محيط الدائرة ومساحتها

يطلب منك هذا الدرس أن تستعمل العلاقات بين نصف القطر والقطر ومحيط الدائرة لتفسّر صيغة المحيط، وأن تبيّن العلاقات بين نصف القطر والقطر ومساحة الدائرة لتفسّر صيغة المساحة. يقدّم المتحف قصة واحدة هي كيف يذكر الخوارزمي قاعدتي المحيط والمساحة وكيف حسب الكاشي المحيط؛ أما رسم الدوائر والمسائل الواقعية فيأتي بها صفّك. ¹

ارسم دائرة وعيّن قطرها ونصف قطرها. ما الذي تقوله قاعدة المساحة التي يذكرها السجل عن هذه المقادير، وكيف تشرح الصيغة التي تعرفها بدلالتها؟

خصّ الخوارزمي المساحة بباب في كتابه الجبر والمقابلة ². وفي هذا الباب، كما يروي سجل المساحة، دور الدائرة، أي محيطها، القطر في ثلاثة وسبع ³. أما تكسيرها، أي مساحتها، فنصف القطر في نصف الدور، أو مربع القطر منقوصاً منه سبعه ونصف سبعه ^{3 4}.

لا تحفظ سجلات المتحف جملة يقول فيها الكاشي لماذا حسب المحيط. وتذكر إيرانيكا، كما يروي سجل حسابه الدقيق، أن هدف رسالته مرتبط بالحاجة إلى تحسين التقريبات المستعملة في الحساب الفلكي، وأن هناك تقاليد أقدم ⁵. ووجد في محيط أولوغ بك دعماً للعمل الفلكي والحسابي ^{6 7}.

قد يُظنّ أن الكاشي رسم دائرة كبيرة وقاسها. لكن السجل يقول إن عدداً قليلاً من الخطوط في رسم صغير لا يثبت ست عشرة منزلة عشرية، وإن إنجازه كان حساباً منضبطاً لا قياس دائرة بفرجار أكبر ⁸. وتؤرخ ماكتوتر الرسالة بسنة 1424، وتصف عمله بأنه تحسين لحساب قديم لا اكتشاف العدد pi ⁸.

يعطي الخوارزمي لمساحة الدائرة قاعدتين: نصف القطر في نصف المحيط، أو مربع القطر منقوصاً منه سبعه ونصف سبعه. أيّ القاعدتين أسهل في شرح سبب صحتها لزميل لا يعرف الصيغة، ولماذا؟

• علم المساحة: قواعد الباب كلها، ومنها قاعدتا الدائرة.
• حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة: ما يقوله السجل عن الحساب وعن حدود الدقة.
• الخوارزمي: سجل صاحب الباب.

اقرأ علم المساحة ثم حساب الكاشي الدقيق لمحيط الدائرة. خذ دائرة قطرها سبع وحدات، واحسب محيطها ومساحتها بالقاعدتين اللتين يذكرهما السجل الأول، ثم قارن بما تعطيه صيغتاك.