القواسم والعوامل

يطلب منك هذا الدرس أن تفهم قواعد القابلية للقسمة وتستخدمها مع 2 و3 و4 و5 و6 و8 و9 و10، وأن تكتب الأعداد المركّبة حاصل ضرب عوامل أولية، ومن ذلك بأشجار العوامل. يقدّم المتحف سجلًّا واحدًا عن الأعداد وقواسمها؛ أما القواعد والأشجار فلصفّك. ¹

تأمّل في التوقعات: هي تطلب قواعد لا قسمة مطوّلة. جرّب كل قاعدة على أعداد تستطيع التحقق منها، واستعمل شجرة العوامل لترى أي العوامل الأولية لا يمكن تجزئتها أكثر.

اكتب قواسم 220 الأصغر من 220: 1، 2، 4، 5، 10، 11، 20، 22، 44، 55، 110. مجموعها 284. ثم افعل الشيء نفسه مع 284، وقواسمه 1، 2، 4، 71، 142: فتجمعها لتحصل على 220 ². ويسمى العددان المختلفان اللذان يعيد كلٌّ منهما الآخر بهذه الطريقة متحابين ³. وقد ألّف كمال الدين الفارسي تذكرة الأحباب في بيان التحاب، وفيها منهج جديد لإثبات قاعدة أقدم ⁴. ويقول السجل إن هذا التمرين حساب حديث، لا تعليمات منقولة من مخطوط.

لا تحفظ السجلات المقروءة هنا جملة يقول فيها الفارسي لماذا كتب في الأعداد المتحابة. وهي تُظهر ما فعله العمل: ترى ماكتوتر فيه أكثر من تعديل بسيط لبرهان ثابت بن قرة، فهو منهج جديد يوظف التحليل إلى عوامل والاختيارات التركيبية ⁵. وتُظهر أيضًا أن الرجل نفسه عمل في الضوء: فالسيرة تميز بين إسهامين كبيرين له، الأعداد ونموذج قوس قزح بالكرة المائية ⁶.

لم يخترع الفارسي مثال 220 و284، ولا قاعدة ثابت بن قرة الأقدم ^{3 4}. وتعرض ماكتوتر رأي هوخندايك في احتمال معرفة ثابت نفسه للزوج الكبير 17296 و18416، ولذلك لا يمنح السجل الفارسي أولية في اكتشافه ⁷. وتشبيه العددين بصديقين وسيلة لغوية، لا تفسير كيف تتصرف الأعداد ³.

للعدد 6 قواسم أصغر منه هي 1 و2 و3، ومجموعها 6. لماذا لا يسمّي السجل 6 زوجًا متحابًا مع نفسه، وماذا يجب أن يفعل العدد الثاني حتى يكون العددان متحابين؟

• منهج الفارسي بالعوامل لإثبات التحاب: مجموع القواسم لـ 220 و284، ومثال تفشل فيه القاعدة.
• تذكرة الأحباب في بيان التحاب: الرسالة، وما لا يُعرف عن تاريخها.
• كمال الدين الفارسي: عالم الرياضيات وعمله في المناظر.

اقرأ سجل «منهج الفارسي بالعوامل لإثبات التحاب». اكتب قواسم 220 واجمع ما كان منها أصغر من 220، ثم افعل الشيء نفسه مع 284.