي وعلى خط أفقي، واشرح أي اتجاه يعني الزيادة وأيّهما يعني النقصان.

كتب أبو الوفاء البوزجاني مصنفًا عمليًا في الحساب الذي يحتاج إليه الكتّاب والعمّال ^{2 3}. ويستشهد المؤرخ يوشكيفيتش بمثال من ضربه: ثلاثة في خمسة. متمماهما إلى عشرة سبعة وخمسة، ومن طرح خمسة من ثلاثة يظهر دين مقداره اثنان ⁴. وبعد ضرب هذا الدين في عشرة وجمع خمسة وثلاثين نحصل على خمسة عشر ⁴. والعددان المضروبان والناتج النهائي موجبة كلها؛ والمقدار الوسيط وحده هو الموصوف بالدين ⁴. ويضيف السجل أن الرموز الحديثة وسيلة لتوضيح الحساب فقط، وليست كتابة المؤلف نفسه ^{4 2}.

لا تحفظ السجلات المقروءة هنا جملة يقول فيها أبو الوفاء لماذا كتب هذا الكتاب. وهي تُظهر لمن كُتب: يعرض الكتاب الحساب للقائمين بالكتابة والعمل الإداري والتعاملات، وفيه أقسام للضرائب والمقاييس والتبادل ^{5 2}. وتقول ماكتوتر إن المؤلف نفسه كان يعرف الأرقام الهندية لكنه اختار عرضًا يناسب أهل الأعمال ². ويضيف السجل أن هذا السياق لا يجعل المثال وثيقة قرض حقيقي أو قيمة نقدية موثقة في خزينة ^{5 2}.

قد يُقرأ الدين داخل عملية الضرب على أنه اختراع للأعداد السالبة. ويقول السجل غير ذلك: ليست المسألة اختراع الدين أو أول عدد سالب، بل قاعدة محددة وشاهد على قبول وسيط سالب في حساب عملي ⁴. ويرجح يوشكيفيتش أثرًا هنديًا في لغة الدين، ولا يورد وثيقة تثبت كتابًا سنسكريتيًا بعينه وصل إلى يد أبي الوفاء ⁴.

يُظهر مثال واحد دينًا في خطوة وسيطة. ماذا تريد أن ترى أيضًا في كتاب حتى تقول إن مؤلفه فهم المقادير التي دون الصفر، ولماذا؟

• ضرب أبي الوفاء بالمتمم والدين الوسيط: القاعدة والمثال وما لا تدّعيه المصادر.
• كتاب فيما يحتاج إليه الكتّاب والعمّال من علم الحساب: الكتاب الذي جاء منه المثال، وتاريخه المختلف عليه.
• أبو الوفاء البوزجاني: المؤلف وأعماله الأخرى.

اقرأ سجل «ضرب أبي الوفاء بالمتمم والدين الوسيط». خذ الخطوة الوسيطة فقط بالثلاثة والخمسة، وقل أين يقع الدين الذي مقداره اثنان على خط الأعداد.